选择中档题（五）-2024年北京高考数学复习分类汇编（解析版）

专题10选择中档题五

1.（2023•海淀区校级模拟）已知数列的前〃项和为S“="2-2〃（〃eN*）,则出+/=（）

A.36B.35C.34D.33

【答案】C

【详解】S“=〃2-2〃，

当.2时，a,=S”—S“_］=n—2,n—［（n—l）2—2（〃-1）］=2n—3,

贝1」%+%8=（2*2-3）+（2/18-3）=34.

故选：C.

2.（2023•海淀区校级模拟）在AABC中，若a=2Z?cosC,则AABC一定是（）

A.正三角形B.直角三角形

C.等腰或直角三角形D.等腰三角形

【答案】D

n2,h2_2

【详解】法一：因为a=2bcosC=26x@+。一。,

2ab

整理得b=c

故AABC为等腰三角形；

法二：因为Q=2Z?COS。，

所以sinA=2sinBcosC,

所以sin（B+Q=2sinBcosC=sinBcosC+sinCeosB,

所以sinBcosC—sinCeos6=0,

所以sin（3-C）=0,

所以5=C,

故AABC为等腰三角形.

故选：D.

22_

3.（2023•海淀区校级模拟）设双曲线二6>0）的虚轴长为2.焦距为26，则双曲线的渐

ab

近线方程为（）

A.y=±42xB.y=±12xC.y=~~^~xD.y=±gx

【答案】C

【详解】由己知得到6=1,。=君,。=后二庐=应，

因为双曲线的焦点在无轴上，

故渐近线方程为y=±-x=±^x.

a2

故选：c.

4.（2023•海淀区校级模拟）已知直线机，”平面or,。,mea,“ua,则/“//〃且〃//£"是"a//〃”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】根据〃zua,“utz,m1]n=P,ml/13,〃//£=>&//£,

可知“机//月且〃//4"推不出"a//£”,

但ualip”可以推得“相//£且///6”,

所以“血/月且"//夕’是"a//£”的必要不充分条件.

故选：B.

5.（2023•海淀区校级三模）公元前344年，先秦法家代表人物商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，开

创了秦朝统一度量衡的先河.如图，升体是长方体，手柄近似空心的圆柱.已知铜方升总长是18.7a”，内

口长X51,宽7c772,高2.3a〃（忽略壁的厚度，取圆周率%=3）,若手柄的底面半径为1cm,体积为18.6a/,

则铜方升的容积约为（小数点后保留一位有效数字）（）

A.201.3cm3B.210.5cm3C.202.1cm3D.212.2cm3

【答案】A

【详解】依题意手柄的底面半径为1cm,体积为18.6cW,

则手柄的底面积为万xF=7icirr,

手柄的长度为身停=6.2c〃z,

，长方体的内口长为光=18.7—6.2=12.5cm，

升体的体积为12.5x7x2.3=201.25«201.3cm3，

铜方升的容积约为201.3c加3.

故选：A.

6.(2023•海淀区校级三模)已知等差数列｛%｝的公差为d,数列也｝满足?也=l(〃eN*),则“d>0”

是“｛〃,｝为递减数列”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【详解】.等差数列｛4｝的公差为d,数列电｝满足可e=l(〃eN*),

b„=--

an

若“d>0"，则等差数列｛%｝是递增数列，故"｛2｝不一定为递减数列”，例如当。“为负值时，故充分性不

成立.

若“｛2｝为递减数列”，则等差数列｛风｝不一定是递增数列，例如当么<0时，故必要性不成立.

综上，“d>0”是“｛〃,｝为递减数列”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

7.(2023•海淀区校级三模)“C/7〃GPT”以其极高的智能化引起世界关注.深度学习是人工智能的一种具

G

有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L=%。而，

其中L表示每一轮优化时使用的学习率，4表示初始学习率，。表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，Go

表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为05衰减速度为18,且当训练迭代轮数为

18时，学习率为0.4,则学习率衰减到0.2以下(不含0.2)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：

虑2=0.3)()

A.75B.74C.73D.72

【答案】D

【详解】由题设可得0.5。竺|8=0.4,则0=24,

5

所以0.5x(3工<0.2,即G>18/og4-=18(.2_/g5)=18(2/g2-l)"”.

5152lg2-lg53/g2-l

故所需的训练洪代轮数至少为72次.

故选：D.

