与圆有关的位置关系（解析版）-2023-2024学年人教版九年级数学上学期复习分类汇编

专题09与圆有关的位置关系

点与圆之间的位置关系

题型归纳

直线与圆有关的位置关系

点与圆的位置关系

1.在平面直角坐标xOy中，。。的半径为5,以下各点在。。内的是()

A.(-2,3)B.(3,-4)C.(-4,—5)D.(5,6)

【答案】A

【分析】先根据勾股定理求出各点到。的距离，再与。。的半径5相比较即可.

【详解】解：A、点(-2,3)到。的距离为万屈＜后=5,则点(-2,3)在。。内，本选项符合

题意；

B、点(3,-4)到。的距离为次仔=5,则点3-4)在。。上，本选项不符合题意；

C、点(-4,-5)到。的距离为"亨=标＞后=5,则点(T，-5)在。。外，本选项不符合题意；

D、点(5,6)到。的距离为序两=闹＞后=5,则点(5,6)在QO外，本选项不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键.

2.如图中AABC外接圆的圆心坐标是()

C.(5,2)D.(5,3)

【答案】C

【分析】三角形的外接圆的圆心是三边的垂直平分线的交点，分别作垂直平分线，交点为外心，再

过外心分别向x轴，y轴的垂线，确定坐标.

【详解】解：融。外接圆圆心的坐标为(5,2).

【点睛】本题考查三角形的外接圆的定义.本题解题的关键是作图找出三角形的外心.

3.如图，在平面直角坐标系中，过格点A,B,C作一圆弧，则该弧的圆心的坐标为()

C.(2.5,0)D.(2.5,1)

【答案】B

【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦4?和BC的垂直平分线，交点

即为圆心.

【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，

可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心.

如图所示，则圆心是。(2,0).

故选：B.

【点睛】本题考查垂径定理的应用，解题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”.

4.如图，OO是等边三角形ABC的外接圆，若。。的半径为广，则AASC的面积为()

【答案】D

【分析】连接0B,延长交于根据等边三角形性质得出BD=CD=-BC,

2

NO%>=30。，求出OD,根据勾股定理求出B。，即可求出BC,根据三角形的面积公式求出即可.

【详解】连接。8,OA,延长AO交BC于

•・•等边三角形A3C是OO,

AADIBC,BD=CD=-BC,ZOBD=-AABC=30°,

22

・・.OD=-OB=-r,

22

13

AD=AO+OD=r+—r=—r

22

由勾股定理得：BD=^OB2-OD2=—r,

2

BC=2BD=y[3r

则的面积是

S.„=-BCxAD=—x-J3rx—r=2,

“BCr2224r

故选：D.

【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的外接圆，三角形的面积

等知识点的应用，关键是能正确作辅助线后求出80的长，题目具有一定的代表性，主要考查学生

运用定理进行推理和计算的能力.

5.如图，。为AABC的外心，为正三角形，。尸与AC相交于。点，连接。4.若ZB4c=70。，

AB^AC,则EMDP为（）

A.110°B.90°C.85°D.80°

【答案】C

【分析】由三角形的外心可知Q4=OC,结合AB=AC,Zfi4c=70。先求出NACO,再利用△OCP

是正三角形以及外角的性质即可求解D4D尸的度数.

【详解】解：是AABC的外心，AB=AC

:.OA^OC,Z.BAO=ZCAO=ZACO

ZBAC=70°

:.ZCAO^ZACO=35°

•••△OCP是正三角形

:.NPCO=ZP=60。

"PCD=APCO-AACO=25°

..ZADP=/PCD+ZP=25°+60°=85°

故选C.

【点睛】本题主要考查外心的性质，等边三角形的性质及三角形外角性质，熟练掌握外心的性质及

外角的性质是解决本题的关键.

6.已知（30的半径是8,点P到圆心0的距离d为方程*-4%-5=0的一个根，则点尸在（）

A.的内部B.的外部

C.上或。。的内部D.上或。O的外部

【答案】A

【分析】解一元二次方程根据点与圆的关系直接判定即可得到答案.

【详解】解：解方程可得，%=5,二=-1，

•.•点尸到圆心。的距离d为方程d-4x-5=0的一个根,

d=5<8,

点尸在。。的内部，

故选A.

【点睛】本题考查解一元二次方程及点与圆的关系，解题的关键是正确解方程及掌握点到圆心距离

与圆半径关系判断点与圆的关系.

