自动控制原理 第十次课1学习资料

第五章

频率特性分析方法

频率特性分析方法的主要特点：1、是一种几何图解的近似方法，适于工程应用。2、是频域的分析方法，系统或环节的动态特性用频率特性表示。3、它不仅适用于线性定常系统，还可以推广应用于某些非线性系统。4、系统或环节的频率特性容易通过实验获得。本章主要内容：1、频率特性的定义；2、研究频率特性的物理意义；3、频率特性的几种图示方法；极坐标图√对数坐标图（伯徳图）Bode√对数幅相图（尼柯尔斯图）Nichols4、利用频率特性方法分析和设计控制系统5.1频率特性及其图示法5.1.1频率特性5.1.1.1频率特性的定义系统或环节对正弦输入信号的稳态响应与输入函数之比为频率特性。r=Asinωt G(s)y(t)

A是幅值，ω是角频率.稳态响应，是频率的函数。利用频率特性研究的系统必须是稳定的系统。一阶线性系统Y(s)r=AsinωtR(s)当输入时，经拉氏反变换，有：频率特性是研究系统稳态响应的，其中可以按复变函数中求系数的留数方法求得：∴式中：整理可得：注：欧拉公式：稳态输出仍是一个正弦信号，输出幅值和相位发生了变化，角频率ω没变。稳态输出与输入比较可得：

幅值比

相位差

ABr=Asinωt它们都是ω和系统特征参数的函数。Y(s)r=sinωtR(s)ω=0.2πω=1πω=5π考察幅值比ω=0.2πω=1πω=5π考察相位差推广到一般，得出以下结论：

1、对稳定的线性系统作用正弦信号，其稳态输出仍是一正弦函数，频率不变，幅值和相位发生变化。2、幅值比和相位差Φ都是输入信号频率ω的函数，其函数关系统称为频率特性。

∽ω的关系称为幅频特性。Φ∽ω的关系称为相频特性。

频率特性推广到一般，得出以下结论：

1、对稳定的线性系统作用正弦信号，其稳态输出仍是一正弦函数，频率不变，幅值和相位发生变化。2、幅值比和相位差Φ都是输入信号频率ω的函数，其函数关系统称为频率特性。

3、频率特性与系统（环节）的动态特性有关，例T、k。可以推论，尽管频率特性是从系统的稳态响应中得到的，却反映出系统的动态特性，是描述动态特性的一种方法。5.1.1.2物理意义三个截面不同的水槽，时间常数T1>T2>T3，在输入的流量调节阀上安装超低频信号发生器，使输入信号Qs做正弦变化，如图所示，观察系统输出液位h的变化：h1QsQ出T1QsQ出h2T2QsQ出h3T3Qshssh1h2h3对输出波形从物理意义上进行分析。h1QsQ出T1QsQ出h2T2QsQ出h3T3Qshssh1h2h3截面积小的水槽对输入信号响应快，稳定后，液位波动的量大；截面积大的水槽对输入响应慢，稳定后，液位波动的量小;截面积的大小反映的是系统动态参数－时间常数的大小。h1QsQ出T1QsQ出h2T2QsQ出h3T3Qshssh1h2h3当对不同系统施加相同信号时，由于它们的动态特性不同，其稳态响应差异也很大;频率特性虽然是从系统的稳态输出求出的，但却反映了系统的动态特性。频率响应是在强制振荡输入信号作用下的输出响应，此时系统进入稳定状态，但并没有进入静止状态，输出仍在稳定的等幅振荡之中，系统的动态特性对变化的信号必然有影响。5.1.1.3频率特性的获取三种方法：1解析法—

