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文档简介
模型讲解
1
【解析】
解:设PC'=尤,则ED=9-X,
':BC=6,四边形ABC。为矩形,点C'为的中点,
:.AD=BC=6,C£)=3.
在Rt△尸C'。中,ND=90°,FC=尤,FD^9-x,C0=3,
:.FC2^FD2+CD1,即/=(9-x)2+32,
解得:x=5
方法点拨
一、解决方法:
①在已知三角形中利用勾股定理求出未知边长;
②设未知数,在新形成的直角三角形中利用勾股定理列方程
③解方程及其他未知边
例题演练
1.如图,在Rt^ABC中,ZB=90°,AB=6,BC=8,将△ABC折叠,使点2
恰好落在斜边AC上,与点夕重合,AE为折痕,求AC和EB'的长.
【解答】解:设匹'=x,
VZB=90°,AB=6,8c=8,
•'•AC=VAB2+BC2=10,
由折叠的性质可知,BE=EB'=无,AB'=A3=6,
贝ijCB'=AC-AB'=4,EC=BC-BE=8-x,
由勾股定理得,7+42=(87)2,
解得尤=3,
:.EB'=3.
2.如图,已知ABC。为长方形纸片,CD=3,在C£>上存在一点E,沿直线AE
将△AE。折叠,。恰好落在8c边上的点尸处,且SAAFB=6,则△AE。的面
积是()
【解答】解:由翻折变换可得,AD^AF,ZD=ZAFE=90°,
SAAFB—6,AB—CD—3,
2
:.BF^4,
在RtaABB中,4尸=而赢=后不=5,
设EF=x,则EF=x,EC=3-x,
在RtZXEC尸中,FC=BC-BF=5-4=lf由勾股定理得,
X2=l2+(3-X)2,
解得尤=a,
3
AAED的面积是L1Z)・£)E=JLX5XS=2^,
2236
故选:B.
3.如图,矩形ABC。中,A2=8,8C=10,P为AB上一点,将△BCP沿CP
翻折至PE与AD相交于0,且OP=OF,则AP的长为()
A.aB.AC.1D.其
6363
【解答】解:•••四边形A8CQ是矩形,
:.ZD=ZA=ZB=90Q,AD=BC=10,CD=AB=S.
由翻折的性质可知:EP=BP,ZE=ZB=90°,CE=CB=10,
在△。4尸和△OEF中,
rZA=ZE
<ZA0P=ZE0F-
OP=OF
:.△OAP空XOEF(44S).
C.OA^OE,
':OP=OF,
:.AF^EP.
4
设4尸=所=尤,则尸B=PE=8-x,C尸=10-尤,=10-(8-x)=2+x,
在Rt^FC。中,根据勾股定理得:
DC2+DF2=CF2,即82+(2+x)2=(10-X)2
解得:尸生
3
故选:B.
法强化训练
1.如图在矩形纸片4BCD中,AB=6,BC=8,将矩形纸片折叠,使点8与点。重合,则
折痕所的长是()
4|--Z—
B
A.25B.2710C-fD.2713
【解答】解:连接BE,BD,设与相交于点O,如图,
/°
BFC
:矩形ABC。纸片折叠,使点。与点8重合,
・・・EF垂直平分瓦),NBFE=NDFE,
;・ED=EB,FD=FB,EFLBD,
:.NEDB=/EBD,
':AD//BC,
5
・•・NDEF=NBFE,
:.ZDEF=ZDFEf
:.DF=DE,
:.DE=EB=BF=FD,
・・・四边形。砂尸为菱形,
在RtAABZ)中,BD—r蚣2+AD?~436+64=10,
设贝!]。5=羽AE=8-xf
在RtZXABE中,AB1+AE1=DE1,
62+(8-x)2=~,
解得尤=至,
4
.•.2£=”
4
•--5菱形DEBFS三角形DEB
2
AX1.EF'DB=1.DE-AB,
222
.-.AxEFX10=6x2^.,
24
.•衣=生,
2
故选:C.
