圆锥曲线压轴小题 -2025年新高考数学二轮复习

微专题17圆锥曲线压轴小题

【秒杀总结】

1、求的离心率（或离心率的取值范围），常见有以下方法：

①求出a,c,代入公式e=£；

a

②只需要根据一个条件得到关于a,6,c的齐次式，结合〃=02—“2转化为。的齐次式，然后等式

（不等式）两边分别除以a或〃转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.

③几何法：寻找几何关系，将问题转化

④坐标法：一般套路将坐标代入曲线求解

2、解析几何中与动点有关的最值问题一般的求解思路：

①几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值；

②代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数求最值.

【典型例题】

例1.（2024•辽宁・一模）已知双曲线Ci：-£=1的下焦点和上焦点分别为耳F2,直线y=x+机与C交

于48两点，若面积是片4?面积的4倍，则优=（）

A.3B.-3C.—D.--

33

【答案】D

2

【解析】由。:匕-可知,耳（0,—2）,心（0,2）,

3

2

、-2L_X.

联立“3,消兀得：2x2—2mx+3—m2=0,

y=尤+〃？

则即加2>2,

由，EAB面积是，片AB面积的4倍可知，B到直线A3的距离是尸।到直线48距离的4倍，即

化简可得15济+68/71+60=0,即（3«1+10）（5〃?+6）=。,

解得或机=-|（舍去），

故选：D

例2.（2024・高三.山东荷泽•阶段练习）焦点为尸的抛物线C:y2=2px（0>0）的对称轴与准线交于点A,点

3在抛物线C上且在第一象限，在AAB/中，3sinNAfB=4sinNE4B,贝|cosNEB4=（）

A-7+30口7-3007+30口-7-3&

12121212

【答案】C

【解析】过点8作准线的垂线，垂足为打，作无轴的垂线，垂足为E,

则由抛物线的定义可得忸同=忸"|,由3smZAFB=4sinZFAB,

在△ABB中，由正弦定理可知：\AB\=^\BF\=^\BH\,即恒川=，忸川，

则sin/BA尸=也，cosZBAF=-,

\AB\44

sin/BFE——,cos/BFE——,

\BH\33

所以cosZFBA=cos(Z.BFE-ZBAF^=cos/BFEcosZ.BAF+sinZ.BFEsinZBAF

3亚近"3A/2+7

二—X-----1-----X-----=-----------

434312

故选：C.

例3.(2024・江苏盐城•模拟预测)在平面直角坐标系xoy中，已知A(l,0),B(0,3),动点尸满足

OP=xOA+yOB,且⑶+1止1,则下列说法正确的是()

A.动点尸的轨迹是一个圆B.动点尸的轨迹所围成的面积为6

C.动点P的轨迹跟坐标轴不相交D.动点尸离原点最短距离为1

【答案】B

x=a

/、\a=x

【解析】设尸点坐标为(区切，则由已知条件0尸=了。4+必8可得q=3'整理得,b.

y=—

3

又因为N+|y|=i,所以尸点坐标对应轨迹方程为囱+网=3.

a>0,且620时，方程为3a+6=3；a>0,且b<0时，方程为6=3。-3；

a<0,且人之0时，方程为匕=3Q+3；a<0,且b<0时，方程为3。+〃=—3.

尸点对应的轨迹如图所示：

金=砧=-3,且|筋|=忸[=仁£）|=|。叫=可，所以尸点的轨迹为菱形，故A、C错误;

原点到AB：3。+6—3=0的距离为~,=s<1,D错误;

V32+l210

轨迹图形是平行四边形，面积为2x；x2x3=6,B正确.

故选：B.

例4.（2024.高三.山东荷泽•阶段练习）已知抛物线C的方程为y=；/,/为其焦点，点N坐标为

（0,-4）,过点尸作直线交抛物线C于A、3两点，D是无轴上一点，且满足|D4|=|Q同=|r>N|,则直线A3

的斜率为（）

A.土反B.土姮C.±72D.±73

22

【答案】B

【解析】设3（々,必），0（。，0），直线A8方程为y=^+l,

y=kx+1

联立直线与抛物线方程1,可得％2—4丘-4=0,

y=­x2

I4

显然A〉0,所以再々=—4.