7.如图，在RtAABC中，ZC=90°,AC=8,3c=14,点。在边上，CD=6,以点。为圆

心作0。，其半径长为广，要使点A恰在。。外，点8在内，则厂的取值范围是（）

B.6<r<8C.6<r<10D.2<r<14

【答案】A

【分析】先根据勾股定理求出AD的长，进而得出8。的长，由点与圆的位置关系即可得出结论.

【详解】解：在RtaABC中，ZC=90°,AC=8,CD=6,

则以）=3C-CD=14-6=8,AD=^AC2+CD2=A/82+62=10-

•点A恰在。。外，点B在。。内,

.,.8<r<10

故选:A.

【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系、勾股定理，解题的关键是掌握点与圆的三种位置关系，

如设。。的半径为厂，点尸到圆心的距离OP=d,则有：①点尸在圆外②点尸在圆上

od=r；③点尸在圆内

8.如图，在由小正方形组成的网格中，点A,B,C,D,E,F,O均在格点上.下列三角形中，外

心不是点。的是（）

A.AABCB.ZXABDC.&ABED.Z\ABF

【答案】C

【分析】设小正方形边长为1，再通过勾股定理求出。到所有顶点长度，不相等的就是外心不在的

三角形.

【详解】解：设小正方形边长为1,

贝人（M=j22+F=E=OB=OC=OD=OF，

OE=2,

根据三角形外心到各顶点距离相等可以判断：

点。是三个三角形的外心；

不是△ABE的外心，

故选：C.

【点睛】本题考查外心的定义，掌握勾股定理求出外心到各顶点距离是关键.

9.如图所示，AABC的三个顶点的坐标分别为A（T,3）、3（-2,-2）、C（4,-2）,则㈤?C外接圆半

径的长为（）.

A.3亚B.2A/3C.710D.屈

【答案】D

【分析】三角形的外心是三边垂直平分线的交点，设AASC的外心为由8,C的坐标可知M必

在直线x=l上，由图可知线段AC的垂直平分线经过点。,0）,由此可得Af（LO）,过点M作MD_LBC

于点。，连接"8,由勾股定理求出"8的长即可.

—2+4

【详解】解：设“LBC的外心为VB（-2,-2）,C（4,-2）,必在直线尤=-y-=l上，

由图可知，线段AC的垂直平分线经过点。,0）,.1"（I,。），

如图，过点加作地＞，8c于点。，连接MB,

RtAJWBD中，MD=2,BD=3,

由勾股定理得：MB=y1MD2+BD2=A/22+32=V13）即A/RC外接圆半径的长为.故选D.

10.如图，是“LBC的外接圆，BC=2,NB4c=30。，则。。的直径等于.

A

【分析】连接3。并延长交。。于D连接8,得到/3CD=90。，根据圆周角定理得到

ZD=ZBAC=30°,根据含30。角直角三角形的性质即可得到结论.

【详解】解：连接8。并延长交于连接8,

ABAC=30°,

：.ZD=ZBAC=30°,

'：BC=2,

：.BD=2BC=4,

故答案为:4.

【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，含30。角的直角三角形的性质，正确的作出辅助线构

造直角三角形是解题的关键.

11.如图，AA6C是OO的内接三角形，ZA=30°,BCg，把AABC绕点。按逆时针方向旋转90。

得到ABED,则对应点C、。之间的距离为.

D

【答案】2

【分析】连接OC、OB、OD,根据圆周角定理求出N3OC=2NA=60。，得到AOCB是等边三角形,

求出OC=O8=BC=及，根据旋转的性质得到NCOD=90。，根据勾股定理计算即可.

由圆周角定理得，ZBOC=2ZA=60°,

是等边三角形，

OC=OB=BC=y/2,

由旋转的性质可知，ZCOD=90°,

:.CD=y/oc2+OB2=2，

故答案为：2.

【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心的概念和性质，掌握圆周角定理、勾股定理、等边三

角形的判定定理是解题的关键.

12.如图，AABC为圆。的内接三角形，AB^AC,连接AO并延长交BC于点

(2)若BC=6,AB=3A/10,求的半径.

【答案】(1)见解析(2)5

【分析】(1)证明是线段2C的垂直平分线，即可证明

(2)连接OB,根据垂径定理得到即/=<3。=3,根据勾股定理得到AM=9,设OB=Q4=r,则

OM=9-r,根据勾股定理建立方程求解即可.

