折叠问题（解析版）

模型讲解

1

【解析】

解：设PC'=尤，则ED=9-X,

'：BC=6,四边形ABC。为矩形，点C'为的中点,

：.AD=BC=6,C£)=3.

在Rt△尸C'。中，ND=90°,FC=尤，FD^9-x,C0=3,

：.FC2^FD2+CD1,即/=(9-x)2+32,

解得：x=5

方法点拨

一、解决方法：

①在已知三角形中利用勾股定理求出未知边长；

②设未知数，在新形成的直角三角形中利用勾股定理列方程

③解方程及其他未知边

例题演练

1.如图，在Rt^ABC中，ZB=90°,AB=6,BC=8,将△ABC折叠，使点2

恰好落在斜边AC上，与点夕重合，AE为折痕，求AC和EB'的长.

【解答】解：设匹'=x,

VZB=90°,AB=6,8c=8,

•'•AC=VAB2+BC2=10,

由折叠的性质可知，BE=EB'=无，AB'=A3=6,

贝ijCB'=AC-AB'=4,EC=BC-BE=8-x,

由勾股定理得，7+42=(87)2,

解得尤=3,

：.EB'=3.

2.如图，已知ABC。为长方形纸片，CD=3,在C£＞上存在一点E,沿直线AE

将△AE。折叠，。恰好落在8c边上的点尸处，且SAAFB=6,则△AE。的面

积是（）

【解答】解：由翻折变换可得，AD^AF,ZD=ZAFE=90°,

SAAFB—6,AB—CD—3,

2

：.BF^4,

在RtaABB中，4尸=而赢=后不=5，

设EF=x,则EF=x,EC=3-x,

在RtZXEC尸中，FC=BC-BF=5-4=lf由勾股定理得，

X2=l2+(3-X)2,

解得尤=a,

3

AAED的面积是L1Z)・£)E=JLX5XS=2^,

2236

故选：B.

3.如图，矩形ABC。中，A2=8,8C=10,P为AB上一点,将△BCP沿CP

翻折至PE与AD相交于0,且OP=OF,则AP的长为()

A.aB.AC.1D.其

6363

【解答】解：•••四边形A8CQ是矩形，

：.ZD=ZA=ZB=90Q,AD=BC=10,CD=AB=S.

由翻折的性质可知：EP=BP,ZE=ZB=90°,CE=CB=10,

在△。4尸和△OEF中，

rZA=ZE

<ZA0P=ZE0F-

OP=OF

:.△OAP空XOEF(44S).

C.OA^OE,

'：OP=OF,

：.AF^EP.

4

设4尸=所=尤，则尸B=PE=8-x,C尸=10-尤，=10-（8-x）=2+x,

在Rt^FC。中，根据勾股定理得：

DC2+DF2=CF2,即82+(2+x)2=(10-X)2

解得：尸生

3

故选：B.

法强化训练

1.如图在矩形纸片4BCD中，AB=6,BC=8,将矩形纸片折叠，使点8与点。重合，则

折痕所的长是（）

4|--Z—

B

A.25B.2710C-fD.2713

【解答】解：连接BE,BD,设与相交于点O,如图,

/°

BFC

:矩形ABC。纸片折叠，使点。与点8重合,

・・・EF垂直平分瓦），NBFE=NDFE,

；・ED=EB,FD=FB,EFLBD,

:.NEDB=/EBD,

'：AD//BC,

5

・•・NDEF=NBFE,

：.ZDEF=ZDFEf

：.DF=DE,

:.DE=EB=BF=FD,

・・・四边形。砂尸为菱形，

在RtAABZ）中，BD—r蚣2+AD?~436+64=10,

设贝！］。5=羽AE=8-xf

在RtZXABE中，AB1+AE1=DE1,

62+（8-x）2=~,

解得尤=至，

4

.•.2£=”

4

•--5菱形DEBFS三角形DEB

2

AX1.EF'DB=1.DE-AB,

222

.-.AxEFX10=6x2^.,

24

.•衣=生，

2

故选：C.