X.|DA|=|DB\=|DN\=y/a2+42,即J（X]_q）~+y；=[（x?-a『+£=《a。+4。，

即％；+y；_2ax_16=0,x；+y：-2ax2-16=0,

故A（石，X）,5（9,％）是方程/+：/-2以-16=0的解,

将y=履+1代入方程兀2+/一2。%—16=0,

整理得（1+公卜?+（2左一2a）x-15=0,显然A>0,

1+k2

••]=♦，即-半.

22

例5.（2024•黑龙江.二模）双曲线c：=-2=l的左、右顶点分别为A,4,左、右焦点分别为耳，F2,

ab

过耳作直线与双曲线C的左、右两支分别交于"，N两点.若F、M=glN,且cos/£A骂=；,则直线

与的斜率之积为（）

3

D.

2

【答案】C

【解析】由双曲线定义可知|明|-|町|=24,\MF^-\MF\=2a,

设|摩卜加，则有|g|=2。+加，|踊|=5m，|尊|=5加一2",

（4m）2+（5m-2tz）2一（加+2〃『

由余弦定理可得cosNRNF?

2x4mx（5m-2^）4

整理可得：m=|a,故度团=1即\NF2\=^a,

则有COSZF{NF2整理可得：8a、3c2,

4

设/（%,%）,则有.一/=1,即x；=a2+0y：=/1+/_

%%二¥二万二（？一〃2二。2[二g]二5

故。2

x0+ax0-a2。24a2a33.

Ib2）

故选：C.

例6.（2024・安徽合肥•一模）已知直线•一1=。与（7:炉+9一2x+4y-4=0交于A,B两点，设弦

A3的中点为M,。为坐标原点，则10Ml的取值范围为（）

A.[3-63+向B.|^\/3—1,A/3+1J

C.[2-62+6]D.|^A/2—1,^/2+1J

【答案】D

【解析】。:/+丁-2工+4、-4=0即（无一iy+（y+2『=9,则圆心为C（l,-2）,半径r=3,

人fx—1=0fx=l/、

直线/：.4_1=0,令，解得[y=o,即直线恒过定点（I，。），

X（l-l）2+（0+2）2=4<9,所以点（1,0）在圆内，

、/\/\/、\x-ay-1-Q

设5（%2，%），加（%0，%）,由j%2+y2_2x+4y_4=0，

消去X整理得（〃+1卜2+分_5=0,显然A>0,则%+%=-忌/

24—4〃+2

则石+x=Q（X+%）+2=

2^+1

玉+x/—2a+12

所以2

2a2+12"+1

a2—2〃+12

石+x2M+%

则尤0='%二

2/+12a2+l

2

-2a2a2-l

+=1,

a2+1a2+1

又直线/：X-卬-1=0的斜率不为0,所以M不过点（1,0）,

所以动点/的轨迹方程为（尤-犷+（y+以=1（除点（1,0）外）,

圆（x-iy+（y+l）2=l的圆心为N（l,-1）,半径4=1,

又|ON|=712+（-1）2=夜，所以|CW|一｛4|0河|<|ON]+4,

即a一1W|OM40+1,即10M的取值范围为应+1].

故选：D

例7.（多选题）（2024•新疆乌鲁木齐二模）已知点A（TO）,8（1,0）,直线人跖府相交于点且它们

的斜率之和是2.设动点M（x,y）的轨迹为曲线C,则（）

A.曲线C关于原点对称

B.尤的范围是{小w0},y的范围是R

c.曲线c与直线y=x无限接近，但永不相交

D.曲线C上两动点尸（a,b）,Q（&d）,其中。<0,c>0,则|尸°二=242a-2

【答案】ACD

【解析】设M（x,y）,由题意七材+原”=2,

即上+上=2,化简得孙=r-1,

x+1x-1

X2-11

即>==且"±1）,

XX

11

对于A,将（-%-'）代入得一了=一尤一一BPy=x--,

所以曲线C关于原点对称，故A正确；

对于B,由A选项知，x的范围是{x|xw0且xH±l},故B错误；

对于C,由y=%—,得y_%=—，

XX

当％f+8时，f即丁一兀―0,

x

当％-—00时，一工-0,即丁一%—0,

X

所以曲线。与直线y=x无限接近，但永不相交，故c正确；

对于D,要使|PQ|最小，则曲线。在RQ两点的切线平行，

由>=兀，得''=1+=，则1+—^=1+=，所以〃2=。2,

xxac

因为Q<0,C>0,所以。二一。,

所以|尸。|=J（2c）2j8c2+=一8>,2卜:一;=2,2夜一2,

当且仅当8c2=',即°=竹时取等号，

所以|PQ，m=2V2V2-2,故D正确.

