玩转外接球、内切球、棱切球（原卷版）

专题20玩转外接球、内切球、棱切球

【考点预测】

知识点一：正方体、长方体外接球

1.正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半.

2.长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半.

3.补成长方体

(1)若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示.

(2)若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示.

PA

(3)正四面体P-ABC可以补形为正方体且正方体的棱长如图3所示.

(4)若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示

知识点二：正四面体外接球

如图，设正四面体ABCD的的棱长为“，将其放入正方体中，则正方体的棱长为在a,显然正四面体

2

和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为R=正a•走=逅。，即正四面体外接球半径为R=

2244

知识点三：对棱相等的三棱锥外接球

四面体ABCD中，AB=CD=m,AC=BD=n,AD=BC=t,这种四面体叫做对棱相等四面体，可

以通过构造长方体来解决这类问题.

122

b+c=m,2,2,2,

如图，设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,贝u/+c2=“2,三式相加可得片+体="+"+，，

2

a2+b2=t2

而显然四面体和长方体有相同的外接球,设外接球半径为A,则。2+Z?+=4笈，所以R=+

知识点四：直棱柱外接球

如图1,图2,图3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角

形）

第一步：确定球心。的位置，a是AABC的外心，则OQ_L平面A5C；

第二步：算出小圆。1的半径A。1=r,OR=；攵（AA=6也是圆柱的高）；

第三步：勾股定理：0A2=0,A2+Ofl1=M=（1）2+/=R=/产+（|）2，解出R

知识点五：直棱锥外接球

如图，R4_L平面ABC,求外接球半径.

第一步：将AABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD,连接PD,则PD必

过球心O；

第二步：。1为AABC的外心，所以OR，平面ABC,算出小圆。1的半径。1。=「（三角形的外接圆直径

算法：利用正弦定理，得，_=―丝=二=27），OO^-PA；

sinAsinBsinC2

第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①（2X）2=卑2+@r）2o2R="A+（2厅；

②代=r2+OO;oR=Q*+OO：.

知识点六：正棱锥与侧棱相等模型

1.正棱锥外接球半径：R=T-

2h

2.侧棱相等模型：

如图，尸的射影是AABC的外心

o三棱锥P—ABC的三条侧棱相等

o三棱锥P—ABC的底面AABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点.

解题步骤：

第一步：确定球心。的位置，取AA5C的外心Q,则P,O,Q三点共线；

第二步：先算出小圆。।的半径A。=r,再算出棱锥的高尸q=/z(也是圆锥的高)；

户h-

第三步：勾股定理：OA2=A2+Oft1=>R2=(h-R)2+r2,解出R=----+----.

2h

知识点七：侧棱为外接球直径模型

方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形.

知识点八：共斜边拼接模型

如图，在四面体ABCD中，AB1AD,CBYCD,此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼

接而形成的，/犯为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之.设点O为公共斜边班>的中点，根据直角

三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，OA=OC=OB=OD,即点。到A,B,C,。四点的距离

相等，故点。就是四面体ABCD外接球的球心，公共的斜边网»就是外接球的一条直径.

知识点九：垂面模型

如图1所示为四面体尸-ABC,已知平面上4B_L平面ABC,其外接球问题的步骤如下：

(1)找出和△ABC的外接圆圆心，分别记为。1和..

(2)分别过。和仪作平面ELB和平面ABC的垂线，其交点为球心，记为O.

(3)过a作AB的垂线，垂足记为。，连接QO,则ar)_LAB.

(4)在四棱锥A-OOQ.中，AD垂直于平面。OjOO2,如图2所示，底面四边形OOQ。2的四个顶

点共圆且OD为该圆的直径.

知识点十：最值模型

这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等

知识点十一：二面角模型

如图1所示为四面体尸-/1BC,已知二面角P-AB-C大小为C，其外接球问题的步骤如下：

(1)找出△P4B和7BC的外接圆圆心，分别记为。|和

(2)分别过。1和仪作平面上铝和平面MC的垂线，其交点为球心，记为O.

(3)过。।作的垂线，垂足记为。，连接打。，则

(4)在四棱锥A-nqoa中，垂直于平面DQOQ，如图2所示，底面四边形的四个顶

点共圆且OD为该圆的直径.

