指对幂等函数值大小比较的深度剖析（讲义）学生版-2025年高考数学二轮复习提升

专题03指对幕等函数值大小比较的深度剖析

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图思维引航............................................................3

03知识梳理•方法技巧...........................................................4

04真题研析•精准预测............................................................5

05核心精讲题型突破............................................................6

题型一：直接利用单调性6

题型二：引入媒介值6

题型三：含变量问题7

题型四：构造函数8

题型五：数形结合9

题型六：特殊值法'估算法10

题型七：放缩法11

题型八：同构法12

重难点突破：泰勒展开、帕德逼近估算法13

差情;奏汨•日标旦祐

指'对、幕形数的大小比较问题是高考重点考查的内容之一，也是高考的热点问题，命题形式主要以

选择题为主.每年高考题都会出现，难度逐年上升.

考点要求目标要求考题统计考情分析

预测2025年高考趋

2024年北京卷第9题，5分

势，指对幕比较大小或以

2024年天津卷第5题，5分

掌握指对塞大小2022年新高考I卷第7题，5分小题压轴，预计：

指对幕比较大小比较的方法与技2022年天津卷第5题，5分(1)以选择、填空题型呈

巧2022年甲卷第12题，5分现，侧重综合推理。

2021年II卷第7题，5分

(2)构造灵活函数比较大

2021年天津卷第5题，5分

小将成为考查热点。

〃・知识导图•思维引航

㈤3

.n过偏—・—拈工弓

(1)利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a,b,C的大小.

(2)指、对、塞大小比较的常用方法:

①底数相同，指数不同时，如a'】和a，。，利用指数函数y=a，的单调性；

②指数相同，底数不同，如流和燧利用幕函数y=^单调性比较大小；

③底数相同，真数不同，如log^i和log/2利用指数函数logM单调性比较大小；

④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0,1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小

关系的判定.

(3)转化为两函数图象交点的横坐标

(4)特殊值法

(5)估算法

(6)放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法

(7)常见函数的麦克劳林展开式：

①e-+%+萧+…+p鬲产

②Sin久=X—捺+卷一…+(—1)'潦京+0(/+2)

③COSX=1+,_9+•••+(_磊+。(/与

④ln(l+%)=%—曰+?一…+(—1)九詈+o(/+i)

⑤=1+x+%2+…+xn+o(xn)

@(1+x)n=1+nx++o(%2)

0

心真题砒标•精御皿\\

1.（2024年新课标全国I卷数学真题）已知函数/（%）的定义域为R,/（%）>/（%-1）+/（%-2）,且当％<3

时/（%）=%,则下列结论中一定正确的是（）

A./（10）>100B./（20）>1000

C.f（10）<1000D./（20）<10000

2.（2024年天津高考数学真题）设。=4.2-。-2,fe=4.2°-2,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

3.（2024年北京高考数学真题）已知。1必），（々）2）是函数'=2"的图象上两个不同的点，则（）

A171+72,%1+久2C1yi+y2、Xi+%2

A.log2^—<^—B.log2^—>^—

「1yi+y2..「iyi+y2、.

C.log2-y-<Xi+%2D.log2—>Xi+x2

4.（2023年天津高考数学真题）=l.Ol05^=l.Ol06^=O.60-5,贝b,瓦c的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

5.（2022年新高考天津数学高考真题）设a=2。？，b=Q）°【c=log2g贝b,瓦c的大小关系为（）

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.c<b<a

6.（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知9m=10,。=10巾一11力=8徵一9,贝lj（）

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

7.（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知a=|f,b=cosj,c=4sin）,贝|（）

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

8.（2022年新高考全国I卷数学真题）设a=O.leai,6=5，c=-ln0.9,则（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

03

9.（2021年天津高考数学试题）=log20.3,b=logi0.4,c=O.4,则a,b,c的大小关系为C）

2

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

10.（2021年全国新高考II卷数学试题）已知a=log52,b=log83,c=|,则下列判断正确的是（）

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

11.（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设a=21nl.01,h=lnl,O2,c=VL04-l.贝!J（）

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

㈤5

孩心精说，题型突破

题型一：直接利用单调性

【典例1-1］设。=21,2力=lg3,c=l若，则a、b、c的大小顺序为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b

【典例1-2】（2024・高三•黑龙江鸡西•期中）已知函数/（%）=2久+%,5(%)=log2%+%,/l(%)=%3+%的零点

分别为a,b,c,则a,b,c的大小顺序为（）

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>a>bD.b>a>c

巧

利用指对幕函数的单调性判断

【变式1-1］已知a=log56力=logo.52,c=e-2,比较°,［。的大小为（）

A.b>a>cB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c

【变式1-2］已知a=0.33",b=(I

（e为自然对数的底数）c=tanl,比较a,b,c的大小（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

