中考数学复习重难点与压轴题型训练：特殊平行四边形的综合问题（学生版+解析）

专题08特殊平行四边形的综合问题

一【中考考向导航】

目录

【直击中考】...................................................................................1

【考向一特殊平行四边形中的折叠问题】.....................................................1

【考向二特殊平行四边形中旋转问题】.......................................................3

【考向三特殊平行四边形中定值问题】.......................................................4

【考向四特殊平行四边形最小值问题】.......................................................6

【考向五特殊平行四边形中点四边形问题】...................................................7

【考向六特殊平行四边形中的动态问题】....................................................10

或1

I*【直击中考】

【考向一特殊平行四边形中的折叠问题】

例题：（2022秋•甘肃兰州•九年级统考期中）将矩形纸片ABCD沿3D折叠得到△BCD,C'D与交于点E,

若4=35。，则N2的度数为（）

A.15°B.20°C.25°D.30°

【变式训练】

1.（2022秋•九年级课时练习）如图，把菱形ABCD沿折叠，使8点落在3c上的E点处，若NB=70°,

则的大小为（）.

A.15°B.20°C.30°D.25°

2.（2021•云南红河・统考一模）如图，菱形A3CD的周长为8厘米，ZZ）=120o,点M为AB的中点，点N

是边AD上任一点，把/A沿直线折叠，点A落在图中的点E处，当AN=________厘米时，BCE是

直角三角形.

B

3.(2022•安徽合肥•校考二模)如图，在菱形A3CZ)中，ZA=120°,AB=2,点E是边AB上一点，以DE

为对称轴将D4E折叠得到―DGE,再折叠BE使座落在直线EG上，点B的对应点为点H,折痕为即且

交3c于点尸.

(1)ZDEF=；

(2)若点E是AB的中点，则。尸的长为.

4.(2023春•江苏•八年级专题练习)如图1,在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE,把DEC沿

OE折叠得到DEF,延长E尸交AB于G,连接。G.

⑴求证：ZEDG=45°.

(2)如图2,E为2c的中点，连接族.

①求证：BF//DE；②若正方形边长为6,求线段AG的长.

【考向二特殊平行四边形中旋转问题】

例题：（2021秋,陕西渭南•九年级统考阶段练习）如图，四边形ABCD是矩形，以点B为旋转中心，顺时针

旋转矩形ABCD得到矩形GBEF,点A,D,C的对应点分别为点G,F,E,点。恰好在歹G的延长线

上.

⑴求证：空△&）G：

（2）若A£＞=2,求D尸的长.

【变式训练】

1.（2022秋广东广州•九年级广州市第一一三中学校考期中）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°后,

得到矩形AB'C'。'，如果CD=2D4=2,那么CC'=.

2.（2022秋•天津河北•九年级天津二中校考期末）在平面直角坐标系中，四边形AO3c是矩形，点。（0,0）,

点4（3,0）,点3（0,4）.以点A为中心，顺时针旋转矩形AO3C,得到矩形ADEF,点。，B,C的对应点

分别为，E,F,记旋转角为。（0°＜打＜90。）.

图1图2图3

⑴如图1,当&=30。时，求点。的坐标;

（2）如图2,当点E落在AC的延长线上时，求点。的坐标;

（3）当点。落在线段OC上时，直接写出点E的坐标.

3.（2022秋,山西吕梁•九年级统考期中）综合与实践

【情境呈现】如图1,将两个正方形纸片ABCD和AEFG放置在一起.若固定正方形ABCD,将正方形AEFG绕

着点A旋转.

D1CI

kJ

/B

图3

⑴【数学思考】如图1,当点E在AB边上,点G在边上时，线段仍与DG的数量关系是—，位置关

系是•

（2）如图2,是将正方形A£FG绕着点A逆时针旋转1度得到的，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，

请证明；若不成立，请说明理由.

（3）【拓展探究】如图3,若点。，E,G在同一条直线上，且AB=2AE=20，求线段BE的长度（直接写

出答案）.

【考向三特殊平行四边形中定值问题】

例题：（2022秋•山东枣庄•九年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,M是AD上异

于A和D的任意一点，且ME_LAC于E,于尸，则为

【变式训练】

1.（2023秋・吉林长春•八年级长春外国语学校校考期末）如图，菱形ABC。的周长为20,面积为24,尸是

对角线上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF,则PE+尸尸等于

2.（2022春•四川成都,九年级成都市第二十中学校校考阶段练习）如图，已知点尸是菱形ABCD的对角线AC

延长线上一点，过点尸分别作AD,。。延长线的垂线，垂足分别为点E,F若NAfiC=120。，AB=2,则

PE-PF的值为.

