整式与因式分解-2025年浙教版九年级中考数学一轮复习讲义

浙教版中考数学第一轮专题复习讲义

第一单元数与式

《第2讲整式与因式分解》

【知识梳理】

1.整式的有关概念

⑴单项式:由教与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也

叫单项式.

(2)多项式:由几个单项式」组成的代数式叫做多项式.

(3)整式：单项式和多项式统称为整式.

(4)单项式的次数:一个单项式中，所有字母的的和叫做这个单项式的次数.

(5)单项式的系数:单项式中的数字因教叫做这个单项式的系数.

(6)多项式的次数:一个多项式中，次数^<^的项的次数就是这个多项式的次数.

2.同类项、合并同类项

(1)同类项:多项式中，所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项,所有的常数项

也看做同类项.

(2)合并同类项:把同类项的条数相力口,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变.

3.整式的运算

(1)整式的加减:整式的加减可以归结为去括号和合并同类项.

(2)正整数指数累的运算：

①同底数幕相乘:j•an=a",+"(>77,n都是正整数).

②幕的乘方""(小,n都是正整数).

③积的乘方:(")"=a"b"。是正整数).

④同底数累相除:0m一"(存0,m,n都是正整数,且m>n).

(3)整式的乘法：

①单项式与多项式相乘：

m(a+6+c)=.

②多项式与多项式相乘：

(m+")(a+6)=.

(4)整式的除法：

①单项式除以单项式:把系数、同底数幕分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连

同它的指数作为商的一个因式.

②多项式除以单项式:先把这个多项式的除以这个单项式,再把所得的商相加.

4.常用公式

(1)平方差公式:两数和与这两数差的积等于这两数的平方差,即(。+6)(。一式=层一刀.

⑵完全平方公式:两数和(或差)的平方，等于这两数的平方和加上(或减去)这两数积的2倍，即(a±6)2=

(3)常用恒等变形：

@a~+b2=(a+6)2—2ab=(a—Z?)2+2ab.

②(a—b)2=(a+—4ab.

5.因式分解的概念及方法

(1)因式分解:一般地,把一个多项式化成几个整灰的积的形式,叫做因式分解.因式分解和整式的乘法

有互逆关系，因此,可以用整式的乘法运算来检验因式分解的正确性.

(2)公因式:一般地,一个多项式中每一项都含有的相同的因式,叫做这个多项式各项的公因式.

(3)提取公因式法:如果一个多项式的各项含有公因式,那么可把该公因式提取出来进行因式分解.这种分解

因式的方法,叫做提取公因式法.用字母表示为：

ma+mb-\-mc=〃t(a+Z>+c).

(4)公式法：

①平方差公式疗一〃=(a+B)(a一方).

②完全平方公式:4+lab+b2—(a+b)2,cr—lab+b2—(a—b¥.

(5)二次多项式V+g+qM+pq可以因式分解为(x+p)(x+0).

(6)当n是奇数时,(a—6)"=—a)";当n是偶数时,(a—b)"=(b—a)".

【考题探究】

类型一代数式

［例1］某地居民生活用水收费标准:每月用水量不超过17立方米,每立方米a元;超过部分每立方米(a+

1.2)元.该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为(D)

A.20a元B.(20a+24)元

C.(17a+3.6)元D.(20a+3.6)元

【解析】由题意得，应缴水轮为17a+(20—17)(a+L2)=(20a+3.6)元.

变式1—1［2024•广安］下列对代数式一3x的意义表述正确的是(C)

A.13与x的和B.13与x的差

C.-3与x的积D.-3与x的商

变式1—2［2024•雅安］如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图（单位:cm）,在探究纸杯叠放在

一起后的总高度y与杯子数量n的变化规律的活动中,我们可以获得以下数据（字母）,请选用适当的字母表

zjsy=h+an.

变式1—2图

①杯子底部到杯沿底边的高h-

②杯口直径力;

③杯底直径dr,

④杯沿高a.

类型二整式的有关概念

【例2］［2024•长春］单项式一2°2/,的次数是3.

变式2若单项式3^+2〉与一2x6y是同类项,则m=4.

类型三零的运算

【例3】［2024•浙江］下列式子运算正确的是（D）

B.X3•^—x6

C.（x3）2=x9D"/=无4

变式3［2023•宁波］下列计算正确的是（D）

A.X2+X=X3B.X6-rX3=X2

C.(x3)4=:x7D.X3•尤4=尤7

类型四整式的化简与求值

[例4][2023•金华]已知x=|,求(2x+l)•(2x-l)+x(3—4x)的值.

解:原灰=47—l+3x—4%2=3%—1.

1i

当x=W时，原式=3Xq—1=0.

