整式与因式分解（讲义）学生版-2025年中考数学一轮复习

专题02整式与因式分解的核心知识点精讲

O复习目标。

1.能用累的性质解决简单问题,会进行简单的整式乘法与加法的混合运算.

2.能用平方差公式、完全平方公式进行简单计算.

3.了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系，会用提公因式法和公式法进行因式分解.

4.能选用恰当的方法进行相应的代数式的变形，并通过代数式的适当变形求代数式的值.

5.会列代数式表示简单的数量关系；能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，会求代数式的值，并能

根据代数式的值或特征推断代数式反映的规律.

O考点植理O

考点1:代数式

定义：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。

考点2：整式的相关概念

.定义：数与字母的乘积（单独的T数或字母也是单项式）

-一系数：单项式中的数字因数

I次数：单项式中所有字母的指数的和

」定义：几个单项式的和

工次数：多项式里次数最高项的次数

考点3：整式加减运算

L实质：合并同类项

2.合并同类项：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。

3.去括号

(1)a+(b+c)=a+b+c；(2)a-(b+c)=a-b-c

考点4：塞运算

(1)塞的乘法运算

口诀：同底数幕相乘，底数不变，指数相加。即a-Xan=a<E>(aWO,m,n均为正整数，并且m>n)

(2)塞的乘方运算

口诀：幕的乘方，底数不变，指数相乘。即值")"=屋"(m,n都为正整数)

(3)积的乘方运算

口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幕相乘。即(q6"')"=q"zr(m,n为正整数)

(4)塞的除法运算

口诀：同底数幕相除，底数不变，指数相减。即aa+an=as>(aW0,m,n均为正整数，并且m>n)

考点5：整式乘法运算

(1)单项式乘单项式

单项式相乘，把系数、同底数鬲分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连

同它的指数作为积的一个因式.

(2)单项式乘多项式

单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加.

(3)多项式乘多项式

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.

(4)乘法公式

①平方差公式：(a+b\a-b)=a2-b2

②完全平方公式：(a+Z))2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-lab+b~

(5)除法运算

①单项式的除法：把系数、同底数基分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同

它的指数作为商的一个因式.

②多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.

考点6：因式分解

1把一多项式化成几个整式的积的形式

2.必须分解到每个多项式都不能再分解为止

公式：ma+mb+mc=m(a+b+c)

广系数：取各项系数的最大公因数

提公因式法

公因式的确定一字母：取各项相同的字母或因式

基本方法指数：取各项相同字母的最低次数

a2-b2=(a+b)(a-b)

公式法a1+2ab+b2=(a+b)2

a2-lab+b2=(a-b)2

典例引领

【题型1:代数式及其求值】

【典例1]（2024•山东德州•中考真题）已知0和6是方程0+2024久-4=0的两个解，则a?+2023a-b的值

为.

即时检渊

1.（2024・西藏•中考真题）若x与了互为相反数，z的倒数是-3,则2久+2y-3z的值为（）

A.-9B.-1C.9D.1

2.（2024•江苏徐州•中考真题）若nm=2,m-n-1,则代数式1n2的值是.

3.（2024•山东济宁•中考真题）已知02-26+1=0,则嗯的值是

a+1

4.（2024・广东广州•中考真题）如图，把R2,R3三个电阻串联起来，线路力B上的电流为/,电压为U,

则｛/=/&+//?2+乐3・当Ri=20.3,&=31-9,/?3=47.8,/=2.2时，U的值为.

3弓典例引领

【题型2：整式的相关概念及加减】

【典例2】（2024•江苏常州•中考真题）计算2a2-的结果是（）

A.2B.a2C.3a2D.2a4

【典例3】（2024•河南•中考真题）请写出2根的一个同类项：.

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1.（2024•青海,中考真题）计算12比-20%的结果是（）

A.8xB.-8xC.-8D./

2.（2024・四川广元•中考真题）如果单项式-/帆/与单项式2久4y2f的和仍是一个单项式，则在平面直角坐

标系中点（犯?1）在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.（2024・山东日照・中考真题）下列计算正确的是（）

A.（2a2）3=6a6B.a3—a2=aC.a3-a4-a12D.a4a3=a

4.（2024•四川德阳•中考真题）若一个多项式加上/+3久y-4,结果是3孙+2y2-5,则这个多项式为.

典例引领

【题型3：募运算】

【典例4】（2024・湖北・中考真题）2%•3/的值是（）

A.5x2B.5%3C.6%2D.6x3

33即时检楼

1.（2023•吉林,中考真题）下列各式运算结果为d的是（）

A.a2+a3B.a2-a3C.（a2）3DK.a「1°-•a「2

2.（2024•江苏苏州•中考真题）计算：x3-%2=.

3.（2024•天津•中考真题）计算一+久6的结果为.

