圆的相关证明与计算（含答案）-2025年人教版中考数学一轮复习学案

类型一与切线相关的证明与计算

C卜1(2024.龙岩模拟)如图,在锐角/MON内部取一点A,过点A分别作ABXOM于点B,作

ACXON于点C,以AB为直径作。P,CA的延长线与OP交于点D,连接BD.

⑴求证:/MON+/ABD=90。.

(2)若OB=BD,点D在OP的延长线上，求证:0N是OP的切线.

(3)当tanZMON=l时，连接OA,若CP_LOA于点F,求三：的值.

।针对训练

1.如图,AB是＜30的直径,P是弦AC上一动点(不与点A,C重合)，过点P作PEJ_AB,垂足为E,射线

EP交弧AC于点F,交过点C的切线于点D.

⑴求证:DC=DP.

⑵若/CAB=3(T,AB=4,F是弧AC的中点，求CP的长.

I针对训练

2.如图，在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的。O分别交AC,BC于点D,E,点F在AC的延长线上,

且BF是OO的切线.

(1)求证:/BAC=2/CBF.

(2)若。0的半径为5,sin/CBF=|,求CD的长.

类型二圆的综合探究

C$2(2024•福建)如图，在△ABC中,/BAC=9(F,AB=AC,以AB为直径的。O交BC于

点D,AE_LOC,垂足为E,BE的延长线交◎于点F.

⑴求黑的值.

AE

(2)求证:△AEB^ABEC.

(3)求证:AD与EF互相平分.

।针对训练

3.(原创)已知△ABC内接于OO,D是前的中点，连接AD,CD,BD,AD与BC交于点P.

图2

(1)如图1,若/DBC=28o,/ACB=74。,求/APB和/ABC的度数.

(2)如图2,当AB为OO的直径时，过点D的切线与AB的延长线交于点E,若CD〃AB,求NBDE

的度数.

I针对训练

4.已知四边形ABCD内接于。O,AC_LBD,垂足为E,CFJ_AB,垂足为F,交BD于点G,连接AG.

DD

⑴求证:CG=CD.

(2)如图1,若AG=4,BC=10,求OO的半径.

(3)如图2,连接DF,交AC于点H,若/ABD=3(r,CH=6,试判断士+2是不是定值.若是，求出该定值;

CDCF

若不是，说明理由.

I针对训练

5.如图,AB是。O的直径,C,D为。O上不同于A,B的两点，并且点C.D位于直径AB的两

侧,CA=CD.

(1)如图1,连接BD,求证:/ABD=2/BDC.

(2)如图2,AB,CD交于点E,过点E作EF1DB于点F,延长FE交AC于点M,求证:CE=CM.

(3)在⑵的条件下，若tan/CDBgEB=5,求线段CE的长.

,针对训练

6.【问题呈现】阿基米德折弦定理:阿基米德（Archimedes,公元前287-公元前212年，古希腊）是有

史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子.如图1,AB和BC是。O的两条

弦（即折线ABC是圆的一条折弦）,BC>AB,M是嬴的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折

弦ABC的中点，即CD=DB+BA.下面是运用“截长法”证明CD=DB+BA的部分证明过程.

证明:如图2,在CD上截取CG=AB,连接MA、MB、MC和MG.

：DG

,：M是嬴的中点,，MA=MC.

又：/A=/C,BA=GC,

Z.AMAB^AMCG,AMB=MG.

又MD±BC,BD=DG,

；.AB+BD=CG+DG,即CD=DB+BA.

【理解运用】如图LAB、BC是OO的两条弦,AB=4,BC=6,M是嬴的中点,MDJ_BC于点D,则

BD的长为.

【针对训练探究】如图3,若点M是余的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、DB与

BA之间存在怎样的数量关系,并加以证明.

图3

【实践应用】如图4,BC是。O的直径,A为圆上一定点,D为圆上一动点，且满足/DAC=45。,若

AB=6,OO的半径为5,则AD的长为.

图4

参考答案

例1解析:(1)证明:TAB是。P的直径，

・•・NADB=90。,即ADXBD.

VCDXON,

ABD//ON,

AZMON=ZMBD.

VAB±OM,

・•・ZABD+ZMBD=90°,

AZMON+ZABD=90°.

(2)证明:如图1,连接OD,则点P在OD上，过点P作PE±ON于点E.

VOB=BD,

・・・N1=N2,

ZMBD=Z1+Z2=2Z1.

由⑴可知NMON=NMBD=2N1,

・・・OP平分NMON.

VPE±ON,PB±OM,

APE=PB,

.\ON是。P的切线.

⑶解法一:如图2,过点P作PH±AD于点H,过点B作BR±ON于点R,

贝！JAH=DH,ZPHC=ZCRB=90°.

设AH=x,AC=y.

