浙江省衢州市2024-2025学年高一年级上册1月期末教学质量检测数学试题（含解析）

浙江省衢州市2024-2025学年高一上学期1月教学质量检测数学试题

第I卷（选择题）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合a={1,2,3},B={0,2,4},则2CB=()

A.{0}B.{2}C.{1,2}D.[0,123,4}

2.已知幕函数f(x)的图象过点(2,伪，贝叶(9)=()

A.-3B.V3C.2D.3

3.“x〉0”是的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.下列不等关系成立的是（）

.71717171

A3一03>2°IB.log23>log32C.sin§>tan-D.cos^->cos(—

5.函数〃X）=Q+l）2（x—2）的部分图象大致为（）

6.已知函数/'(%)=2*+x—1,g(x)—log2x+x—1,6%)=婷+x—1的零点分别为a,b,c,则a,b,c

的大小顺序为()

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.b>a>c

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7.已知函数y=f(x)的图象关于点P(a力)中心对称的充要条件是函数丫=/。+。)—匕为奇函数，则函数“久

)=熹图象的对称中心是()

A.(1,1)B.(2,1)C.(0,-1)D.(0,1)

8.已知/(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且/'(%),9(久)在(一8,0］上单调递增，则下

列不等关系恒成立的是()

A.g(g(l))>g(g(2))B.9(/(1))<9(/(2))

C)(9(1))>/(g(2))D./(/(I))>

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.若a>0,b>0,且a+b=4,则下列结论正确的是()

A.2a-2b=16B.Vafa<2

11

C.log2a+log2b>2D.-+^>1

10.已知函数/(x)=sin(cosx)—cos(sinx),则()

A"(久)是奇函数Bj(x)图象有对称轴

C./(x)是周期函数D./(l)<0

11.已知正实数x,y满足｛，;贝1K)

qf—

A.y>1B.%<-C.y2o<V2D.y<x

第n卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若ln(log2m)=0,则m=.

13.玉璜，是一种佩戴饰物.在中国古代，玉璜与玉琮、玉璧、玉圭、玉璋、玉琥等总称为“六瑞”，被倜

礼少一书称为是“六器礼天地四方”的玉礼器，多作为宗教礼仪挂饰.现有一弧形玉璜呈扇环形，已知4D

=4,弧力B长为2兀，弧CD长为兀，此玉璜的面积为

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14.已知函数八乃={"1+久於°+2a+5,x>0在(。，+8)上有4个不同零点，则实数a的取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

在平面直角坐标系久Oy中，角a是第二象限角，且终边与单位圆交于点P(犯台.

(1)求实数m及tana的值；

⑵求3(P+cos(北㈤

(J水sin(7T-a)+sin(尹a)J且，

16.(本小题15分)

2

已知函数/(X)=loga(—x+ax—3)(a>0且a丰1).

(1)若。=4,求函数f(%)的定义域及值域；

(2)若函数/O)在(1,3)上单调递增，求实数a的取值范围.

17.(本小题15分)

TTTT

已知函数人式)=asin(2x-g)+b(a>0,b&R)在区间［05］上的值域为［。,3］.

(1)求函数/O)的解析式；

(2)若对任意久1e［0,刍，存在亚e臣团使得/(久。2f(久2)，求实数小的取值范围.

18.(本小题17分)

-1

已知函数/(X)=a(x+1)+彳，ae.R.

(1)讨论函数的单调性(无需证明)；

(2)若a<0,解关于x的不等式f(|x—2|)>/(久2)；

(3)若关于％的方程外3，+1)=1有两个不同的解，求实数a的取值范围.

19.(本小题17分)

设点集。是集合M={Q,y)|x,yeR}的一个非空子集，若按照某种对应法则/,。中的每一点(％y)都有唯一

的实数t与之对应，则称/'为。上的二元函数，记为t=f(久,y),当二元函数/(久,丫)满足对任意x,y,zeR,均

有：①/(x，y)=/(yA)；②/a%)=0；③/(x*)+/(z,y)>/(x,y)成立，则称二元函数具有性质P.

(1)试判断二元函数f(久,y)=|x-y|是否具有性质P,并说明理由；

(2)若具有性质P,证明：函数g(x,y)=77^而具有性质P；

(3)对任意具有性质P的函数/(K,y),均可推出F(x,y)=”二素篇具有性质P,求实数小的取值范围.

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答案和解析

1.5

【解析】•••/1={1,2,3},B={0,2,4},

•••4CiB={2}.

故选反

2.D

【解析】设fO)=­

1

由/(2)=2。=也得a=5,

1

•••/(%)=%2,

1

则/(9)=9=3.

故选D

3.C

【解析】由矿>1,得久>0,反之也成立，

所以“x>。”是“1>1”的充要条件.

故选C.

4.B

【解析】对于4、3-0-3<3°=1,201>2°=1,则3一°3<2°1,故/错误;

对于B、log23>log22=1,log32<log33=1,则log23>log32,故3正确;

对于C、Sin^-=—,tan7=1,贝Usin^Ctanz，故C错沃；

7T7T7rlTCTT

对于。、COS^-=0,cos(—2)=COS^-=-,则cos,Vcos(一§),故。错误.

