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文档简介
专题08选择中档题三
1.(2023•昌平区二模)已知点P在直线后一y-10=0上,点。(2cos6>,2sin6)(eeR),贝!)|尸。|的最小值
为()
A.1B.3C.5D.7
【答案】B
【详解】设。(无,y),
由。(2cos,,2sine)(9£尺)可知%=2cos6,y=2sin8,
所以f+y2=4,即。在圆心为(0,0),半径为2的圆上的动点,
圆心到直线的距离d=m=5,
V3+1
所以1尸。需=5-2=3・
故选:B.
2.(2023•昌平区二模)己知双曲线C:3M2-叼2=3的一个焦点坐标为(-2,0),则双曲线C的离心率为
()
A.-B.—C.2D.4
23
【答案】C
【详解】双曲线C:3如2一町2=3化为:1=1,
mm
iq
依题意,-+-=22,解得祖=1,
mm
因此双曲线C的实半轴长为1,所以双曲线C的离心率为2.
故选:C.
b,a,
3.(2023•昌平区二模)对于两个实数〃,b,设min[a,b]=\.则〜=1”是“函数/(x)=
a,a〈b.
min[\x\,|九-力}的图象关于直线x=~^■对称”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】如图,在同一个坐标系中做出两个函数y=|x|与y=|x-4的图象,
则函数/(x)=min[\x\,|尤-4}的图象为两个图象中较低的一个,即为图象中实线部分,
根据图象令x=-x+t,解得x」■,
分析可得其图象关于直线X、对称,
要使函数/(x)=min[\x\,|x-r|}的图象关于直线对称,则f的值为f=l,
当f=l时,函数/(无)=min[\x\,|x-f|}的图象关于直线乂三■对称,
所以、=1”是“函数/(x)=加加{因,|x-7|}的图象关于直线对称”的充分必要条件.
4.(2023•昌平区二模)已知等比数列{4}的前a项和为S“,则下列结论中一定成立的是()
A.若〃6>0,则邑,<0B.若4>0,则S2〃>0
C.若%>0,则S2"+i<0D.若〃5>。,则邑田〉。
【答案】D
【详解】由数列{%}是等比数列,
5
a6=a^q>0,4,q同号,
由用“=皿二q知,当q=_l时,s,“=0,故A,B错误;
i-q
若%=qq4>o,则可知q>o,
当4=1时,该等比数列为常数列,则邑用>0,故c错误;
当〃上1而Q*(1-产)
兰I(7w1盯,S2n+i—»
i-q
q>l时,l-^2019<0,l-q<0,当q<l时,I-/。*>0,I-q>0,
所以由q>0且1-/"T,1-q同号,可知$2.+1>0,故。正确.
故选:D.
5.(2023•延庆区一模)O为坐标原点,点A,3的坐标分别为(2,-1),(-1,3),贝Utan/4O3等于()
A.1B.-1C.—D.--
55
【答案】B
【详解】。为坐标原点,点A,3的坐标分别为(2,-1),(-1,3),
可得自A=~~,kOB=-3,
tanZAOB=-----=-1,
l+-x3
2
6.(2023•延庆区一模)/SO216是国际标准化组织所定义的纸张尺寸国际标准,该标准定义了A,5系列
的纸张尺寸.设型号为A(i=0,1,2,3,4,5,6)的纸张面积分别是4«=0,1,2,3,4,5,6),它
们组成一个公比为;的等比数列,设型号为用《=1,2,3,4,5,6)的纸张的面积分别是々(i=l,2,3,
4,5,6),已知用=4।q(i=l,2,3,4,5,6),则幺的值为()
4
A.-B.—C.&D.2
22
【答案】C
【详解】b;=%%,令i=5,
/.b;=Q4Q5,
又。%,Q],a39a4f”5,4组成一个公比为g的等比数列,
11
472=a4a5=a4'aV-=-a42,
又〃4>0,么>0,
:生=叵.
b5
故选:C.
