线段、角、相交线与平行线-2025年浙教版九年级中考数学一轮复习讲义

浙教版中考数学第一轮专题复习讲义

第四单元三角形

《第16讲线段'角、相交线与平行线》

【知识梳理】

1.三种基本图形一直线、射线、线段

(1)有关概念：

线段向一方无限延伸就成为射线.线段向两方无限延伸就成为直线.线段是直线上

两点间的部分，射线是直线上某一点及一旁的部分.连结两点的线段的长度叫做这两点

间的距离.

(2)有关基本事实：

①直线有下面的基本事实:经过两点有一条而且只有一条直线.可以简单地说成确定一

条直线.

②线段有以下的基本事实:在所有连结两点的线中，线段最短.简单地说，两点之间线段最短.

(3)常见几何计数：

①当一条直线上有〃个点时，在这条直线上存在口尸_条以这〃个点中的两点为端点的线段.

②平面内有n个点，过这n个点中的两点可作一条直线，在这个平面内最多可作；联一条直线.

③如果平面内有〃条直线，它们最多有J啜一个交点.

2.角

(1)角的定义：

①由两条有公共端点的所组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点.

②由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形叫做角.

(2)角的分类:角按照大小可以分为锐角、直角、钝角、平角、周角.

(3)角的比较方法:①叠合法;②度量法.

(4)角的度量及单位换算:1。=601'=60

(5)角平分线:从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做

这个角的平分线.

3.互为余角、互为补角

(1)互为余角:如果N1和N2互为余角，那么Nl+N2=90

(2)互为补角:如果N1和N2互为补角，那么Nl+N2=180。.

(3)余角与补角的性质:同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等.

4.对顶角

(1)定义:一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角.

(2)对顶角的性质:对顶角相等.

5.垂直

(1)垂直的性质:在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线.

(2)点到直线的距离:从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离.

(3)垂线段最短:连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.

6.同位角'内错角'同旁内角

如图，两条直线/2被第三条直线/3所截.

(1)同位角:两个角都在第三条直线/3的同旁，并且分别位于直线3/2的同一侧，这样的一对角

叫做同位角.如N1和N5,Z7和N3.

(2)内错角:两个角分别位于第三条直线/3的异侧，并且都在直线/1,/2之间，这样的一对角叫做

内错角汝口N3和N5,Z6和N4.

(3)同旁内角:两个角都在第三条直线/3的同旁，并且在直线/1,/2之间，这样的一对角叫做同旁

内角.如N3和N6,N5和N4.

7.平行线

(1)平行线的定义:在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线.

(2)平行公理:经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

(3)平行公理的推论:如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

8.平行线的判定

(1)同位角相等，两直线平行.

⑵内错角相等，两直线平行.

(3)同旁内角互补，两直线平行.

9.平行线的性质

(1)两直线平行，同住角相等.

(2)两直线平行，内错角相等.

(3)两直线平行，同委内角互补.

10.七巧板

七巧板是中国古老的智力游戏，它由七块板组成，完整图案为一个正方形，由这七块板可以变

幻出各种不同的图案.解七巧板问题的技巧之一是活用等腰直角三角形的性质.

【考题探究】

类型一直线、线段和射线

【例1】［2024•浙江模拟］高速公路是指专供汽车高速行驶的公路.高速公路在建设过程中，通

常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直以缩短路程.其中的数学原理是(A)

A.两点之间线段最短

B.两点确定一条直线

C.平行线之间的距离最短

D.平面内经过一点有无数条直线

变式1如图，设P是直线/外一点，PQM,垂足为。，T是直线/上的一个动点，连结PT,则

(C)

变式1图

A.PTN2PQ

B.PTW2PQ

C.PT^PQ

D.PTWPQ

类型二相交线与垂线

【例2][2024•北京]如图，直线AB和CD相交于点O,OELOC若NAOC=58。，则NE03

的大小为（B）

C/E

例2图

A.290B.320

C.450D.580

类型三余角与补角

【例3][2024•甘肃改编]若NA=55。，则NA的补角为125。,余角为35。

变式3如果一个角的余角是它的补角的%那么这个角的度数为（B）

A.3O0B.450

C.6O0D.750

【解析】设这个角的度数为a,则它的余角的度数为（90°—a）,补角的度数为（180°—a）.