3.（2022•全国•八年级专题练习）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=5叵,点E为对角线AC上一动

点，连接。E,过点£作历，上交3C于点尸，以。区EF为邻边作矩形。跳G,连接CG.

⑴求证：矩形DEFG是正方形；

⑵探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.

4.（2022春•四川德阳•八年级统考期末）已知，如图，矩形ABC。中，4）=3,DC=4,菱形EFG8的三个

顶点E,G,H分别在矩形的边AB,CD,D4上，AH=1,连接CF.

备用图

⑴当点G在边。C上运动时；探究：点尸到边。C的距离是否为定值？如果是，请求出这个值；如果

不是，请说明理由.

⑵当。G为何值时，SFCG的面积最小，并求出这个最小值.

【考向四特殊平行四边形最小值问题】

例题：（2022秋•重庆沙坪坝•八年级重庆市凤鸣山中学校联考期末）如图，E为正方形ABCD边AD上一点,

AE=1,DE=3,P为对角线8。上一个动点，则F4+PE的最小值为（）

4.5B.4.72C.2.710D.10

【变式训练】

1.（2022秋•江西新余•九年级新余四中校考阶段练习）如图，矩形ABCD中，AB=8,BC=14,M,N分

别是直线BC,AB上的两个动点，AE=2,△?即沿EM翻折形成△EEW,连接NF,ND,则DN+NR

的最小值为（）

£n

2.（2022秋•吉林长春•八年级校考期末）如图，Rt^ABC中，ZACB=90。，ZB=30°,BC=273.点。

为边AB上一个动点，作OEL3C、DF1AC,垂足为£、F,连接所.则斯长度的最小值为.

3.（2022秋•重庆大渡口•九年级校考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,点E在边AZ）上，点

尸在边上，且AE=CF,连接CE,DF,则CE+。歹的最小值为

4.（2022秋•陕西汉中•九年级校考期中）如图，在正方形ABCD中，的=12,E为BC边上一点，CE=1.F

为对角线8。上一动点（不与点5、。重合），过点歹分别作FM,3c于点M、FNLCD于点、N,连接EF、

MN,则EF+MN的最小值为

5.（2022春・江西赣州•八年级统考期末）如图所示，在菱形ABC。中，AB=6,园区4。=120。，点E,P分别在

菱形的边8C,C。上滑动，满足回胡尸=60。，连接斯，且E,尸不与2,C,£）重合.

⑴求证：不论E,尸在BC,C£）上如何滑动，总有BE=CR

⑵当点E,尸在BC,8上滑动时，分别探讨四边形AECT的面积和回CEF的周长是否发生变化？如果不变,

求出这个定值；如果变化，求出最小值.

【考向五特殊平行四边形中点四边形问题】

例题：（2022春•安徽合肥・八年级校考期中）如图，E、F、G、//分别是四边形ABCD四条边的中点，顺

次连接E、F、G、H得四边形KFG/f,连接AC、BD,下列命题不正确的是（）

BFC

A.当四边形ABCD是矩形时，四边形跳‘GH是菱形

B.当四边形ABCD是菱形时，四边形瓦GH是矩形

C.当四边形ABCD满足ZB4D=NABC=90。时，四边形£FG”是菱形

D.当四边形ABCD满足=CB=CD时，四边形EFG”是矩形

【变式训练】

1.（2022春・北京西城•八年级校考期中）四边形A3CD的对角线AC,BD交于点O,点、M,N,P,。分

别为边A3,BC,CD,D4的中点.有下列四个推断：

①对于任意四边形ABCD,四边形MNP。都是平行四边形；

②若四边形ABCD是平行四边形，则MP与NQ交于点。；

③若四边形A3CD是矩形，则四边形MNP。也是矩形；

④若四边形MNPQ是正方形，则四边形ABCD也一定是正方形.

所有正确推断的序号是（）

A.①②B.①③C.②③D.③④

2.（2022秋•九年级课时练习）如图，在四边形A3CD中，E,尸分别是AD,8C的中点，G,H分别是

对角线8。，AC的中点，依次连接E,G,F,H,连接所，GH.

（2）当AB=CD时，斯与GH有怎样的位置关系？请说明理由;

3.（2021春•上海长宁•八年级统考期末）如图，BD、AC是四边形ABCD的对角线，点E、F、G、X分别

是线段AO、DB、BC、AC上的中点

8

G

(1)求证：线段EG、FE互相平分；

(2)四边形ABCD满足什么条件时，EG，FW?证明你得到的结论.