7.(2023•延庆区一模)将/(%)的图象向左平移l个单位,所得图象与y=sin2%的图象关于y轴对称,则
/(X)=()
A.—sin2xB.sin2xC.—cos2xD.cos2x
【答案】B
【详解】将/(无)的图象向左平移/个单位,所得图象与y=sin2x的图象关于y轴对称,
可知与y=sin2尤的图象关于y轴对称的函数的解析式为:y=-sin2x,
函数y=-sin2x,向右平移g■个单位,可得y=-sin2(x-g)=-sin(2x-万)=sin2x.
故选:B.
8.(2023•延庆区一模)AABC外接圆的半径为1,圆心为O,S.2OA+AB+AC=0,|0A|=|AB\,则C4.CB
等于()
A.-B.y/3C.3D.2指
2
【答案】C
【详解】2OA+AB+AC=0,
OA+AB+OA+AC=0,
OB=—OC.
:.O,B,。共线,5C为圆的直径,如图
.\AB±AC.
\0A\=\AB\,
:.\OA\=\AB\=1,|BC|=2,\AC\=yf3,故NAC3=X.
6
贝lJCA・C5=|CA||C5|cos30o=26x^=3,
2
故选:c.
9.(2023•海淀区校级模拟)已知抛物线C:V=4x的焦点为尸,点尸为C上一动点,线段尸尸的垂直平分
线与x=-l交于点。,则()
A.\QF\..\PF\B.\QF\„\PF\
C.ZPQF..^D.APQP可以为钝角三角形
【答案】A
【详解】因为抛物线C:V=4x,所以尸(1,0),准线为x=T,
过P点向准线作垂线交准线于点M,
所以由抛物线的定义可得\PF\^PM\,
因为线段PF的垂直平分线与x=-1交于点。,所以||=|。尸|,
又因为|QP|…|PM|,所以尸|…|PF|,当且仅当。PJ_y轴时等号成立,所以A正确,3错误;
在APQP中由尸|…|尸尸|可得N。尸尸=仁(^../尸。尸,解得/尸0£,故C错误;
TT
因为42班+42"〈万,所以NQPF=NQEP<5,APQb不可以是钝角三角形,故。错误.
故选:A.
10.(2023•海淀区校级模拟)声强级,是指声强X(单位:皿/m2)和定值0(单位:W/,/)比值的常用对
数值再乘以10,即声强级3(x)=10/g2(单位:dB).已知人与人交谈时的声强级约为45四,一种火箭发
a
射时的声强和人与人交谈时的声强的比值约为IO。那么这种火箭发射的声强级约为()
A.135dBB.C.145tffiD.150dB
【答案】A
【详解】设人与人交谈时的声强为x,则火箭发射时的声强为>=10。,
X
45=10Zg-,
a
;.-=1045,
a
,2=9=109x1045=1产,
aa
所以火箭发射的声强级为:10/g»=10/gl0a5=135,
a
故选:A.
11.(2023•海淀区校级模拟)如图,在正方体中,下为线段8G的中点,E为线段AG上
的动点,下列四个结论中,正确的是()
A.EF//平面ABCQB.存在点E,使郎_L平面BBC。
C.存在点E,使匹//4。D.DB}±EF
【答案】D
【详解】如图,
当E为线段4G的中点时,EF/ZA^B,则所//平面A8CR,当E不为线段4G的中点时,EF与平面
ABCA相交,故A错误;
若存在点E,使郎,平面84GC,而跖U平面A8G,则平面A8C,平面8瓦GC,而平面48G与平
面B4CC所成角的正切值为近,矛盾,故3错误;
当石与A重合时,EF与AC相交,当E不与A重合时,又异面直线所成角的定义可知,EF与AC异面,
故C错误;
由正方体的结构特征可知,DBt_L平面ABC1,而砂u平面ABG,则DB1工EF,故。正确.
故选:D.
12.(2023•海淀区校级模拟)己知数列{4}为无穷项等比数列,S,为其前〃项的和,“H>0,且邑>0”
是“V〃eN*,总有S“>0”的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不必要又不充分条件
【答案】C
【详解】若其>0,且昆>0,
贝!]4>0,ax+a{q>0,qwO,故q>—1,
当一l<q<0或0<q<l时,l-q>0,l-q">0,贝US“>0,
当4=1时,"V〃eN*,总有5'>0”,
当4>1时,l-q<0,l-q"<0,即S“>0,
综上所述,S,>0恒成立,故充分性成立,
“V〃eN*,总有S">0”,
则S[>0,且$2>。,故必要性成立,
综上所述,“。>0,且$2>0”是“V”eN*,总有S,>0”的充分必要条件.