知识点十二：坐标法

对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为O(x,y,z),利用球心到各顶点的

距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长.坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的

定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度.

知识点十三：圆锥圆柱圆台模型

1.球内接圆锥

如图1,设圆锥的高为〃，底面圆半径为r,球的半径为R.通常在△OCB中，由勾股定理建立方程来

计算R.如图2,当尸C>CB时，球心在圆锥内部；如图3,当尸C<CB时，球心在圆锥外部.和本专题前

面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断.

由图2、图3可知，OC=h-R^R-h,故(力一R)?+/=炉，所以R=------.

2h

2.球内接圆柱

如图，圆柱的底面圆半径为厂，高为3其外接球的半径为R,三者之间满足§)+户=心.

3.球内接圆台

2

R、=,+,-/一［，其中小々〃分别为圆台的上底面、下底面、高・

知识点十四：锥体内切球

方法：等体积法，即R=2同

S表面积

知识点十五：棱切球

方法：找切点，找球心，构造直角三角形

【题型归纳目录】

题型一：正方体、长方体模型

题型二：正四面体模型

题型三：对棱相等模型

题型四：直棱柱模型

题型五：直棱锥模型

题型六：正棱锥与侧棱相等模型

题型七：侧棱为外接球直径模型

题型八：共斜边拼接模型

题型九：垂面模型

题型十：最值模型

题型十一：二面角模型

题型十二：坐标法模型

题型十三：圆锥圆柱圆台模型

题型十四：锥体内切球

题型十五：棱切球

【典例例题】

题型一：正方体、长方体模型

例1.（2022•陕西安康•高二期末（理））长方体的长，宽，高分别为3,后，1,其顶点都在球。的球面上,

则球。的体积为（）

A.46nB.12KC.48兀D.32百兀

例2.（2022・全国•高一阶段练习）已知三棱锥P-3c。中，BCLCD,底面BCD,BC=1,PB=CD=2,

则该三棱锥的外接球的体积为（

7八92725

A.—71B.—71C.——nD.一71

4289

例3.（2022•北京市第三十五中学高一阶段练习）已知正方体外接球的体积是万万，那么正方体的体对角线

等于（）

A.9B.4C.D.拽.

333

例4.（2022.黑龙江・勃利县高级中学高一期中）据《九章算术》记载，“鳖腌”为四个面都是直角三角形的三

棱锥.如图所示，现有一个“鳖膈”，底面ABC,ABLBC,PA=AB=BC=2,三棱锥外接球表面

积为（）

A.10万B.12%C.14%D.167r

例5.（2022・河北•高一期中）《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现

有一“阳马”P-A3CD,PAL平面ABC。，AB=4,AB4D的面积为4,则该“阳马”外接球的表面积的最

小值为（）

A.24兀B.28兀C.32兀D.36兀

例6.（2022.河南•模拟预测（文））在三棱锥A—BCD中，已知AC,平面BCD,BC±BD,S.AC=>/3,BC^2,

BD=5则该三棱锥外接球的表面积为（）

A.12TIB.7兀C.9冗D.8万

题型二：正四面体模型

例7.（2022・全国•高三专题练习（理））棱长为。的正方体内有一个棱长为x的正四面体，且该正四面体可

以在正方体内

任意转动，则X的最大值为（)

A.~aB.旦aC.在“D.如“

2263

例8.（2022.河南•西平县高级中学模拟预测（理））一个正四面体的棱长为2,则这个正四面体的外接球的

体积为（）

A.娓兀B.2TtC.3乃D.2A/2TT

例9.（2022•贵州师大附中高二开学考试（理））已知正四面体的棱长为2,则其外接球的表面积为（）

A.4兀B.6兀C.8兀D.10it

例10.（2022.河北•石家庄二中一模（理））如图所示，正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上