变式4一1［2024,长沙］先化简，再求值:2机一机（加一2）+（济+3）（加—3）,其中

解:原t^=2m—nr+2m+m2—9=4m—9.

当，w=|时，^=4x|—9=10—9=1.

变式4—2［2024-赤峰］已知q—3=o,求代数式5―zp+g—1)(°+3)的值.

解:原式=/—4a+4+，+3a—a-3

=2«2—2«+l.

Va2一a一3=0,

.".a2—«=3.

当a2—a—3时，原式=2(/-a)+l=2X3+l=6+l=7.

类型五整式的规律型问题

【例5】［2023•嘉兴、舟山］观察下面的等式：

32-42=8x1,

52—32=8X2,

72—52=8X3,

92—72=8X4,

(1)写出192—172的结果.

(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论(用含n的等式表示,n为正整数).

(3)请运用有关知识,推理说明这个结论是正确的.

解:(1)..T7=2X9-L

.,.192—172=8X9=72.

(2)(2〃+1)2-(2M-1)2=8n.

(3)'.'(2n+l)2一(2n—I)2

=(2/i+l+2n-l)(2/i+l-2n+l)=4nX2=8n,

:.结论正确.

变式5—1［2024•云南］在按一定规律排列的代数式:2x,3/,4/,5尤t6/…中，第〃个代数式是(D)

A.2广B.(n-l)^

C.wd'+XD.(n+l)y!

变式5—2［2024•河北］“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法

和简单的加法运算.淇淇受其启发,设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132X23,运算结果为3036.

图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖,根据图2中现有数据进行推断,正确

的是（D）

132

2

3□□□

▼▼下

O29

——<-136

>i

3o

36

图1

变式5—2图

A.“20”左边的数是16

B.“20”右边的“口”表示5

C.运算结果小于6000

D.运算结果可以表示为4100〃+1025

【解析】设这个三伍教与这个两传数分别为100x+10j+z和10/W+H,如答图1,

变式5—2答图1

则由题意，得mz=20,nz=5,ny=2,nx=a,

・GN/«

..—=4,即m=4n,

：•当n=2,y=l时，z=2.5不是正整教，不合题意，舍去.

当〃=l,y=2时，根=4,z=5,x=〃，如图2,

变式5-2答图2

・•・“20”左边的数是2X4=8,故A不符合题意,

“20”右边的表示4,故B不符合题意,

：.a上面的数应为4a,如答图3,

4Q+1。25

变式5-2答图3

・•・运算结果可以表示为1000(4«+1)+100«+25=4100。+1025,

**«D符合题意.

当a=2时，计算的结果大于6000,

故C不符合题意.

类型六因式分解

[例6][2024•浙江]因式分解:次—7〃=。3—7).

变式6—1因式分解：

(1)[2023•杭州]4/-1=(A)

A.(2〃-1)(2〃+1)B.(〃-2)(〃+2)

C.(Q—4)(。+1)D.(4〃-1)(〃+1)

(2)f—2x+1=(x—I)2.

(3)[2024,北京]x3—25x=x(x+5)(x—5).

(4)[2024•达州]3f—18x+27=3行一3)2.

变式6—2[2024•广西]如果〃+Z?=3,次?=1,那么〃36+2〃2/+加的值为(p)

A.OB.1

C.4D.9

【解析】Va+b=3,ab=l,

a3b+2a2b2+ab3.

=ab(a+b)2

=1X32=9.

类型七整式的应用

【例7][2023•金华]如图是一块矩形菜地ABC£),AB=a(m),AD=6(m),面积为sg?).现将边AB增加1m.

⑴如图1,若。=5,边减少1m,得到的矩形面积不变,则b的值是6.

(2)如图2,若边AD增加2m,有且只有一个。的值,使得到的矩形面积为2s(n?),则s的值是6+4人.

典例7图

【解析】(1)由题意，得s=(a+l)S—1)=6(3—1)=5瓦解得b=6.

(2)由题意，得(a+l)(Z>+2)=2s,即ab+2a+fe+2=2s.

…而,得吟,

代人上式并整理，得2a2+(2~s)a+s—0.

当4=0对，a有两个相等的实数解,

得(2-S)2-4X2XS=0,

瞥得si=6+4V2,S2=6—4&(不合题意，舍去).

变式7[2023,丽水]如图，分别以a,b,m,n为边长作正方形，已知m>n且满足am—bn—2,an+bm—4.

(1)若a=3,b=4,则图1阴影部分的面积为25.

(2)若图1阴影部分的面积为3,图2四边形A8C。的面积为5,则图2阴影部分的面积为一|_.