故选:C.
13.(2023•西城区校级模拟)当N个相同的声强级为4四的声源作用于某一点时,就会产生声强级的叠加,
叠加后的声强级〃=L0+10/gN.已知一台电锯工作时的声强是110四,则10台电锯工作时的声强级乙与5
台电锯工作时的声强级4的关系约为()(参考数据:0.3010)
A.Ly«2L2B.11a34C.L2a3D.74—L2«7
【答案】C
【详解】由题意可知:10台电锯的声强级4=110+10/gl0=120,
由题意可知:5台电锯时的声强级^=110+10值5=110+10(1-117,
所以得到4—
故选:C.
14.(2023•西城区校级模拟)已知函数/(x)=sin(x+e)-Gcos(x+9)满足/6)=2,则函数/(%+?)是
()
A.奇函数,关于点(匹0)成中心对称
B.偶函数,关于点(万,0)成中心对称
C.奇函数,关于直线%=万成轴对称
D.偶函数,关于直线x=〃成轴对称
【答案】D
【详解】因为函数/(%)=5皿工+°)-685(%+9)=25111(X+夕一'|0满足/(5)=2,
所以+o—即sin(£+9_g)=l,
所以0—二=2+2kjr,kwZ,
122
74
所以°=五+2'乃'左金Z,
所以/(x)=2sin(x+—),
4
则函数/(尤+&)=2cosx为偶函数,图象关于尤=万成轴对称.
4
故选:D.
15.(2023•西城区校级模拟)数列{*是无穷项数列,则“存在%eN*(%.2),%..4印且4..4:'是“{。,}
存在最大项”的()
A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】根据题意可知,若存在/eN*(%.2),%..%+]且%..a,1a-,
不妨设4=1,a2=2,%=1,a4=2,…即数列从第三项起满足=”-2(”..3),
此时存在加0=2,满足出…%且%•%,
但数列从第三项开始是递增数列,无最大项,所以充分性不成立;
若{4}存在最大项,不妨设数列4,=(g)",此时{见}存在最大项q=g,且为递减数列;
所以不存在"oeN*(〃o..2),q/.q+i且即必要性不成立.
故选:D.
16.(2023•西城区校级模拟)已知点4(1,0),直线/与圆M:^+y2=i交于两相异点3,C,则A8.4C的
取值范围为()
A.[--,4)B.[0,4)C.[-1,2)D.[0,2)
2
【答案】A
【详解】设3(cos<z,sina),C(cos^,sin/?),设O(x(),%)是线段3c的中点,
则AB•AC=(cosa-1,sina)•(cos0-1,sin(3)
=cosacosP-(cosa+cos4)+1+sinasinf3
=cos(a-/?)-(cosa+cos/?)+l
2
=cos(2ZBO£))-2x0+1=2cos(ZBOD)-2x0
=2(隅)2-2%=2|。。『一2%
=2(X(/+%?)—2x0=2Kxo—J?+,
(Xo-g)2+%2表示点0(%>%)与点E(g,O)两点间的距离的平方,
3Q
由于。在圆O内,所以0”|OE|<—,所以0,,|£)E『<一,
24
22
所以(X。——)+y0-—e[--,2),
所以AB.ACJ—工,4).
2
故选:A.
17.(2023•北京模拟)已知函数/(尤)=log2X-(x-l)2,则不等式/'(XxO的解集为()
A.(-00,1)52,+00)B.(0,1)D(2,+8)
C.(1,2)D.(l,+oo)
【答案】B
2
【详解】令/(无)=log2X-(x-l)2=0,Wlog2x=(x-1),得x=l或x=2;
在同一坐标系内画出y=log2尤与y=(x-l)2的图象,如图所示,
则不等式八>)<0的解集为(0,1)D(2,+(»).
