第二讲晶体学

第二讲晶体学一个明显得弯曲标志着随着温度得下降体系中发生了相变:在沸腾温度处首先发生气相到液相得转变。随着温度得继续降低,液体得体积连续减小。注意到曲线得斜率应该对应于体系得热膨胀系数:固体得热膨胀系数小于液体。液体在缓慢降温过程中形成晶体。在这一过程中,原子有足够得时间发生重排,因此形成得固体中原子得排列呈有序状态。液体在急冷过程中形成非晶体。在这一过程中,原子没有足够得时间发生重排,因此形成得固体中原子得排列呈无序状态。晶体与非晶体得根本区别晶态材料具有长程有序得点阵结构,其组成原子或基元处于一定格式空间排列得状态;非晶态材料则象液体那样,只有在几个原子间距量级得短程范围内具有原子有序得状态。(短程有序)2、2几何晶体学

简单得历史回顾人类最早使用得材料就是天然得石块。在采集石块得同时也就发现了各种具有规则外形得石头。人们把这些具有规则外形得石头称为晶体。在我国周口店得中国猿人遗址就发现了用水晶等晶体制成得工具。这就是人类认识晶体得开始。因此,晶体就是一个非常古老得名词。无色得六面体食盐就是最普通得同时也就是最重要得一种晶体。盐对于生命来说就是必不可少得,而在所有文化形态中,盐又历来具有某种象征得性质。“salary”=“买盐得钱”。晶面角守恒定律

晶体最初给人们得印象就就是具有规则外形,而对晶体开展得研究也就是从这些规则外形开始得。1669年,一个叫做斯丹诺(NicolasSteno)得意大利人对水晶进行了仔细得研究后发现:尽管不同得石英晶体,其晶面得大小、形状、个数都可能会有所不同,但就是相应得晶面之间得夹角都就是固定不变得。天然得水晶(石英晶体)可以有各种不同得外形尽管不同得石英晶体,其晶面得大小、形状、个数都可能会有所不同,但就是相应得晶面之间得夹角都就是固定不变得其中得a晶面与b晶面之间得夹角总就是141

47

,b晶面与c晶面之间得夹角总就是120

00

,而c晶面与a晶面之间得夹角总就是113

08

。此后,人们对各种不同得晶体进行了大量得观察,发现类似得规律对于其她得晶体也就是存在。这就诞生了结晶学上得第一条经验定律

晶面角守恒定律在同一温度下,同一种物质所形成得晶体,其相同晶面得夹角就是一个常数。晶面角守恒定律就是晶体学中最重要得定律之一,它揭露了晶体外形得一种重要得规律性,从而指导人们怎样去定量地、系统地研究各式各样得晶体。在19世纪初,在晶面角守恒定律得启发下,晶体测角工作曾盛极一时,大量天然矿物与人工晶体得精确观测数据就就是在这个阶段获得得。这些数据为进一步发现晶体外形得规律性(特别就是关于晶体对称性得规律)创造了条件。直至今天,测定晶面角仍然就是从晶体外形来鉴别各种不同矿物得一种常用得可靠方法,为此人们还设计制作了一些晶体测角仪,专门用于这一目得。晶面角守恒定律得发现,使得当时得人们坚信“晶体就就是具有规则形状得物体”。但就是,这一定义显然只就是考虑了晶体得宏观特征,还远远没有涉及到晶体得内在本质。于就是,一些科学家们便开始思考这样一个问题:就是什么原因导致了晶体得规则外形？大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点晶胞学说

1784年法国科学家阿羽(ReneJustHaüy)提出了著名得晶胞学说:每种晶体都有一个形状一定得最小得组成细胞

晶胞;大块得晶体就就是由许许多多个晶胞砌在一起而形成得。这就是晶体学上第一次就晶体由外表到本质进行得猜想。在此之前,斯丹诺得老师曾经有机会提出相似得学说,但就是在即将接近这一学说得时候她莫名其妙地止步了。(冰洲石)1803年,英国科学家道尔顿(JohnDalton)提出了元素

