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文档简介

专题08选择中档题三

1.(2023•昌平区二模)已知点P在直线后一y-10=0上,点。(2cos6>,2sin6)(eeR),贝!)|尸。|的最小值

为()

A.1B.3C.5D.7

【答案】B

【详解】设。(无,y),

由。(2cos,,2sine)(9£尺)可知%=2cos6,y=2sin8,

所以f+y2=4,即。在圆心为(0,0),半径为2的圆上的动点,

圆心到直线的距离d=m=5,

V3+1

所以1尸。需=5-2=3・

故选:B.

2.(2023•昌平区二模)己知双曲线C:3M2-叼2=3的一个焦点坐标为(-2,0),则双曲线C的离心率为

()

A.-B.—C.2D.4

23

【答案】C

【详解】双曲线C:3如2一町2=3化为:1=1,

mm

iq

依题意,-+-=22,解得祖=1,

mm

因此双曲线C的实半轴长为1,所以双曲线C的离心率为2.

故选:C.

b,a,

3.(2023•昌平区二模)对于两个实数〃,b,设min[a,b]=\.则〜=1”是“函数/(x)=

a,a〈b.

min[\x\,|九-力}的图象关于直线x=~^■对称”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】如图,在同一个坐标系中做出两个函数y=|x|与y=|x-4的图象,

则函数/(x)=min[\x\,|尤-4}的图象为两个图象中较低的一个,即为图象中实线部分,

根据图象令x=-x+t,解得x」■,

分析可得其图象关于直线X、对称,

要使函数/(x)=min[\x\,|x-r|}的图象关于直线对称,则f的值为f=l,

当f=l时,函数/(无)=min[\x\,|x-f|}的图象关于直线乂三■对称,

所以、=1”是“函数/(x)=加加{因,|x-7|}的图象关于直线对称”的充分必要条件.

4.(2023•昌平区二模)已知等比数列{4}的前a项和为S“,则下列结论中一定成立的是()

A.若〃6>0,则邑,<0B.若4>0,则S2〃>0

C.若%>0,则S2"+i<0D.若〃5>。,则邑田〉。

【答案】D

【详解】由数列{%}是等比数列,

5

a6=a^q>0,4,q同号,

由用“=皿二q知,当q=_l时,s,“=0,故A,B错误;

i-q

若%=qq4>o,则可知q>o,

当4=1时,该等比数列为常数列,则邑用>0,故c错误;

当〃上1而Q*(1-产)

兰I(7w1盯,S2n+i—»

i-q

q>l时,l-^2019<0,l-q<0,当q<l时,I-/。*>0,I-q>0,

所以由q>0且1-/"T,1-q同号,可知$2.+1>0,故。正确.

故选:D.

5.(2023•延庆区一模)O为坐标原点,点A,3的坐标分别为(2,-1),(-1,3),贝Utan/4O3等于()

A.1B.-1C.—D.--

55

【答案】B

【详解】。为坐标原点,点A,3的坐标分别为(2,-1),(-1,3),

可得自A=~~,kOB=-3,

tanZAOB=-----=-1,

l+-x3

2

6.(2023•延庆区一模)/SO216是国际标准化组织所定义的纸张尺寸国际标准,该标准定义了A,5系列

的纸张尺寸.设型号为A(i=0,1,2,3,4,5,6)的纸张面积分别是4«=0,1,2,3,4,5,6),它

们组成一个公比为;的等比数列,设型号为用《=1,2,3,4,5,6)的纸张的面积分别是々(i=l,2,3,

4,5,6),已知用=4।q(i=l,2,3,4,5,6),则幺的值为()

4

A.-B.—C.&D.2

22

【答案】C

【详解】b;=%%,令i=5,

/.b;=Q4Q5,

又。%,Q],a39a4f”5,4组成一个公比为g的等比数列,

11

472=a4a5=a4'aV-=-a42,

又〃4>0,么>0,

:生=叵.

b5

故选:C.

