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文档简介

模型讲解

1

【解析】

解:设PC'=尤,则ED=9-X,

':BC=6,四边形ABC。为矩形,点C'为的中点,

:.AD=BC=6,C£)=3.

在Rt△尸C'。中,ND=90°,FC=尤,FD^9-x,C0=3,

:.FC2^FD2+CD1,即/=(9-x)2+32,

解得:x=5

方法点拨

一、解决方法:

①在已知三角形中利用勾股定理求出未知边长;

②设未知数,在新形成的直角三角形中利用勾股定理列方程

③解方程及其他未知边

例题演练

1.如图,在Rt^ABC中,ZB=90°,AB=6,BC=8,将△ABC折叠,使点2

恰好落在斜边AC上,与点夕重合,AE为折痕,求AC和EB'的长.

【解答】解:设匹'=x,

VZB=90°,AB=6,8c=8,

•'•AC=VAB2+BC2=10,

由折叠的性质可知,BE=EB'=无,AB'=A3=6,

贝ijCB'=AC-AB'=4,EC=BC-BE=8-x,

由勾股定理得,7+42=(87)2,

解得尤=3,

:.EB'=3.

2.如图,已知ABC。为长方形纸片,CD=3,在C£>上存在一点E,沿直线AE

将△AE。折叠,。恰好落在8c边上的点尸处,且SAAFB=6,则△AE。的面

积是()

【解答】解:由翻折变换可得,AD^AF,ZD=ZAFE=90°,

SAAFB—6,AB—CD—3,

2

:.BF^4,

在RtaABB中,4尸=而赢=后不=5,

设EF=x,则EF=x,EC=3-x,

在RtZXEC尸中,FC=BC-BF=5-4=lf由勾股定理得,

X2=l2+(3-X)2,

解得尤=a,

3

AAED的面积是L1Z)・£)E=JLX5XS=2^,

2236

故选:B.

3.如图,矩形ABC。中,A2=8,8C=10,P为AB上一点,将△BCP沿CP

翻折至PE与AD相交于0,且OP=OF,则AP的长为()

A.aB.AC.1D.其

6363

【解答】解:•••四边形A8CQ是矩形,

:.ZD=ZA=ZB=90Q,AD=BC=10,CD=AB=S.

由翻折的性质可知:EP=BP,ZE=ZB=90°,CE=CB=10,

在△。4尸和△OEF中,

rZA=ZE

<ZA0P=ZE0F-

OP=OF

:.△OAP空XOEF(44S).

C.OA^OE,

':OP=OF,

:.AF^EP.

4

设4尸=所=尤,则尸B=PE=8-x,C尸=10-尤,=10-(8-x)=2+x,

在Rt^FC。中,根据勾股定理得:

DC2+DF2=CF2,即82+(2+x)2=(10-X)2

解得:尸生

3

故选:B.

法强化训练

1.如图在矩形纸片4BCD中,AB=6,BC=8,将矩形纸片折叠,使点8与点。重合,则

折痕所的长是()

4|--Z—

B

A.25B.2710C-fD.2713

【解答】解:连接BE,BD,设与相交于点O,如图,

BFC

:矩形ABC。纸片折叠,使点。与点8重合,

・・・EF垂直平分瓦),NBFE=NDFE,

;・ED=EB,FD=FB,EFLBD,

:.NEDB=/EBD,

':AD//BC,

5

・•・NDEF=NBFE,

:.ZDEF=ZDFEf

:.DF=DE,

:.DE=EB=BF=FD,

・・・四边形。砂尸为菱形,

在RtAABZ)中,BD—r蚣2+AD?~436+64=10,

设贝!]。5=羽AE=8-xf

在RtZXABE中,AB1+AE1=DE1,

62+(8-x)2=~,

解得尤=至,

4

.•.2£=”

4

•--5菱形DEBFS三角形DEB

2

AX1.EF'DB=1.DE-AB,

222

.-.AxEFX10=6x2^.,

24

.•衣=生,

2

故选:C.