4.(2021秋•陕西宝鸡•九年级统考期末)已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H,

顺次连接收、FG、GH、HE,得到四边形屏8〃(即四边形ABCD的中点四边形).

⑴四边形瓦6"的形状是,请证明你的结论；

⑵当四边形ABCD的对角线满足条件时，四边形EFGH是菱形;

⑶你学过的哪种特殊的平行四边形的中点四边形是菱形？请写出一种.

5.(2021春・河北石家庄•八年级统考期中)四边形ABC。中，点E、F、G、X分别为A3、BC、CD、DA边

的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形.

(1)我们知道：无论四边形A8CQ怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形.特殊的：

①当对角线AC=时，四边形ABCD的中点四边形为形；

②当对角线AC1BD时，四边形ABCD的中点四边形是形.

(2)如图：四边形ABC。中，己知ZB=NC=60。，S.BC=AB+CD,请利用(1)中的结论，判断四边

形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明.

【考向六特殊平行四边形中的动态问题】

例题：（2022春•河北保定•八年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，AB=2,/ZMB=60。，点E是AD边的

中点.点〃是边上一动点（不与点A重合），连接A/E并延长交。的延长线于点M连接MD、AN.

⑴求证：四边形AMDN是平行四边形；

（2）当A〃=l时，求证：四边形AMDN是矩形；

（3）填空：当40的值为时，四边形4WDN是菱形.

【变式训练】

1.（2022秋・新疆乌鲁木齐•九年级校考期末）如图①，在矩形A3C。中，AB>AD,对角线AC,3。相交于

点。动点尸由点A出发，沿A-8玲C运动.设点尸的运动路程为x,A4。尸的面积为y,y与x的函数关

系图象如图②所示，则AB边的长为（）

图②

B.6.4C.7.2D.8

2.（2023秋•河南郑州•九年级校考期末）如图1,菱形ABC。中，,3=60。，动点尸以每秒1个单位的速度

自点A出发沿线段A2运动到点B,同时动点Q以每秒2个单位的速度自点8出发沿折线3-C-D运动到

点。.图2是点P、。运动时，SBP。的面积S随时间f变化关系图象，则a的值是（）

3.(2022秋,广西防城港•九年级统考期中)如图，已知E是正方形ABCD内一点，EA=3,EB=2,EC=1.

将」EBC绕点B旋转至，FBA,连结

⑴直接写出E4、9的长度和々BE的度数.

(2)求E尸的长.

(3)试判断ZXA正的形状并说明理由.

4.(2022春•广东江门•八年级校考期中)如图，在矩形A3CD中，AB=6cm,AD=10cm,点尸在AZ)边上

以每秒1c机的速度从点A向点。运动，点。在BC边上，以每秒的速度从点C出发，在CB之间往返

运动，两个动点同时出发，当点尸到达点。时停止(同时点。也停止运动)，设运动时间为t秒«>0).

A__P________________D

BQ__C

⑴用含f的式子表示线段的长度：PD=cm,

(2)当0</<2.5时，运动时间/为秒时，以A、P、Q、3为顶点的四边形是矩形.

⑶当5</<10时，以P、D、0、B为顶点的四边形有没可能是平行四边形？若有，请求出f；若没有，请说

明理由.

专题08特殊平行四边形的综合问题

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【直击中考】...................................................................................1

【考向一特殊平行四边形中的折叠问题】.....................................................1

【考向二特殊平行四边形中旋转问题】.......................................................3

【考向三特殊平行四边形中定值问题】.......................................................4

【考向四特殊平行四边形最小值问题】.......................................................6

【考向五特殊平行四边形中点四边形问题】...................................................7

【考向六特殊平行四边形中的动态问题】....................................................10

瓢簟【直击中考】

【考向一特殊平行四边形中的折叠问题】

例题：（2022秋•甘肃兰州•九年级统考期中）将矩形纸片ABC。沿3。折叠得到△BC'O,CD

与A3交于点E,若4=35。，则N2的度数为（）

A.15°B.20°C.25°D.30°

【答案】B

【分析】根据矩形的性质，可得NAB£>=/1=35。，ZABC=90°,进而求得NDBC=55。,

根据折叠可得NDBC=ZDBC=55°,最后根据Z2=ZDBC-ZABD进行计算即可.