故选：ACD

例8.（多选题）（2024.高二.河南驻马店•期末）法国著名数学家蒙日首先发现椭圆两条互相垂直的切线的

交点轨迹是以椭圆的中心为圆心的圆，后来这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆C:二+丁=1,其蒙日圆为圆

3

M,过直线/：x-y-4=。上一点尸作圆加的两条切线，切点分别为A,B,则下列选项正确的是（）

A.圆Af的方程为V+y2=3B.四边形PAA/B面积的最小值为4

C.PAJB的最小值为8近-12D.当点P为（1,-3）时，直线A8的方程为x-3y-4=0

【答案】BD

【解析】当切线的切点分别为椭圆上顶点和右顶点时，可以得到两切线的交点为（6,1），所以蒙日圆M的

方程为Y+y2=4,故A不正确；

四边形上4MB面积为：2S^PAM=\P^-\AM\=2\P^,只需求出1PAi的最小值，而卢间的最小值为点M（0,0）

到直线/：x—y—4=0的距离"=缁^=2&,所以1PAi的最小值为J|PM『-4=2,故B正确；

28

设NAPM=0,则sin。=询,故cos29=l-2snr2°=1一百『，

所以P4尸8=1尸4,cos29=|.cos20=（|「一4）（1———y）=|PM「+——y—12,

又户1222夜一12=80-12,当且仅当=4五取等号，

而|P"|的最小值20，故1PM『的最小值8,故等号取不到，故C不正确；

当点尸为（L-3）时，点p,A,M,3四点共以尸”为直径圆上，

所以这个圆的方程为（xT）x+（y+3）y=0,与圆M方程联立，可得直AB的方程为尤-3y-4=0,故D正

确.

故选：BD.

例9.（多选题）（2024•云南昆明•模拟预测）设。为坐标原点，直线/过抛物线C：丁=22《。>。）的焦点

尸且与C交于A,B两点（点A在第一象限），|"二=4,/为C的准线，AMLI,垂足为M,2（0,1）,

则下列说法正确的是()

A.p=2

B.|AM|+|AQ|的最小值为0

C.若/加尸0=三，贝i||AB|=5

D.x轴上存在一点N,使3V+KBN为定值

【答案】ABD

如图，对于A项，因直线4经过点尸，故当且仅当A3为通径时，IABI最短，即2。=4,即。=2,故A项

正确；

对于B项，由抛物线定义知IAM1=1A用，故|4凹+恒0=|4典+恒0,由图知，当且仅当Q,A尸三点共线

时，|AF|+|AQ|取得最小值，

即(|+|AQ|)1nli,=|0刊=0,故B项正确；

对于C项，因|必|=〃=2,在Rt^MFK中，由/〃/。=；可得：|长加|=26,即得点尸(3,2道)，

于是4：y=瓜一6代入V=4x中，整理得：3%2-10%+3=0,解得：乙=3,%=；，即得

A(3,2V3),B(—,—^―),

故|A3|=J(3-g『+(2退一半)=殍，即C项错误；

对于D项，设直线4：x=my+l,代入y2=4x中，整理得：y2-4my-4=0,设A(x”%)，则得：

1%+%=4小

[%%=-4，

设在x轴上存在一点N&0),则

,为_%,必_2〃沙|必+(1一。(上+%)

%AN'凡RN—'—I—0

xx-tx2-tmyx+1-/my2+l-tmyxy2+(1-0^(^+y2)+(l-/)

2m（-4）+4（1—t）m_2m（-4）+4（1-t）m_-4m（t+1）

-4m2+4（1-力帆2+&_-4m2+4（］_力机2+&_力2。一］）2一4冽2.’

故当U-1时，L+%v=。，即存在点N（-1,O）使得原N+原N为定值。.故D项正确.

故选：ABD.