2.如图,矩形中,AB=6,BC=8.点、E、尸分别为边8C、A£>上一点,连接ER

将矩形ABCD沿着EF折叠,使得点A落到边CD上的点A处,且DA'^2A'C,则折痕

跖的长度为()

A.3疾B.2A/10C.V37D.V61

【解答】解:如图,过点E作垂足为

6

VDA'=2A'C,0c=6,

•:DA'=^.DC=4,A'C=ADC=2,

33

由折叠得,AF=FA',AB=A'B'=6,

设。P=尤,则胆=E4'=8-x,

在RtZXDRl'中,由勾股定理得,

X2+42=(8-x)2,

解得x=3,即。尸=3,

C.FA^FA'=8-3=5,

VZNA'C+ZDA1尸=180°-90°=90°,ZNA'C+ZA'NC=90°,

:.ZDA'F=ZA'NC,

:.ZC=ZD=90°,

.♦.△A'NCs△曲'D,

y

-A/C_NC_A/Nm2_NC_AN

FDA'DFA'345

解得NC=&,A'N=凶,

33

:.B'N=A'B'-A'N=6-独=g=NC,

33

.♦.△A'CN义AENB'(A4S),

:.EN=A'N=卫,

3

EC=EN+NC=驶+@=6=MD,

33

:.MF=6-3=3,

在中,EF=J62+33=3V5>

故选:A.

Br

7

3.如图所示,有一块直角三角形纸片,NC=90°,AC=8cm,BC=6cm,将斜边AB翻折,

使点B落在直角边AC的延长线上的点E处,折痕为A。,则CD的长为&的.

【解答】解:在RtaABC中,AB=^AC2+BC2=10,

根据折叠的性质可知:AE=AB=10,

VAC=8,

:.CE=AE-AC=2,

即CE的长为2,

设CD=x,贝U83=6-x=OE,

在Rt^CDE中,根据勾股定理得

CD2+CE2=DE2,即7+22=(6-X)2,

解得x=B,

3

即CD长为国

3

故答案为:1cm.

3

4.如图,已知E为长方形纸片ABC£>的边C。上一点,将纸片沿AE对折,点。的对应点

。'恰好在线段BE上.若AO=3,DE=1,则48=5.

AADE^AAD'E,

8

.\A£)=A£)-3,DE=D'E=1,/DEA=ND'EA,

•••四边形ABC。是矩形,

J.AB//CD,

:.NDEA=/EAB,

:.ZEAB=ZAEB,

:.AB=BE,

:.D'B=BE-D'E=AB-1,

在RtZ\中,AB2=D'^+D'B1,

/.AB2=9+(AB-1)2,

:.AB=5

故答案为:5

5.如图,将矩形纸片ABC。沿直线EF折叠,使点C落在AD边的中点C'处,点2落在

点8'处,其中AB=9,BC=6,贝的长为5.

【解答】解:设尸C'=x,则ED=9-x,

':BC=6,四边形ABC。为矩形,点C'为的中点,

:.AD=BC^6,CD=3.

在Rt/XFC'。中,Z£>=90°,FC=x,FD=9-x,C0=3,

:.FC2=FD1+CD2,即/=(9-x)2+32,

解得:x=5.

故答案为:5.

6.如图,在矩形ABC。中,AB=4,BC=6,点E为的中点,将AABE沿AE折叠,使

点B落在矩形内点尸处,连接CF,则CF的长为史.

—5—

9

D

【解答】解:连接

VBC=6,点E为8C的中点,

:.BE=3,

又;AB=4,

•',A£=VAB2+BE2=5,

.•.85=卫,

5

则BF=效,

5

;FE=BE=EC,

:.ZBFC^9Q°,

24、2=18

根据勾股定理得,CF=JBC2-BF2=J62T)T

故答案为:卫.