2.如图，矩形中，AB=6,BC=8.点、E、尸分别为边8C、A£＞上一点，连接ER

将矩形ABCD沿着EF折叠，使得点A落到边CD上的点A处，且DA'^2A'C,则折痕

跖的长度为（）

A.3疾B.2A/10C.V37D.V61

【解答】解：如图，过点E作垂足为

6

VDA'=2A'C,0c=6,

•：DA'=^.DC=4,A'C=ADC=2,

33

由折叠得，AF=FA',AB=A'B'=6,

设。P=尤，则胆=E4'=8-x,

在RtZXDRl'中，由勾股定理得，

X2+42=(8-x)2,

解得x=3,即。尸=3,

C.FA^FA'=8-3=5,

VZNA'C+ZDA1尸=180°-90°=90°,ZNA'C+ZA'NC=90°,

：.ZDA'F=ZA'NC,

：.ZC=ZD=90°,

.♦.△A'NCs△曲'D,

y

-A/C_NC_A/Nm2_NC_AN

FDA'DFA'345

解得NC=&,A'N=凶，

33

：.B'N=A'B'-A'N=6-独=g=NC,

33

.♦.△A'CN义AENB'(A4S),

:.EN=A'N=卫，

3

EC=EN+NC=驶+@=6=MD,

33

：.MF=6-3=3,

在中，EF=J62+33=3V5>

故选：A.

Br

7

3.如图所示，有一块直角三角形纸片，NC=90°,AC=8cm,BC=6cm,将斜边AB翻折,

使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为A。，则CD的长为&的.

【解答】解：在RtaABC中，AB=^AC2+BC2=10,

根据折叠的性质可知：AE=AB=10,

VAC=8,

：.CE=AE-AC=2,

即CE的长为2,

设CD=x,贝U83=6-x=OE,

在Rt^CDE中，根据勾股定理得

CD2+CE2=DE2,即7+22=(6-X)2,

解得x=B,

3

即CD长为国

3

故答案为：1cm.

3

4.如图，已知E为长方形纸片ABC£＞的边C。上一点，将纸片沿AE对折，点。的对应点

。'恰好在线段BE上.若AO=3,DE=1,则48=5.

AADE^AAD'E,

8

.\A£)=A£)-3,DE=D'E=1,/DEA=ND'EA,

•••四边形ABC。是矩形，

J.AB//CD,

:.NDEA=/EAB,

：.ZEAB=ZAEB,

：.AB=BE,

：.D'B=BE-D'E=AB-1,

在RtZ\中，AB2=D'^+D'B1,

/.AB2=9+(AB-1)2,

：.AB=5

故答案为：5

5.如图，将矩形纸片ABC。沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C'处，点2落在

点8'处，其中AB=9,BC=6,贝的长为5.

【解答】解：设尸C'=x,则ED=9-x,

'：BC=6,四边形ABC。为矩形，点C'为的中点，

：.AD=BC^6,CD=3.

在Rt/XFC'。中，Z£>=90°,FC=x,FD=9-x,C0=3,

:.FC2=FD1+CD2,即/=(9-x)2+32,

解得：x=5.

故答案为：5.

6.如图，在矩形ABC。中，AB=4,BC=6,点E为的中点，将AABE沿AE折叠，使

点B落在矩形内点尸处，连接CF,则CF的长为史.

—5—

9

D

【解答】解：连接

VBC=6,点E为8C的中点,

:.BE=3,

又；AB=4,

•',A£=VAB2+BE2=5,

.•.85=卫，

5

则BF=效,

5

；FE=BE=EC,

：.ZBFC^9Q°,

24、2=18

根据勾股定理得，CF=JBC2-BF2=J62T)T

故答案为：卫.