22

例10.（多选题）（2024・河北•一模）己知月，F?是双曲线c5一2r=1（。＞0力＞0）的左、右焦点，

ab

国用=2c,尸（石,弘）为C右支上一点，F.P1F.P,△甲迟的内切圆的圆心为£（々,%），半径为广，直线

PE与x轴交于点“«,（））,则下列结论正确的有（）

A.x2=a

B・r=y/c2+6i2-c

C.xxx3=xl

D.若^耳尸耳的内切圆与y轴相切，则双曲线C的离心率为6+1

【答案】ACD

【解析】如图，作尸鸟，工

A.EEGLFXF2,EHPF1,

根据切线长定理，耳冏=国

\PH\=\PF\,I3,\F2F\=\F2G\,

又|尸耳卜忸回=2a,所以比MT码|=勿，寓q—|&G|=2a,

所以（0+々）-（。-々）=2。，即％=。，故A正确；

B.因为「周一归引=2"，PFJPF”

所以|「名『+（忸阊+2a）2=4c2,解得：|「周=J2c2-口一”,|P^|=72C2-（72+a,

所以『二7宗q退阀||桃邛-也”贷_p—

故错误;

|尸司+|「用+£用2后H+2c后彳+,一板+”B

CPFXF2

\PF\\ME\

C.由内切圆的性质可知，PE为角平分线，则蕾}=导，

ex,+ax,+cr

ER——=--,整理为2%马=2碇，即士玉&=QC,

eX]—cic—ci

所以X］尤3=1,由A选项的证明可知，6=X；,即%当=考，故C正确;

D.若△片尸耳的内切圆与y轴相切，贝卜=%，

则由选项AB知，a=Jc°+b2-c,即2c~—a?=（a+c）,

贝ljc2—2“c-2a2=0,即e2—2e—2=0，e=g+l或e=l-若（舍），

所以双曲线C的离心率为6+1,故D正确.

故选：ACD

例11.（多选题）（2024・高三・河南濮阳•开学考试）费马原理是几何光学中的一条重要定理，由此定理可以

推导出圆锥曲线的一些性质，例如，若点A是双曲线C（耳工为C的两个焦点）上的一点，则C在点A处

22

的切线平分4A片.已知双曲线C：土-匕=1的左、右焦点分别为耳,£,直线/为C在其上一点

84

A（4石,2巡）处的切线，则下列结论中正确的是（）

A.C的一条渐近线与直线后-y+3=。相互垂直

B.若点B在直线/上，且与BLAB,则|。却=2顶（0为坐标原点）

C.直线/的方程为尤-若y-4=。

D.延长AF2交C于点尸，则△AP£的内切圆圆心在直线x=速上

3

【答案】ABD

【解析】选项A：双曲线cU=l的一条渐近线方程为＞尤与&x-y+3=0相互垂直，故A正

确；

选项BC：因为0=2应力=2,所以c=2石,耳卜2疯0）牛（2后0）,

所以|A周=#/+2⑹?+仅君『=8后,\AF2\=442,

又踹=n=2,所以联，,。］所以…AG=展7甲,

x

直线/：y=5—，BPA/3X-yj5y—2=0f故C错误,

y/3x-2

设从羽舞二

则k=5化简得：x=Y,

I75）即x+273V15

所以网-指，-君），则|。回=20,故B正确;

所以尸［学V15

2后］k7

一2殍竽

所以直线3：y=-号（x+2者），

因为△＞1/＞片的内切圆圆心在直线直线/：、=当1口一上，若又在直线x=速上,

5I3J3

（4h2八

则内切圆圆心为3，5'圆心到直线Ag:J］。-3y-66=0的距禺为：

内YD「石

4回，

4=

J15+915

圆心到直线M：而x+39y+6百=0的距离为:

^X4T+39X2F+6^

4，30，即4=4，

d=

2V15+39215

所以点［竽，*］也在NAPE的角平分线上，即点［芈，芈

为用的内切圆

圆心，圆心在直线x=±＞亘上，故D正确;

3

故选：ABD.

【过关测试】

1.（2024•辽宁•一模）已知尸为椭圆C:=+;/=1（°>0）的右焦点，过原点的直线与C相交于两点,

a"

且RUx轴，若3怛典=5|/用，则C的长轴长为（）

A.毡B.迪C.273D.速

333

【答案】B

【解析】设/（G。），如图，记尸为C的左焦点，连接AF,

则由椭圆的对称性可知|AF'|=|3尸由3忸耳=5|A同，i§：\AF\=3m.,\BF\=5m,^\AF'\=5m.