8.（2023•海淀区校级三模）已知g为单位向量，向量&满足o.e=2,|°-&|=1,贝U|a|的最大值为（

）

A.1B.2C.A/5D.4

【答案】C

【详解】根据条件得:（d—融）？=|。「+/V—2a•—42+1a「=1,

|a|2=-（22-42-1）=-（2-2）2+5„5,

；・IaI”,，

；.|。|的最大值为6.

故选：C.

9.（2023•海淀区校级三模）已知抛物线。：丁二元的焦点为尸，A（x0,%）是。上一点，若|4尸|=：/，则

4等于（）

A.1B.2C.4D.8

【答案】A

【详解】抛物线C：V=x的焦点为尸（；，0）

A（%>%）是C上一\点,|AF|=—x09

51

..-x0=x0+~,

解得%。=1.

故选：A.

22

10.（2023•海淀区校级三模）已知双曲线二-匕=l（a>0）的一条渐近线与圆（x-3）2+y2=8相交于N

a-4

两点且|MN|=4,则此双曲线的离心率为（）

A.y/5B.—C.—D.5

53

【答案】B

【详解】依题意可知双曲线的一渐近线方程为y=2%,gp2x-ay=0,

a

\MN\=4,圆的半径为20

.•.圆心到渐近线的距离为2,

即一==2,解得。=石

c=+4=3,

.•.双曲线的离心率为6=£=之=越.

a455

故选：B.

H.(2023•海淀区校级三模)在平面直角坐标系屹y中，已知P是圆C:(x-3『+(y-钎=1上的动点.若

4一%0),B(tz,0),awO,则|尸A+PBI的最大值为()

A.16B.12C.8D.6

【答案】B

22

【详解】因为|P4+P5|=2|尸0],\PO\max=\(9C|+l=V3+4+1=6,

所以|PA+P51s=12.

故选：B.

12.(2023•海淀区校级三模)已知数歹U｛凡｝的通项为4=/一24〃，贝!J"CvO”是"VziwN*,限>4”

的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

2

【详解】an=n-22n,

=(n+1)2_2X(〃+1),

“V”wN*,an+i>%”恒成立

(n+1)?—24("+1)>/I?-2Qi,

X<g(2n+1)=〃+g,V几£N*恒成立，

13一

当〃=1时，1+—=一取小

22

故4<0"是"V〃eN*,a,l+1>an”的充分不必要条件.

故选：A.

13.（2023•丰台区校级三模）在AABC中,AC=3,BC=J1,AB=2,则AB边上的高等于（）

R3若cV26

A.2aD.-----------D.-

222

【答案】B

【详解】■AC=3,BC=T7,AB=2,

AC2+AB2BC29+4-7

由余弦定理可得:cosA=-I可得邛,

2AC.AB2x3x2

设AB边上的高为h,则-AB.h=-AB.AC.sinA,

22

/.—x2x/z=—x2x3x,解得：h=^^-

2222

故选：B.

14.（2023•丰台区校级三模）设数列伍“｝的前〃项的和为S"，若｛见｝是首项为正数、公比为q的等比数歹！J,

则“g..2”是“对任意的“eN*,都有S”<见」的（）

A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件

C.充分且必要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】C

【详解】依题意的>0,q>0,若q=1,则,Sn=nal,

此时不满足对任意的“eN*,都有5,<4用，所以qwl,则S.=皿①

1一<?

若对任意的“eN*,都有S“<”“+],则q=S]<g，所以q>l,

则S,<S"+「S"，即2s“<Sx，

所以2%(1—4")(q(l—/口)

,则,BPqn+1-2qn+l<0,

i-q1-q

所以2—依题意，任意的〃EN*,2-q<—,

qn

因为函数y=（工厂Q..1）在[1,+8）单调递减，值域是（0-],

因此2-1,0,解得4.2,所以qe[2,+oo),

故g..2是“对任意的“cN*,都有的充分且必要条件.

故选：C.

15.(2023•丰台区校级三模)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水

库.已知该水库水位为海拔1485〃时，相应水面的面积为140.0协？；水位为海拔1575〃时，相应水面的面

积为180。物？.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485"上升到1575找时,

增加的水量约为(近2265)()

A.1.0x109毋B.1.2xl09m3C.1.4xl09m3D.1.6xl09m3

【答案】C

62

【详解】140Am2=140x1()6疗,180W=180xl0m,

根据题意，增加的水量约为.-

(140+180+60A/7)X106

=--------------------x9N

3

«(320+60x2.65)x106x3=1437x106«1.4x109m3.\

故选：C.