【详解】（1）证明：为圆。的内接三角形，.•.点。在线段BC的垂直平分线上,

=.,.点A在线段BC的垂直平分线上，

，是线段BC的垂直平分线，，AM_L5C；

（2）解：如图所示，连接08,-.-AMLBC,:.BM=；BC=3,

-.­AB=3y/10,AM=y/AB2-BM2=9>

^OB=OA=r,贝i1OM=9-r,■-OB1=BM2+OM1,/.r2=32+(9-r)2,解得r=5,

•••。。的半径为5.

【点睛】本题考查了三角形的外接圆的性质，勾股定理，垂径定理等等，正确地作出辅助线是解题

的关键.

!产型02]垂径定理

13.如图，A3是。。的直径，点E,C在。。上，点A是EC的中点，过点A画。。的切线，交BC

的延长线于点。，连接EC.若/4D3=58.5。，则NACE的度数为（）

A.29.5。B.31.5°C.58.5°D.63°

【答案】B

【分析】根据切线的性质得到根据直角三角形的性质求出-3,根据圆周角定理得到

ZACE=90°,进而求出/A4C,根据垂径定理得到班，EC,进而得出答案.

【详解】解：•.•小>是。。的切线，

BALAD,

..ZADB=58.5°,

ZB=90°-ZADB=31.5°f

•「AB是。。的直径，

..ZACB=90。,

ABAC=90°-ZB=58.5°,

,点A是EC的中点，

s.BALEC,

：.AD//EC

,\ZDAC=ZACE

:.ZACE=ZDAC=900-ABAC=31.5°,

故选：B.

【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、垂径定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径

是解题的关键.

14.如图，点A是。。上的定点，点5是。O上的动点（不与A重合），过点5作的切线5C,

BC=-OA,连接OA,OC,AC,当AQ4c是直角三角形时，其斜边长为10,则。。的半径为.

2

.依生、20,2

【答案】y/6-

【分析】根据切线的性质得到/O3C=90。，由2C=：OA,得出OC=6BC；再根据勾股定理得

到AC=V<M2+OC2求得OA即可.

【详解】解：・・・5C是。。的切线，

JZOBC=90°,

•・,BC=-OA

2f

：.OB=OA=2BC,

/.OC=y/OB2+BC2=y/OB2+BC2=>Jo^+BC2=^2BC)2+BC2=芯BC；

当AQ4C是直角三角形时，即：ZAOC=90°,

•*-AC=A/0A2+0C2=10，

AOA2+OC2=100,BP4BC2+5BC2=100,解得:SC=^

OA=2BC=—

3

20

故答案为：—.

【点睛】本题主要考查了切线的性质、勾股定理等知识点，正确的理解切线的性质是解题的关键.

15.如图，PA,尸8分别切。。于点A2,点E是。。上一点，且/尸=100。，则/E的度数为

【答案】40°

【分析】连接Q4、OB,由切线性质、/尸=100。及四边形内角和为360。得到4403=80。，再根据

圆周角定理即可得到/E=；/AO8=40。.

【详解】解：连接。4、OB,如图所示：

・•・PA、尸3分别切O。于点A：.OAA.PA,OBA.PB,ZPAO=ZPBO=90°,

-：ZP=100°,

由四边形内角和为360°得到ZAOB=360°-90°-90°-100°=80°,

48=48，，/E=；/A°B=40。，

故答案为：40°.

【点睛】本题考查圆中求角度，涉及切线性质、四边形内角和、圆周角定理等知识，熟记相关性质

是解决问题的关键.

16.如图，。为。。的直径，点A为。。上一点，连接。4、AC,过点A作O。的切线A3,连接

08交AC于点P,OB1CD.

c

B

⑴求证：BA=BP；

(2)若03=40P,CP=8,求。。的直径CO的长.

【答案】(1)见解析；(2)45/14

【分析】(1)由A3为。。的切线，A为切点，可得OAL4B,即N0R=9O。，ZOAC+ABAC^90°,

由NBOC=90。，可得NOC4+NOPC=90。，由。1=OC,可得NQ4C=NOCA,即

ABAC=ZOPC=ZBPA,进而可得54=3尸.