5

7.如图,RtZXABC中,A8=18,BC=12,ZB=90°,将△ABC折叠,使点A与8c的中

点。重合,折痕为MN,求线段BN的长.

【解答】解:设BN=x,由折叠的性质可得DN=AN=18-尤,

:。是BC的中点,

:.BD=6,

在RtZXNB。中,?+62=(18-%)2

10

解得尤=8.

故线段BN的长为8.

8.如图,在△ABC中,ZB=90°,AB=3,AC=5,。为BC边上的中点.

(1)求8Z),的长度;

(2)将△ABC折叠,使A与。重合,得折痕跖交A8于点E,交AC于点足求AE,

BE的长度.

【解答】解:(1)VZB=90°,AB=3,AC=5,

•"-BC=VAC2-AB2=V52-32=4,

•.•。为8C边上的中点.

.•.B£)=Cr>=」BC=2.

2

.*.AO=^AB2+BD2=^32+22=V13;

(2)如图,连接。E,

...将△ABC折叠,使A与。重合,得折痕EF交A8于点E,交AC于点?

:.AE=DE,

在RtZkBDE中,BE2+BD1=DE1,

设BE=x,则AE=DE=3-x,

.'.X2+22=(3-x)2,

解得尤=9,

6

互,BE=3-±=型

666

9.如图,在RtZkABC中,ZABC=90°,AB=6,8c=8,将△QCE沿DE翻折,使点C

落在点A处.

11

(1)设8O=x,在RtZsAB。中,根据勾股定理,可得关于尤的方程6?+X2=(8-尤)

2

(2)分别求。C、OE的长.

【解答】解:(1):将△OCE沿。E翻折,使点C落在点A处.

:.AD=CD,AE=EC,

设8O=x,则。C=4D=8-x,

":AB1+BD2=AD2,

62+X2=(8-x)2,

故答案为:62+X2=(8-x)2;

(2)由(1)得6?+/=(8-尤)之,

解得尤=工,

4

:.BD=.L,

4

C.DC^BC-BD=8-1=空.

44

':AB=6,BC=8,

,',AC=VAB2+BC2=V62+82=^)

.-.C£=AAC=5,

2

D£=7DC2-CE2=^(-^-)2-52=-y-

10.如图,将对角线3D长为160的正方形ABC。折叠,使点8落在。C边的中点0处,

点A落在P处,折痕为EE

(1)求线段AB和线段CV的长;

(2)连接E。,求E。的长.

12

【解答】解:(1):对角线2。为16加,

:.AB=BC=CD=AD=^^-=16,

V2

设CF=x,由折叠可知QF=BF=16-x,

由于。为C。中点,

则c°=JCD=8,

在直角三角形CF。中,由勾股定理可得:

(16-x)2=82+X2,解得:x=6.

故CF=6.

(2)如图所示,连接E。,作EGLBC于点G,连接3。交E尸于点

由折叠可知AE=PE,BQ1EF,

:.ZBFE+ZFBQ=90°,

又/BFE+/GEF=90°,

:.ZFBQ=ZGEF,

在△EG尸和△2CQ中,

'/GEF=/CBQ

<EG=BC,

ZEGF=ZBCQ=90°

:.4EGFq4BCQ(ASA),

.,.GF=CQ=8,

:.AE=BG=BF-GF=10-8=2,

即PE=2,

由折叠可得PQ=A8=16,ZP=90°,

由勾股定理有EQ=ylF胪+pQ2=4+]62=2A/65-

13

11.已知,如图,在长方形ABC。中,AB=8,BC=6,尸为AD上一点,将沿8P

翻折至AEBP,PE与C。相交于。,且0E=。。,求AP的长.

【解答】解:设C。与BE交于点G,如图所示:

•.•四边形A8CO是矩形,

.•.ZD=ZA=ZC=90°,AD=BC=6,C£)=AB=8,

由翻折的性质得:A

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