1

由题意，得90。一々=]（180。一a）,

将得a=45°,即这个角的度数为45。.

类型四平行线的性质

【例4][2024•福建]在同一平面内，将直尺、含30。角的三角尺和木工角尺（CraDE）按如图方

式摆放，若A3〃CD,则N1的大小为（A）

A.30°B.450

C.60°D.750

例4图例4答图

【解析】如答图标注字母.

,JAB//CD,：.ZCDB=ZABF=60°.

'JCDLDE,：.ZCDE=90°,，Nl=180°—60°—90°=30°.故选A.

变式4—1[2024•南充]如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，Zl=Z2=40°,

则N3的度数为(C)

A.80°B.9O0

C.1OO0D.12O0

变式4—2[2023•台州]用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若/1=20。，则N2的度数为

140°.

【解析】如答图标注N3.

;图嗓是由一张等宽的纸条折成的，

/.纸条的长边平行，

.•.Z2=Z3=180°-2Zl=140°.

类型五平行线的判定与性质的综合运用

【例5][2024•台州模拟]如图,若N1=N2=75。，Z3=108°,则N4的度数是(D)

5

,2

b

4

例5图

A.750B.1O20

C.1O50D.1O80

变式5［2023•金华］如图，已知Nl=N2=N3=50。，则N4的度数是（C）

A.12O0B.1250

C.13O0D.1350

变式5图变式5答图

【解析】如答图所示标注N5.

•.*Zl=Z3=50o,

：.a//b,.,.Z2+Z5=180°.

又,.,N2=50°,

，N4=Z5=180°-Z2=130°.

类型六七巧板

【例6】［2023•温州］图1是4X4方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为鱼，现将它剪

拼成一个“房子”造型（如图2）,过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形CDER作

为题字区域（点A,E,D,3在圆上，点C,R在A5上），形成一幅装饰画，则圆的半径为5.

若点A,N,航在同一直线上，AB//PN,DE=^6EF,则题字区域的面积为一三点

例6图

【解析】如答图所示标注字母，连结。G,观察图形，结合七巧板的性质易得L/=2,GI=IJ

=4,点G,I,J在同一条直线上，LK垂直平分GJ,是。。的一条直径.

设。。的半径为r,在RSG/O中，GI2+IO2=O（?,即42+（厂-2）2=/，斛得r=5.

例6答图

如答图，连结AO,AM,则AM过点N.

'：LK//JP,：.ZANK=ZAMP,

.\—NQ=tanZANK=tanZAMPM=P—=2.

'：OI=OL-LI=3,

：.ON=IN-OI^4-3=1.

设NQ=a,则AQ=2a,OQ=a+l.

ARtAAOQ中，AO2~OQ2=AQ2,即52-(«+l)2=(2a)2,

解得的=2,“2=一苓(舍去),

：.OQ=ON+NQ=3.

\'AB//PN,PNLKL,四边形CDE尸是矩形，

易知ED±KL,：.ER=DR.

由题意，:殳EF=b,则QR=b,ED=y]~Gb9

：

.ER=­2b.

在RtaOKE中，OR2+ER2=OE2,

2

即(3+b)2+(苧b)=52,

o

解得历=点岳=一4(舍去)，

2

则题字区域的面积为M•助=正义电=|1V6.

变式6—1小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七

巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己已知图1正方形纸片的边长为4,图2中

=2EM,则“奔跑者”两脚之间的跨度，即AB,CD之间的距离为号.

奔

跑

者

变式6—1图

【解析】如答图，过点E作E/L尸K于点/,过点M作MJLWK于点J.

变灰6—1答图

由题意得，△ABM,4EFK都是等腰直角三角形，AB—BM=2,EK=EF—2y[2,FK=4,FK

与CD之间的距离为1.