(2)设OP=x，则=B尸=3x,OB=4x,在RtA0LB中，OA=^OB2-AB2=7(4%)2-(3x)2=y/lx,

在RtAW中，PC=yloP2+OC2，即8=6+7/=花工，解得x=2应，则。4=2旧，即。。的半

径为2旧，进而可求直径8的长.

【详解】(1)证明：：A3为。。的切线，A为切点，

OA±AB,即NQ4B=90°,

Z(MC+ZBAC=90°,

■:ZBOC=90°,

：.ZOCA+ZOPC=90°,

•：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

：.ABAC=ZOPC=Z.BPA,

：.BA=BP.

(2)解：设。P=x,则BA=3P=3x,OB=4x.

在RtAtMB中，OA=JOB?_"2=J(4x)2_(3x)2=不x,

在RbW中，pc=y/op2+OC2,即8=&+7彳2=瓜x，解得x=2应，

OA=2A/14，即GO的半径为2万，

OO的直径CD的长为4m.

【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理.解题的关键在于对知识的

熟练掌握与灵活运用.

17.如图，Rt^ABC中，ZA=90°,以AB为直径的。。交8C于点。，点E在。。上CE=C4,AB,

CE的延长线交于点?

⑴求证：CE与。O相切；

（2）若。。的半径为3,EF=4,求CE的长.

【答案】（1）见解析；（2）6

【分析】（1）连接OE、AE,则OE=Q4,所以NOE4=NQ4E,由CE=C4,得NCEA=NCAE,

所以NCEO=NCE4+NOE4=NC4E+NQ4E=90。，即可证明CE与O。相切；

(2)由切线的性质得NEEO=90。，OE=Q4=3,EF=4,得OF=+EF?=5,则

AF=OF+（M=8,即可根据勾股定理列方程CE2+82=（4+CE）2,求解即可.

则OE=Q4,

:.ZOEA=ZOAE,

-.-CE^CA,/C4O=90。，

:.ZCEA^ZCAE,

:.ZCEO=ZCEA+ZOEA=ZCAE+ZOAE=ZCAO=90P,

•.♦CE经过QO的半径OE的外端，且CELOE,

;.CE与OO相切.

(2)解：由(1)知CE与。。相切，

?./FEO=90。

'：OE=OA=3,EF=4,

:.0F=ylOE2+EF2=A/32+42=5，

.-.AF=OF+OA=S,

---ZC4F=90°

/.CA2+AF2=CF2,

VCA=CE,CF=4+CE,

.-.CE2+82=(4+CE)2,

:.CE=6,

：.CE的长为6.

【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、圆的切线的判定、勾股定理等知识，正确地作出所需要

的辅助线是解题的关键.

18.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,以AB为直径作。。，在上取一点。，使CO=BC，

过点C作EF工AD,交AD的延长线于点E,交AB的延长线于点E

(1)求证：直线所是。。的切线；

(2)若AB=10,AD=6,求AC的长.

【答案】(1)见解析；(2)AC=46

【分析】(1)连接OC，由CD=8C得到NE4C=NC4B，根据跖工">得到N£AC+NACE=90。，

由OC=Q4得至l]NC4B=NOC4,则NE4C=NOG4,即可得到NACO+NACE=NOCE=90。，贝U

OCLEF,即可得证；

(2)连接8。，交OC于点G,证明£>G=8G=g8。，四边形DECG是矩形，得到0G为△钿£>中

位线，则0G=3G=CE,DE=CG,OG=^AD=3,得到GC=2,则DE=CG=2,,由勾股定理

得到BG=4,则DG=5G=CE=4,即可得到AE=8,在RtZXAEC中，利用勾股定理即可得到AC

的长.

【详解】(1)证明：连接0C,如图，

,**CD=BC，

：.ZEAC=ZCAB,

:EFJ.AD,

：.ZEAC+ZACE=90°,

*：OC=OAf

：.ZCAB=ZOCA,

：.ZEAC=ZOCA,

：.ZACO+ZACE=ZOCE=90°,

:.OCLEF,

*/OC是。。的半径，

・•・EF是的切线；

(2)解：连接5。，交OC于点G,如图,

VAE±EF9OC.LEF,

：.AE//OC,

AB是OO的直径，

AZADB=90°,AO=BO=-AB=5

2f

：.ZAEC=ZADB=90°f

・•・BD//EF,

：.OCLBD,

：.DG=BG=-BD,四边形。ECG是矩形,

・•・0G为△AB。中位线，DG=BG=CE,DE=CG,

：.OG=-AD=3

2f

.・・GC=OC-OG=-AB-OG=5-3=2,

2

•*-BG=y/OB2-OG2=4^DE=CG=Z,

：.DG=BG=CE=4,

：.AE=AD+O£=6+2=8,

・••在RtaAEC中，AC=1AE2+EC2=,8?+42=4石・

【点睛】本题考查了切线的判定、三角形中位线定理、勾股定理、矩形的判定和性质、圆周角定理

等知识，添加合适的辅助线是解题的关键.