故选:B.
18.(2023•北京模拟)宽与长的比为避二0.618的矩形叫做黄金矩形.它广泛的出现在艺术、建筑、人
2
体和自然界中,令人赏心悦目.在黄金矩形ABCD中,BC=^/5-l,AB>BC,那么A-AC的值为(
A.A/5-1B.75+1C.4D.2召+2
【答案】C
【详解】由黄金矩形的定义,可得AB=2,BC=^5-1,
在矩形ABCD中,cosNCAB-...
AC
2
则ABAC=\AB\-\AC\cosZCAB=2x,10-2百x==44,
J10-2百
故选:C.
19.(2023•北京模拟)设{4}为等比数列,若m,n,p,qsN*,则相+几是勺的(
)
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】设等比数列的公比为「,
aa=p+q2
则m,n2,ap-aq=afr~,
若m+n=p+q,贝!J4•%=得・%成立,即充分性成立,
当〃=1时,若4.4=%.4,则加+几=,+乡不一定成立,即必要性不成立,
故根+〃="+夕是〃阳•〃〃•4的充分不必要条件.
故选:A.
20.(2023•北京模拟)已知圆。:(%-2)2+丁=1与直线/:、=底,P为直线/上一动点,若圆上存在点A,
使得NCPA=工,则|PCI的最大值为()
6
A.2A/3B.4C.2D.4有
【答案】C
【详解】圆C:(X-2)2+;/=1的圆心坐标为C(2,0),半径为1,
圆心到直线I的距离d=包1二21=6>1,可知直线与圆相离,
2
由正弦定理可得三角形上4c的外接圆的直径2R=9=2,
.71
sin—
6
尸为直线/上一动点,当直线E4与圆相切时,此时|PC|为外接圆的直径,取得最大值为2.
故选:C.
y
21.(2023•东城区校级模拟)下列函数中,定义域为尺的奇函数是()
A.y=x2+1B.y=tanxC.y=2xD.y=x+sinx
【答案】D
【详解】A.y=/+l是偶函数,不满足条件.
B.y=tanx是奇函数,但函数的定义域不是R,不满足条件.
C.>=2,为增函数,为非奇非偶函数,不满足条件.
D.y=元+sinx是奇函数,满足条件.
故选:D.
2
22.(2023•东城区校级模拟)已知双曲线炉-3=1(6>0)的一个焦点是(2,0),则其渐近线的方程为()
b
A.x+y/3y=0B.y/ix±y=0C.x±3y=0D.3x土y=0
【答案】B
【详解】由题意可得c=2,即1+廿=4,
解得6=唐,
可得渐近线方程为y=土氐.
故选:B.
23.(2023•东城区校级模拟)在空间直角坐标系型中.正四面体P-ABC的顶点A,3分别在x轴,y
轴上移动.若该正四面体的棱长是2,贝力0尸|的取值范围是()
A.[73-1,6+1]B.[1,3]C.[A/3-I,2]D.[1,G+1]
【答案】A
【详解】如图所示,若固定正四面体尸-ABC的位置,则原点。在以为直径的球面上运动,
设AB的中点为则尸M=W-F=若;
所以原点O到点P的最近距离等于PM减去球M的半径,
最大距离是PM加上球〃的半径;
所以百-琬0PlA/3+I,
即10Pl的取值范围是[后-1,73+1].
故选:A.
24.(2023•东城区校级模拟)如果函数/(x)=sincox+y/3coscox(a)>0)的两个相邻零点间的距离为2,那么f
(1)+f(2)+f(3)+...+/(9)的值为()
A.1B.-1C.A/3D.-73
【答案】A
【详解】函数/'(x)=sins+Gcos0x=2sin(ox+3),
且/(x)的图象两个相邻零点间的距离为2,
所以了(无)的最小正周期为4,
即7=也=4,解得工;
①2
所以/(%)=2sinq%+令,
所以/(1)+/(2)+/(3)+...+/(9)
71717137r7197r71
=2sin(-+-)+2sin(i+耳)+2sin(—+y)+...+2sin(—+-)
c冗
=2cos—
3
=1.