又AFJLx轴，所以|尸尸［=AF「一|AP『=4加=2c,即c=2:w,

]AF'\+\AF\=8m=2a

所以解得

a2—l=c2=4m2

所以C的长轴长为2a=记.

2.（2024.辽宁•一模）过圆C:（x+l）2+y2=i上的A,3两点分别作圆C的切线，若两切线的交点M恰好在

直线/：x+y-2=0上，则|MCHAB|的最小值为（）

A.半B.3C.36D.714

【答案】D

【解析】因为圆C的方程为（尤+1）2+丁=1,所以圆心C（-l,0）,半径厂=1.

因为AM,MB是圆C的两条切线，所以

由圆的知识可知AM，8,C四点共圆，且

所以|MC"=4S“A。=4x5x|AM|x|AC|=21MAi,

又|MA|=W祈二i，所以当悭。最小，即MC，/时，取得最小值,

此时上量=呼，

7z乙

所以（Ml•网）皿=2阿皿=2,—1=-J14-

故选：D.

3.（2024.高三.河南.期末）己知抛物线C:/=8x的焦点为歹，过点尸的直线/与抛物线C交于A,B两

点，点A在x轴上方，且A的横坐标为5,则（）

IAF|

A.-B.C.-D.-

7755

【答案】C

【解析】如图，设点A,8在抛物线C的准线上的投影分别是A,",作即，44',垂足为。，8。与x轴

交于点E,

由题意可知|AF|=5+2=7.设|3尸|=W，则|AD|=7-%|EF|=4-m,

BFEFm—小

易证BEFsABDA，贝4丹II=%II，即一---4-，整理得5加=14,

\AB\|AD\m+77-m

4.（2024•广东•模拟预测）抛物线＞2=4x的焦点为尸，过下的直线交抛物线于A,2两点.贝“AF|+41Ml

的最小值为（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】D

【解析】由题意可知F（1,O）,设＜4B：x=O+l，

联立直线AB与抛物线方程]V14"2_46一4=0n%%=-4,

[x=ky+l

22

所以玉%2=~~■~~—1,

而|A7^|+41=：Xy+1+4（%2+1）=七+4%2+522J不.4々+5=9.

当且仅当号=2,无2=g时取得等号.

故选：D

5.（2024•山东烟台•一模）在平面直角坐标系xQy中，点A（T,0）,8（2,3）,向量0C=〃?OA+〃OB，且

机—〃一4=0.若P为椭圆f+,=l上一点，则pc|的最小值为（）

A.17ioB.MC.|V10D.2M

【答案】A

【解析】设点C（尤,y）,由A（T,0）,B（2,3）及oc=〃cOA+〃O8，得（尤,y）=（fz+2〃,3〃），

[x=—m+2n

即4，ffi]m—n—4=0,消去加，〃得：3x—y+12—0,

[y=3n

2

设椭圆V+乙=1上的点P（cose,々sin6）,eeR,

7

上,|3cos6»-V7sin0+12|12-4sin（6+p）~3.

贝ij点尸至I]直线3x-y+12=。的距禺d=-----游+（i）2-----=-----而-----'其中锐角。由tan。="确

定，

当sin（e+°）=i时，d^=^y/io,而pcpd,所以|PC|的最小值为:函.

故选：A

6.（2024・北京.模拟预测）已知直线/:尤+y-2&=0,圆T:V+/=/（厂＞0）,若直线/上存在两点A3,

圆「上存在点C,使得|AB|=2,且ZACB=90,贝"的取值范围是（）

A.[1,3]B.[2,3]C.[l,+oo）D.[2,+8）

【答案】C

【解析】若直线/上存在两点A,8,圆「上存在点C,使得|AB|=2,且ZACB=90,

则条件等价于圆心（设为。）在直线/:x+y-20=0上且半径为耳=1的动圆与圆「产+产=/3＞0）

有交点，

圆F:尤2+y?=r2（r>0）的圆心为0（0,0）,

0（0,0）到直线/:x+y-2.=0的距离d」-2闽=2,

V2

当圆「:尤2+/=/“>0）与直线相离时，即0<厂<2时，

则圆「:尤2+>2=/&>0）上的动点C到直线的最小距离为2—r,

此时只需满足2—厂（1即可，所以/'21；

当rN2时，圆「/+丁=/（厂>0）与直线有交点，此时圆「和直线上一定分别存在点C,£>,使得

|CD|=1,符合题意.