一动点，BP+PE的最小值为E，则该正四面体的外接球表面积是（）

A.12万B.32万C.8%D.24万

例1L（2022•贵州・凯里一中高二期末（理））我们将四个面均为正三角形的四面体称为“正四面体”，在正四

面体ABCD中，分别为棱AB,CD的中点，当斯=0时，四面体ABCD的外接球的表面积为

A,12%B.4兀C.3万D.6K

例12.（2022・全国•高三专题练习）金刚石是碳原子的一种结构晶体，属于面心立方晶胞（晶胞是构成晶体

的最基本的几何单元），即碳原子处在立方体的8个顶点，6个面的中心，此外在立方体的对角线的;处也

有4个碳原子，如图所示（绿色球），碳原子都以共价键结合，原子排列的基本规律是每一个碳原子的周围

都有4个按照正四面体分布的碳原子.设金刚石晶胞的棱长为心则正四面体SPQR的棱长为；

正四面体SPQR的外接球的体积是.

题型三：对棱相等模型

例13.（2022•让胡路区校级模拟）在四面体ABCD中，若⑷5=CE>=,,AC=BD=2,AD=BC=#,

则四面体ABCD的外接球的表面积为（）

A.2%B.4%C.6兀D.8万

例14.已知四面体ABCD中，AB=CD=#,BC=AD=J1O,AC=BD=y/13,若该四面体的各个顶点

都在同一球面上，则此球的表面积为（）

A.42万B.43万C.14万D.16万

例15.如图，在三棱锥尸—ABC中，PA=BC=6,PB=AC=2,PC=AB=45,则三棱锥P—ABC外

接球的体积为（）

A.血兀B.由兀C.#）兀D.6兀

例16.（2022•永安市校级期中）在三棱锥尸—ABC中，PA=BC^4,PB=AC=5,PC=AB=而,则三

棱锥尸-ABC的外接球的表面积为（）

A.26万B.1271C.8万D.24万

例17.（2022•罗湖区月考）已知在四面体ABCD中，AB=CD=2垃,AD=AC=BC=BD=也,则四面体

ABCD的外接球表面积为.

例18.（2022•三模拟）在四面体ABCD中，AC=BD=2,AD=BC=^5,AB=CD=/7,则其外接球的

表面积为

题型四：直棱柱模型

例19.（2022.山西•太原五中高一阶段练习）在直三棱柱ABC-\BXC,中，若AB，BC,AB=6,=8,44,=6,

则该直三棱柱外接球的表面积为（）

A.72万B.114乃C.136万D.1447r

例20.（2022•安徽•合肥市第六中学高一期中）设直三棱柱ABC-4gq的所有顶点都在一个球面上，

AB=AC=AA],ZBAC=120°,且底面AABC的面积为，则此直三棱柱外接球的表面积是（）

A.16万B.史巫巴C.40万D.64%

3

例21.（2022・河南•高三阶段练习（文））已知正六棱柱A2CDE尸一A瓦GR瓦片的每个顶点都在球。的球面

上，且筋=3,M=4,则球。的表面积为（）

A.42TIB.48兀C.50KD.52兀

例22.（2022•全国•高二课时练习）表面积为81%的球，其内接正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）的高是

7,则这个正四棱柱的底面边长为.

例23.（2022•河南•高三阶段练习（理））已知正三棱柱ABC-的外接球表面积为40%,则正三棱柱

ABC-的所有棱长之和的最大值为.

例24.（2022•浙江•高二期中）在直三棱柱ABC-A4G中，/54C=90。且8瓦=4,已知该三棱柱的体积为

2,则此三棱柱外接球表面积的最小值为.

题型五：直棱锥模型

例25.（2022・青海・海东市第一中学模拟预测（理））已知四棱锥P-A8CZ）中，平面ABC。，底面ABC。

是矩形，AD=3AB=3PA,若四棱锥外接球的表面积为11万，则四棱锥的体积为（）

A.3B.2C.y[2D.1

例26.（2022.全国•高三专题练习）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖腌.若三棱锥

ABC为鳖膈，闻平面ABC,ABVBC,AB=3C=2,M4=4,三棱锥ABC的四个顶点都在

球。的球面上，则球。的表面积为（）

A,B.I671C,20万D,24万

例27.（2022.广西.宾阳中学高一阶段练习）己知三棱锥S-ABC中，SA，平面ABC,AB=BC=CA=343,

三棱锥S-ABC外接球。的表面积为100兀，则球。的体积为,异面直线&4,08所成角的余弦值为

例28.（2022•河南•新乡市第一中学高一期末）已知三棱锥S-ABC中，平面ABC,SA=4,BC=26，

NBAC=60。，则三棱锥S-ABC外接球的表面积为.