5

7.如图，RtZXABC中，A8=18,BC=12,ZB=90°,将△ABC折叠，使点A与8c的中

点。重合，折痕为MN,求线段BN的长.

【解答】解：设BN=x,由折叠的性质可得DN=AN=18-尤,

:。是BC的中点,

：.BD=6,

在RtZXNB。中，?+62=(18-%)2

10

解得尤=8.

故线段BN的长为8.

8.如图，在△ABC中，ZB=90°,AB=3,AC=5,。为BC边上的中点.

(1)求8Z),的长度；

(2)将△ABC折叠，使A与。重合，得折痕跖交A8于点E,交AC于点足求AE,

BE的长度.

【解答】解：(1)VZB=90°,AB=3,AC=5,

•"-BC=VAC2-AB2=V52-32=4,

•.•。为8C边上的中点.

.•.B£)=Cr>=」BC=2.

2

.*.AO=^AB2+BD2=^32+22=V13；

(2)如图，连接。E,

...将△ABC折叠，使A与。重合，得折痕EF交A8于点E,交AC于点?

：.AE=DE,

在RtZkBDE中，BE2+BD1=DE1,

设BE=x,则AE=DE=3-x,

.'.X2+22=(3-x)2，

解得尤=9,

6

互，BE=3-±=型

666

9.如图，在RtZkABC中，ZABC=90°,AB=6,8c=8,将△QCE沿DE翻折，使点C

落在点A处.

11

(1)设8O=x,在RtZsAB。中，根据勾股定理，可得关于尤的方程6?+X2=(8-尤)

2

(2)分别求。C、OE的长.

【解答】解：(1)：将△OCE沿。E翻折，使点C落在点A处.

：.AD=CD,AE=EC,

设8O=x,则。C=4D=8-x,

"：AB1+BD2=AD2,

62+X2=(8-x)2,

故答案为：62+X2=(8-x)2；

(2)由(1)得6?+/=(8-尤)之，

解得尤=工，

4

:.BD=.L,

4

C.DC^BC-BD=8-1=空.

44

'：AB=6,BC=8,

,',AC=VAB2+BC2=V62+82=^)

.-.C£=AAC=5,

2

D£=7DC2-CE2=^(-^-)2-52=-y-

10.如图，将对角线3D长为160的正方形ABC。折叠，使点8落在。C边的中点0处,

点A落在P处，折痕为EE

(1)求线段AB和线段CV的长；

(2)连接E。，求E。的长.

12

【解答】解：(1):对角线2。为16加，

：.AB=BC=CD=AD=^^-=16,

V2

设CF=x,由折叠可知QF=BF=16-x,

由于。为C。中点，

则c°=JCD=8,

在直角三角形CF。中，由勾股定理可得：

(16-x)2=82+X2,解得：x=6.

故CF=6.

(2)如图所示，连接E。，作EGLBC于点G,连接3。交E尸于点

由折叠可知AE=PE,BQ1EF,

：.ZBFE+ZFBQ=90°,

又/BFE+/GEF=90°,

：.ZFBQ=ZGEF,

在△EG尸和△2CQ中，

'/GEF=/CBQ

<EG=BC，

ZEGF=ZBCQ=90°

：.4EGFq4BCQ(ASA),

.,.GF=CQ=8,

：.AE=BG=BF-GF=10-8=2,

即PE=2,

由折叠可得PQ=A8=16,ZP=90°,

由勾股定理有EQ=ylF胪+pQ2=4+]62=2A/65-

13

11.已知，如图，在长方形ABC。中，AB=8,BC=6,尸为AD上一点，将沿8P

翻折至AEBP,PE与C。相交于。，且0E=。。，求AP的长.

【解答】解：设C。与BE交于点G,如图所示：

•.•四边形A8CO是矩形，

.•.ZD=ZA=ZC=90°,AD=BC=6,C£)=AB=8,

由翻折的性质得：A