由⑴得NOCD=ZCDB=90°,

ZCOB=ZBAD,

・•・四边形CDBR是矩形.

・・・BR=CD二

2x+y.

VtanZMON=l,

AtanZPAH=l,

PH=x,BD=CR=2x,OR=BR=2x+y.

・・・CP，OA于点F,

・•・ZCFO=ZPHC=90°,

AZ3+Z5=90o.

VACXOC,

・・・N4+N5=90。，

.\Z3=Z4,

.,.△OCA^ACHP,

*・任*P二H2£CH即,U与x竺型x+y，

，y=2x,

・•・OA=VOC2+CA2=V（6X）2+（2x）2=2V10x,

CP=VCH2+PH2=V（3X）2+x2=V10x,

,一「OCCA6x-2x3v

•・CF=———=----x,

OA2V10x5

.2^10.PF2

..PF=----x,..—=-.

5'CF3

解法二:・.・ZACO=ZAFC=90°,

cosZCAO=—AC2=AFAO.

ACAO

ZABO=ZAFP=90°,

cosZBAO=A^F=^AR|,.'.APAB=AFAO,

.•.AC2=APAB.

AB=2AP,AC2=2AP2,AC=V2AP.

如图3,过点P作PH±AD于点H.

设PA=r,AC=V2r,

VtanZMON=l,.\ZMON=45°.

由⑴可知NBAD=45。,在RtAAPH中,AH=PH=jr,

CH=AC+AH=|V2r,PC=VPH2+CH2=V5r.

VACAF^ACPH,

PF=CP-CF=V5r-|V5r=|V5r,

・PF_|V5r_2

•・赤-薛-3

针对训练1.解析：

⑴证明:如图，连接0C.

VDC切。O于点C,：.半径OC_LDC,・・・ZDCP+ZACO=90°.

VPEXAB,

ZOAC+ZAPE=90°.

・・・ZDPC=ZAPE,.\ZOAC+ZDPC=90°.

VOA=OC,.・・ZOAC=ZOCA,

JNDCP=NDPC,JCD=PD.

(2)如图，连接OF,CF.

•・・NCAB=30°,・・・ZBOC=2ZCAB=60°,

.,.ZAOC=120°.

F是段的中点,ZFOC=ZFOA=60°.

VOF=OC,AOFC是等边三角形,FC=OC=2.

ZAPE=90°-ZBAC=60°,?.ZDPC=ZAPE=60°.

VDP=DC,Z.ADPC是等边三角形.

ZCFO=ZAOF=60°,CF//BE.

VBE±DE,.\CF±DP.

sinZCPF=—=—,FC=2,.\PC=—.

PC23

针对训练2.解析：

⑴证明:如图，连接AE.

VAB为。O的直径,，ZAEB=90°,.\ZBAE+ZABE=90°.

VAB=AC,.*.ZBAE=ZCAE=-ZBAC.

，2

^.^BF是OO的切线,.,.NCBF+NABE=90。，

1

ZCBF=ZBAE=-ZBAC,ZBAC=2ZCBF.

⑵如图，连接BD.

2

AB=AC=2OB=10,sinZCBF=1,

2

・•・sinZBAE=1,BEM,BC=2BE=8.

设CD=x，则AD=10-x.

VAB是。O的直径,，ZADB=90°,AZBDC=90°,

:.82-x2=l()2_(10-x)2,解得X=y,CD=y.

例2解析:(1)TAB=AC,且AB是。O的直径，

.\AC=2AO,

•・・ZBAC=90°,

在Rt^AOC中,tanNAOC岑=2.

VAEXOC,

在RtZkAOE中,tan/AOC=器，

・AE

..一=2,

OE'

・0E_1

**AE-2,

⑵证明:如图1,过点B作BM〃AE,交EO延长线于点M,

・・・ZBAE=ZABM,ZAEO=ZBMO=90°.

VAO=BO,

・•・△AOE^ABOM(AAS),

.*.AE=BM,OE=OM.

..OE_1

,AE-?

.\BM=2OE=EM,

ZMEB=ZMBE=45°,

ZAEB=ZAEO+ZMEB=135°,

ZBEC=180°-ZMEB=135°,

・•・ZAEB=ZBEC.

VAB=AC,ZBAC=90°,

ZABC=45°,

AZABM=ZCBE,

AZBAE=ZCBE,

.,.△AEB^ABEC.

(3)证明:如图2,连接DE,DF.

c

「AB是OO的直径,

ZADB=ZAFB=90°,AB=2AO.

VAB=AC,ZBAC=90°,

.*.BC=2BD,ZDAB=45°.