/\2/

/\I80km/1157.5m

7—/

\/140km2J1485m

16.(2023•丰台区校级三模)过抛物线C:丁；=2Px(p>0)的焦点F作倾斜角为60。的直线与抛物线C交于

助的值为()

两个不同的点A,B(点A在x轴上方)，则

\BF\

C.^/3D.3

【答案】D

【详解】设A(%，％),B(X2,y2),

由直线/倾斜角为60。,

则直线/的方程为：y-0=豆（尤

即>=瓜-中p,联立抛物线方程丁=2"，

消去y并整理，得

12x2-20Px+3/=0,

则(2:r-3p)(6%-p)=0,

贝UiAR|=Xi+K=3p+£=2p,|BF|=x2+£="+£=&,

2222623

贝号=3,

\BF\2p

3

故选：D.

17.（2023•密云区三模）平行四边形ABCD中，点M在边钻上,AM=3MB,记C4=a,CM=6,则

AD={)

A•—a—bB.-b—ciC.—b—aD.—a—b

33333333

【答案】D

441414

【详解】AD=CD-CA=-MA-CA=-（CA-CM）-CA=-CA——CM=-a——b.

333333

故选：D.

18.（2023•密云区三模）设数列｛%｝的前几项和为S"，则”对任意“eN*,4>0”是“数列｛S“｝为递增

数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不是充分也不是必要条件

【答案】A

【详解】数列｛%｝中，对任意“eN*,an>0,贝US“=Si+a〃>S,i,n..2；

所以数列｛S“｝是递增数列，充分性成立；

当数列｛SJ为递增数列时，s,>S“T，n..2；

即S“T+4>S〃T，所以a“>0,

如数列-1,2,2,2,...；不满足题意，必要性不成立；

所以“对任意“eN*,%>0”是“数列｛S"为递增数列”的充分不必要条件.

故选：A.

19.（2023•密云区三模）函数/（X）=2sinIjlT的部分图象大致为（）

X

【详解】因为/（-%）=/（%）,所以函数/（%）是偶函数，其图象关于y轴对称，故排除C,D；

埠）=0,且时,f（x）<0,

：.排除3.

故选：A.

20.（2023•密云区三模）某科技研发公司2021年全年投入的研发资金为300万元，在此基础上，计划每年

投入的研发资金比年增加10%,则该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是（）

（参考数据：lg2=0.301,值3=0.477,探5=0.699,Zgll=1.041.）

A.2027年B.2028年C.2029年D.2030年

【答案】C

【详解】设从2021年后，第x年该公司全年投入的研发资金为y万元，

贝力=300x(1+10%)",

由题意可得，300x(1+10%/=600,即1丁＞2,

lg2_lg2_lg2_0.301

故无＞/og]12=B7.3,则x.8,

ZgET-Igll-lglO-/gll-1-1.041-1

故该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是2029年.

故选：C.

21.（2023•密云区三模）血药浓度（尸如7mGazce加出版?〃）是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内

发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位

某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：

□

E

，最低中毒浓度（MTC）

oEb安

)•峰浓度全

范

朝

彩

围

次K

与最低疗效浓度（MEC）

235678910II12,（小时）

持续期------>!残留期

根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中:

①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用；

②每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒；

③每向隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用；

④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒.

其中正确说法的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【详解】由图可知，首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用所以①正确；

服用该药物1单位后，药物的持续作用时间约为5.5小时，所以②错误，③正确；

首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，累计浓度会超过最低中毒浓度，会发生药物中

毒，所以④错误.

所以正确的有①③，

故选：B.

22.（2023•丰台区校级三模）若|切=2,c=a+b,且则向量色与办的夹角为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】C

【详解】若|〃|二L|b|=2,c=〃+b,

设向量0与匕的夹角为。

c-La,

则|Q|2+IQI.I》ICOS0=0

cos6>=--.-.6>=120°

2

故选：C.

23.（2023•丰台区校级三模）设｛a“｝是公比为q的等比数列，则“q>l”是“｛4｝为递增数列”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【详解】等比数列-1,-2,-4,满足公比q=2>l,但｛%｝不是递增数列，充分性不成立.

若为=-1.（1）1为递增数列，但q=g>l不成立，即必要性不成立，

故“q>l”是“｛4｝为递增数列”的既不充分也不必要条件，

故选：D.

24.（2023•丰台区校级三模）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况

加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）

2015年5月1日1235000

2015年5月15日4835600

注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）

A.6升B.8升C.10升D.12升

【答案】B

【详解】由表格得到从5月1日到15日，该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平

均耗油量48+6=8（升）.

故选：B.