综上，r>l.

故选：C.

22

7.（2024.天津・一模）过双曲线-的左焦点/作圆/+产=02的切线，切点为A,

直线E4交直线区=。于点8.若R4=3AB，则双曲线C的离心率为（）

A.72B.75C.叵D.亚

53

【答案】D

【解析】取右焦点尸2,连接A。、BF2,作gMLAB于点M,

由E4为圆尤?+y2="的切线，故E4_LAO,又/y/_LAB,

。为歹月中点，故A为MF中点，XBA=3AF-故M为£8中点，

\AF\=^|OF|2-|OA|2=Vc2-a2=b,则|村|=\BM\=2b,

\F2M\=2\O^=2a,则忸局=/仅4+（28『=2c,

\OB\=^2+（3&）2=yla2+9b2,由直线桁-0=0为双曲线的渐近线，

ha

故有tanZBOF=—,则cosZBOF=—,

2ac2

a+2+泌？_4c2

在j8。乙中，由余弦定理可得cosNBOg=3=c\,

c2cL2+9/

贝U2ay]a2+9b2=a2+9b2-3c2，即a4c1+8必=4b2-c2，

BP（C2-Z72）（C2+8/72）=（4&2-C2）2,化简得8/=5C2,BP8c2-8a2=5?,

故选：D.

22

8.（2024.天津南开.一模）已知。为坐标原点，双曲线C：*-与。＞0）的左、右焦点分别是

ab

K，F2,离心率为诿，点尸是C的右支上异于顶点的一点，过F。作/的尸居的平分线的垂线，垂足是M,

2-

四0|=0,则点尸到C的两条渐近线距离之积为（）

42

A.-B.-C.2D.4

33

【答案】B

【解析】如图，延长”与，交P耳于点N,由已知PM是/耳P8的平分线，且「

所以|PN|=|正词，且点M是N8中点.

由原点。是耳工中点，可得凰=!（|Pf；|-|P^|）=!（|Pf；|-|Pfi|）=a,又眼。=夜，

所以4=血，又离心率为£=逅，C=粗，b=l.

a2

22

设点尸（x,y）,所以1一2=1,即〃x2-a2y2=//,

ab

所以点尸到两条渐近线距离之积为："厂二a＞一=色

CC

故选：B.

9.（2024・青海・一模）已知过抛物线C：V=8%焦点/的直线/与。交于A,鸟两点，以线段A3为直径的

DE

圆与y轴交于。，E两点，则7万的取值范围为（）

A.(0,1]B.0,.C.Q,1

【答案】B

【解析】如图：

抛物线C：/=8x,所以焦点产(2,0),

所以当直线/的斜率存在时，

设直线/的方程为，=左口-2)(b0),A&,%),3(孙％)，

由V〉、，得上2%2_（4左2+8）%+4左2=0,

y—K\x—/J

4s+88由于圆心H为AB的中点，则"]2+/,汽

所以X1+%2A

F

Q

根据抛物线的定义可知\AB\=xl+x2+p=S+^,

所以圆H的半径一=〈|A/=4+《,

LK

4

过H作HG_LOE,垂足为G,贝U|8G|=2+F，根据垂径定理,

得口目=2|DG|=2,产一|HG『=2,12+\,所以

t>

4

4

-+t

所以〃（0>〃（2力）=当f,所以咚，

当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为X=2,

此时|AB|=芯+%+°=8,|。目=2\DG\=2d毕-2?=，

DEJ3

所以海=5'

DE（

综上，二三的取值范围为。，一，

AB12

故选：B.