例29.（2022•青海・海东市第一中学模拟预测（文））已知在三棱锥尸-ABC中，PA=4,BC=25

PB=PC=3,24，平面尸3。，则三棱锥尸-ABC的外接球的表面积是（）

A.434B.42万C.48乃D.46万

例30.（2022・全国•高一阶段练习）已知三棱锥尸-5CD中，BC1CD,尸5,底面5CD,BC=1,PB=CD=2,

则该三棱锥的外接球的体积为（）

,7八927八25

A.—71B.-7CC.—TCD.—71

4289

例31.（2022•河北沧州.高一期末）已知在三棱锥A-BCD中，AB_L平面BCD,AB=2区AC=AD=4,CD=2,

则三棱锥BCD外接球的表面积为（)

,40兀「52兀

A.-----B.15兀C.-----D.20TI

33

题型六：正棱锥与侧棱相等模型

例32.（2022.江西.高三阶段练习（文））在正三棱锥尸-ABC中，PA1PB,P到平面ABC的距离为2,则

该三棱锥外接球的表面积为（）

1671

A.361B.16/rC.-----D.4万

3

例33.（2022・江苏•高一课时练习）如图在正三棱锥S-ABC中，M,N分别是棱SC,5c的中点，。为棱AC

上的一点，且AQ=；QC,MN1MQ,若AB=2也,则此正三棱锥S—ABC的外接球的体积为（）

C.8aD.兀

例34.（2022・重庆市实验中学高一阶段练习）三棱锥尸-ABC体积为也，且

6

PA=PB=PC,AB=AC=l,BC=y/3,则三棱锥外接球的表面积为

例35.（2022・重庆•高二期末）如图，在三棱锥A-3CD中，AB=AC=BC=BD=CD,二面角A—3C—O的

余弦值为-g,若三棱锥A-BCD的体积为:，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为.

例36.（2022・全国•高一期末）在正三棱锥尸-ABC中，AB=2。正三棱锥尸-ASC的体积是4石，则正

三棱锥尸-ABC外接球的表面积是（）

A.5〃B.15TTC.257rD.35万

例37.（2022•天津市咸水沽第一中学模拟预测）已知正三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为1,

则此三棱锥的外接球的表面积为（）

A,B.3兀C,6TID,9万

例38.（2022・河南安阳・高二阶段练习（理））如图，在三棱锥4-58中，AB=BC=AC=CD=2,ZBCD=120°9

二面角A-BC-D的大小为120。，则三棱锥A-3CD的外接球的表面积为（）

82万驷244万

A.B,C.27万D.

39

例39.（2022•江苏南通・高三期末）已知正四棱锥尸-ABCD的底面边长为2啦，侧棱抬与底面A8CQ所成

的角为45。，顶点尸，A,B,C,。在球。的球面上，则球。的体积是（）

32Q/o

A.16万B.——兀C,8兀D.土万

33

例40.（2022.全国•高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为I,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36万，

且34”3石，则该正四棱锥体积的取值范围是（）

题型七：侧棱为外接球直径模型

例41.（2022•五华区校级期末）已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球。的球面上，AB=5,AC=3,BC=4,

PB为球。的直径，PB=10,则这个三棱锥的体积为（）

A.306B.15上C.106D.5百

例42.（2022•红花岗区校级月考）已知三棱锥A-3CD的所有顶点都在同一个球面上，ABCD是边长为2

的正三角形，AC为球。的直径，若该三棱锥的体积为乎，则该球。的表面积（）

A.64%B.487rC.32兀D.16万

例43.（2022•抚顺校级月考）已知三棱锥尸-ABC的所有顶点都在球。的球面上，PC为球O的直径，且

PC±OA,PCVOB,AAO3为等边三角形，三棱锥尸-ABC的体积为络，则球。的表面积为（）

A.47rB.87rC.127rD.16万

例44.（2022•永春县校级月考）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，AABC是边长为1的