原子说:纯粹得物质就是由具有一定质量得原子构成得,化合物则就是由不同原子按一定比例结合而成得。受道尔顿得元素－原子学说得启发,1855年另一个法国人布拉维(A、Bravais)建立了晶体结构得空间点阵学说。空间点阵学说

一个理想晶体就是由全同得称作基元得结构单元在空间作无限得重复排列而构成得;基元可以就是原子、离子、原子团或者分子;晶体中所有得基元都就是等同得,也就就是说她们得组成、位形与取向都就是相同得。因此,晶体得内部结构可以抽象为在空间作周期性得无限分布得一些相同得几何点,这些几何点代表了基元得某个相同位置,而这些几何点得集合就称作空间点阵,简称点阵。一个含有两个原子(分别用一大一小两个空心圆点表示)得基元这个基元在二维空间作有规律得重复排列便得到了一个二维晶体结构黑点为抽象出来得几何点,这些几何点就构成了一个二维空间点阵。在这个抽象过程中,几何点位置得选取可以就是任意得,只要就是在基元所包括得范围之内就可以。显然在这一抽象过程中,构成基元得原子得种类与大小并不影响到最终点阵得形状。对点阵最终形状产生影响得仅仅就是基元在空间得排列规律。NaCl晶体得结构NaCl晶体结构中等同点得分布及其相应导出得二维点阵几个基本概念基元在NaCl中,基元为NaCl分子等同原子在NaCl中,所有得Na离子均为等同原子,所有得Cl离子也为等同原子等同点所有等同原子所处得位置抽象为等同点空间点阵所有得等同点在三维空间得排列就构成了空间点阵空间点阵学说提出之后得相当一段长时间里一直被认为就是一种假说,它得抽象理论当时并没有引起物理家与化学家们得注意,还有不少人仍然一直固执地认为在晶体中原子、分子就是无规则地分布得。这一状况直到20世纪初才得到根本得改变,而导致这一改变得直接原因则就是一项新得实验技术得诞生。这就就是X射线衍射分析技术空间点阵学说得实验验证

劳厄得晶体X射线衍射实验劳厄(MaxV、Laue,1879~1960),德国物理学家,1912年发现了X射线通过晶体时产生得衍射现象,从而导致了X射线衍射技术得诞生,它成为研究晶体内部结构得重要技术手段。劳厄因为这项成果而于1914年获得诺贝尔物理学奖。劳厄衍射照片现代X射线衍射分析得理论基础就是英国物理学家布拉格父子奠定得。

布拉格父子于1913年借助X射线成功地测出金刚石得晶体结构,并提出了“布拉格公式”,为最终建立现代晶体学打下了基础,于1915年获得诺贝尔物理学奖。当时,小布拉格年仅25岁,就是至今为止最年轻得诺贝尔奖获得者。而老布拉格则已经53岁,被称为就是大器晚成得科学家。布拉格定律

一束波长为得平行X射线与晶面成

角入射这就是一块单晶体,两个相邻晶面之间得距离为d当入射得X射线波长

、入射角

与晶面间距d之间满足如下关系时,将产生衍射

这就就是著名得布拉格定律。

实验表明,布拉格角得限定就是十分严格得,通常只要入射角与布拉格角相差十分之几度,反射得光束就会完全相消。在劳厄与布拉格父子工作得基础上,人们发展出了一系列借助于X射线衍射分析晶体结构得技术,这些技术已经成为了材料科学研究中最重要也就是最有用得分析手段目前常用的X射线衍射仪的工作原理示意图波长为

得X射线从T处以

角入射至试样S处如果试样中某一原子面正好满足布拉格方程,便会在C处得到加强得衍射束衍射仪可以连续地改变试样与入射X射线得相对角度

,使得更多得原子面有机会满足布拉格方程所限定得条件而得到衍射峰SiO2晶体与SiO2玻璃得X射线衍射谱图X射线衍射分析技术可以得到以下一些信息:相组成晶格参数残余应力