*3典例引领

【题型4：整式的乘除及化简求值】

【典例5】（2024•山东济宁・中考真题）先化简，再求值：

1

x（y—4%）+（2%+y）（2x—y）,其中％=万，y=2.

1.(2024•甘肃•中考真题)先化简，再求值：[(2a+6)2—(2a+b)(2a—6)]+26,其中a=2,b=-1.

2.（2024・四川南充・中考真题）先化简，再求值：（久+2）2—（/+3尤）+其中％=-2.

3.（2024•江苏常州•中考真题）先化简，再求值：（x+1）2-%（万+1）,其中龙=打一1.

*3典例引领

【题型5：因式分解】

【典例5】（2024•山东东营•中考真题）因式分解：2久3—8x=.

0即时检测

1.（2024・四川眉山・中考真题）分解因式：3a3-12a=.

2.（2024・广西•中考真题）如果a+6=3,ab=l,那么/b+2a+a/的值为（）

A.0B.1C.4D.9

3.（2024•山东淄博•中考真题）若多项式4y盯+9y2能用完全平方公式因式分解，则小的值是.

4.（2024•黑龙江绥化•中考真题）分解因式：27nx2-8niy2=.

O好题冲关O

基础过关

1.（24-25七年级上,江苏南通•阶段练习）下列说法正确的是（）

A.ab没有系数B.半是单项式C.一町2是单项式D.9不是单项式

2.（24-25八年级上,四川广安,期中）下列计算正确的是（）

A.%2­%3=x6B.-2%2+3%2=—5%2

C.（a+h）2=a2+h2D.（-3ab）2=9a2/）2

3.（24-25七年级上•黑龙江绥化•期中）若与》"-243是同类项，则小点的值为（）

A.9B.-9C.18D.-18

4.（2024七年级上•全国•专题练习）己知一个多项式与2久2+5》的和等于3/+2久-1,则这个多项式是（）

A.x2+7x-lB.%2-3%-1C.5r-3x—1D.5/+7x—1

5.(24-25八年级上•贵州黔南•阶段练习)下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是()

A.x2-x-l=x(x-l)-lB.x2-l=(x-1)2

22

C.X-X-6=(%-3)(x+2)D.x(x-l)=%-%

??1?

6.(24-25八年级上•湖北武汉•阶段练习)己知£1"=4,£1=3,则(1"+'的值是()

A.7B.12C.64D.81

7.（2024七年级上,全国•专题练习）有16m长的木料（宽度不计），要做成一个如图所示的窗框，假设窗框

横档的长度为xm,那么窗框的面积是（）

A.x(8-x)2m2B.x(16-x)m2D.%(8-|%)m2

8.(24-25八年级上•贵州黔南•阶段练习)在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是()

A.(%+y)(―%—y)B.(—%+y)(%—y)

c.(x+y)(y-x)D.(%_y)(%_y)

9.(2024七年级上•全国•专题练习)如果多项式3/一7久2+久+以2―5中不含%2项，贝族的值为()

A.-3B.7C.0D.4

10.(八年级上•吉林白城•期末)从边长为a的正方形中剪掉一个边长为6的正方形(如图1所示)，然后将

剩余部分拼成一个长方形(如图2所示)，根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是()

A.(a-b)2=a2-2ab+b2B.a(a-h)=a2-ab

22

C.b(<a—b')=ab~bD.ai—b=(a+/?)

11.(24-25七年级上•江苏南通・阶段练习)己知久-2y=2,则代数式10-3久+6y的值为.

12.(24-25七年级上•天津北辰•期中)已知|a+3|+仙一2)2=0,贝U(a+b)2°24的值为.

13.(2024七年级上•全国•专题练习)如果一1%力是一个六次单项式，那么小的值是.

15.(24-25八年级上•湖北武汉•阶段练习)9a/与12a2b2c的公因式是.

16.(24-25八年级上•河南信阳・期末)如图，这三种规格的卡片共有9张，其中边长为a的正方形卡片4张,

边长为b的正方形卡片1张，长、宽分别为a,b的长方形卡片4张.现要用这9张卡片拼成一个大正方形,

则这个大正方形的边长为.

17.(2024七年级上•全国•专题练习)合并同类项.

(1)4Q2—4a+1—4+12a—9a之；

⑵(5孙—8*2)—4(—33+xy).

18.（24-25八年级上•广西,阶段练习）先化简，再求值：（2x+3y）2—（2久+y）（2久—y）—2y（5y+3x），其中

11

x=3^=~.