2.如图,矩形中,AB=6,BC=8.点、E、尸分别为边8C、A£>上一点,连接ER
将矩形ABCD沿着EF折叠,使得点A落到边CD上的点A处,且DA'^2A'C,则折痕
跖的长度为()
A.3疾B.2A/10C.V37D.V61
【解答】解:如图,过点E作垂足为
6
VDA'=2A'C,0c=6,
•:DA'=^.DC=4,A'C=ADC=2,
33
由折叠得,AF=FA',AB=A'B'=6,
设。P=尤,则胆=E4'=8-x,
在RtZXDRl'中,由勾股定理得,
X2+42=(8-x)2,
解得x=3,即。尸=3,
C.FA^FA'=8-3=5,
VZNA'C+ZDA1尸=180°-90°=90°,ZNA'C+ZA'NC=90°,
:.ZDA'F=ZA'NC,
:.ZC=ZD=90°,
.♦.△A'NCs△曲'D,
y
-A/C_NC_A/Nm2_NC_AN
FDA'DFA'345
解得NC=&,A'N=凶,
33
:.B'N=A'B'-A'N=6-独=g=NC,
33
.♦.△A'CN义AENB'(A4S),
:.EN=A'N=卫,
3
EC=EN+NC=驶+@=6=MD,
33
:.MF=6-3=3,
在中,EF=J62+33=3V5>
故选:A.
Br
7
3.如图所示,有一块直角三角形纸片,NC=90°,AC=8cm,BC=6cm,将斜边AB翻折,
使点B落在直角边AC的延长线上的点E处,折痕为A。,则CD的长为&的.
【解答】解:在RtaABC中,AB=^AC2+BC2=10,
根据折叠的性质可知:AE=AB=10,
VAC=8,
:.CE=AE-AC=2,
即CE的长为2,
设CD=x,贝U83=6-x=OE,
在Rt^CDE中,根据勾股定理得
CD2+CE2=DE2,即7+22=(6-X)2,
解得x=B,
3
即CD长为国
3
故答案为:1cm.
3
4.如图,已知E为长方形纸片ABC£>的边C。上一点,将纸片沿AE对折,点。的对应点
。'恰好在线段BE上.若AO=3,DE=1,则48=5.
AADE^AAD'E,
8
.\A£)=A£)-3,DE=D'E=1,/DEA=ND'EA,
•••四边形ABC。是矩形,
J.AB//CD,
:.NDEA=/EAB,
:.ZEAB=ZAEB,
:.AB=BE,
:.D'B=BE-D'E=AB-1,
在RtZ\中,AB2=D'^+D'B1,
/.AB2=9+(AB-1)2,
:.AB=5
故答案为:5
5.如图,将矩形纸片ABC。沿直线EF折叠,使点C落在AD边的中点C'处,点2落在
点8'处,其中AB=9,BC=6,贝的长为5.
【解答】解:设尸C'=x,则ED=9-x,
':BC=6,四边形ABC。为矩形,点C'为的中点,
:.AD=BC^6,CD=3.
在Rt/XFC'。中,Z£>=90°,FC=x,FD=9-x,C0=3,
:.FC2=FD1+CD2,即/=(9-x)2+32,
解得:x=5.
故答案为:5.
6.如图,在矩形ABC。中,AB=4,BC=6,点E为的中点,将AABE沿AE折叠,使
点B落在矩形内点尸处,连接CF,则CF的长为史.
—5—
9
D
【解答】解:连接
VBC=6,点E为8C的中点,
:.BE=3,
又;AB=4,
•',A£=VAB2+BE2=5,
.•.85=卫,
5
则BF=效,
5
;FE=BE=EC,
:.ZBFC^9Q°,
24、2=18
根据勾股定理得,CF=JBC2-BF2=J62T)T
故答案为:卫.