【详解】解:回四边形ABCD是矩形，

SCD//AB,ZABC=90°,

0ZABD=Z1=35°,

0ZDBC=ZABC-ZABD=55°,

由折叠可得ZDBC=ZDBC=55°,

EZ2=ZDBC-/DBA=55°-35°=20°,

故选：B.

【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线性质，折叠性质，角的有关计算等知识，解题的关

键是求出ZDBC和ZDBA的度数.

【变式训练】

1.（2022秋•九年级课时练习）如图，把菱形ABCD沿折叠，使瓦点落在5c上的E点处，

若々=70。，则的大小为（）.

A.15°B.20°C.30°D.25°

【答案】A

【分析】根据菱形的性质，已知菱形的对角相等，故推出N4DC=ZB=70。，从而得出

ZAED=ZADE.又因为AP//8C,故ZZME=ZA£B,ZADE=ZAED,易得解.

【详解】解：根据菱形的对角相等得ZADC=N8=70。.

AD—AB=AE，

:.ZAED=ZADE.

根据折叠得ZAEB=/B=70°.

AD//BC,

:.ZDAE=ZAEB=1O°,

ZADE=ZAED=(180°-ZZME)4-2=55°.

ZEDC=70°-55°=15°.

故选：A.

【点睛】此题要熟练运用菱形的性质得到有关角和边之间的关系.在计算的过程中，综合运

用了等边对等角、三角形的内角和定理以及平行线的性质.注意：折叠的过程中，重合的边

和重合的角相等.

2.（2021•云南红河•统考一模）如图，菱形ABC。的周长为8厘米，ZD=120°,点、M为AB

的中点，点N是边AD上任一点，把—A沿直线折叠，点A落在图中的点E处，当AN=

厘米时，3CE是直角三角形.

B

【答案】［或1

【分析】根据菱形ABCD的周长为8厘米可得菱形的边长为2厘米，根据翻折的性质可得

/MBE=NMEB,根据题意分两种情况进行讨论：①当NEBC=90。时，根据菱形的性质可

得/ABC=120。，/A=60。，从而得至l」NAAW=N£W=30。，ZMNA=90°,根据直角三角

形的性质求得AN的值；②当NBEC=90。时，点E落在菱形对角线AC上，根据点M为A3

的中点，MN为折痕，此时3D，AC于点E,可得点N为AD的中点，从而得到AN的值.

【详解】解：国菱形ABCD的周长为8厘米，

S^B=BC=CD=AD=2厘米，

回点M为AB的中点，

13AM=BM=1厘米.

由翻折可知==

0/MBE=/MEB.

①当NEBC=90。时，Zr）=120°,

0ZABC=120°,ZA=60°,

SZMBE=ZMEB=30°,

EINaWE=120°,

0ZAMN=ZEMN=30°,

SZMNA=90°,AN=-AM

22

②当ZBEC=90。时，点E在以M为圆心，AM为半径的圆上，也在以2C为直径的圆上，根

据菱形A8CO的特点，可知点E落在菱形对角线AC上，

回点M为AB的中点，MN为折痕，此时3DLAC于点E,

回点N为AD的中点，AN=gAO=l厘米.

当.=；或1厘米时，3CE是直角三角形.

【点睛】本题考查了菱形的性质，翻折变换，直角三角形的性质.解题关键是熟练掌握各个

知识点.

3.（2022•安徽合肥•校考二模）如图，在菱形ABCZ）中，ZA=120°,AB=2,点E是边A3

上一点，以DE为对称轴将.D4E折叠得到一DGE,再折叠BE使座落在直线EG上，点8的

对应点为点折痕为政且交BC于点F.

⑴ZDEF=；

(2)若点E是AB的中点，则DF的长为

【答案】90。##90度y

【分析】(1)由翻折可得NA£D=N£)£GNBEF=NHEF,则

Z.DEG+NHEF=ZAED+NBEF,根据ZDEG+ZHEF+ZAED+ZBEF=180°,可得

ZDEG+NHEF=90°,即NDEF=90°.

(2)根据题意可得点G与点X重合，且点DG,尸三点在同一条直线上.过点D作

DMYBC,交8C的延长线于点M.由NA=120。，AB=2,可得NOCN=60。，CD=2,

则CM=!c£)=l,DM=^Cr>=>/^,由翻折可得BF=FG,AD=DG=2,设3尸=x,则

22

4

MF=2-x+l=3-x,DF=2+x,由勾股定理可得(2+劝2=(3-媛+(6)2,解得了=子，

进而可得出答案.