”）能力提升

1.（24-25八年级上•山东烟台•期中）已知0+2九）2+2m+47i+l=0,贝|J⑺+2^）2024的值为（）

A.-1B.-2C.1D.2

2.（24-25七年级上•安徽合肥•阶段练习）若关于a,6的多项式（a2+2a2°—

则小的值为（）

A.-1B.1C.2D.3

3.（24-25八年级上•河南安阳•阶段练习）我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示

的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做"杨辉三角".请你利用

杨辉三角，计算（a+b”的展开式中，含户项的系数是（）

(a+A)I...................I

a*b...................I]

d'2ab6...............I2I

...............1331

4"""♦・♦・♦•♦・♦・♦・♦・♦(4641

A.15B.10C.9D.6

4.（24-25七年级上•河北沧州,阶段练习）已知「=2/+/—1,Q=—/+丫2—2,贝l]P与Q的大小关系是

（）

A.P>QB.P=QC.P<QD.不能确定

5.（24-25七年级上•山西太原•阶段练习）下列表格中的四个数都是按照规律填写的，则表中x的值是（）

A.135

（八年级上•四川眉山・期中）已知，5533

6.24-25a=26=344,c=4,则a、b、c的大小关系是（)

A.b>c>aB.a>b>cC.c>a>bD.a>b>c

7.(2024•云南昆明•一模)若％=a是方程%2+2%-2=0的一个根，则代数式2a?+4a+2019的值为()

A.2021B.2022C.2023D.-2023

8.(24-25八年级上•山东日照•阶段练习)BW+%=-3,则代数式%3+/+3%+2024的值为

9.(24-25八年级上•福建漳州•期中)从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图1),然后将剩

余部分拼成一个长方形(如图2).

⑴上述操作能验证的等式是_(请选择正确的一个)

A.a2-2afo+b2=(a-6)2

B.a2—/72=(a+6)(a—b)

2

C.a+ab=a(a4-h)

⑵应用你从(1)选出的等式，完成下列各题：

①已知第2-9y2=12,%+3y=4,求久一3y的值.

②计算：(1-g(1-9(1/)…(1—-)

10.(24-25八年级上•安徽芜湖•阶段练习)阅读：若x满足(80-久)0-30)=20,求(80-久心+(久—30)2的值.

解：设80—%=a,X-30=b,

则(80-x)(x-30)=ab=20,

a+b=(80-x)+(x-30)=50,

所以(80—X)2+(尤一30)2=a?+=(&+2ab=502-2x20=2460

请仿照上例解决下面的问题：

⑴若x满足(70-%)(久-50)=-40,求(70—久)2+(久一50)2的值.

(2)若x满足(2025—靖+(2024-x)2=2023,求(2025r)(2024—%)的值.

⑶如图，正方形A8CD的边长为x,PD=50,FB=80,长方形2FNP的面积是1000,四边形NGQP与4PME

都是正方形，四边形PQHM是长方形，求图中阴影部分的面积之和(结果必须是一个具体数值).

1L(24-25八年级上•四川眉山・期中)先阅读下面的内容，再解决问题，

例题：若m2+2血九+2/-6几+9=0,求7n和几的值.

解：•••/+2mn+2nz—6n+9=0

.--m2+2mn+n2+nz—6n+9=0

•••(m+n)2+(几-3)2_0

.,.m+n=0,TI—3=0

：.m=-3,几=3

问题：

(1)若第2+2y2+2%y—4y+4=0,求％'的值.

⑵已知a,b,c是△ABC的三边长，满足。2+必=8。+10匕-41,且c是△ABC中最长的边，求c的取

值范围.

真题感知

一、单选题

1.（2024•江苏徐州•中考真题）下列运算正确的是（）

A.x3+x3=x6B.x3.x9=x27C.（x2）3=x5D.x3^x=x2

2.（2024・贵州・中考真题）计算2a+3a的结果正确的是（）

A.5aB.6aC.5a2D.6a2

3.（2024•四川・中考真题）计算（――）3的结果是（）

A.—m6B.m6C.—m5D.m5

4.（2024•山东烟台・中考真题）下列运算结果为的是（）

A.a2-a3B.a12a2C.a3+a3D.（a2）3

5.（2022•山东德州•中考真题）已知M=a2-a,N=a-2（a为任意实数），则M-N的值（）

A.小于0B.等于0C.大于0D.无法确定

6.（2023・江苏•中考真题）计算a8+a2的结果是（）

461016

A.aB.aC.aDn.a

7.（2023•江苏南通・中考真题）若a?—4a—12=0,贝。2a2—8a—8的值为（）

A.24B.20C.18D.16

8.（2023•陕西・中考真题）计算：6町2.（_：/y3）=（）

A.3/y5B.-3%4y5C.3%3y6D.-3x3y6

9.（2023・四川雅安・中考真题）若小2+2m一1=0.贝127n2+4爪一3的值是（）

A.-1B.-5C.5D.-3

10.（2024•江苏扬州•中考真题）1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1,1,2,3,

5,......,这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和.则在这一列数的前2024

个数中，奇数的个数为（）

A.676B.674C.13