7.(2023•延庆区一模)将/(%)的图象向左平移l个单位,所得图象与y=sin2%的图象关于y轴对称,则

/(X)=()

A.—sin2xB.sin2xC.—cos2xD.cos2x

【答案】B

【详解】将/(无)的图象向左平移/个单位,所得图象与y=sin2x的图象关于y轴对称,

可知与y=sin2尤的图象关于y轴对称的函数的解析式为:y=-sin2x,

函数y=-sin2x,向右平移g■个单位,可得y=-sin2(x-g)=-sin(2x-万)=sin2x.

故选:B.

8.(2023•延庆区一模)AABC外接圆的半径为1,圆心为O,S.2OA+AB+AC=0,|0A|=|AB\,则C4.CB

等于()

A.-B.y/3C.3D.2指

2

【答案】C

【详解】2OA+AB+AC=0,

OA+AB+OA+AC=0,

OB=—OC.

:.O,B,。共线,5C为圆的直径,如图

.\AB±AC.

\0A\=\AB\,

:.\OA\=\AB\=1,|BC|=2,\AC\=yf3,故NAC3=X.

6

贝lJCA・C5=|CA||C5|cos30o=26x^=3,

2

故选:c.

9.(2023•海淀区校级模拟)已知抛物线C:V=4x的焦点为尸,点尸为C上一动点,线段尸尸的垂直平分

线与x=-l交于点。,则()

A.\QF\..\PF\B.\QF\„\PF\

C.ZPQF..^D.APQP可以为钝角三角形

【答案】A

【详解】因为抛物线C:V=4x,所以尸(1,0),准线为x=T,

过P点向准线作垂线交准线于点M,

所以由抛物线的定义可得\PF\^PM\,

因为线段PF的垂直平分线与x=-1交于点。,所以||=|。尸|,

又因为|QP|…|PM|,所以尸|…|PF|,当且仅当。PJ_y轴时等号成立,所以A正确,3错误;

在APQP中由尸|…|尸尸|可得N。尸尸=仁(^../尸。尸,解得/尸0£,故C错误;

TT

因为42班+42"〈万,所以NQPF=NQEP<5,APQb不可以是钝角三角形,故。错误.

故选:A.

10.(2023•海淀区校级模拟)声强级,是指声强X(单位:皿/m2)和定值0(单位:W/,/)比值的常用对

数值再乘以10,即声强级3(x)=10/g2(单位:dB).已知人与人交谈时的声强级约为45四,一种火箭发

a

射时的声强和人与人交谈时的声强的比值约为IO。那么这种火箭发射的声强级约为()

A.135dBB.C.145tffiD.150dB

【答案】A

【详解】设人与人交谈时的声强为x,则火箭发射时的声强为>=10。,

X

45=10Zg-,

a

;.-=1045,

a

,2=9=109x1045=1产,

aa

所以火箭发射的声强级为:10/g»=10/gl0a5=135,

a

故选:A.

11.(2023•海淀区校级模拟)如图,在正方体中,下为线段8G的中点,E为线段AG上

的动点,下列四个结论中,正确的是()

A.EF//平面ABCQB.存在点E,使郎_L平面BBC。

C.存在点E,使匹//4。D.DB}±EF

【答案】D

【详解】如图,

当E为线段4G的中点时,EF/ZA^B,则所//平面A8CR,当E不为线段4G的中点时,EF与平面

ABCA相交,故A错误;

若存在点E,使郎,平面84GC,而跖U平面A8G,则平面A8C,平面8瓦GC,而平面48G与平

面B4CC所成角的正切值为近,矛盾,故3错误;

当石与A重合时,EF与AC相交,当E不与A重合时,又异面直线所成角的定义可知,EF与AC异面,

故C错误;

由正方体的结构特征可知,DBt_L平面ABC1,而砂u平面ABG,则DB1工EF,故。正确.

故选:D.

12.(2023•海淀区校级模拟)己知数列{4}为无穷项等比数列,S,为其前〃项的和,“H>0,且邑>0”

是“V〃eN*,总有S“>0”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不必要又不充分条件

【答案】C

【详解】若其>0,且昆>0,

贝!]4>0,ax+a{q>0,qwO,故q>—1,

当一l<q<0或0<q<l时,l-q>0,l-q">0,贝US“>0,

当4=1时,"V〃eN*,总有5'>0”,

当4>1时,l-q<0,l-q"<0,即S“>0,

综上所述,S,>0恒成立,故充分性成立,

“V〃eN*,总有S">0”,

则S[>0,且$2>。,故必要性成立,

综上所述,“。>0,且$2>0”是“V”eN*,总有S,>0”的充分必要条件.