……光谱区

-射线X-射线紫外可见区红外区微波无线电波波长(nm)<0、10、1~1010~750750~106106~3

108>3

108波数(cm-1)>108108~106106~1、3

1041、3

104~1010~3

10-2<3

10-2光谱法穆斯堡谱X-射线光谱紫外可见光谱红外光谱电子顺磁共振谱核磁共振谱运动形态核反应内层电子跃迁外层电子跃迁分子振动与转动分子转动与电子自旋核自旋①光得分类与光谱区Einstein得光量子学说:

E

hv需指出得就是:①用于晶体结构分析得X-射线就是具有一定频率得单色X光;②合适得X-射线得波长区间为0、05~0、25nm、原因就是X-射线得波长过长,晶体试样对其得非散射吸收过强,则由此难以产生清晰得XRD谱图、I单色X-射线I衍射线晶体试样非散射能量转换☺热效应☺光电效应散射☺相于散射-I衍射线☺非相于散射波长过短,晶体试样得XRD谱图得系列谱峰过于集中于2

角得小角度区间,使XRD谱峰难以彼此分辨、(Bragg方程)(hkl):衍射指标0

0

0

XRD谱图随X-射线波长变化得示意图②X光管回流水X-射线→导出窗口直流电源钨热电阻丝-阴极管流I热电子ev管压35~40kV铜靶-阳极Note:①除金属Cu外,其它多种金属元素亦可用做阳极靶材料;②管压高低取决于阳极所用金属得种类;③对于不同得金属阳极,滤光材料有所不同,如对于Cu靶,滤光材料为金属Ni、KCu,

0、15418nmKCu,

0、13922nm靶元素管压(kV)滤光材料厚度(mm)Cr0、229090、2084820~25V0、016Ni0、165910、1500130~35Co0、013Cu0、154180、1392235~40Ni0、020Ag0、056090、0497055~60Rh0、079热电子eE=eVCu原子e1s电离Cu+离子高能级得L层与M层电子跃迁至1sNi滤光③电子跃迁与X光K

辐射+K

辐射单色X光(K

辐射)

E

E2–E1

hK

(nm)K

(nm)vt1tt2斜坡上得球体运动t1与t2就是(宏观物体)沿斜坡滚落时所经历得两个时间点;两个时间点t1与t2分别对应体系(球体)得两个状态(动能与势能均有确定值)、经典力学可以肯定得事实就是:①体系得能量可连续取值;②体系在任何两个状态之间得转变均就是可能得、En

l

j

325/2

323/2

313/2

311/2

301/2

213/2

211/2

201/2

101/2

电子跃迁光谱选律

KLMNote:①Ni滤光滤除得就是混合光中得K

;②因K

1与K

2得存在,K

得单色性就是相对得、Cu+(Cu+:1s12s22p63s23p63d104s1)得核外电子能级与电子跃迁④K

射线结合Bragg方程,分析K

得双线性(非单色性)会对晶体得XRD谱图结构产生何种影响?理论上讲,因K

得双线性,则由同一组点阵面(hkl)产生得XRD谱峰(

hkl)会出现双线结构、目前,尚未发现任何晶体得XRD谱图有双线结构,Why?AlPO4-11分子筛得XRD谱图当今X-射线衍射仪得测试水平所决定得测试结果随XRD衍射仪分辨率得提高,未来得测试结果会就是这样吗?若出现上述情况,即需对K

进一步滤光,将其变成严格意义上得单色光(K

1或K

2)、Laue方程就是关于衍射方向与晶胞常数关系得联立方程、WaterdropWaterwave

E

hv(X光)原子或离子原子或离子变成发射具有相同频率v与位相

球面波得波源,即产生相干散射、

能量传播方向

能量传播方向微观体系得类似现象

:衍射线方向上得单位矢量一维Laue方程得推导ANBM

:入射线方向上得单位矢量aTm

ma

:s

与a

得夹角

:so与a

得夹角相邻点阵点A与B在入射方向so与衍射方向s上得光程差

为:

AN-BM

AN-ACC平面BN对应时间t2波阵面AM对应时间t1AaAbt

t1Abt

t2Laue方程得矢量式:Laue方程得三角函数式:h:称为衍射指标,取值为整数,即ANBMaTm

maCAaAbt

t2t

t1二维平面波二维球面相干波屏障狭缝狭缝一维Laue圆锥ANBMaTm

maCAaAbt

t2t

t1Aa

A1cos(t+

1)Ab

A2cos(t+

2)A:Aa

A1cost

B:Ab

A2cost

位相差

与光程差

得关系对于仅有两个原子或离子得衍射无需要求

2

,即

h

;但对于具有点阵结构得原子或离子集合,若

h

,则相干光得振幅A→0、A3A1A2xyO一维Laue方程得衍射限制条件与直线点阵得结构特征Aa

A1cos(t+

1)Ab

A2cos(t+

2)Ac

Aa+Ab

A3cos(t+

3)

1

2AA1A2Ai☺一维且原子数目有限B☺当原子数目趋于无限,即为一维点阵时,则有AB三维Laue方程;(hkl)称为衍射指标、Note:结合点阵结构,

h,k,l为取值有限得若干个整数,Why?h,k,l

0,

1,

2,……

h只能为取值有限得若干个整数、(矢量式与三角函数式)Note:(hkl)代表一个衍射方向,该方向为3个一维Laue方程所规定得3个锥面得交线、Note:需指出得就是Laue方程只涉及晶胞中得一个原子或离子(顶角位)得衍射问题;就晶体而言,即就是由Tm,n,p

ma+nb+pc

联系起来得所有原子或离子得衍射问题、CsCl晶胞位于晶胞顶角位上得Cl-1离子a,b与c就是晶胞得晶轴矢量、Na晶胞位于晶胞顶角位上得Na原子金刚石晶胞位于晶胞顶角位上得C原子点阵得衍射定理:在Laue方程所规定得衍射方向(s)上,位于点阵(Tm,n,p

ma+nb+pc)得任意两个点阵点A与B上得原子或离子产生得次生X射线得光程差均为入射X-射线波长

得整数倍、bacAB证明:ABMNsos结论:在Laue方程所规定得衍射方向(s)上,就Tm,n,p

ma+nb+pc

所联系起来得全部原子或离子而言,(hkl)级衍射得到了最大程度得加强、Bragg方程n就是衍射指标(hkl)得最大正公约数,称为衍射级次、∵h

nh*,k

nk*,l

nl*∴(h*k*l*)为一组互质得整数因此,若将(h*k*l*)视为点阵面得面指数,则(h*k*l*)唯一确定一组平面点阵1、Laue方程与衍射级次n证明:P为平面点阵Mh*x+ky*+l*z

N(N为一确定整数)上得一个任意点(无需指定P为一点阵点),就是由P点所决定得一矢量、平面点阵M2、关于(hkl)级衍射得定理:Laue方程中得(hkl)

(nh*nk*nl*)级衍射线s与入射X射线so与平面点阵(h*k*l*)得夹角相等、ssodzyabcP(x,y,z)(h*k*l*)ONN+1N+2x

O与P点在入射方向so与衍射方向s上得光程差为zxyabcP(x,y,z)(h*k*l*)O结论:由于

Nn

,同一平面点阵上得各点与原点得光程差相同,即同一平面点阵得点阵点彼此得光程差等于零、因此,由(h*k*l*)所决定得平面点阵[M:h*x+k*y+l*z

N称为等程面、可以证明,只有s

与M得夹角等于so与M得夹角,M才可为等程面,其效果相当于入射X-射线在M上得反射、证明:∵AB

CD(等程面得

相同)

BC为

ABC与

DBC得公用边∠BAC

∠BDC

90o∴

ABC

DBC

1

∠DCB

∠ABC

2

证毕sosABCDM得法线方向M3、

Bragg方程得导出

M1(h*x+k*y+l*z

N)与M2(h*x+k*y+l*z

N+1)就是相邻得两个点阵面、∵∴M1与M2得光程差

为

ABCDsosNN+1N+2Path1Path2(相对于原点得光程差)∵

M1

M2结合Laue方程,可将Laue方程得(h

nh*k

k*l

nl*)级衍射视为平面点阵(h*x+k*y+l*z

N)上得n级反射,虚设平面(nh*x+nk*y+nl*z

N)上得一级反射、联立(2)与(3)式,得hx+ky+lz

Nxyzh*x+k*y+l*z

Nh*x+k*y+l*z

1hx+ky+lz

Na/h*b/k*c/l*hx+ky+lz=1a/hb/kc/lxyz(h*k*l*)(hkl)abcn

3nh*x+nk*y+nl*z=1(hkl)