【详解】解：(1)由翻折可得/A£D=/D£G,ZBEF=ZHEF,

:.ZDEG+ZHEF=ZAED+ZBEF,

ZDEG+ZHEF+ZAED+ZBEF=180°,

ZDEG+ZHEF=90°,

gpZDEF=90°.

故答案为：90°.

(2)四边形ABC。为菱形，

.-.AD//BC,

.-.ZA+ZB=180°,

由翻折可得AE=EG,BE=EH,ZA=ZEGD,NB=ZEHF,

点E是AB的中点，

AE=BE9

:.EG=EH,

即点G与点H重合.

ZEGD+/EHF=ZA+N5=180。，

•••点。，G,尸三点在同一条直线上.

过点。作交5C的延长线于点

ZA=120°,AB=2,

:.ZDCM=60°,CD=2,

.­.CM=icD=l,DM=BcD=6,

22

由翻折可得即=FG,AD=DG=2,

设W=x,

贝ljA!F=2-x+l=3-x,DF=2+x,

由勾股定理可得(2+x)2=(3-媛+(V3)2,

4

解得％=二，

DF=—.

5

14

故答案为：y.

【点睛】本题考查翻折变换(折叠问题)、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握翻折的性质是

解答本题的关键.

4.(2023春・江苏•八年级专题练习)如图1,在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接OE,

把一DEC沿。E折叠得到延长断交AB于G,连接DG.

⑴求证：NEDG=45°.

(2)如图2,E为BC的中点，连接

①求证：BF//DE；②若正方形边长为6,求线段AG的长.

【答案】⑴证明见解析；

⑵①证明见解析，②线段AG的长为2

【分析】(1)由正方形的性质可得DC=ZM./A=/3=NC=NADC=90。，由折叠的性质

得出/£)EE=/C,DC=DF,Z1=Z2,再求出NDPG=NA,DA=DF,然后由“HL”

证明RtADGA=RtADGF，由全等三角形对应角相等得出—3=/4,得出N2+N3=45°即可;

C2)①由折叠的性质和线段中点的定义可得CE=EF=BE,ZDEF=ZDEC,再由三角形

的外角性质得出/5="EC,然后利用同位角相等，两直线平行证明即可；

②设AG=x,表示出GP、BG,根据点E是BC的中点求出BE、EF,从而得到GE的长

度，再利用勾股定理列出方程求解即可；

【详解】(1)证明：如图1：回四边形A3C。是正方形，

图1

:.DC=DA.ZA=ZB=ZC=ZADC=90°,

ADEC沿DE折叠得到ADEF,

/DFE=NC,DC=DF,N1=N2,

:.ZDFG=ZA=90°fDA=DF,

在RtADGA和RtADGF中，

(DG=DG

[DA=DF'

...Rt.DGA^Rt„DGF(HL),

.•.N3=N4,

/.ZEDG=Z3+Z2=-ZADF+-ZFDC,

22

=^(ZADF+ZFDC),

=-x90°,

2

=45°；

(2)证明：如图2所示:

ADEC沿DE折叠得到ADE/，E为8C的中点，

:.CE=EF=BE,NDEF=/DEC,

Z5=Z6,

ZFEC=Z5+Z6,

ZDEF+NDEC=Z5+Z6,

:.2Z5=2ZDEC,

即N5=NDEC,

:.BF//DE-,

②解：设AG=x,贝！］GF=x,BG=6-x,

；,正方形边长为6,E为BC的中点，

:.CE=EF=BE=-x6=3,

2

:.GE=EF+GF=3+x,

在RtZXGBE中，根据勾股定理得：(6-x)2+32=(3+x)2,

解得：x=2,

即线段AG的长为2.

【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性

质、勾股定理、翻折变换的性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决

问题的关键.

【考向二特殊平行四边形中旋转问题】

例题：(2021秋,陕西渭南•九年级统考阶段练习)如图，四边形ABCD是矩形，以点B为旋

转中心，顺时针旋转矩形ABCD得到矩形GBEF,点A,D,C的对应点分别为点G,F,

E,点。恰好在FG的延长线上.

⑴求证：ABDA咨ABDG：

(2)若AD=2,求D尸的长.

【答案】⑴见解析

(2)4

【分析】(1)由旋转矩形ABCD可得AB=3G,ZA=NBGF=NDGB=90°,再根据斜边为

公共边，利用"印/可证得结论；

(2)由可知OG=AD,由旋转矩形ABCD可知GV=AD,即可求得DF

的长度.