故选B.

5.A

【解析】因为函数/(%)=(%+1)2(%—2),

由/(%)=0，得%--1或％=2,

当久<—1或一1V%<2时，/(x)<0,当％>2时，/(%)>0,

由选项可知，只有人满足题意，

故选4.

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6.B

【解析】由题得a,b,c分别为方程2%=1-%,log2%=1-%,%3=1一久的根,

3

在同一直角坐标系中作出y=2%,y=log2x,y=x,y=l-%的图象，

由图可得b>c>a,

故选反

7.C

【解析】令g⑴=熹+小

则定义域为{%|%。0},

口，A1_2%,1_1-2工-1J_11_，、

且9(-%)_2—久]_]+5—1_2%+2—1-2X+2-1-2X~2~-0(%)

则9(久)是奇函数，则函数/⑶图象的对称中心是(0,一同，

/八一J.Z

故选C.

8.C【解析】由题意,得f(x)在(0,+8)递减,g(x)在R上递增，且贝0)=0,

对于4、因为g(2)>g(l),贝!Jg(g(2))>g(g(l)),故/错误；

对于8、因为外1)>/(2),贝的(7(1))>//(2)),故8错误；

对于C、因为g(2)>g(l)>0,则f(g(l))>/(g(2)),故C正确；

对于。、因为/(i)>/(2),若/(1)>/(2)>。，w(ra))</(/(2)).故。错误,

故选c.

9.ABD

【解析】对于2、2。2^=2。+。=24=16,故/正确；

对于B、yTab<r^--2,当且仅当a=6=2时，取等号，故3正确;

对于C、log2d+log2。=Iog2(ab)&log2(喏)=log24=2,

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当且仅当a=b=2时，取等号，故C错误;

对于仄打齐长。+6)©+9=X2：+%A1

4

当且仅当a=6=2时，取等号，故。正确.

故选/5D.

10.BCD

【解析】函数/(%)=sin(cosx)—cos(sin%)的定义域为R,

/(一%)=sin[cos(—x)]—cos[sin(—%)]=sin(cosx)—cos(sinx)=/(x),

则函数/(%)是偶函数，图像关于y轴对称，故4错误，8正确；

因为cos(%+2TT)=cosx,sin(x+2TT)=sinx,

所以/(%+2TT)=sin[cos(x+2TT)]—cos[sin(x+2TT)]=sin(cosx)—cos(sinx)=/(%),

故函数/(%)是周期函数，选项C正确；

因为0<cosl<1,所以0<sin(cosl)<sinl,

又因为0<sinl<1,所以cosl<cos(sinl)<1,

因此，sin(cosl)<cos(sinl),

所以/(l)=sin(cosl)—cos(sinl)<0,选项D正确.

故选BCD.

U.ABD

【解析】由y8=3%+y,%>0

可得y'—y=y(y7-1)=3x>0,

又y>0,则y，—i>o,故故4正确;

%>0,则%4=%+1>1,则%4>1,即％>1,

令f(%)=X4—X—1,X>1,

则正实数%为/(%)=0的解，即为/(%)的零点，

/(%)=%4—X—1=%(%3—1)—1,

x>1,x3—1>0,且函数y=%与y=炉—1都单调递增,

故/(%)=X4—X—1在％>1时单调递增，

62551625-320-25649、八

/(1)=-1<0,/(1)-----———1==------〉0

2564256-----------256

故f(x)在(琮)上存在零点，即1＜久故8正确;

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y8-y-3x,1<x<1,贝ij3xe(3,竽)，

令g(y)=y8—y，y>1,贝！lg(y)e(3,第，

g(y)=y8—y=y(y7—1),

由y>l,y7—1>0,且函数s=y,s=y7—i均单调递增，

故g(y)=,一y在y>i单调递增，

i<y2(应时，5(y)<(V2)4-V2=4-V2,

由Gl,可知4—时<3,即此时g(y)£(3+,

故步>四，故c错误；

.(%4=1+%汨=%2+2%+1日nf——%=%2+%+1

田(y8=3%+y，量ly8=3%+y，BlJty8-y=3xf

由1V%<■!，可得%2+x+1—3%=x2—2%+1=(%—l)2>0,

t^Jx2+%+1>3x,即久8—久〉y8_丫，即g(x)>g(y),

又y>l时，g(y)单调递增，且x>l,y>1,故龙>y,故。正确.

故选/5D

12.2

【解析】由ln(log2H2)=0得log2nl=1,所以m=2;

故答案为2.

13.6兀

1

【解析】玉璜的面积为5X(7T+2兀)x4=6兀，

故答案为67r.

