整式的乘法与因式分解 压轴题分类（原卷版）-2022-2023学年人教版八年级数学上册重难点题型必刷题

专题11整式的乘法与因式分解压轴题真题分类-高分必刷题(原卷版)

专题简介：本份资料包含《整式的乘法与因式分解》这一章中五种种类型的常考压轴题，所选题目源自各

名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含的题型有：募的运算的压轴题、整式乘法的压轴题、与平方

差公式完全平方公式相关的的压轴题、配方法的压轴题、因式分解的压轴题。适合于培训机构的老师给学

生作复习培训时使用或者学生冲刺高分刷题时使用。

题型一：幕的运算的压轴题

1.(2021春•岳麓区)定义：如果2"=〃(m,〃为正数)，那么我们把根叫做〃的。数，记作机=。(〃).

(1)根据。数的定义，填空：D(2)=,D(16)=.

(2)。数有如下运算性质：D(s•力=D(s)+D⑺，D(9)=D⑷-D(p),其中q>p.

D

根据运算性质，计算：

①若。(〃)=1,求。(/)；

②若己知。(3)=2a-b,D(5)=a+c,试求。(15),D(A),D(108),D(2工)的值(用a、b、

320

c表示).

2.阅读材料：如果一个数的平方等于-1,记为%=-1,这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi(a,b

为实数)的数就叫做复数，。叫这个复数的实部，6叫做这个复数的虚部.它有如下特点：

①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似.例如计算：

(2+z)+(3-4/)=(2+3)+(1-4)i=5-3z；(3+z)i=3z+z2=3z-1.

②若他们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这

两个复数共辗，如1+2;的共轨复数为1-2z.

根据材料回答：

(1)填空：户=,?4=；

(2)求(2+02的共辗复数；

(3)已知(a+z)(b+i)=l+3z,求/+庐(产+户+户..+泮20)的值.

3.(雨花区校级月考)规定两数a,6之间的一种运算，记作(a,b),如果不=6,则(a,b)=c.我们

叫(a,b)为“雅对”.

例如：因为23=8,所以(2,8)=3.我们还可以利用“雅对”定义说明等式(3,3)+(3,5)=

(3,15)成立.证明如下：

设(3,3)—m,(3,5)—n,则3'"=3,3"=5,

故3m3"=3m+”=3X5=15,

贝U(3,15)=m+n,

即(3,3)+(3,5)=(3,15).

(1)根据上述规定，填空：(2,4)=；(5,1)=；(3,27)=.

(2)计算(5,2)+(5,7)=,并说明理由.

(3)利用“雅对”定义证明：(2",3")=(2,3),对于任意自然数”都成立.

题型二：整式乘法的压轴题

4.(2021•天心区开学)对于任意四个有理数a,b,c,d,可以组成两个有理数对(a,b)与(c,d).我

们规定：(a,b)O(c,d)=bc-ad.例如：(1,2)O(3,4)=2X3-1X4=2.

根据上述规定解决下列问题：

(1)有理数对(3,-5)0(4,-2)=；

(2)当满足等式(-2,3x-1)O(k,x+k)=5+%的x是整数时，求正整数上的值；

(3)若(5+2/,2s+t)O(尤,_y)=2/-s对于任意有理数s,f均成立，求x+y的值.

5.(2020秋•开福区月考)好学的小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：(L+4)(2x+5)(3x-6)

2

的结果是一个多项式，并且最高次项为：工・2%・3尤=3炉，常数项为：4X5X(-6)=-120,那么一

2

次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数.根据尝试和总结她发现：一次项系数就

是：,lx5X(-6)+2X4X(-6)+3X4X5=-3,即一次项为-3x.

2

请你认真领会小东同学解决问题的思路、方法，仔细分析上面等式的结构特征，结合自己对多项式乘法

法则的理解，解决以下问题.

(1)计算(x+2)(3尤+1)(5x-3)所得多项式的一次项系数为.

(2)若计算(%2+尤+1)(x2-3x+a)(2x-1)所得多项式不含一次项，求a的值.

(3)若(x+1)2O21=aox2O21+aix2O2O+a2x2O19-i--i-a2020x+a202i)则及020=.

6.(2014秋•雨花区校级月考)你能求(x-1)(x"+x98+x97+-+x+l)的值吗？

遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手.分别计算下列各式的值:

(1)(X-1)(x+1)=x2-1;

(2)(x-1)C^+.r+l)—x3-1；

(3)(x-1)(f+d+x+l)=x4-1；

由此我们可以得到：

(x-1)(x"+x98+x97+■■■+x+1)=；

请你利用上面的结论，完成下面两题的计算：

(1)299+298+297+-+2+1；

(2)(-2)50+(-2)49+(-2)48+-+(-2)+1.