优选提升题

19.如图，PA,PB,8分别切。。于点A,B,E,ZAPS=54°,则NCOD的度数为（）

A.261B.36°C.46°D.63°

【答案】D

【分析】连接。4,OB,OE,可求44。8=180。一/4收=126。，R/OAC丝RSOEC,从而可得

NCOE=ZAOC,可证NCOE=-ZAOE,ZDOE=-ZBOE,即可求解.

22

【详解】解：如图，连接。4,OB,OE,

A

VPA,PB,8分别切oo于点A,B,E,

：.OA=OB=OE,OALPA,OB±PB,OEA.CD,

ZOAC=ZOEC=ZOBD=90°,

ZAOB=180。—ZAPB=126°,

在RtAOAC和RtAOEC中

[OA=OE

\OC=OC，

「•RtAft4C^RtAOEC(HL),

:.ZCOE=ZAOC,

NCOE=L/AOE,

2

同理可证：ZDOE=-ZBOE

2

:.NCOE+NDOE

^-ZAOE+-ZBOE

22

^-ZAOB

2

=ixl26°=63°；

2

故选：D.

【点睛】本题主要考查了切线的性质，全等三角形的判定及性质，掌握相关的性质是解题的关键.

20.矩形ABCD中，A3=3,AD=9,将矩形ABCD沿过点A的直线折叠，使点8落在点E处,若NADE

是直角三角形，则点E到直线3C的距离是.

【答案】6或3+2忘或3-2夜

【分析】由折叠的性质可得点E在以点A为圆心，长为半径的圆上运动，延长54交。A的另一

侧于点E,则此时VADE是直角三角形，易得点E到直线2C的距离；当过点。的直线与圆相切于

点E时，VADE是直角三角形，分两种情况讨论即可求解.

【详解】解：由题意矩形ABC。沿过点A的直线折叠，使点B落在点E处,

可知点E在以点A为圆心，长为半径的圆上运动，

如图，延长胡交。A的另一侧于点E,则此时VADE是直角三角形，

点E到直线BC的距离为BE的长度，即BE=2AB=6,

当过点。的直线与圆相切与点E时，VADE是直角三角形，分两种情况,

①如图，过点E作人5c交BC于点”，交AD于点G,

EGLAD,

.••四边形ABHG是矩形，GH=AB=3

'：AE=AB=3,AELDE,AD=9,

由勾股定理可得£比=,92-32=6及，

••,5A£O=1AE-DE=|AD.EG,

EG=2y/2,

E到直线BC的距离EH=EG+GH=3+20，

②如图，过点E作印，BC交2c于点N,交AD于点

•..四边形ABC。是矩形,

J.NM1AD,

二四边形ABMW是矩形，MN=AB=3

VAE=AB=3,AELDE,AD=9,

由勾股定理可得DE=492-32=6>/2，

■：S^ED=^AE-DE=^AD-EM,

■■EM=2V2，

E到直线BC的距离EN=MN-GN=3-2亚，

综上，6或3+2近或3-20，

故答案为：6或3+2g或3-2血.

【点睛】本题考查了矩形的折叠问题切线的应用，以及勾股定理，找到点E的运动轨迹是解题的关

键.

21.如图，已知。、E分别在等边金。的边AC、BC±,连结OE,4DE的平分线恰好经过“BC

的外心。，交于点孔连结所，若ACDE的周长为18,则44SC的周长为.

【分析】作OGLAC于点G,OHLDE于点、H,OML3c于点连接OE,GM,OA,0C,

根据£（尸平分NADE,得到OG=OH,根据HL推出RtADGgRtADHO,得到OG=£>“，易得

。为AASC的内心，得到OG=OM,推出OH=OM.根据HL推出RSCGO丝R3CMO,得到

CG=CM,根据ZACB=60°,得到△CGM为等边三角形，得到CG=CM=MG,根据。为正^ABC

的外心，得到CG=AG=：AC,根据HL推出RtA£HgRtA£MO,得到EH=EM,推出

CD+DE+CE=AC,根据ACDE的周长为18,得到&4BC的周长为54.