【详解】(1)证明：回旋转矩形ABCD得到矩形G3EF,

0AB=BG,ZA=NBGF=NDGB=90°,

在Rt和RtNBDG中，

BD=BD,BA=BG.

ERtAB^^RtABDG(HL).

(2)解：由RtaBZM/RtZXBDG可得DG=AO=2,

回旋转矩形ABCD得到矩形GBEF,

S\GF=AD=2,

SDF=DG+GF=4.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质、矩形的性质、解题关键是证明RtZkBDA空RtZkBDG,

利用矩形和旋转性质求解.

【变式训练】

1.(2022秋•广东广州•九年级广州市第一一三中学校考期中)如图，将矩形ABCD绕点A顺

时针旋转90。后，得到矩形AB'C'。'，如果CD=2ZM=2,那么CC'=.

【答案】710

【分析】连接CC',先根据矩形的性质和勾股定理求出AC,然后根据旋转的性质和勾股定

理求出CC'即可.

【详解】解：连接CC,

回矩形ABCD,CD=2DA=2,

0ZCZM=9O°,AD=1,

^AC=^AD2+CD2=5/5>

团将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90。后，得到矩形AB'C力'，

0AC=AC'=75，ZCAC'=90°,

iscc=VAC2+AC,2=>/io.

故答案为：A/TO.

【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，掌握矩形的性质，旋转的

性质，勾股定理是解题的关键.

2.（2022秋•天津河北•九年级天津二中校考期末）在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩

形，点。（0,0）,点4（3,0）,点3（0,4）.以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC,得到矩形

ADEF,点、O,B,C的对应点分别为。，E,F,记旋转角为。（0°<夕<90。）.

图1图2图3

⑴如图1,当£=30。时，求点。的坐标；

⑵如图2,当点E落在AC的延长线上时，求点。的坐标;

⑶当点。落在线段OC上时，直接写出点E的坐标.

【答案】⑴

⑶（6,4）

【分析】（1）过点。作。G_Lx轴于G,由旋转的性质得出AD=AO=3,«=Z6HZ）=30°,

DE=0B=4,由直角三角形的性质得出。G=』AD=3,AG=^3DG=^-,得出

222

OG=OA-AG=2芋,即可得出点。的坐标为［上手，口；

(2)过点。作Z)G，x轴于G,,于H,则则G4=DH,HA=DG,由勾股定理得

1239

出AE=10,由面积法求出OH二不，得出OG=g,由勾股定理得出OG=g,即可得出点。

的坐标为;

(3)连接AE,作ECx轴于G,由旋转的性质得：ZDAE=ZAOC,AD^AO,

由等腰三角形的性质得出NAOC=NADO,得出/ZME=NAOO,证出AE〃OC,由平行

线的性质的NG4£=ZAOD,证出//ME=NGAE,证明AEG=AED,得出AG=A£>=3,

EG=ED=4,得出OG=6,即可得出答案.

【详解】(1)解：过点。作DGLx轴于G,如图所示：

回点4(3,0),点3(0,4),

0AO=3,OB=4,

团以点A为中心，顺时针旋转矩形AO3C,得到矩形

0AD=AO=3,oc—Z.OAD=30°,DE=OB=4,

13qC

在心ZVIDG中，DG=—AD=—,AG=6DG=出,

222

6-3百

团CG=CA—AG=",

2

回点D的坐标为［"产，（］；

(2)过点。作轴于G,,于H,如图所示:

贝|JG4=D〃，HA=DG,

团Z)E=O5=4,ZADE=ZAOB=90°,

0AE=VAD2+Z)E2=V32+42=5,

^\-AEDH=-ADDE,

22

ADDE3x4_12

团OH=

AE丁一《

(3)连接AE1,作EG_L无轴于G,如图所示:

由旋转的性质得：ZDAE=ZAOC,AD=AO,

^\ZAOC=ZADO,

^1ZDAE=ZADO,

^\AE//OC,

^Z.GAE=ZAOD,

BZDAE=ZGAE,

在△AEG和△AED中，

ZAGE=ZADE=90°

<ZGAE=ZDAE,

AE=AE

AEG^AED(AAS),

团AG=AZ>=3,EG=ED=4,

团OG=Q4+AG=3+3=6,

回点E的坐标为（6,4）.

【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、全等三角

形的判定与性质、旋转变换的性质、含30。角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理

解题意，正确作出辅助线，属于中考压轴题.

3.（2022秋・山西吕梁・九年级统考期中）综合与实践

【情境呈现】如图1,将两个正方形纸片ABCD和AEFG放置在一起.若固定正方形ABCD,

将正方形A£FG绕着点A旋转.