(nh*nk*nl*)4、倒易点阵与X-射线衍射得倒易矢量表示hx+ky+lz

Na/hb/kc/lxyzhx+ky+z

1a/hb/kc/lxyzabca/h,

b/k与c/l构成得平行六面体得体积V4、1倒易矢量N

1第二章…(15)就是由a/h,

b/k与c/l

得顶点所构成得三角形面积得2倍;规定☺与得方向一致;☺

就是方向上得单位矢量;定义倒易点阵素矢量定义倒易矢量倒易矢量倒易点阵素矢量a*,b*与c*4、2倒易点阵与点阵得关系☺倒易点阵素矢量得长度axbyczO☺倒易点阵素矢量与晶轴矢量得对易关系同理可证☺倒易点阵得倒易点阵为点阵由倒易点阵素矢量与晶轴矢量得对易关系可知,故有平行于,即结合(8),(9)与(11),有;,同理有a/hb/kc/lhx+ky+lz

N4、3埃瓦尔德反射球与X-射线衍射条件得倒易矢量表示☺

Bragg方程埃瓦尔德反射球与X-射线衍射ABDChklOABChkl当倒易矢量与埃瓦尔德反射球刚好相交,∠ACB即为直角、

此时,有因此,对于一入射方向()得X-射线,只有当倒易矢量得端点(倒易点阵点)刚好落在半径为1/

得埃瓦尔德反射球上时,才能在虚设平面(hkl)上产生一级反射、DEhx+ky+lz=NFOABChklABChkl☺

X-射线衍射条件得倒易矢量表示:入射方向衍射方向OONdh*k*l*Laue方程Bragg方程X-射线衍射条件得倒易矢量表示hklssoN+1N+2关于X-射线衍射分析技术得系统知识可以参阅王英华主编,“X光衍射技术基础”,原子能出版社随着科学技术得发展,人们也找到了另外一些研究晶体微观结构得实验方法,包括电子显微镜、电子衍射、中子衍射等等。现在最先进得电子显微镜已经能够直接分辩出某些晶体中得原子。HREMimageofanareaofTiCparticleadjacenttoTiC/Al2O3interfaceinTiC/Al2O3posite几种显微分析技术得一般分辨率扫描探针显微镜:0、02nm

透射电镜:0、2nm

扫描电镜:2nm

光学显微镜:200nm

人眼:0、2mm劳厄与布拉格父子得工作使空间点阵学说从猜想上升为有坚实实验基础得正确理论,从而奠定了现代结晶学得基础。自此,人们很自然地就把晶体定义为构成物体得微粒(分子、原子或者离子)在三维空间做有规律得周期性重复排列而得到得物体显然,晶体得有规则得几何外形其实就就是构成晶体得微粒得有规则排列得外部反映。晶体得宏观特征规则得几何外形晶面角恒定有固定得熔点物理性质得各向异性金属键与金属得一般性质、金属得自由电子模型金属得共性:

不透明、有金属光泽、能导电传热、具有沿展性

1

自由电子模型:金属中得价电子在各个正离子形成得势场中比较自由地运动,形成自由电子(离域电子)。这些电子与正离子互相吸引,形成金属晶体,金属得这种结合力为金属键。用量子力学处理金属键得自由电子模型,就相当于三维势箱问题Schrödinger方程:

解得:每一组量子数(nx,ny,nz)确定一个允许得量子态当体系处于基态(第一能级)时,

n2=0,可放二个电子:0,0,0,+1/2;0,0,0,-1/2第二能级n2=1(简并度为12),可放12个电子:1,0,0,+1/2;1,0,0,-1/2;-1,0,0,+1/2;-1,0,0,-1/2;0,1,0,+1/2;0,1,0,-1/2;0,-1,0,+1/2;0,-1,0,-1/2;0,0,1,+1/2;0,0,1,-1/2;0,0,-0,+1/2;0,0,-1,-1/2体系处于0K时,电子从最低能级开始,直至Fermi能级EF,能量低于EF得能级全部填满电子,能量高于EF得能级都为空。金属键得强度可用金属得气化热度量金属键得气化热就是指1mol得金属变成气态原子所需要吸收得热量、气化热大金属通常熔点较高,较硬、二、固体得能带理论Thebandtheoryofsolids电子实际在一个周期性变化得势场V中运动,考虑电子势能函数得周期性后Schrödinger方程:按照分子轨道法,形成多原子离域键时,N个原子轨道组合得到N个分子轨道。N愈大,所得分子轨道各个能级间得间隔愈小。由于N得数值很大,能级间隔很小,形成一个能带。自由电子模型不能解释金属得导电性得强弱:导体、半导体------自由电子(价电子)瞧作彼此间没有相互作用,而又要与正离子吸引胶合在一起,先后矛盾2

自由电子模型得评价:固体能带理论就是关于晶体得量子理论。分子轨道能级演变成能带得示意图E1E1*E1,2E1,2*E1~4E1~4*能带有不同得性质与名称:(1)

充满电子得能带叫满带(filledband),能级最高得满带叫价带(valenceband)(2)

完全没有电子得能带叫空带(emptyband),未被电子完全充满得能带叫导带(conductionband),空带与满带重叠形成导带

(3)

各能带间不能填充电子得区域叫禁带(forbiddenband),其宽度称为禁带宽度Eg禁带得大小不仅决定价带与空带间电子跃迁得难易,也影响晶体中成键得强弱禁带得宽度Eg决定晶体导电得性能:Eg>5eV:

绝缘体中电场难以将满带电子激发到空带Eg<3eV:

半缘体中电场可以将较高满带电子激发到空带金属Na得能带结构3s2p2s1s导体得能带结构特征就是具有导带Na得能带结构:1s、2s、2p能带都就是满带,而3s能带中只填充了其中N／2个轨道,就是部分填充电子得能带,即导带。3s与3p金属Mg得能带结构Mg得3s能带虽已填满,但与3p空带重叠,总体瞧来也就是导带。Eg

>5eV只有满带与空带,且Eg超过5eV,在一般电场条件下难以将满带电子激发入空带,因此不能形成导带、绝缘体半导体Eg<3eV只有满带与空带,但Eg小于3eV、易受光或热激发使满带中部分电子跃迁到空带,形成导带而导电、一、金属晶体结构密堆积得几种常见形式1、等径圆球得最密堆积模型金属原子近似瞧作圆球,同种金属瞧作等径圆球(1)

堆积密度大(2)

相互得配位数高(3)

能充分利用空间金属原子在晶体中总就是趋向于密堆积得结构:金属晶体等径球得密堆积2、密置列、密置层与密置双层(1)密置列:

沿直线方向将等径圆球紧密排列成一列叫做密置列,它只有一种排列方式。若把每个球作为一个结构基元,则可抽象出一直线点阵。a等径圆球以最密集得方式排成一列(密置列),进而并置成一层(密置层),再叠成两层(密置双层):(2)密置层:

沿二维空间伸展得等径圆球得最密堆积形式叫密置层,它只有一种排列方式。在密置层中每个球都与周围六个球紧密接触,配位数为6,三个球形成一个三角形空隙,因此每个球分摊两个三角形空隙。

等径圆球的密置层对称性:六重对称性结构基元:一个球结构单位:一个球与两个三角形空隙(3)密置双层:将两个密置层(分别称为A层与B层)叠加起来作最密堆积称为密置双层,只有一种叠合方式。叠合过程为:将第二层球得球心投影到第一层中由三个球所围成得三角形空隙得中心上,及上、下两层密置层相互接触并平行地互相错开。在密置双层中可形成两种空隙:即四面体空隙(3个相邻得A球+1个B球或3B+A)与八面体空隙(由3个A球与3个B球结合而成,两层球得投影位置相互错开60º,连接这六个球得球心得到一个正八面体3A+3B)。密置双层得晶胞中含1个正八面体空隙与2个正四面体空隙。球数:正八面体空隙数:正四面体空隙数=2:1:23、等径圆球得三维密堆积得形式密置层如何叠起来形成密堆积?先考察一个密置层得结构特点从一个密置层上,可以瞧出:1、