故选:C.

13.(2023•西城区校级模拟)当N个相同的声强级为4四的声源作用于某一点时,就会产生声强级的叠加,

叠加后的声强级〃=L0+10/gN.已知一台电锯工作时的声强是110四,则10台电锯工作时的声强级乙与5

台电锯工作时的声强级4的关系约为()(参考数据:0.3010)

A.Ly«2L2B.11a34C.L2a3D.74—L2«7

【答案】C

【详解】由题意可知:10台电锯的声强级4=110+10/gl0=120,

由题意可知:5台电锯时的声强级^=110+10值5=110+10(1-117,

所以得到4—

故选:C.

14.(2023•西城区校级模拟)已知函数/(x)=sin(x+e)-Gcos(x+9)满足/6)=2,则函数/(%+?)是

()

A.奇函数,关于点(匹0)成中心对称

B.偶函数,关于点(万,0)成中心对称

C.奇函数,关于直线%=万成轴对称

D.偶函数,关于直线x=〃成轴对称

【答案】D

【详解】因为函数/(%)=5皿工+°)-685(%+9)=25111(X+夕一'|0满足/(5)=2,

所以+o—即sin(£+9_g)=l,

所以0—二=2+2kjr,kwZ,

122

74

所以°=五+2'乃'左金Z,

所以/(x)=2sin(x+—),

4

则函数/(尤+&)=2cosx为偶函数,图象关于尤=万成轴对称.

4

故选:D.

15.(2023•西城区校级模拟)数列{*是无穷项数列,则“存在%eN*(%.2),%..4印且4..4:'是“{。,}

存在最大项”的()

A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【详解】根据题意可知,若存在/eN*(%.2),%..%+]且%..a,1a-,

不妨设4=1,a2=2,%=1,a4=2,…即数列从第三项起满足=”-2(”..3),

此时存在加0=2,满足出…%且%•%,

但数列从第三项开始是递增数列,无最大项,所以充分性不成立;

若{4}存在最大项,不妨设数列4,=(g)",此时{见}存在最大项q=g,且为递减数列;

所以不存在"oeN*(〃o..2),q/.q+i且即必要性不成立.

故选:D.

16.(2023•西城区校级模拟)已知点4(1,0),直线/与圆M:^+y2=i交于两相异点3,C,则A8.4C的

取值范围为()

A.[--,4)B.[0,4)C.[-1,2)D.[0,2)

2

【答案】A

【详解】设3(cos<z,sina),C(cos^,sin/?),设O(x(),%)是线段3c的中点,

则AB•AC=(cosa-1,sina)•(cos0-1,sin(3)

=cosacosP-(cosa+cos4)+1+sinasinf3

=cos(a-/?)-(cosa+cos/?)+l

2

=cos(2ZBO£))-2x0+1=2cos(ZBOD)-2x0

=2(隅)2-2%=2|。。『一2%

=2(X(/+%?)—2x0=2Kxo—J?+,

(Xo-g)2+%2表示点0(%>%)与点E(g,O)两点间的距离的平方,

3Q

由于。在圆O内,所以0”|OE|<—,所以0,,|£)E『<一,

24

22

所以(X。——)+y0-—e[--,2),

所以AB.ACJ—工,4).

2

故选:A.

17.(2023•北京模拟)已知函数/(尤)=log2X-(x-l)2,则不等式/'(XxO的解集为()

A.(-00,1)52,+00)B.(0,1)D(2,+8)

C.(1,2)D.(l,+oo)

【答案】B

2

【详解】令/(无)=log2X-(x-l)2=0,Wlog2x=(x-1),得x=l或x=2;

在同一坐标系内画出y=log2尤与y=(x-l)2的图象,如图所示,

则不等式八>)<0的解集为(0,1)D(2,+(»).