25.（2023•丰台区校级三模）在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量浓度（单位：mol/L,

记作［H+］）和氢氧根离子的物质的量浓度（单位：mol/L,记作［。〃一］）的乘积等于常数10*.已知〃〃值

的定义为pH=Tg［H」,健康人体血液pH值在区间［7.35,7.45］内，则健康人体血液中的胃」可以为

［H］

）（参考数据：Zg2«0.301,0.477）

A.5B.7C.9D.10

【答案】B

IO14

【详解】由题意[才＞[01]=10-4,./段也L/gJ^l=_i4_2/g[/T],

[H+][H+]

因为7.35gJ-[g[/T]7.45,,公过写€[0.7,0.9],

[H+]

即0.7轰圾您」0.9,.•.IO。'轰您」IO09,

[H+][H+]

由已知/g2a0.301,lg3®0.477,则10°3=2,io04=3,

IO07=IO03.IO04=6,IO0-9=(IO03彳=8,

:.6和g丝18,故3项满足.

[H+]

故选：B.

26.(2023•大兴区校级模拟)已知函数/(尤)=cos(2x-&),g(x)=sin2x,将函数/(x)的图象经过下列变换

6

可以与g(元)的图象重合的是()

A.向左平移工个单位B.向左平移三个单位

36

C.向右平移二个单位D.向右平移二个单位

36

【答案】D

【详解】因为g(x)=sin2x=cos(2x-9，

所以将f{x}=cos(2x--)向右平移-个单位得到y=cos[2(x---J=cos(2x--)=g(x).

66662

故选：D.

27.(2023•大兴区校级模拟)已知函数/(无)对任意xcH都有/(x+2)=-/(x),且/(-x)=-/(x)，当xe(-1,

1]时，f(x)=x3.则下列结论正确的是()

A.函数y=/(x)的图象关于点(30)(左eZ)对称

B.函数y=/(x)的图象关于直线x=2-左eZ)对称

C.当xe[2,3]时,f(x)=(x-2)3

D.函数y=|f(x)|的最小正周期为2

【答案】D

【详解】因为/(x+2)=—/(x),所以/(x)=-/(x—2),故/(x+2)"(x-2),

所以了(无)的周期为4,

又f(-X)=-/(x)，所以/(-%)=/(%-2),故/(%)关于X=-1对称，

又xe(-l,1]时，/(%)=X3,故画出了(无)的图象如下：

A选项，函数y=f(x)的图象关于点(1,0)不中心对称，故A错误；

3选项，函数y=/(x)的图象不关于直线x=2对称，B错误;

C选项,当xe[2,3]时,x-2e[0,1],贝U/(尤)=-/(x-2)=-(尤-2/，C错误;

D选项，由图象可知y=〃尤)的最小正周期为4,

又"(x+2)|=|—/(x)Hf(x)|,故y="(尤)|的最小正周期为2,。正确.

故选：D.

28.(2023•大兴区校级模拟)在某区高三年级举行的一次质量检测中，某学科共有3000人参加考试.为了

解本次考试学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(成绩均为正整数，满分为100分)作为样本进

行统计，样本容量为按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分

布直方图(如图所示).已知成绩落在[50,60)内的人数为16,则下列结论正确的是()

A.样本容量〃=1000

B.图中x=0.025

C.估计全体学生该学科成绩的平均分为70.6分

D.若将该学科成绩由高到低排序，前15%的学生该学科成绩为A等，则成绩为78分的学生该学科成绩

肯定不是A等

【答案】C

【详解】对于A,成绩落在［50,60)的频率为0.016x10=0.16,

又•，成绩落在［50,60)内的人数为16,

，“=生=100,故A错误；

0.16

对于3,由频率分布直方图可得，(0.016+%+0.040+0.010+0.004)x10=1,

解得x=0.030,故3错误；

对于C，估计全体学生该学科成绩的平均分为：x=55x0.16+65x0.3+75x0.4+85x0.1+95x0.04=70.6

(分)，故C正确;

对于£),10x(0.004+0.010)=0.14<0.15,10x(0.004+0.010+0.040)=0.56>0.15,

A等成绩的最低分落在［70,80),

二成绩为78分的学生该学科成绩可能是A等，故。错误.

故选：C.

29.(2023•大兴区校级模拟)若点尸是圆C:尤2+丁-2尤=0上的动点，直线/:x+y+1=0与无轴、y轴分别

相交于N两点，则ZPMN的最小值为()

71

C.7D-t

【答案】A

【详解】如下图所示:

，故NOMN=Z

44

圆C的标准方程为(xT>+y2=1,圆心为C(l,0)，半径为r=l.