故选:A.
2
25.(2023•大兴区模拟)双曲线C:x2-3=1的渐近线与直线彳=1交于A,3两点,且|AB|=4,那么双
b
曲线C的离心率为()
A.0B.&C.2D.6
【答案】D
【详解】由双曲线的方程可得。=1,且渐近线的方程为:y=+bx,
与x=l联立可得丫=±〃,所以|AB|=|26|,
由题意可得4=2|6|,解得161=2,c2=a2+b2,
所以双曲线的离心率e=£=\忙亚=、叵工=石,
a\aV1
故选:D.
26.(2023•大兴区模拟)设{4}是各项均为正数的等比数列,S,为其前〃项和.已知1吗=16,品=14,
若存在%使得%,外,…的乘积最大,则小的一个可能值是()
A.4B.5C.6D.7
【答案】A
【详解】等比数列{%}中,公比4>0;
2
由q.a;=16=a2,
所以出=4,
又星=14,
%吗=1\,解得:〃1=2
所以
%+%=1。。3=8
若仁:时,可得"=2
可得…的值为2,4,8,16...,不会存在小使得o的乘积最
大(舍去),
若,1一2时‘可得'=('可得…的值为8,4,2,1,:,;观察可知存在%=4,使得8x4x2x1
的乘积最大,
综上,可得小的一个可能是4.
故选:A.
Zl.(2023•大兴区模拟)一次数学考试共有8道判断题,每道题5分,满分40分.规定正确的画4,错误
的画x.甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示,则沉的值为()
题号学生12345678得分
甲XqX弋XXX30
乙XX7qNXXN25
丙NXXXNNX25
TXXXqm
A.35B.30C.25D.20
【答案】B
【详解】因为乙丙的第2,5题答案相同,且总得分都是25分,所以第2,5两题答案正确;
又因为甲得分30分,即甲错两题且第2,5题与乙,丙不同,所以其余6题答案均正确,故这8道判断题
的答案分别是xxxWxYx;
对比丁的答案,可知其第2,8两题错误,故得分%=6x5=30,
故选:B.
28.(2023•大兴区模拟)点尸在函数y=/的图象上.若满足到直线y=x+a的距离为形的点尸有且仅有
3个,则实数。的值为()
A.20B.2GC.3D.4
【答案】C
【详解】过函数y=e'的图象上点尸(%,%)作切线,使得此切线与直线y=x+a平行,
又y'=e”,于是e%=1,贝!J=0,%=1;
P(0,l),
于是当点尸到直线y=x+a的距离为应时,则满足到直线y=的距离为④的点尸有且仅有3个,
d=>=y/2,解得a=-1或a=3
V1+1
又当a=-l时,函数>="的图象与直线y=x-l没有交点,从而只有两个点到直线距离为应,所以不满
足;
故a=3.
故选:C.
29.(2023•北京模拟)已知A,3为圆C:(x-机)2+(>-〃)2=4(私〃€尺)上两个不同的点。为圆心),且满
足|CA+CB|=2C,贝『A8|=()
A.2A/3B.2A/2C.2D.4
【答案】C
【详解】设圆C:O-〃?)2+(y-w)2=4与y轴交于A,B两点,取线段钻的中点。,
则由弦的性质可得CE>_LAB,且CD=;(C4+CB),故CD的长度即为圆心C到弦AB的距离.
圆心C到AB的距离为d=—|C4+CB|=—、2若=百,由于圆的半径为r=2,
22
故A8=2x/4^3=2,
故选:C.
30.(2023•北京模拟)已知函数/■(x)=»|x-q|的图象与直线y=T的公共点不少于两个,则实数”的取值
范围是()
A.a<—4B.a1,一4C.—4,,a<0D.a>-4
【答案】B
【详解】f(x)=x-\x-a\=[X(X~a),X-a,
[-x(x-a),x<a
①当a>。时,其图象如下:
x=a
UL
一幺一工―X
1
1
1
1
1
1
函数f(x)=x-\x-a\的图象与直线y=-4的公共点只有1个,不符合题意.