故选:B.

18.(2023•北京模拟)宽与长的比为避二0.618的矩形叫做黄金矩形.它广泛的出现在艺术、建筑、人

2

体和自然界中,令人赏心悦目.在黄金矩形ABCD中,BC=^/5-l,AB>BC,那么A-AC的值为(

A.A/5-1B.75+1C.4D.2召+2

【答案】C

【详解】由黄金矩形的定义,可得AB=2,BC=^5-1,

在矩形ABCD中,cosNCAB-...

AC

2

则ABAC=\AB\-\AC\cosZCAB=2x,10-2百x==44,

J10-2百

故选:C.

19.(2023•北京模拟)设{4}为等比数列,若m,n,p,qsN*,则相+几是勺的(

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】设等比数列的公比为「,

aa=p+q2

则m,n2,ap-aq=afr~,

若m+n=p+q,贝!J4•%=得・%成立,即充分性成立,

当〃=1时,若4.4=%.4,则加+几=,+乡不一定成立,即必要性不成立,

故根+〃="+夕是〃阳•〃〃•4的充分不必要条件.

故选:A.

20.(2023•北京模拟)已知圆。:(%-2)2+丁=1与直线/:、=底,P为直线/上一动点,若圆上存在点A,

使得NCPA=工,则|PCI的最大值为()

6

A.2A/3B.4C.2D.4有

【答案】C

【详解】圆C:(X-2)2+;/=1的圆心坐标为C(2,0),半径为1,

圆心到直线I的距离d=包1二21=6>1,可知直线与圆相离,

2

由正弦定理可得三角形上4c的外接圆的直径2R=9=2,

.71

sin—

6

尸为直线/上一动点,当直线E4与圆相切时,此时|PC|为外接圆的直径,取得最大值为2.

故选:C.

y

21.(2023•东城区校级模拟)下列函数中,定义域为尺的奇函数是()

A.y=x2+1B.y=tanxC.y=2xD.y=x+sinx

【答案】D

【详解】A.y=/+l是偶函数,不满足条件.

B.y=tanx是奇函数,但函数的定义域不是R,不满足条件.

C.>=2,为增函数,为非奇非偶函数,不满足条件.

D.y=元+sinx是奇函数,满足条件.

故选:D.

2

22.(2023•东城区校级模拟)已知双曲线炉-3=1(6>0)的一个焦点是(2,0),则其渐近线的方程为()

b

A.x+y/3y=0B.y/ix±y=0C.x±3y=0D.3x土y=0

【答案】B

【详解】由题意可得c=2,即1+廿=4,

解得6=唐,

可得渐近线方程为y=土氐.

故选:B.

23.(2023•东城区校级模拟)在空间直角坐标系型中.正四面体P-ABC的顶点A,3分别在x轴,y

轴上移动.若该正四面体的棱长是2,贝力0尸|的取值范围是()

A.[73-1,6+1]B.[1,3]C.[A/3-I,2]D.[1,G+1]

【答案】A

【详解】如图所示,若固定正四面体尸-ABC的位置,则原点。在以为直径的球面上运动,

设AB的中点为则尸M=W-F=若;

所以原点O到点P的最近距离等于PM减去球M的半径,

最大距离是PM加上球〃的半径;

所以百-琬0PlA/3+I,

即10Pl的取值范围是[后-1,73+1].

故选:A.

24.(2023•东城区校级模拟)如果函数/(x)=sincox+y/3coscox(a)>0)的两个相邻零点间的距离为2,那么f

(1)+f(2)+f(3)+...+/(9)的值为()

A.1B.-1C.A/3D.-73

【答案】A

【详解】函数/'(x)=sins+Gcos0x=2sin(ox+3),

且/(x)的图象两个相邻零点间的距离为2,

所以了(无)的最小正周期为4,

即7=也=4,解得工;

①2

所以/(%)=2sinq%+令,

所以/(1)+/(2)+/(3)+...+/(9)

71717137r7197r71

=2sin(-+-)+2sin(i+耳)+2sin(—+y)+...+2sin(—+-)

c冗

=2cos—

3

=1.