正三角形，SC为球。的直径，且SC=2,则此棱锥的体积为（）

A.皂B.BC.交D也

6632

例45.（2022•本溪月考）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，AABC是边长为1的正三角

形，SC为球O的直径，且SC=2；则棱锥%Y5C：%.SA5=（）

A.1:1B.1:2C.2:1D.1:3

例46.（2022•云南校级月考）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球。的球面上，AABC是边长为2的正

三角形，SC为球。的直径，且SC=4,则此棱锥的体积为（）

A.逑B.史C.迪D.4夜

333

题型八：共斜边拼接模型

例47.在矩形A3CO中，A3=4,3C=3,沿AC将矩形A3CD折成一个直二面角3—AC-。，则四面

体A3cD的外接球的体积为（）

A.艮华，C.肇，D券加

12

例48.三棱锥尸—ABC中，平面尸AC，平面A3C,AC=2,PA±PC,AB±BC,则三棱锥P—ABC

的外接球的半径为

例49.在平行四边形ABCD中,满足通•赤=庙，2/2=4-丽―若将其沿8。折成直二面角A-3D-C,

则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为（）

A.16万B.8万C.4万D.2%

22

例50.在平行四边形ABCD中，AC.CB=0,2BC+AC-4=0,若将其沿AC折成直二面角AC-3,

则三棱锥O-ACB的外接球的表面积为（）

A.16万B.8万C.4乃D.2万

例5L（2022・全国•高一期末）已知三棱锥A-8CQ中，cr>=2&,BC=AC=BD=AD=2f则此几何体外

接球的表面积为（）

A.B.2%C.D.8%

33

例52.（2022.江西.高二阶段练习（理））如图，在四棱锥P48C。中，底面是菱形，PB1.底面ABC。，0

-TT

是对角线AC与8。的交点，若PB=1,ZAPB=~,则三棱锥尸-30C的外接球的体积为（）

----------------

D.2万

题型九：垂面模型

例53.已知AABC是以3c为斜边的直角三角形，P为平面ABC外一点，且平面PBC_L平面ABC,BC=3,

PB=2应,PC=5则三棱锥P-ABC外接球的表面积为.

【解析】由题意知3c的中点。为AABC外接圆的圆心，且平面PBC_L平面ABC

过O作面ABC的垂线/,则垂线/一定在面ABC内.

根据球的性质，球心一定在垂线/上，

,球心一定在平面FBC内，且球心a也是APBC外接圆的圆心.

在APBC中，由余弦定理得cosNPBC=吁+BU-PU=叵,.sinZPBC=—,

2PB,BC

=2R,解得R=®,

由正弦定理得:

sinNPBC2

三棱锥的外接球的表面积=4万N=io乃.

故答案为：10万.

例54.已知点A是以3c为直径的圆O上异于3,C的动点，尸为平面ABC外一点，且平面平面ABC,

BC=3,PB=2屈,PC=y/5,则三棱锥尸-ABC外接球的表面积为.

【解析】因为O为AABC外接圆的圆心，且平面PBC_L平面ABC,过。作面ABC的垂线人则垂线/一定

在面PBC内，

根据球的性质，球心一定在垂线/,

球心。|一定在面PBC内，即球心。］也是APBC外接圆的圆心，

在AP8C中，由余弦定理得cos3=0'+'C—PC=变,nsin8=变,

2BP.BC22

由正弦定理得：—=27?,解得R=巫，

sin52

••・三棱锥P-ABC外接球的表面积为s=4标=io",

故答案为：10/1.

例55.在三棱锥尸—ABC中，AB=AC=4,44c=120。，尸8=PC=4石，平面PBC_L平面ABC,

则三棱锥尸-ABC外接球的表面积为.

【解析】如图，设AABC的外接圆的圆心为。1

连接O|C,OtA,BC^\OtA=H,连接P”.

11l

由题意可得AH_L3C,5.AH=-O1A^2,BH=-BC=2^3.