题型三：与平方差公式、完全平方公式相关的的压轴题

7.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.

如：4=22-02,12=42-22,20=62-42,因此4,12,20这三个数都是神秘数.

(1)28是神秘数吗？为什么？

(2)设两个连续偶数为24+2和2左(其中左取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数

吗？为什么？

(3)①若长方形相邻两边长为两个连续偶数，试说明其周长一定为神秘数.

②在①的条件下，面积是否为神秘数？为什么？

8.一个正整数机能写成优=(a-b)(a+6)(a、6均为正整数，且则称为"美满数"，a、b为

他的一个完美变形，在机的所有完美变形中，若次+呈最大，则称°、6为机的最佳完美变形，此时F

(m)=/+廿.例如：12=(4+2)(4-2),12为“完美数”，4和2为12的一个完美变形，32=(9+7)

(9-7)=(6+2)(6-2),因为92+72>62+22,所以9和7是32的最佳完美变形，所以F(32)=130.

(1)8(填“是”或“不是”)完美数；

10(填“是”或“不是”)完美数；

13(填“是”或“不是”)完美数；

(2)求产(48)；

(3)若一个两位数w的十位数字和个位数字分别为x,j(14W/9),n为“完美数”且x+y能被8

整除，求尸(”)的最小值.

9.(2018秋•天心区校级期中)【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒

等式.

例如图1可以得到(a心^^ab+b2,基于此，请解答下列问题：

(1)根据图2,写出一个代数恒等式：.

(2)利用(1)中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c=10,ab+ac+bc^35,则.

(3)小明同学用图3中x张边长为。的正方形，y张边长为6的正方形，z张宽、长分别为a、b的长

方形纸片拼出一个面积为(2a+b)(a+2b)长方形，贝!Jx+y+z=.

【知识迁移】(4)事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边

长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一

个代数恒等式：.

X

x1

图4

题型四：配方法的压轴题

10.(2020秋•长沙县校级月考)阅读下面文字内容并解决问题：

对于形如x2+2ax+/的二次三项式，可以直接用完全平方公式把它分解成(x+a)2的形式.但/+4x-5

=。2+©+4)-4-5=(x+2)2-9=(x+2+3)(x+2-3),对于二次三项式_?+4%-5就不能直接用完

全平方公式分解了，对此，我们可以填上一项4,使它与/+4尤构成一个完全平方式、然后再减去4,

这样整个多项式的值不变，即=(x+5)(x-1).

像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的方法，叫做配方法.

请用配方法来解下列问题：

(1)用配方法因式分解：/-6x+5；

(2)已知：x2+y2-8x+12y+52—0,求(x+y)2的值；

(3)求/+8x+7的最小值.

11.配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题.例如：因为3a220,所以

即：3<?2+1有最小值1,此时a=0；同样，因为-3(d+1)2・0,所以-3(a+1)2+6W6,即-3(a+1)

2+6有最大值6,此时。=-1.

(1)当犬=时，代数式2(x-1)2+3有最(填写大或小)值为.

(2)当尤=时，代数式-/+4尤+3有最(填写大或小)值为.

(3)矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16/77,当花园与墙相邻的边长为多少时,

花园的面积最大？最大面积是多少？

12.(2021秋•天心区校级月考)上数学课时，王老师在讲完乘法公式Ca±b)2=/±2必+廿的多种运用

后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式/+4尤+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出

如下解答方法：

解：J?+^X+5=X2+4X+4+1=(x+2)2+1

(x+2)2?o,

/.当x=-2时，(尤+2)2的值最小，最小值是0,

(x+2)2+1^1

...当(x+2)2=0时，(x+2)2+1的值最小，最小值是1,

.,./+4x+5的最小值是1.

请你根据上述方法，解答下列各题

(1)知识再现：当尤=—时，代数式/-6x+12的最小值是一；

(2)知识运用：若y=-x2+2x-3,当天=—时，y有最—值(填“大”或“小”)，这个值是一；

(3)知识拓展：若-d+Bx+y+SnO,求y+元的最小值.

13.(2021秋•开福区校级期中)阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式

与一个常数的和的方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似

不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题.

例如：求代数式：12元+2020的最小值

解：原式=/-12无+62-62+2020

=(%-6)2+1984

,/(%-6)22o,

.,.当尤=6时，(彳-6)2的值最小，最小值为0,

(%-6)2+198421984,

当(x-6)2=0时，(尤-6)2+1984的值最小，最小值为1984,

，代数式：x2-12x+2020的最小值是1984.

例如:分解因式：/T20尤+3456

解：原式=/-2X60x+602-6()2+3456

=(X-60)2-144

=(x-60)2-122

=(x-60+12)(x-60-12)

=(x-48)(x-72).