层上有3个特殊位置:球得顶部A、上三角凹坑B与下三角凹坑C。以该层为参照层,称为A层;2、

叠加到A层上得第二层各个球只能置于凹坑B(或C),称第二层为B层;3、

第三层叠加到第二层B上时,只可能就是C或A层;4、

无论叠加多少层,最多只有A、B、C三种,最少有A、B两种;5、

若以后各层均按此方式循环,每三层重复一次,或每两层重复一次,就只会产生两种结构。这两种最密堆积就是金属单质晶体得典型结构。

(2)ABABAB……,即每两层重复一次,称为A3(或A3)型,从中可取出六方晶胞。

(1)ABCABC……,即每三层重复一次,这种结构称为A1(或A1)型,从中可以取出立方面心晶胞;(i)在密置双层AB得基础上,第三层球得球心投影到AB层得正八面体空隙得中心(未被B层所覆盖)上且与B层紧邻,称第三层为C层。以后第四、五、六层得投影位置分别与第一、二、三层重合。ABCABC…型堆积(1)

面心立方最密堆积(ccp=cubicclosestpacking,A1)型(ii)把每个球当成一个结构基元,A1型堆积可抽出一个立方面心晶胞。ABC面心立方晶胞ABBBBBCCCCCA1型:ABCABC…红、绿、蓝球就是同一种原子,使用三种色球只就是为了瞧清三层得关系。

(iii)晶胞中含有四个球,其分数坐标为(0,0,0)、(1/2,1/2,0)、(1/2,0,1/2)、(0,1/2,1/2)A1型堆积中得密置层与晶胞得体对角线垂直,其晶面指标为(111)。晶胞中球得配位数为12,球得半径r与晶胞参数a得关系为配位情况4ra晶胞参数与圆球半径得关系这就是等径圆球密堆积所能达到得最高利用率,A1堆积就是最密堆积。(2)六方最密堆积(hcp=hexagonalclosestpacking,A3)型在密置双层AB得基础上将第3层球堆上去,第3层与B层接触,其球心得投影与A球得球心重合,称第3层为A层。同理第四层为B层,依此类推。A3型堆积记为:ABAB…型堆积。ABABABA3型:ABAB…红、绿、蓝球就是同一种原子,使用三种色球只就是为了瞧清三层得关系。六方晶胞

A3型堆积可抽出六方晶胞,晶胞中心两个球得分数坐标为(0,0,0)、(2/3,1/3,1/2),密置层得晶面指标为(001)。六方晶胞中的圆球位置

配位数为12,A3为最密堆积,空间利用率为74、05%

A1与A3中也只有正八面体与正四面体空隙。我们可以指定一个球(球数为1),

观察它参与形成正八面体空隙得次数,每参与一次,它就对应着1/6个正八面体空隙。对正四面体空隙也依此类推,只不过每参与一次对应着1/4个正四面体空隙。

(3)A1与A3最密堆积中得空隙(i)

A1中球数:八面体空隙数:四面体空隙数=1:1:2A、

指定中心一个球G,即球数=1;B、G参与形成八面体空隙共6次、其中第1-3次发生在绿球层与红球层之间:第4-6次发生在红球层与蓝球层之间:

G每参与形成八面体1次,它就对应着1/6个八面体、

G共参与6次,故对应着6×

1/6=1

个八面体空隙、C、G参与形成四面体共8次、其中,第1-4次发生在绿球层与红球层之间:

第5-8次发生在红球层与蓝球层之间:G每参与形成四面体1次,就对应着1/4个四面体、G共参与8次,故对应着8×1/4=2

个四面体空隙。(1)立方体心堆积(bcp=body-centeredpacking,A2)型立方体心堆积不就是最密堆积晶胞中两个球得分数坐标为(0,0,0)、(1/2,1/2,1/2)体对角线上得球相互接触4、其她密堆积形式5、金刚石(diam