因为平面PBC_L平面ABC,且PB=PC,

所以PH_L平面ABC,5.PH=7(4^)2-(2A/3)2=6.

设。为三棱锥P-ABC外接球的球心，

连接。。1，OP,OC,过O作QD_LPH,垂足为£),

则外接球的半径R满足A?=OO；+42=(6-OOJ2+,

即。O；+16=(6-OOj2+4,解得og=2,

从而A?=20,故三棱锥P—ABC外接球的表面积为4TTR2=80万.

故答案为：80TT.

例56.在菱形ABCD中，ZDAB=60°,将这个菱形沿对角线比）折起，使得平面八40_L平面BDC,

若此时三棱锥A-BCD的外接球的表面积为5n,则AB的长为—.

【解析】取BD的中点H,连接AH,CH,

在等边三角形ABZ）中，AH=^-a,

2

在等边三角形CBZ）中，CH=a,

2

由平面D46_L平面3DC,AH±BD,平面ABDC平面。8。=瓦＞,

可得AH_L平面CBD,即有AH_LCH,

AACF7为等腰直角三角形，

设三棱锥A-3CD的外接球的球心为O,半径设为R,

底面BCD的中心为。，面453的外心为初,

贝=O'C=—a,

63

在直角三角形ACH中，OC=R=,0（72+oc，=J（率了+（呼＞.

而4万4=5乃，解得R=亚,则=解得〃=若，

262

故答案为：73.

A

例57.在边长为a菱形ABCD中，ZDAB=60°,将这个菱形沿对角线BD折起，使得平面DAB，平面BDC,

若此时三棱锥A-BCD的外接球的表面积为5万，则“=（）

A.—B.6C.A/5D.3

2

【解析】取BD的中点H，连接A",CH,

在等边三角形他。中，AH=—a,

在等边三角形CBZ）中，CH=-^-a

2

由平面2145_1平面砒)C,AH±BD,平面ABDC平面CBO=BZ),

可得A"_L平面CBD,即有AH_LS,

AACH为等腰直角三角形,

设三棱锥A-BCD的外接球的球心为O,半径设为R,

底面BCD的中心为O,

在直角三角形ACH中，OC=R=y/00'2+O'C2=

而4万R2=5］，解得R=，

2

例58.在三棱锥尸-ABC中，平面，平面ABC,AP=2-j5,AB=6,ZACB=-,且直线24与平面ABC

3

所成角的正切值为2,则该三棱锥的外接球的表面积为（）

A12nsc52"52岳兀

A.13兀B.527rC•------D.----------

33

【解析】如图，过点P作于E,D为AB的中点，

设AABC的外心是。|,半径是r,连接。出，。］£,0.D,

由正弦定理得2r=—竺一=473,

sinZACB

则0]B=r=2若，

D为AB的中点，BD^AD=-AB=3,

2

OtD±AB,所以O1A=JO芦-应＞2=也,

因为平面平面ABC,PE±AB于E,平面R4BC平面ABC=AB,

则FE_L平面ABC,所以直线R4与平面ASC所成的角是NB4E,则

PF

tanZPAE=——=2,^PE=2AE,

AE

因为AP=JPE2+A£2=2』,所以

PE=2AE=4,则DE=1,故aE=2,

设三棱锥尸-ABC外接球球心是O,

连接。。「OB,OP,过O作于H,

则OO]_L平面ABC,于是OO"/PE,从而OQHE是矩形，

所以外接球半径尺满足

22222

R=OO；+QB=OH+(PE-HE)=O1E+(PE-OO^,

解得R=A/13.

所以外接球的表面积为4万R2=52万.

故选：B.

P

例59.已知在三棱锥C-Afi£＞中，AABD是等边三角形，BCYCD,平面MD_L平面BCD,若该三棱锥

的外接球表面积为4万，则AC=()

A.—B.—C.73D.-

222

【解析】设外接球球心O,半径R,由题意可得，4万代=4万，解可得R=l,

根据题意可得O为正三角形诙的中心，

因为00=1,所以AO=1,0F=~,

2

所以正三角形ABD的边长为世，

由3cd.cD可得。尸=！2。=走，

22

因为平面AKDJ_平面BCD,所以乙4/。=工,

2

所以AC=JA尸2+cy2=曰+2=百.