\命题预测T

53

1.(2024•江西新余•一模)故0=停)\b=Q)5,c=log3苓则a,b,c的大小顺序是()

A.b<a<cB.c<a<bC.b<c<aD.c<b<a

2.已知实数Q,b满足2。+。=2/=logi63,贝|()

A.a>bB.a<bC.a=bD.a,6的大小无法判断

题型二：引入媒介坦

-2

【典例】（•高三•江西•期中）已知（

2-12024a=ln2,6=cos2,c=9，则a,b,c的大小顺序为（）

A.c>a>bB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

o1

【典例2・2】三个数a=sin,,b=23,c=ln3—ln2的大小顺序是（）

A.a<b<cB.c<a<b

C.a<c<bD.b<c<a

寻找中间变量0,1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定.

2

【变式2-1］已知Q=log23,b=（|）3,c=cos（-|7i）-sin（-|）,比较a,b,c的大小为（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>b>aD.c>a>b

2

【变式2-2］已知a=ln4,b=lg4,c=QM则（）

A.c<b<aB.b<a<cC.b<c<aD.a<c<b

\命题预测

1.已知a=logo.48,b=log0.60.5,c=log23,贝1J（）

A.b>a>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

2.已知。=总b=修c=l，则（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

3.已知a=logi.4（）.7,b=1.407,c=0.71-4,则a,b,c的大小关系是（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

题型三：含变量问题

bh2a2a

【典例3・1］［新考法］若0V2a<bV1,=a,x2=（2a）,x3=b,x4=（2/?）,则（）

A.x4<x3<<x2B.x1<x2<x3<x4

C.%2V<%4V%3D.%3<%4<Xi<X2

n

【典例3-2】（2024•高三•河北邢台・期中）已知1VmVuV2,a==m,c=l0gzi则Q,瓦c的大小关

系是（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

国国国巧

对变量取特殊值代入或者构造函数

【变式3-1］（多选题）已知正数a力满足e。。一In6）=l,则（）

A.e<b<e2B.ea+^>2

C.ea>bD.ea-Inb>1

【变式3-2]（2024•陕西西安•统考一模）设a>b>0,a+b=1且％=—（1））》=logla.z=log（l+A）a/）,则%,y,

z的大小关系是（）

A.x<z<yB.z<y<x

C.y<z<xD.x<y<z

命题预测

1.（多选题）若0<a<b<c,且Iga+Igb+Ige=0,则下列各式一定成立的是（）

A.2"2b>4B.ab<lC.a-be2>2D.a2+c>2

2.（多选题）若0<。〈/?<1,则（）

A.ab<baB.ab+1<a+b

C.a1-z?<br~aD.loga（l+b）>logb（l+a）

题型四：构造函数

【典例4-1］（2024•陕西咸阳・模拟预测）已知。=苧力=华£=W，贝b,b,c的大小为（）

A.b>c>aB.a>b>cC.b>a>cD.c>b>a

【典例4-2】（2024•全国•模拟预测）若。=空，b4,c=平，则a,b,c的大小顺序为（）

A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c

巧

构造函数比大小是高考数学的重点题型，它可以从“形”与“数”两个角度入手解题。

“形”的构造：不等式两边的结构相似时，我们可以构建一个函数，通过分析这个函数的单调性，进而根据“若

函数g(x)单调递增，则占2g(%2)；若函数/(X)单调递减，演之々Og(xj«g(x2)”

判断.

“数”的构造：观察到待比较式子间数与数的关系后，我们可据此构造函数.

1Xv2

【变式4-1］［新考法］设函数/(%)=%+In%,.g(x)=xlnx-1,/i(%)=1—1+万+^■在(0,+8)上的零点分别

为a力,c,贝！Ja力,c的大小顺序为()

A.c<b<aB.b>c>a

C.c>a>bD.b>a>c

【变式4-2］已知。=遮，b=ln(V5+1),。=三誉，试比较Q,b,c的大小()

4

A.a>c>bB.a>b>cC.b>a>cD.c>b>a

命题预测T

1.已知a=ln(sinl.O2),b=［刈,c=lnl.02,贝(j()

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.b<a<c

2.若a=g,b=cos(1—f),c=i,贝lja、6、c满足的大小关系式是().