②当a<0时,其图象如下:
y
函数—的图象与直线y=-4的公共点不少于两个时,=-4,
解得④-4;
综上所述:实数a的取值范围是:%-4.
故选:B.
31.(2023•北京模拟)若3点的坐标为(3,2),点P为抛物线C:V=6x上的动点,尸是抛物线C的焦点,
当APB尸周长取得最小值时AP3尸的面积为()
【答案】C
【详解】如图,
由抛物线方程可得,F(1,0),准线方程为尤=-9,
点3(3,2)在抛物线内部,过8作垂直于抛物线的准线,
交抛物线于P,连接小,此时APM的周长最小,yp=yB=2,
2
22则尸《2,2),
635
77
\PB\=3一―=-,尸到的所在直线的距离为2,
33
177
,"8尸的面积为5=—乂一*2=—.
233
故选:C.
32.(2023•北京模拟)设等比数列{为}的前〃项和为5“,贝U'6+生<2%'是'邑,7<0'的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】:等比数列{4},.•.4+%<2。2=。1(4-1):!<0,,4<。且#1,
由S2“T<0,
①当qwl时,4(1一。')<0,则q<0且qwl,
1-g
②当夕=1时,(2〃一1)%<0,即%<0且q=l,
/.q+a3V2a2是S21<0的充分不必要条件.
故选:A.
33.(2023•门头沟区一模)在平面直角坐标系中,角。与/?的顶点在原点,始边与x轴正半轴重合,终边
构成一条直线,且sina=半,则cos(a+/?)=()
A.1B.-C.――D.-1
33
【答案】B
【详解】.•角口与〃的顶点在原点,始边与无轴正半轴重合,终边构成一条直线,sina=中,
21
/.cos(6Z+£)=cos2cr=1-2sincr=—.
故选:B.
34.(2023•门头沟区一模)在声学中,音量被定义为:L=20lg-^,其中是音量(单位为例),p0是基
Po
准声压为2x10-5%,2是实际声音压强.人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值.经过研究表明,人耳
对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值,如图所示,其中240Hz对应的听觉下限阈值为20四,1000Hz
对应的听觉下限阈值为0四,则下列结论正确的是()
140
120
102
80
PPQ
*、
60
恤
40
20
(0
-20
10100100010000
频率/Hz
A.音量同为20四的声音,30~100Hz的低频比1000~10000星的高频更容易被人们听到
B.听觉下限阈值随声音频率的增大而减小
C.240Hz的听觉下限阈值的实际声压为0.002Pa
D.240星的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍
【答案】D
【详解】对于A,30~100Hz的低频对应图像的听觉下限阈值高于20四,1000~10000星的高频对应的听
觉下限阈值低于20用,所以对比高频更容易被听到,故A错误;
对于3,从图像上看,听觉下限阈值随声音频率的增大有减小也有增大,故3错误;
对于C,240所对应的听觉下限阈值为20曲兄=2x10-5川,
令4=20值二=20,此时p=10po=0.0002Pa,故C错误;
Po
对于。,1000Hz的听觉下限阈值为CWB,
令4=20/g二=0,此时0=为,所以240Hz的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz的听觉下限阈值实际声
Po
压的10倍,故。正确.
故选:D.
35.(2023•门头沟区一模)已知非零向量6,则“。与6共线”是||a|-|b||"的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】若a与b共线,取为方向相反的单位向量,贝“。-6|=2,||。|-屹||=0,
\d-B\>\\U\-\5\\,充分性不成立;
若|。一6|”||51-1Z?||,则(a-/?)'(|。|一|6I),,整理得到|a||6|”,
若a=0或6=0,不等式成立,且4与b共线,
若。片0且BwO,设a,6夹角为。,贝!]0e[0,乃],即|a||b|a|-16|cos。,即L,cos。,即0=0,故。
与6共线,必要性成立.
综上所述,“。与6共线”是||a|-16||"的必要不充分条件.
故选:B.
36.(2023•门头沟区一模)已知函数/(x)=e,,若存在毛€[-1,2]使得/⑺=毛+/'00)-/恒成立,则
%=/(x())T的取值范围()
A.[0,-+1]B.[-+l,e2-2]C.
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