V44

例60.如图，已知四棱锥尸-ABCD的底面为矩形，平面B4Z5_L平面ABCD,AD=2尬,PA=PD=AB=2,

则四棱锥尸-ABCD的外接球的表面积为（）

A.2TTB.4万C.8万D.12TT

【解析】取仞的中点E,连接PE,

AE4D中，PA=PD=2,AD=2^2,:.PA±PD,:.PE=y/2,

设ABCD的中心为O,球心为O,贝1|0缶=j3。=6，

2

设O到平面ABCD的距离为d,贝I长=屋+（港了=产+（④_拧,

.,.<7=0,R=A/3,

四棱锥尸-ABCD的外接球的表面积为4万汗=12万.

故选：D.

题型十：最值模型

7T

例61.（2022.河南省杞县高中模拟预测（文））在边长为6的菱形ABC。中，ZA=-,现将沿BO

折起到△PSD的位置，当三棱锥尸-3CD的体积最大时，三棱锥尸-BCD的外接球的表面积为（）

A.60兀B.45兀C.30兀D.20兀

例62.已知A,8是球。的球面上两点，ZAOB=90°,C为该球面上的动点，若三棱锥O-A3C体积

的最大值为36,则球O的表面积为（）

A.367rB.64万C.144万D.256万

【解析】如图所示，当点C位于垂直于面AO5的直径端点时，三棱锥O-A3C的体积最大，设球O的半

径为R，此时/一4"=/川《=：'：＞＜相'氏=：*=36，故氏=6,则球0的表面积为4切?2=144万，

故选：C.

例63.已知三棱锥O-ABC的顶点A,B,C都在半径为2的球面上，O是球心，ZAOB=120°,当AAOC

与ABOC的面积之和最大时，三棱锥O-ABC的体积为（）

A.也B.mC.2

2333

【解析】设球O的半径为R,因为SVAOC+SVB℃=；R2（sinZAOC+sinZBOC）,所以当

ZAOC=ZBOC=90°时，SV4OC+SVBOC取得最大值，此时04_LOC,OB_LOC,OBcOA=O,所

以OC，平面AO3,所以

iii9\/3

=-OC-OAOB=-R3sinZAOB=.

噎BCfQBsinZAOB

3263

例64.体积为18小'的正三棱锥A-BCD的每个顶点都在半径为R的球O的球面上，球心O在此三棱锥内

部，且R:BC=2:3,点E为JB。的中点，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的最小值是.

【解析】设R>0)，则BC=3f,因为体积为18万的正三棱锥A-BCD的每个顶点都在半径为区的

球O的球面上，所以Lx鱼x(3rYx/z=18",解得〃=丝.

34—t2

由R2=(〃—R),得r=2或(舍)，所以R=4.

由题意知点E为3。的中点，在AOS。中，OD=OB=4,DB=6,解得OE=",

所以当截面垂直于OE时，截面圆的半径为灰^万=3,

故截面圆面积的最小值是9万.

例65.已知底面为正三角形的三棱柱内接于半径为1的球，则三棱柱的体积的最大值为

【解析】解过球心O作OD，平面A3C,则。为正三角形的中心，连结OA,则。4=1.

设三棱柱的底面边长为a,则人。=2义且=鱼.(0<a<6).

323

OD=yJoA2-AD2

棱柱的高。£)"=20。'=2

2

棱柱的体积V=S^BC-DD'=也ax=叵三

4V32

令/(a)=3a4一.

则尸(a)=1勿3-6a,5=3,3(2—/),令/(°)=。得4=4或a=。(舍)或°=一五(舍).

当0<a<4时，f(a)>0,当正<a<6时，f'(a)<0.

.•.当a=亚时，f(a)取得最大值/(亚)=4,

••・当八五时,“二2^取得最大值1.

例66.已知底面为正三角形的直三棱柱内接于半径为1的球，当三棱柱的体积最大时,三棱柱的高为

【解析】如图所示，设O为外接球球心，三棱柱的高为人则由题意可知，A,O=BV=C,O=1,OE』,