【解析】(2)由题意，得。2+"=3,图2中四边形ABCD的面积=g(«i+")(Mi+")=g(ffi+")2=5,阴影部分的面积

(am—bn=2,

斛关于m,n的二元~次方程组，

van+bm=4,

4a~2b

n=―--,

得

4b+2a

m=―--

,.2b+6a8a2-\~12ab~8b2

则m-vn=—--,mn=-------------------,

川平二，

：.2b2+12ab+lSa2=45,

：.16a2+12ab=39,

：.8a2+12ab=39-Sa2,

.39-8。2-助25

・・mn=-----------------=

【课后作业】

1.[2023•河北]代数式一7x的意义可以是（C)

A.-7与x的和B.—7与x的差

C.—7与x的积D.一7与x的商

2.[2024•河南]计算（g•a•・••••的结果是（D)

a个

A.a5B.a6

C.aa+3D.2

3.[2024•安徽]下列计算正确的是（C）

A.C?+〃="6B.6Z64-6Z3=(22

C.(一〃)2=〃2D.Va^=a

4.[2024•云南]分解因式9〃=(A)

K.a(a—3)(〃+3)B.Q(〃+9)

C.(a—3)(Q+3)D.〃2(a—9)

5.[2024•河北]若a"是正整数,且满足2a+2。1----卜2a=2bx2bX…X2b,则a与。的关

8个2a相加8个2b相乘

系正确的是(A)

A.a+3=8。B.3tz=8b

C.a+3=b8D.3a=8+人

6.[2023•随州]如图1,有边长分别为。和伙的A类和3类正方形纸片、长为人宽为b

的C类矩形纸片若干张,要拼一个边长为a+b的正方形（如图2所示）,则需要1张A类纸片、

1张B类纸片和2张C类纸片.若要拼一个长为3a+b,宽为2a+2b的矩形,则需要C类纸片

的张数为(C)

cB

AC

Aab

图1图2

第6题图

A.6B.7

C.8D.9

【解析】,:(3a+b)(2a+2b)—6a2+6ab+lab+lb1—6a2+8ab+2b2,

••・若要拼一个长为3。+从宽为2a+2b的矩形，则需要。类纸片的张数为8.

7.已知(。+份2=49,/+/=25,贝1]46=(C)

A.24B.48

C.12D.2V6

【解析】(a+b)2=a2+lab+b2=49,a2+b2=25,

lab=(a+b¥—(a2+Z>2)=24,/.ab=12.

8.[2024•德阳]若一个多项式加上f+3盯一4,结果是3xy+2y2—5,则这个多项式为俨―

1.

9.[2024•苏州]若。=)+2,则(。一a)2=4.

【解析】'."a=b+2,a=-2,

：.(b-a)2=(-2)2=4.

10.因式分解:⑴[2024•吉林改编]。2—4a=a(a—4).

(2)[2024•宜宾]2a2—2=2(a+l)(a—l).

(3)[2024,扬州改编]fy—2xy+y=y(x—1户.

(4)[2024•威海](x+2)(x+4)+l=(x+3)2.

11.[2024•湖州模拟]古希腊一位庄园主把一边长为。米(a>4)的正方形土地租给老农,第二年

他对老农说：“我把这块地的一边增加4米,相邻的一边减少4米,变成长方形土地继续租给你,

租金不变后来老农发现收益减少，感觉吃亏了.聪明的你帮老农算出土地面积其实减少了

16平方米.

【解析】,**a2—(a+4)(a—4)

=a2—(a2—16)

=16(平方米)，

，土地面积其实减少了16平方米.

12.[2024•广安]若/一2x—3=0,则2-1=7.

13.若3x2myn与x4~nyn~l是同类项，则m+n=3.

【解析】•/3a”产与x4-ny,-1是同类项，

.(2m—4—n,(m=l,

,,)解得J

{m=n—l,5=2,

.*.m+n=1+2=3.

14.[2023•凉山州]已知V—my+1是完全平方式，则m的值是土2.

【解析】''y2—my+\是完全平方式,1/—2y+l=(y—l)2,y2—(―2)y+l=(y+l)2,

—m=-2或j—m=2,.*./«=+2.

15.化简：

(1)[2024•重庆A卷]x(x—2y)+(x+y)2.

解:原式=——2xy+x2+2xy+y2

=2x1+y1.

(2)[2023•山西]x(x+2)+(x+l)2—4x.

解:原式=X2+2X+*2+2X+1—4x

=2x2+l.

16.先化简,再求值：

(1)[2024•南充](x+2)2—+其中x=-2.

解:原式=(*2+4X+4)—(N+3)

=x2+4x+4—x2—3

=4x+l.

当x=-2时，原式=4X(—2)+1=-7.

(2)[2024•包头](尤+1)2—2。+1),其中x=2V2.

解:原式I=/+2X+1—2x—2="2—1.

当x=2^/^时，原式=8—1=7.

17.[2024•