DCDCDC

mi图2G图3

⑴【数学思考】如图1，当点E在A3边上，点G在AD边上时，线段BE与OG的数量关系

是—，位置关系是.

⑵如图2,是将正方形A£FG绕着点A逆时针旋转a度得到的，则（1）中的结论是否仍然

成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

（3）【拓展探究】如图3,若点。，E,G在同一条直线上，且AB=2AE=20,求线段8E的

长度（直接写出答案）.

【答案1Q）BE=DG,BE1DG

⑵（1）中的结论成立，证明见解析；

⑶1+近

【分析】（1）由正方形性质可以得到BE与DG相等且垂直；

（2）由SAS可证△ABE/△ADG,可得3E=DG,ZABE=ZADG,由余角的性质可证

BE1DG-,

（3）由（2）问结论连接5。，表示出三边即可利用勾股定理列方程解题.

【详解】（1）回四边形ABCD和AE尸G均为正方形，

SiBE±DG,AB=AD,AG=AE,

^1AB-AE=AD-AG,

即班1二次，

团3E与DG的数量关系是相等；位置关系是垂直

故答案为：相等；垂直

(2)(1)中结论成立，理由如下：

设BE交AD于。，DG于N,

团四边形ABCD和A£FG均为正方形，

团AE=AG,A5=AD,ZBAD=NE4G=90°,

^\ZBAE=ZDAG,

在和△ADG中，

AB=AD

<NBAE=NDAG,

AE^AG

EAABE^AADG(SAS),

BBE=DG,ZABE=ZADG,

^ZABE+ZAOB=90°,

ElZADG+ZAOB=ZADG+ZDON=90°,

回/£WO=90°,

SBEJ.DG-,

(3)连接BD,

^AB=2AE=2y/2,

0AE=V2，

0EG=&AE=2,BD=yfiAB=4，

由(2)可得：ZBED=90°,BE=DG,

团在RtZXBED中，ED=DG—EG=BE—EG=BE—2,

贝1。62+防2=5£)2,

0(BE-2)2+BE2=42

解方程得：BE=±77+1,

0BE=V7+1,

即线段BE的长度为力'+1.

D

B

【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性

质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键.

【考向三特殊平行四边形中定值问题】

例题：（2022秋•山东枣庄•九年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,

M是AD上异于A和。的任意一点，且ME_LAC于E,M于尸，则ME+MP为

【分析】根据矩形的性质，AB=3,AD=4,可求出矩形的面积，AC,m的长，由此可知

△AOD的面积，根据SAAOD=S^OM+SwoM=|OA.ME+1OD.MF,即可求解.

【详解】解：如图所示，设AC与3D相交于点。，连接OM,

国在矩形ABCD中，AB=3,AD=BC=A,

®AC=BD=VAB2+BC2=732+42=5-S矩形4叱。==3x4=12,

回SAAOD=：S矩形g=：X12=3,OA=C>r)=1AC=|x5=|,

0ME1AC,MFLBD,

回S/\AOD=SAAOM+SWOM=°A.ME+—OD.MF,

回5AA0。--OA.ME+-OD.MF=-OA^ME+MF)=-x-x(ME+MF)=3,

^\ME+MF=—,

5

12

故答案为：—

【点睛】本题主要考查矩形的性质，等面积法求高，掌握矩形的性质，三角形的等面积法求

高是解题的关键.

【变式训练】

1.（2023秋•吉林长春•八年级长春外国语学校校考期末）如图，菱形ABCD的周长为20,面

积为24,尸是对角线上一点，分别作尸点到直线AB、AD的垂线段PE、PF,则PE+尸尸

等于______

【答案】y

【分析】首先利用菱形的性质得出Afi=M>=5,sABD=12,进而利用三角形面积求法得

出答案.

【详解】解：连接AP,如图，

团菱形A8C。的周长为20,

0AB=AD=5,

团S菱形ABC。=ABD，

X

回^VABD=_24=12,

而S^ABD=S^APB+S△虹D,PE_LAB,PF_LAD,

0-PEAB+-PFAD=12,

22

回5PE+5Pb=24,

24

^\PE+PF=-f

24

故答案为：y.

【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形的对边分别平行，四条边都相等，两条对角线互相垂

直平分，并且分别平分两组内角.也考查了三角形的面积公式.

2.（2022春•四川成都,九年级成都市第二十中学校校考阶段练习）如图，已知点尸是菱形

ABCD的对角线AC延长线上一点,过点尸分别作AD,DC延长线的垂线，垂足分别为点E,

E若/ABC=120。，AB=2,则尸E—尸尸的值为.