易知直线/交X轴于点A（-1,O）,所以|MC|=2,

由图可知，当直线与圆C相切，且切点位于x轴下方时，NPMN取最小值,

1jr

由圆的几何性质可知CP_LMP,S.\CP\=1=-\CM\,则NCMP=—,

26

故—&=&一生=工.

64612

故选：A.

30.(2023•顺义区校级模拟)已知函数/(x)=log2x-(x-l)2,则不等式/(x)<0的解集为()

A.(-00,1)52,+oo)B.(0,1)D(2，+oo)

C.(1,2)D.(l,+oo)

【答案】B

2

【详解】令/(无)=log2X-(x-l)2=0,log2x=(x-1),得x=l或x=2；

在同一坐标系内画出y=10g2尤与＞=（X-1）2的图象，如图所示,

则不等式/（x）＜0的解集为（0，1）D（2,+00）.

31.（2023•顺义区校级模拟）《周髀算经》中对圆周率乃有“径一而周三”的记载，已知两周率万小数点后

20位数字分别为14159265358979323846.若从这20个数字的前10个数字和后10个数字中各随机抽

取一个数字，则这两个数字均为奇数的概率为（）

333217

A.-B.—C.—D.—

59510020

【答案】D

【详解】设这两个数字均为奇数为事件A,

.■基本事件总数为C；。•C；o=100，

事件A包含的基本事件数为C；♦C=35,

357

：.P（A）,

10020

故选：D.

32.（2023•顺义区校级模拟）设｛%｝为等比数列，若机，n,p,qeN*,则"z+〃=p+q是=4•4

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】设等比数列的公比为广，

m+n2

则am-an=a：r-,ap-aq=a；严源,

若m+n=p+q,则“aq=a°q成立，即充分性成立，

当r=l时，若a”•%=4,♦%,则+〃=p+q不一定成立，即必要性不成立，

故+〃=p+q^am-an=ap-aq的充分不必要条件.

故选：A.

33.（2023•顺义区校级模拟）已知圆C:（x-2）2+y2=i与直线/：»=瓜，p为直线/上一动点，若圆上存

在点A,使得NCPA=三，贝U|尸C|的最大值为（）

6

A.26B.4C.2D.43

【答案】C

【详解】圆C:（x-2）2+y2=i的圆心坐标为c（2,0）,半径为1,

圆心到直线I的距离d=小二21=+>1,可知直线与圆相离，

2

由正弦定理可得三角形R4c的外接圆的直径2R=2=2,

.71

sin—

6

产为直线/上一动点，当直线与圆相切时，此时|PC|为外接圆的直径，取得最大值为2.

故选：C.

y

34.(2023•西城区校级三模)十八世纪，瑞士数学家欧拉研究调和级数时，得到了以下结果：当〃很大时,

\+-+-+...+-=lnn+（其中/为常数，其近似值为0.577）据此，可以估计++…+的

23n7200012000230000

值为（）

3

A.MO4B.In6C.In2D.ln-

2

【答案】D

【详解】根据题意，1+工+工+……+—^—=ln20000+r,①

2320000

i+L雪11

H-------------1-------------F------------F...H------------=加30000+r,

2320000200012000230000

3

②一①:-------------1--------------F...H-------------=历30000+r-/n20000-r=ln-

2000120002300002

故选：D.

35.(2023•西城区校级三模)已知｛%｝为无穷等差数列，则“存在i,jeN*且-j,使得6+%=0”是

“存在k..2且左eN*,使得殁=0”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】｛q｝为无穷等差数列，若''存在，，/€"*且桂),使得6+勺=0”，

贝U6+(i—l)d+q+(/—l)d=2q+(z+j-2)d=0,

可得q+(--l)d=0,当i+j不是2的整数倍时，不存在k.2且％eN*,使得%=0,故不充分;

反之，“存在左..2且左wN*,使得4=0”：

贝!J4+（左一l）d=0,即2%+（2k—2）d=0，

人..2且左eN*,，2人..4且2人为偶数，则”存在i,jeN*且iwj,使得%+4=0”，

,己知｛。“｝为无穷等差数列，则“存在i,jeN*且i4，使得4+%=0”是“存在之.2且左eN*,使得ak=0"

的必要不充分条件.

故选：B.

36.(2023•西城区校级三模)设〃zeR,过定点A的动直线尤+;利=0和过定点3的动直线〃a-y-m+3=0

交于点P