【详解】解：过点。作OGLAC于点G,OHLDE于点、H,0ML3C于点M,连接OE,GM,

OA,OC,如图，

c

・・・。方是一AD石的平分线，0G1AC,OHIDE,

：.OG=OH.

在RMOGO和RtADHO中，

[DO=DO

[OG=OH9

：.RtADGO^RtADHO(HL),

・・・DG=DH,

・・・AABC是等边三角形，。是△ABC的外心，

・・・O为AABC的内心，

・・・8平分NAC5,

VOG1AC,OM1BC,

：.OG=OM,

：.OH=OM.

在RtZXCGO和RtACMO中，

foc=oc

[OG=OM'

RtACGO^RtACMO(HL),

・・・CG=CM.

AABC是等边三角形，

・・・ZACB=6Q°,

：./XCGM为等边三角形，

：.CG=CM=MG.

为"RC的外心，

OA=OC,

CG=AG=-AC,

2

在Rt^EHO和Rt^EMO中,

[OE=OE

\OH^OM'

：.RtA£HC^RtA£MO(HL),

：.EH=EM,

ACDE的周长=CD+DE+CE=CD+DH+EH+CE=CD+DG+EM+CE

=CG+CM^2CG=AC.

：.AABC的周长=AB+AC+BC=3AC=3ACDE的周长，

「△a汨的周长为18,

...AABC的周长为18x3=54.

故答案为：54.

【点睛】本题主要考查了等边三角形，角平分线，全等三角形，解决问题的关键是熟练掌握等边三

角形的判定和性质，角平分线性质，三角形外心与内心的性质，直角三角形全等的判定和性质.

22.(1)如图1,0A的半径为2,AB=5,点P为©A上任意一点，则3P的最小值为.

(2)如图2,已知矩形ABCD,点E为AB上方一点，连接AE,BE,作EFLAB于点F,点P是ABEF

的内心，求的度数.

(3)如图3,在(2)的条件下，连接AP,CP,若矩形的边长AB=6,BC=4,BE=BA,求此

时CP的最小值.

【答案】(1)3；(2)135。；(3)A/58-3A/2

【分析】(1)当点P在线段A3上时，3尸有最小值，即可求解;

(2)由角平分线的性质可得NPES=《NEEB,NPBE=-PBE,由三角形内角和定理可求解；

22

(3)先作出AAB尸的外接圆，进而求出外接圆的半径，进而判断出CP最小时，点P的位置，最后

构造直角三角形，即可得出结论.

【详解】解：(1)当点P在线段A3上时，3尸有最小值为AB-AP=5-2=3,

故答案为：3；

(2)VEF±AB,

：.NEFB=9伊,

：./FEB+NFBE=90。,

:点尸是△BEF的内心，

:.BP平分NABE,PE平分乙FEB,

ZPEB=-/FEB,ZABP=ZPBE=-NPBE,

22

ZBPE=180°-ZPEB-ZPBE=180°-1(/FEB+ZPBE)=135°；

(3)VAB=EB,ZABPZEBP,BP=BP,

：.AABP^AEBP(SAS),

：.ZAPB=NBPE=135。,

如图3,作“IB尸的外接圆，圆心记作点。，连接。4OB,在优弧A3上取一点Q,连接42,BQ,

：.ZAQB=180°-NBPA=45°,

.・.ZAOB=2ZAQB=90°,

***OA=OB=受A人包x6=30,即AAC®是等腰直角三角形，

22

连接OC,与。。相交于点P,此时根据(1)的结论可知，CP是CP的最小值，

过点。作钻于ONLCB,交CB的延长线于N,则四边形OMBN是正方形,

ON=BN=BM=-AB=-x6=3,

22

CN=BC+BN=1,

在RtZXONC中，OC=NON2+CN?=仃+乎=底，

•••C&小值=CP=OC-OP'=458-3^/2.

【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质，内心，构造出圆是

解本题的关键.

23.课本再现

(1)在圆周角和圆心角的学习中，我们知道了：圆内接四边形的对角互补.课