故选:A.

2

25.(2023•大兴区模拟)双曲线C:x2-3=1的渐近线与直线彳=1交于A,3两点,且|AB|=4,那么双

b

曲线C的离心率为()

A.0B.&C.2D.6

【答案】D

【详解】由双曲线的方程可得。=1,且渐近线的方程为:y=+bx,

与x=l联立可得丫=±〃,所以|AB|=|26|,

由题意可得4=2|6|,解得161=2,c2=a2+b2,

所以双曲线的离心率e=£=\忙亚=、叵工=石,

a\aV1

故选:D.

26.(2023•大兴区模拟)设{4}是各项均为正数的等比数列,S,为其前〃项和.已知1吗=16,品=14,

若存在%使得%,外,…的乘积最大,则小的一个可能值是()

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【详解】等比数列{%}中,公比4>0;

2

由q.a;=16=a2,

所以出=4,

又星=14,

%吗=1\,解得:〃1=2

所以

%+%=1。。3=8

若仁:时,可得"=2

可得…的值为2,4,8,16...,不会存在小使得o的乘积最

大(舍去),

若,1一2时‘可得'=('可得…的值为8,4,2,1,:,;观察可知存在%=4,使得8x4x2x1

的乘积最大,

综上,可得小的一个可能是4.

故选:A.

Zl.(2023•大兴区模拟)一次数学考试共有8道判断题,每道题5分,满分40分.规定正确的画4,错误

的画x.甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示,则沉的值为()

题号学生12345678得分

甲XqX弋XXX30

乙XX7qNXXN25

丙NXXXNNX25

TXXXqm

A.35B.30C.25D.20

【答案】B

【详解】因为乙丙的第2,5题答案相同,且总得分都是25分,所以第2,5两题答案正确;

又因为甲得分30分,即甲错两题且第2,5题与乙,丙不同,所以其余6题答案均正确,故这8道判断题

的答案分别是xxxWxYx;

对比丁的答案,可知其第2,8两题错误,故得分%=6x5=30,

故选:B.

28.(2023•大兴区模拟)点尸在函数y=/的图象上.若满足到直线y=x+a的距离为形的点尸有且仅有

3个,则实数。的值为()

A.20B.2GC.3D.4

【答案】C

【详解】过函数y=e'的图象上点尸(%,%)作切线,使得此切线与直线y=x+a平行,

又y'=e”,于是e%=1,贝!J=0,%=1;

P(0,l),

于是当点尸到直线y=x+a的距离为应时,则满足到直线y=的距离为④的点尸有且仅有3个,

d=>=y/2,解得a=-1或a=3

V1+1

又当a=-l时,函数>="的图象与直线y=x-l没有交点,从而只有两个点到直线距离为应,所以不满

足;

故a=3.

故选:C.

29.(2023•北京模拟)已知A,3为圆C:(x-机)2+(>-〃)2=4(私〃€尺)上两个不同的点。为圆心),且满

足|CA+CB|=2C,贝『A8|=()

A.2A/3B.2A/2C.2D.4

【答案】C

【详解】设圆C:O-〃?)2+(y-w)2=4与y轴交于A,B两点,取线段钻的中点。,

则由弦的性质可得CE>_LAB,且CD=;(C4+CB),故CD的长度即为圆心C到弦AB的距离.

圆心C到AB的距离为d=—|C4+CB|=—、2若=百,由于圆的半径为r=2,

22

故A8=2x/4^3=2,

故选:C.

30.(2023•北京模拟)已知函数/■(x)=»|x-q|的图象与直线y=T的公共点不少于两个,则实数”的取值

范围是()

A.a<—4B.a1,一4C.—4,,a<0D.a>-4

【答案】B

【详解】f(x)=x-\x-a\=[X(X~a),X-a,

[-x(x-a),x<a

①当a>。时,其图象如下:

x=a

UL

一幺一工―X

1

1

1

1

1

1

函数f(x)=x-\x-a\的图象与直线y=-4的公共点只有1个,不符合题意.