A.a>b>cB.a<b<cC.a>c>bD.b>c>a

3.设a=在一1/=1—ln|,贝(j()

A.c>a>bB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

题型五：数形结合

【典例5-1】函数/(乂)=28+%,g(x)=log2x+x,h(x)=V^+x的零点分别为a,6,c,则a,b,c,的大

小顺序为()

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

【典例5・2】实数a,瓦cGR满足Q—4=ln\<0,b—3=ln|<0,c—2=ln^<0,则a,b,c的大小为()

4Jz

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>c>aD.c>b>a

国目目巧

转化为两函数图象交点的横坐标

【变式5-1］［新考法］已知函数/(久)=*7.设a+6+c=O,abc<0,则()

33

A.f(a)+f(fa)+f(c)<-B.f(a)+/(b)+f(c)<-

33

C.f(a)+f(b)+/(c)>5D./(a)+f(b)+/©及

【变式5・2］已知a=0.8。5+0.8。)+0.8。％b=O.608+O.70-8+O.80-8,c=已号++eT，则()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a

命题预测$

1.若实数a,b,c满足a2b=。3。=6,则下列不等关系中不可能成立的是（）

A.c<a<bB.b<c<aC.a<c<bD.a<b<c

2.己知Qi，yD，（久2）2）是函数y=bg2久图象上两个不同的点，则下列4个式子中正确的是（）

①等<2-；②弩>2中；③1脸占（—空；④］唯心>一空.

A.①③B.②③C.①④D.②④

题型六：特殊值法、估算法

【典例6-1］(2024・高三•四川•期中)已知(%1，月)、(%2，丫2)是函数丫=1og2%图象上不同的两点，则()

Ayi+y2/1打十%2「yi+y2、,xt+x2

A.-^―<log2^—B.—^―>log2^—

［

..loXi+%2cl1o%i+%2

c.yi+y2<g2^—D.yi+y2>g2^—

【典例6-2］已知％yeR,且i+y>0,贝I()

i1

A.-+->0B.x3o+y3o>0

%yJ

C.lg(x+y)>0D.sin(x+y)>0

巧

估算要比较数值的大致范围，从而判断其大小关系。

【变式6-1］设a=3e-a2,b=2e02,c=2.4,则()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

1i

【变式6-2］（多选题）已知正数居y满足x-y+则

A.lg（y—x+1）>0B.cosy>cosxC.2025”>1D.|y-2|>|x-2|

命题预测J

1

1.已知a=sinl.01,h=—,c=lnl.04,则a,b,c的大小关系是（）

A.b>a>cB.a>b>cC.a>c>bD.b>c>a

2.已知a=log20.05,h=O.51-002,c=2005,则下列判断正确的是（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.b<a<c

3.已知。若，b—V3,c=-3+1^g3-,贝（J（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a

题型七：放缩法

12

【典例7-1】（2024•高三•四川德阳•开学考试）已知a=log32,h=log43,c=0.5,比较a,b,。的大小

为（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>c>aD.b>a>c

11QQ7

【典例7-2】（2024•河南•模拟预测）已知a=瓯6=2。=1+1碌，贝加b,c的大小关系是（）

loDD

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

国OE3

放缩法比较指对森大小，关键在于合理估计与调整。可通过适当放大或缩小数值，转化为更易比较的

形式，如利用指数、对数的性质进行放缩，或结合均值不等式等。需注意保持放缩方向的一致性，以确保

比较结果的准确性。

【变式7-1］（2024•浙江杭州•一模）对Vxe［l,+8）,不等式（（Ina久）2—1）（^一6）20恒成立，贝|（）

A.若ae（o'）,贝帕MeB.若a£（0,。，则b>e

C.若则4D.若贝必。=©6

1?

【变式7-2］已知。=五—1,b=sin-,c=In-,则（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

命题预测T

1.已知。=log23+log94,3。+4。=5匕,则（）

A.a>b>2B.b>a>2C.a>2>bD.b>2>a

2.已知a=log57,b=log68,c=log810,则a,b,。的大小关系是（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

3.设。=12口0.21,b=lnl.21,c=1|,则下列大小关系正确的是（）

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

题型八：同构法

【典例8-1］［新考法］已知a,/?E（0,且ea—2cos2a=》一sin2£—1=0,则（）

A.a>pB.a=p

C.a<pD.无法确定a,S的大小

【典例8-2】（2024•高三•浙江绍兴•期末）已知0<a<hlogM+logby<logay+logb%，则下列说法正确的

是（）

A.当logab>0时，x>yB.当logab>0时，x<y

C.当logj?<0时，x<yD.当log/）<0时，％,y大小不确定

巧

同构法比较指对森大小，核心在于构造相同结构的函数。通过变形使待比较式具有相同函数形式，利

用函数单调性或图像直观比校大小。关键在于准确识别并构造同构函数，简化比较过程。

1

【变式8-