5
7.如图,RtZXABC中,A8=18,BC=12,ZB=90°,将△ABC折叠,使点A与8c的中
点。重合,折痕为MN,求线段BN的长.
【解答】解:设BN=x,由折叠的性质可得DN=AN=18-尤,
:。是BC的中点,
:.BD=6,
在RtZXNB。中,?+62=(18-%)2
10
解得尤=8.
故线段BN的长为8.
8.如图,在△ABC中,ZB=90°,AB=3,AC=5,。为BC边上的中点.
(1)求8Z),的长度;
(2)将△ABC折叠,使A与。重合,得折痕跖交A8于点E,交AC于点足求AE,
BE的长度.
【解答】解:(1)VZB=90°,AB=3,AC=5,
•"-BC=VAC2-AB2=V52-32=4,
•.•。为8C边上的中点.
.•.B£)=Cr>=」BC=2.
2
.*.AO=^AB2+BD2=^32+22=V13;
(2)如图,连接。E,
...将△ABC折叠,使A与。重合,得折痕EF交A8于点E,交AC于点?
:.AE=DE,
在RtZkBDE中,BE2+BD1=DE1,
设BE=x,则AE=DE=3-x,
.'.X2+22=(3-x)2,
解得尤=9,
6
互,BE=3-±=型
666
9.如图,在RtZkABC中,ZABC=90°,AB=6,8c=8,将△QCE沿DE翻折,使点C
落在点A处.
11
(1)设8O=x,在RtZsAB。中,根据勾股定理,可得关于尤的方程6?+X2=(8-尤)
2
(2)分别求。C、OE的长.
【解答】解:(1):将△OCE沿。E翻折,使点C落在点A处.
:.AD=CD,AE=EC,
设8O=x,则。C=4D=8-x,
":AB1+BD2=AD2,
62+X2=(8-x)2,
故答案为:62+X2=(8-x)2;
(2)由(1)得6?+/=(8-尤)之,
解得尤=工,
4
:.BD=.L,
4
C.DC^BC-BD=8-1=空.
44
':AB=6,BC=8,
,',AC=VAB2+BC2=V62+82=^)
.-.C£=AAC=5,
2
D£=7DC2-CE2=^(-^-)2-52=-y-
10.如图,将对角线3D长为160的正方形ABC。折叠,使点8落在。C边的中点0处,
点A落在P处,折痕为EE
(1)求线段AB和线段CV的长;
(2)连接E。,求E。的长.
12
【解答】解:(1):对角线2。为16加,
:.AB=BC=CD=AD=^^-=16,
V2
设CF=x,由折叠可知QF=BF=16-x,
由于。为C。中点,
则c°=JCD=8,
在直角三角形CF。中,由勾股定理可得:
(16-x)2=82+X2,解得:x=6.
故CF=6.
(2)如图所示,连接E。,作EGLBC于点G,连接3。交E尸于点
由折叠可知AE=PE,BQ1EF,
:.ZBFE+ZFBQ=90°,
又/BFE+/GEF=90°,
:.ZFBQ=ZGEF,
在△EG尸和△2CQ中,
'/GEF=/CBQ
<EG=BC,
ZEGF=ZBCQ=90°
:.4EGFq4BCQ(ASA),
.,.GF=CQ=8,
:.AE=BG=BF-GF=10-8=2,
即PE=2,
由折叠可得PQ=A8=16,ZP=90°,
由勾股定理有EQ=ylF胪+pQ2=4+]62=2A/65-
13
11.已知,如图,在长方形ABC。中,AB=8,BC=6,尸为AD上一点,将沿8P
翻折至AEBP,PE与C。相交于。,且0E=。。,求AP的长.
【解答】解:设C。与BE交于点G,如图所示:
•.•四边形A8CO是矩形,
.•.ZD=ZA=ZC=90°,AD=BC=6,C£)=AB=8,
由翻折的性质得:A
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