10.（多选题）（2024•江苏.一模）已知抛物线E：d=4y的焦点为凡过尸的直线4交E于点A（占,必），

8（%,%）,E在8处的切线为、，过A作与、平行的直线儿交E于另一点。（天,力），记4与>轴的交点为

D,则（）

A.yty2=1B.x；+x3=3x2

C.AF=DFD.ABC面积的最小值为16

【答案】ACD

【解析】A选项，由题意得网0,1）,准线方程为y=-l,

直线4的斜率存在，故设直线4的方程为>=丘+1,

联立x?=4y,得r-4左-4=0,占％=-4,故%%=7^工；*=1，A正确；

16

B选项，y'=£x,直线6的斜率为:无2,故直线4的方程为y-y

2

即y=+%+2,联立X=4y,得x—2X2X—2（+2）=0,故西+退=2x2,

所以B错误；

C选项，由直线。的方程y—X=^（xf），令x=o得y=^C，

又为马=一4,所以y=%+2,

故。（O,%+2）,^\DF\=yl+l,

又由焦半径公式得恒司=%+1,所以C正确；

D选项，不妨设玉<马，过3向4作平行于y轴的直线交4于M，

根据B选项知，X{+X3=2X2,

故SABC—2sABM，

根据直线4的方程y-%(x-尤J，

22

=+yi=+1+2

当x=%2时，y=/(%2_玉)+%~2~~2^~2~^，

（x2、

故M兀2，号+》1+2〉

故忸叫=或+必+2-%

、2

(4

%H----

IV7

故.ABC的面积最小值为16,D正确.

故选：ACD

11.（多选题）（2024・云南・一模）已知尸是直线/:y=x+2形上的动点，0为坐标原点，过P作圆

O：/+y2=l的两条切线，切点分别为A、B,则（）

A.当点尸为直线/与x轴的交点时，直线A3经过点［-坐,-40

B.当"PB为等边三角形时，点尸的坐标为卜忘，&）

C.NAP3的取值范围是（。，5

D.|PO|的最小值为0

【答案】ABC

【解析】设点尸（为，%）,贝|%=为+2应，P5,%+20）,

以Ip。I为直径的圆的圆心为七,%+产),半径为四=Jx；+(x0+20)2,

2

XQ+(XQ+25/2)

4

2

化筒得f+y——(x0+=0,

联立F+-(X。+20)y=0,得/x+5+2扬尸］,

x+y=1

所以直线AB的方程为：/%+(5+2逝”=1,

对于A,令%=0,则为=-2血，所以直线AB的方程为：尤=-孝，

则直线经过点，彳,-4点］,故A正确；

I4J

对于B,设点尸(%,%),则尸®,5+2夜)，

当为等边三角形时，可知NAPB=60。，

又OP平分/APB,所以44P0=ZB尸0=30，

在直角三角形PAO中，由于1。川=1,

所以sin/APO=隅，即sin30=赢，所以|。尸|=2,

又点2(毛,％+20),所以西+(r+2g)2=2,

化简得［。+&『=0,解得％=-&,所以%=%+20=0,

则尸(-应,0),故B正确；

对于D,圆心。到直线/:y=x+20的距离为d=产=2,

'712+12

所以忙。|的最小值为2,故D错误；

0Al1

对于C,在RtAPO中，因为

当|PO|最小时，sinNA尸。有最大值为g,

TT

又因为NAPO=NBPO,所以24尸0=—，

6

此时NAPB的最大值为T，/APB的取值范围是［。尚，故C正确.

故选：ABC.

12.(多选题)(2024•山东荷泽・一模)如图，过点C(a,0)(a>0)的直线A3交抛物线V=2px(p>0)于A,B

两点，连接AO、BO,并延长，分别交直线彳=-。于M,N两点，则下列结论中一定成立的有()

A.BM//ANB.以AB为直径的圆与直线x=一a相切

C.S^AOB=S&MOND.SAMCN=4S△ANC,S4BCM

【答案】ACD

【解析】对于A,令46:%=叫+〃，4%,乂）,8（%2，%），

[x=my+a

联02c，消“可得yn-2p”y-2pQ=°，

[y=2内

则A=（2pn）2+8pa>0,必%=一22〃,必+%=2pm,

%+%=M（x+%）+2a=2jw?+2〃，

则卜8二—,OA:y=—x,M]-%,——

%%I%J

%+也%+型

故上一二一%一MXX+2/°,

/x2+ax2+ayx（x2+a）

同理[=0,「.9//匈7,故A正确；

对于C,设％=一。与“轴父于尸，SPON=SAOC,SM0P=SBOC,

SPON+SMOP=SAOC，+SBOC，§△408-S^MON，故c正确;

对于D,S=~(x1+a)yl,SBCM=~—(x2+a)y2

则SANC,SBCM=一1(玉+a)(%+°)%%=_:(加3+2<7)(my2+2a)%%

=-1［加%%+2aMyi+%)+%%

=-；［"/(-2pa)+2aM2p7〃)+4a1(—2pa)=pa2(pm2+