(1)分解因式f-46x+520；

(2)若y=-/+2x+1313,求y的最大值；

(3)当初，”为何值时，代数式机2_2优+2”2-4w+2030有最小值，并求出这个最小值.

14.(雨花区校级月考)对于形如/+2w+/这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成(x+a*的形式.但

对于二次三项式/+2xa-3a2,就不能直接运用公式了.此时，我们可以在二次三项式jr+2xa-3a2中

先加上一项使它与7+2m的和成为一个完全平方式，再减去整个式子的值不变，于是有：

j<r+2xa-3a2=(x2+2xa+a2)-a2-3/

=(x+a)2-4a2

=(x+a)2-(2a)2

=(x+3〃)(%-“)

像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配

方法”，利用“配方法”，解决下列问题：

(1)分解因式：/_6〃+8；

(2)若x2-2xy+2y2-2y+l=0,求炉的值.

题型五：因式分解的压轴题

15.阅读，已知。+/?=-4,ab=3,求“2+82的值。

解：因为已知a+Z?=-4,ab=3,

所以〃+/=①+加2一2帅=(一4)2—2x3=10

请你根据上述解题思路解答下列问题：

(1)已知a—/?=—3,ab=—2,求(a+6)(a~—6I)的值；

(2)己知a-c-Z?=-10,(«-Z?)+c=-12,求(a-6)2的值。

16.先阅读下列材料，然后回答后面问题：

将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.能分组分解的多项式通常有

四项或六项，一般的分组分解有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分

法等.

如“2+2”分法：

ax+ay+bx+by=(ax+ay)+(bx+by)=a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b)

如“3+1”分法：

Ixy+y1-1+x2=x2+2xy+y2-1=(x+y)2-1=(x+y+l)(x+y-I)

请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：

(1)分解因式：X2-x-y;

(2)分解因式：45am2-20ax2+20axy-5ay2；

(3)分解因式：4a2+4a-4a2b-b-4ab+l.

17.将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分

组分解法有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等.

如“2+2”分法：

axay+bx+by

={ax+ay)+(bx+by)

=a(x+y)+6>+y)

=(x+y)(a+b)

请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：

(1)分解因式：X2-y2-x-y；

(2)分解因式：9m2-4x2+4xy-y2；

(3)分解因式：4a2+4a-4a2b2-b2-4ab2+1.

18.(2019秋•雨花区校级月考)“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如0?+6孙+勺2的关于羽

y的二次三项式来说，方法的关键是把％2项系数。分解成两个因数〃1,42的积，即〃=〃1・。2,把/项

系数。分解成两个因数Cl,C2的积，即C=C1・C2,并使〃1”2+〃2・C1正好等于孙项的系数。，那么可以

直接写成结果：a^+bxy+cy1=Caix+ciy)(〃zx+c2y).

例：分解因式：x2-2孙-8y2.

解：如图1,其中1=1X1,-8=(-4)X2,ffi]-2=1X2+1X(-4).

.*.x2-2xy-Sy2=(x-4y)(x+2y)

而对于形如〃W+b孙+cy2+dx+ey4/的x,y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图2,将4分解

成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，/分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b,pk+qj

=e,mk+nj=d,即第1,2歹！J、第2,3列和第1,3列都满足十字相乘规则，则原式=(mx+pyt/)("x+qy+左)；

例：分解因式：f+2xy-3y2+3x+y+2

解：如图3,其中1=1X1,-3=(-1)X3,2=1X2；

而2=1X3+1X(-1),1=(-1)X2+3X1,3=1X24-1X1；

.\/+2孙-3y2+3x+y+2=(x-y+1)(x+3y+2)

请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：

(1)分解因式：

①67-17xy+12y2=__________________

②2x2_孙_6y2+2x+17y-12=

③x2-xy-6y2+2x-6y—

（2）若关于x,y的二元二次式/+7町-18/-5x+my-24可以分解成两个一次因式的积，求机的值.

图1图2图3

19.阅读下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分项数多于3的多项式只单纯

用上述方法就无法分解，如龙2—2孙+V一16,我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公

式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解.过程如下：

x2-2xy+y2-16=（尤-16=（尤-y+4）（尤-y-4）,这种分解因式的方法叫分组分解法.利用这种分组

的思想方法解决下列问题：

1.知识运用：

试用“分组分解法”分解因式：x2-r+XZ-VZ；

2.解决问题：

（1）已知a,b,c为AA5c的三边，S.b2+2ab=c2+2ac,试判断AABC的形状.

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（2）已知四个实数a,b,c,d,满足“Hb,c力d,a+ac-12k,b~+be=12k,c+ac-24k,

d2+ad=24k,同时成立.

①当左=1时，求