②当a<0时,其图象如下:

y

函数—的图象与直线y=-4的公共点不少于两个时,=-4,

解得④-4;

综上所述:实数a的取值范围是:%-4.

故选:B.

31.(2023•北京模拟)若3点的坐标为(3,2),点P为抛物线C:V=6x上的动点,尸是抛物线C的焦点,

当APB尸周长取得最小值时AP3尸的面积为()

【答案】C

【详解】如图,

由抛物线方程可得,F(1,0),准线方程为尤=-9,

点3(3,2)在抛物线内部,过8作垂直于抛物线的准线,

交抛物线于P,连接小,此时APM的周长最小,yp=yB=2,

2

22则尸《2,2),

635

77

\PB\=3一―=-,尸到的所在直线的距离为2,

33

177

,"8尸的面积为5=—乂一*2=—.

233

故选:C.

32.(2023•北京模拟)设等比数列{为}的前〃项和为5“,贝U'6+生<2%'是'邑,7<0'的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】:等比数列{4},.•.4+%<2。2=。1(4-1):!<0,,4<。且#1,

由S2“T<0,

①当qwl时,4(1一。')<0,则q<0且qwl,

1-g

②当夕=1时,(2〃一1)%<0,即%<0且q=l,

/.q+a3V2a2是S21<0的充分不必要条件.

故选:A.

33.(2023•门头沟区一模)在平面直角坐标系中,角。与/?的顶点在原点,始边与x轴正半轴重合,终边

构成一条直线,且sina=半,则cos(a+/?)=()

A.1B.-C.――D.-1

33

【答案】B

【详解】.•角口与〃的顶点在原点,始边与无轴正半轴重合,终边构成一条直线,sina=中,

21

/.cos(6Z+£)=cos2cr=1-2sincr=—.

故选:B.

34.(2023•门头沟区一模)在声学中,音量被定义为:L=20lg-^,其中是音量(单位为例),p0是基

Po

准声压为2x10-5%,2是实际声音压强.人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值.经过研究表明,人耳

对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值,如图所示,其中240Hz对应的听觉下限阈值为20四,1000Hz

对应的听觉下限阈值为0四,则下列结论正确的是()

140

120

102

80

PPQ

*、

60

40

20

(0

-20

10100100010000

频率/Hz

A.音量同为20四的声音,30~100Hz的低频比1000~10000星的高频更容易被人们听到

B.听觉下限阈值随声音频率的增大而减小

C.240Hz的听觉下限阈值的实际声压为0.002Pa

D.240星的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍

【答案】D

【详解】对于A,30~100Hz的低频对应图像的听觉下限阈值高于20四,1000~10000星的高频对应的听

觉下限阈值低于20用,所以对比高频更容易被听到,故A错误;

对于3,从图像上看,听觉下限阈值随声音频率的增大有减小也有增大,故3错误;

对于C,240所对应的听觉下限阈值为20曲兄=2x10-5川,

令4=20值二=20,此时p=10po=0.0002Pa,故C错误;

Po

对于。,1000Hz的听觉下限阈值为CWB,

令4=20/g二=0,此时0=为,所以240Hz的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz的听觉下限阈值实际声

Po

压的10倍,故。正确.

故选:D.

35.(2023•门头沟区一模)已知非零向量6,则“。与6共线”是||a|-|b||"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】若a与b共线,取为方向相反的单位向量,贝“。-6|=2,||。|-屹||=0,

\d-B\>\\U\-\5\\,充分性不成立;

若|。一6|”||51-1Z?||,则(a-/?)'(|。|一|6I),,整理得到|a||6|”,

若a=0或6=0,不等式成立,且4与b共线,

若。片0且BwO,设a,6夹角为。,贝!]0e[0,乃],即|a||b|a|-16|cos。,即L,cos。,即0=0,故。

与6共线,必要性成立.

综上所述,“。与6共线”是||a|-16||"的必要不充分条件.

故选:B.

36.(2023•门头沟区一模)已知函数/(x)=e,,若存在毛€[-1,2]使得/⑺=毛+/'00)-/恒成立,则

%=/(x())T的取值范围()

A.[0,-+1]B.[-+l,e2-2]C.

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