由(2)知,△AEB^ABEC,

AEAB2A0A0/口人八/LDC

—二——二——二一,ZEAO=ZEBD,

BEBC2BDBD

AAAOE^ABDE,

・•・ZBED=ZAEO=90°,

・•・ZDEF=90°,

・・・ZAFB=ZDEF,

・・・AF〃DE,

由⑵知,NAEB=135。,

・•・ZAEF=180°-ZAEB=45°.

NDFB=NDAB=45。,

・•・NDFB=NAEF,

・・・AE〃FD,

・・・四边形AEDF是平行四边形,

・・・AD与EF互相平分.

针对训练3.解析:(1)・・・ZDBC=28°,AZCAD=28°,

・•・ZAPB=ZCAD+ZACB=28°+74°=102°.

・・・D是前的中点，，施二的,

AZDAB=ZCBD=28°.

在aABP中,NDAB=28o,NAPB=102。,

・•・ZABC=180°-ZDAB-ZAPB=50°,

・•・ZAPB=102°,ZABC=50°.

(2)如图，连接OD.

•・・CD〃AB,

・・・ZDCB=ZABC.

•・・D是前的中点，

・・・CD=BD,.\ZDCB=ZDBC=ZDAB.

VAB为。O的直径,・•・ZADB=90°,

・•・ZDAB+ZABC+ZDBC=90°,.\ZDAO=30°.

〈DE为。O的切线,・・・OD_LDE,

AZBDE+ZODB=90°.

ZADO+ZODB=90°,.\ZBDE=ZADO.

OD=OA,・•・ZADO=ZDAO,

/.ZBDE=ZDAO=30°.

针对训练4.解析:⑴证明:如图1.

D

图1

VAC±BD,CF±AB,

工ZAEB=ZAFC=90°,

・•・Z2+ZBAC=90°,Zl+ZBAC=90°,

・・・N1=N2.

VZ1=Z3,

・•・Z2=Z3.

ZDEC=ZGEC=90°,

・•・Z3+ZCDE=90°,Z2+ZCGE=90°,

・•・ZCDE=ZCGE,

ACG=CD.

(2)如图2,连接CO并延长交。O于点Q,连接BQ,

D

图2

由⑴知,CG=CD,N2=N3,

・・・AC是DG的中垂线，

.\AG=AD.

VACXBD,

ZCED=90°,

・•・ZCDE+ZECD=90°.

・・・CQ为OO的直径，

・•・ZCBQ=90°,

.'.ZCQB+ZQCB=90°.

VZCQB=ZCDB,

.\ZQCB=Z3,

BQ=AD,

・・・BQ=AD=AG=4.

在RtACQB中，根据勾股定理得CQ=V42+102=2V29,

AOO的半径为例.

(3)《+A的值是定值.

如图3,过点H作HM〃CD交CF于点M,

图3

ZCHM=Z3.

由(1)知,N2=N3,

.\ZCHM=Z2,

ACM=HM.

VHM//CD,

.,.△FMH^AFCD,

.FM_HM_CM

…CF-CD-CD,

・.FMCMCF1

.--1--=—=l,

CFCFCF'

,CMCM1

・・一十—=l,

CDCF'

.一+工=工

CDCFCM'

过点M作MNXCH于点N,则CN=|CH=3.

在RtACMN43,cosZ2=—=—.

'CMCM

ZABD=30°,

AZl=Z2=Z3=30°,

.11_V3

••--1----.

CDCF6

针对训练5.解析乂1)证明:如图1,连接OCQD.

图1

在^OCA和aOCD中,

0C=0C,

CA=CD,

0A=0D,

:•△OCA之△OCD(SSS),

・•・ZACO=ZDCO.

VOA=OC,

AZA=ZACO.

VZA=ZCDB,

・•・NCDB=NOCD,

.'.OC/7DB,

AZABD=ZBOC.

VZBOC=2ZBDC,

AZABD=2ZBDC.

⑵证明:如图2,连接AD.

图2

VMF±BD,

・•・ZMFB=90°.

TAB是。。的直径，

・•・ZADB=90°,

・・・ZEFB=ZADB,

AMFAD,

・・・ZCME=ZCAD,ZCEM=ZCDA.

VCA=CD,

・•・ZCAD=ZCDA,

・•・ZCME=ZCEM,

・・・CM=CE.

(3)如图3,连接AD,BC,CO,延长CO交AD于点H,

图3

由(1)知,NACONDCO.

VCA=CD,

ACH±AD,AH=DH.

ZCDB=ZCAO=ZACH,

tanNCDB=tanNCAO=

tan/ACH=|,设BC=2a,贝!]AC=4a,AB=2V5a,AH=^a,CH=^a,

.•.OH=CH-OC=^a,

3V5

・，/CATTOH『

..tanZOAH=——二枭一一3.

AH延a4

VEF^AD,

・•・ZBEF=ZOAH,

tanZBEF=-.

4

VEB=5,

ABF=3,EF=4.

1