【答案】6

【分析】设AC交3。于。，根据已知可得AC=2A/L而

PE-PF=|AP-1CP=1（AP-CP）=|AC,即可得至答案.

【详解】设AC交3D于。，如图：

在菱形ABCD中，

ZABC=120°,AB=2,

:"BAD=/BCD=60°,ZDAC=ZDCA=30°,AD=AB=2,BDLAC,

中，

Rt"C©0£)=^AZ)=1,0A=5

2

AC=2OA=273,

RjAPE中，ZDAC=30°,PE=-AP,

2

Rt^CP尸中，ZPCF=ZDCA=30°,PF=-CP,

2

.■.PE-PF^AP-\CP^AP-CP^AC,

PE-PF=5

故答案为：＞/3.

【点睛】本题考查菱形的性质及应用，解题的关键是求出AC,把PER转化为京仁

3.（2022・全国•八年级专题练习）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=5丘,点E为对

角线AC上一动点，连接DE,过点E作EFLDE交BC于点R以OE、EF为邻边作矩形

DEFG,连接CG.

⑴求证：矩形DEFG是正方形；

⑵探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.

【答案】⑴见解析

(2)是定值，CE+CG=10

【分析】(1)作出辅助线，得到=m，然后再判断得到DENwFEM,

则有DE=£F,即可判断矩形DEFG为正方形；

(2)由四边形ABCD为正方形，四边形DEFG是正方形可知AD=CD,DE=DG,故可

得aADE.CDG,得到AE=CG,即可判断CE+CG=10,为定值.

【详解】(1)解:如图所示，过E作硼，8。于加点，过E作EN_LCD于N点，

四边形ABCD为正方形，

:.ZBCD=90°,

EM±BC,ENLCD,

ZEMF=ZENC=ZEND=90°,

.-.ZMEN=90°,

四边形DEbG为矩形，

:.ZFED=90°,

ZMEN—/FEN=/FED—/FEN,即ZMEF=ZNED,

E是正方形ABCD对角线的点，

:.EN=EM,

在/DEN和似中，

NEMF=ZEND

<EM=EN,

NMEF=NNED

:._DEN工FEM(ASA),

ED=EF,

...矩形D£FG为正方形.

(2)CE+CG的值为定值，

■矩形D£FG为正方形，

:.DE=DG,ZEDG=9Q0,

・四边形ABC。是正方形，

.\AD=DC,ZADC=90°f

ZEDG-ZEDC=ZADC-ZEDC,^ZADE=ZCDG,

在VAT■和QDG中，

AD=DC

</ADE=ZCDG,

DE=DG

.•一AD石MCDG(SAS),

:.AE=CG,

.\CE+CG=CE+AE=AC=y/2AB=10^

/.CE+CG=10.

【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，矩形的性质，关键是结合图形得出三角形全等.

4.(2022春•四川德阳•八年级统考期末)已知，如图，矩形ABC7)中，AD=3,£>C=4,菱

形EFG”的三个顶点E,G,H分别在矩形A8CO的边A5,CD,QA上，AH=1,连接CR

备用图

⑴当点G在边DC上运动时；探究：点尸到边。C的距离是否为定值？如果是，请求出

这个值；如果不是，请说明理由.

⑵当。G为何值时，arcG的面积最小，并求出这个最小值.

【答案】⑴点尸到边DC的距离是定值，定值为1

(2)当。G=历时，MCG的面积最小值为2-1岳

【分析】(1)连接GE,根据AB〃CD得到0AEG=I3MGE,”E〃GF得至胆]HEG=I3FGE之

后证明0AH£I20M尸G即可得到结论；

(2)由题易知SMCG=；FM,CG=〈CG,要使SFCG的面积有最小值则需CG最小，于是

DG应最大，在RAAE”中，根据勾股定理可得"E的最大值，即施的最大值，在RfADGH

中，根据勾股定理可求0G的最大值，进而求得CG最小值，进而得到答案.

(1)

解：点尸到边。C的距离是定值.

理由：连接GE

0AB//CD,

00A£G=0A/G£

0HE〃GF,

EBHEG=I3FGE

SSAEG-^HEG^MGE-^FGE,即E1AE//=I3MGF,

在她HE和EIMPG中，EA=[W=90°,HE=FG,

回回A/ffi非M/G,

^\FM=HA=\,

即无论菱形EFG”如何变化，点/到直线CD的距