'：EI±FK,：.KI=IF,：.EI=-FK=2.

2

1\4jMF?4

易知AMFJsAEFI,EF=EM+FM=3EM,

EIEF33

力,：AB〃CD,

A.1Q

：.AB与CD之间的距离=2+-+l=—.

变式6—2[2024•江西]将图1所示的七巧板拼成图2所示的四边形A8CD,连结AC,则tan/

1

CAB=-

-2-

图1图2

变式6—2图

【解析】设AC与5。相交于点。

■:ZABD=ZCDB=90°,:.CD//AB.

^'：AB=CD,

四边形ABCD是平行四边形，

；.AC与BD互相平分,

1

:.OB=-BD.

2

1

D-1

在Rt^AOB中,tanZCAB=tanZOAB=-=-.

【课后作业】

1.如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的

砖在一条直线上.这样做应用的数学知识是（B）

A.两点之间，线段最短

B.两点确定一条直线

C.垂线段最短

D.三角形两边之和大于第三边

2.[2024•河南]如图，乙地在甲地的北偏东50。方向上，则N1的度数为（B）

第2题图

A.6O0B.5O0

C.4O0D.3O0

3.[2024•雅安]如图，直线A3,CD相交于点O,OELAB于点。，若Nl=35。，则N2的度数

是（A）

4.[2024•广西]如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（C）

A.20°B.4O0

C.60°D.8O0

5.[2024•盐城]如图，小明将一块直角三角尺摆放在直尺上，如图，若Nl=55。，则N2的度数

为（B）

第5题图

A.250B.350

C.450D.550

6.[2024•深圳]如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角Nl=50。，则

反射光线与平面镜夹角N4的度数为（B）

第6题图

A.40°B,50°

C.60°D,70°

【解析】•.,人射光线是平行光线，：.Zl=Z3,由反射定律得N3=N4,，N4=N1=5O。.故

选B.

7.角度互化:(1)57.18。=57°10'48"

⑵12，=。.2。或720”

8.[2023-烟台]如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分

别相交于点A,B,C,D,其中点A,B,C,。所在刻度分别为25。，50°,130°,155。.若连结

AB,则NA4D的度数为52.52

第8题图

9.如图，在四边形ABCD中，AD//BC,ZB=80°.

(1)求NB4D的度数.

⑵若AE平分NA4D交3c于点E,N3CD=50。.求证:AE〃DC

第9题图

^;(iy：AD//BC,

：.ZB+ZBAD=180°.

又「NS=80°,

：.ZBAD=100°.

(2)..NE平分N5AD,

:.ZDAE=50°.

'：AD//BC,:.ZAEB=ZDAE=50°.

又TZBCD=50°,:.ZBCD=ZAEB,

：.AE//DC.

10.[2024•达州]当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象.

如图，Zl=80°,Z2=40°,则N3的度数为（B）

A.3O0B.40°

C.5O0D.7O0

11.[2024•德阳]如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中ZABC

=70°,则NEDC等于（B）

第11题图

A.1O0B.2O0

C.3O0D.4O0

12.[2024.莲都区模拟]课堂上同学们独立完成了这样一道问题：”如图，已知A3〃CD,

求证:N1=N2.”

小莲同学解答如下：

证明:•.•AB"CD,

：.Z1+ZBCD=18O°.

'JAD//BC,

/.Z2+ZBCD=180°,

/.Z1=Z2.

小莲的证法是否正确?若正确，请在框内打“7”；若错误，请写出你的证明过程.

解:小英的证法是错误的.

证明:A3〃CD,

：.Zl+ZBAD=18d°.

'：AD//BC,

.,.Z2+ZBAZ>=180°,

.\Z1=Z2.

13.如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面EF,前支架0E与

后支架OF分别与CD相交于点G和点D,AB与DM相交于点N,ZAOE=ZBNM.

(1)求证:0E〃。跖

(2)若0E平分NAOFZODC=30°,求扶手A3与靠背DM的夹角NA7VM的度数.