14.[—3兀,一2兀)

【解析】由sin久=0得久=/OT(/CeZ),

①若/'(x)=N—2%+2a+5无零点，则(一2尸-4(2a+5)<0,得a>—2,此时/'(久)=sinx满足条件的零

点最多1个，不合题意；

②若/'(久)=丫2-2x+2a+5只一个零点，则a=—2,此时f(x)=sMx满足条件的零点最多1个，不合题意;

③若/(*)=/-2%+24+5有两个零点，一个正数，另一个为零，则a=-|,此时/(久)=sinx满足条件的

零点只1个，不合题意；

④若/'(X)=久2-2x+2a+5有两个正零点，则｛$[2+">°,则一|<a<-2,此时/'(x)=sinx

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满足条件的零点有1个，不合题意；

⑤若f(x)=%2—2久+2a+5有两个零点，一个正零点，另一个为负零点,2a+5<0,此时a〈—也

则/■(久)=sinx满足条件的零点必须有3个｛二|彳空，得一3?r<a<-27r.

综上：ae[―3区—2兀).

故答案为[-3兀,一2").

44

15.解(1)因为角a与单位圆交于点P(zn，M),所以sina=《，cosa=m,

又角a为第二象限角，且siMa+cos2a=1,

所以7n=cosa=—Vl^sin2a=一三，所以tana=亘=-

5m§

cos(—a)+cos(^7i—a)_cosa—sina_1—tana_7

Isin(7T—a)+sin(j+a)sina+cosa-tancr+1-,

2

16.1?：(1)当a=4时，f(%)=log4(—x+4%—3),

令一支2+4%—3>0=1<x<3,

所以函数/(%)定义域为(1,3),

2

又f(x)=log4[-(x-2)+1],

22

所以0<—x+4x—3<l^log4(-x+4%-3)<0,所以函数/(%)的值域为(-8,0].

(2)设1=-x2+ax-3,因为/(%)在(1,3)上为增函数，

所以当a>1时，t=—/+a%—3在(1,3)上为增函数且—/+a%—3>0在(1,3)上恒成立，

a>1

所以｛弓》3=a》6,

、-1+a—3》0

当0<a<1时，t=—x2+ax—3在(1,3)上为减函数且—7+—3>0在(1,3)上恒成立，

0<a<1

所以修<1=无解.

、一9+3a—3)0

综上所述，实数a的取值范围为[6,+8).

17.解：(1)因为所以一三2x—三票，

则一注sin(2%—^)<1,

又a>0,故—]+/(x)<a+b,

依题意则「金甘；。，解得居二:，

(a+6=3—1

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TV

故/(%)=2sin(2x—g)+1；

(2)由题意可知f(Xi)min27(%2)min，

因为e[0,^],

LLr、iRITIT

所以一%W2xi—4〈不

则一吴sin(2%Y)<1,

故f01)min=0，

7T1

则/'(%2)minW0即sin(2%2-6)minW一m

又*26后河所以詈<2x2-^<2m-^,

贝|]2加一*2等，解得小2§,

oo3

217"

故小的取值范围为[于+8).

18.解：(1)/(久)定义域为｛x|x力0｝,

当Q=0时，/(X)=!在(-8,0)和(0,+8)上单调递减；

当a<0时，f(x)=a%+*+。在(一8,0)和(0,+8)上单调递减；

当a>0时，/(%)=a%+*+。在(—叫—华)和(由+8)上单调递增；

在(,*o)和(0苦)上单调递减；

(2)由/(%)的定义域知—2|>0,X2>0,得％W2且%W0,

1,

又由(1)知当a<0时，/(%)=ax+-+。在(0,+8)上单调递减；

故/(|%—2|)>—2|<%2,

则或｛丈黑尤2,即2或久>1，

所以不等式/'(,-2|)>/■(7)的解集为｛x|x<-2或1<x<2或x>2].

(3)令t=3，+l,则其在R上单调递增，且t>l.

则方程/(3才+1)=1有两个不同解等价于方程f(t)=1在(L+8)上有两个不同解,

1

f(t)=a(t+1)+--1在(1,+8)上有两个不同解.

即a=盅会在(1,+8)上有两个不同解.

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mm

令6=t—16(0,+8),则a=(优+D(M+2)=-2+3„1+2,

故，=m+得+3在n?G(0,+8)上有两个不同解，

又37=租+知+3在(0,加上递减，(短+8)上递增，

贝咕>3+2遮，即0<a<3—2&.

19.解：(1)f(x,y)=|x-y|具有性质P,

所以/'(%%)=|y一对=f(x,y),

f(x,x)=\x—x\—G,

f(x,z)+/(z,y)=\x-z\+\z-y\>\x-z+z-y\=\x-y\=/(x,y),

故/(x,y)=|工一y|具有性质P.

(2)因为gQ,y)="(M)="(y,x)=g(x,y);

g(K,x)=Jf(x,久)=0;

下证g(x,z)+g(z,y)>g(x,y),

即证J/(x,z)+J/(z,y)>J/(x,y)，

Q/(x,z)+/(z,y)+27/(x,z)J/(z,y)>/(x,y),(*),

又/®y)具有性质P，故/O，z)+/(z,y)>f(x,y),

结合2，f(：r,z)"(z,y)N0,知(*)式成立，

故g(x,z)+g(z,y)>g(&y)成立，

所以函数g(x,y)具有性质P.

(3)先证f(x,y)具有性质P时，必有f(x,y)>0成立.

因为/(%,y)具有性质P