如前例一阶系统，输入正弦信号，求时域解y(t)，t→∞，求yss，与输入之比；2直接由传递函数得知；3由实验测取。(1)已知系统传递函数，求频率特性对于线性定常系统，将传递函数中的变量s用jω代替，就得到了频率特性G(jω)。G(s)G(jω)以一阶环节为例，相位差：传递函数直接变换后，其中，，为频率特性，是一复数，模为系统频率特性，其相角为系统频率特性的相位差。的幅值比输出的幅值比：推广到一般的情况，对于任何线性定常系统，只要将传递函数中的变量s用jω代替，便得到了系统的频率特性。G(jω)用复数表示：模为系统的幅频特性其相角为系统的相频特性。证：系统的传递函数：经拉氏反变换，有：稳态得：其中：与均为复数，可用模和相角表示。写成复数的极坐标形式：代入yss：幅值比，相位差是频率特性函数。∴比较得：与输入关于频率特性的总结：1、任何稳定的线性系统，当输入为正弦信号时，稳态后输出也是正弦信号，频率相同，幅值和相位都发生变化，而且它们都是频率的函数。3、频率特性能反映系统的动态特性。2、将传递函数中的s用代替得即为频率特性。为幅值比，又称幅频特性。为相位差，又称相频特性。(2)实验测定频率特性用频率或超低频信号发生器，作为输入信号加在系统的输入端，当系统稳定后，同时记录系统输入和输出数据。找到在此刻频率下的幅值比和相位差。然后改变ω，逐一记录B/A(ω)和φ(ω)，就获得了频率特性。直接用频率特性测试仪测取，直接在X-Y记录仪上显示。φ方法①方法②例1：某系统的传递函数为：当输入信号为：求出它的稳态输出响应。解：如何求模和相角？*5.1.2频率特性的极坐标图常用的图示方法：3、对数幅相图（尼柯尔斯图）Nichols2、对数坐标图（伯徳图）Bode1、极坐标图(奈奎斯特图）Nyquist典型环节：一阶环节，二阶环节，放大环节，纯滞后环节等√√5.1.2.1极坐标图是ω的复变函数。(1)定义当ω从0→∞变化时，矢量的端点在复平面上画出的轨迹叫作G(jω)的极坐标图。即：ImReωU(ω)V(ω)矢量的端点在实轴与虚轴上的投影分别为的实部和虚部坐标，它们分别叫作实频特性和虚频特性，(2)极坐标图的获得根据频率特性的两种表示方式做图。2、已知，将不同的ω代入，计算实部和虚部，，做图。极坐标图在概念分析上比较清楚、直观，特别在分析系统稳定性上经常用到。极坐标图画起来复杂，运算也较繁琐，要遵循矢量运算规则。优点：缺点：1、已知，将不同的ω代入，计算做图；和5.1.2.2一些典型环节的极坐标图（1）一阶惯性环节当时，当时，当时，ImReK●●●当ω：时，矢量端点的轨迹是一个半圆。证明：其中，则：整理：经配方，即：圆的方程。圆心(K/2,j0),半径K/2。ImReK/2K为共轭复数。当ω:-∞→+∞，得到完整的频率特性。顺时针方向是当ω增加时，频率特性变化的方向。ImRe（2）放大环节其幅频特性和相频特性均为常数。不随ω变化。（3）纯滞后环节幅频特性不变，恒为1，相频特性为ω的线性函数，周期变化。频率特性是一周期变化的单位圆。01ωImReK分别为：ImRe（4）积分环节与微分环节ww（5）一阶加纯滞后环节分析：当时，↗↘在负的方向上逐渐增加（随ω周期变化）。当时，图形为一螺旋线。ImRe1（6）二阶惯性（滞后）环节分析：当时，（低频特性）当时，（高频特性）1ImRe当时，与虚轴相交

随着ω的增加，相位滞后越大，0→－180°与虚轴交点频率ω＝ωn

幅频特性不仅是ω的函数，也是ζ的函数。当ζ小于0.707后，幅频特性超过1。在最大峰值处ω＝

ωr（谐振频率），系统产生谐振。谐振峰值Mr：可得到谐振峰值：临界参数：（7）三阶惯性环节分析：当时，↗在负的方向上逐渐增加↙当时，ImRe1（8）比例积分（PI）环节实部不变=Kc，虚部随改变，按实虚部作图。ImReKcKc（9）比例积分微分（PID）环节分析：实部不变=Kc，虚部随改变。ImRe0Kc﹣∞﹢∞低频时,积分起主要作用，相位滞后90°,高频时，微分起主要作用，相位超前90°。物理意义：UV∠0KcKcKc-∞+∞0∞-90°90°0°绘制概略极坐标图的方法如下：计算和绘制极坐标图的起点(ω=0

)和终点(ω=∞)；(2)计算和绘制极坐标图与实轴的交点；(4)估算极坐标图的变化范围，包括曲线的象限和单调性等。(5)描绘完整的极坐标图。(3)计算和绘制极坐标图与虚轴的交点；1、0型系统（λ=0，没有积分环节）

一阶二阶三阶特点：起始点在正实轴，终止在原点。常见极坐标图有三种形式（没有零点）：2、1型系统（λ=1，有一个积分