图形的相似知识归纳与题型突破（12类题型清单）原卷版-2024-2025学年苏科版九年级数学下册

图形的相似知识归纳与题型突破（12类题型）

01思维导图

成比例线段的概念

比例线段比例的性质

黄金分割

平行线分线段成比例定理

平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理的推论

平行线分线段成比例定理的推论的逆定理

两角对应相等，两个三角形相似

图形的相似相似三角形的判定两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似

三边对应成比例，两个三角形相似

似三角形的对应角相等，对应边成比例

相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角

相似三角形的性质的平分线成比例，都等于相似比

相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于

相似比的平方

位似图形定义、性质、作图

02知识速记

一、成比例线段的概念

1.比例的项：

ac

在比例式a:b=c:d（即色=上）中，a,d称为比例外项，b,c称为比例内项.特别地，在比例式=6:。

bd

（即3=2）中，6称为0,c的比例中项，满足片=四.

bc

2.成比例线段:

ac

四条线段a,b,c,d中，如果。和6的比等于c和d的比，即2=上,那么这四条线段a,b,c,4叫做成

bd

比例线段，简称比例线段.

二、比例的性质

比例的性质示例剖析

(1)基本性质：—■=—<=^>ad=bc(bd。0)—=—<^>3x=2y

bd23

Hchdxy23八、

⑵反比性质：：=.0'巴(abed力0)彳=7=_=_(z切W0)

baac23xy

/、--lacab4

(3)更比性质：一=—o一二一或

bdcdXyX2_^y3,c、

7=70—=W或——㈤/0)

dc23y3x2

-=-{abed0)

ba

/、人r…-aca+bc+d八、x2x+y2+3/八、

(4)合比性质：-==——(ZbTd70)=2O=2(尸°)

babaJ3j3

/、八rt3yaca—bc—tZ八、y3y-x3-2

(5)分比性质：-=-O——=——Z(Tbd70)-=-«-——=------(xw0)

babax2x2

/、人八一NLaca+bc+d

(6)合分比性质：7=：。一r=一;x2x+y2+3/八、

baa-bc-a=2。=c2(尸0/#>)

y3x—y2-3

(bdw0,awb,cwd)

(7)等比性质：

234

B知一=一二一，则当x+>+zwO时,

———=—(b+d-\------xyz

bdn

2_3_4_2+3+4

〃+c+…+加a,,八、

=-----------------=—(z6+[+•••+〃/())xyzx+y+z'

b+d+—\-nb

三、黄金分割

*-------------c-------B如图，若线段上一点C，把线段分成两条线段/C和2C（/C>3C），

且使/C是48和2c的比例中项（即NC?）,则称线段被点C黄金分割，点C叫线段48的

黄金分割点，其中/C=Y"44B70.618/2,3。=匕夕/8a0.382他，NC与48的比叫做黄金比.（注

22

意:对于线段而言，黄金分割点有两个.）

四、平行线分线段成比例定理

两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理.如图：如果

,,„,„„ABDEABDEBCEF

IJ/LUL,则n——=——，——=——，——=——.

3BCEFACDFACDF

【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为

上上上二上下二下

全，则可以形象的表示为k=三

rr奉一套’奉一至

五、平行线分线段成比例定理的推论

平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.如图：如果

AFAE_AFBE_CF

EF//BC,则一

EB~FC~AB~~AC~AB~^4C

六、平行线分线段成比例定理的推论的逆定理

什AEAF—AEAF.BECF

右商二而或:IT就或罚=就则有成〃&c.

【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连

线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行.

【小结】推论也简称“N”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做EF'IIBC交NC于F点，再证明?

与尸重合即可.

七、相似三角形的判定

判定定理

BCB，C,

判定定理1:简称为两角对应相等，两个三角形相似.

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对如图，如果//=/©,ZB=ZB',贝!!

应相等，那么这两个三角形相似.△ABCSLHB'C'.

简称为三边对应成比例，两个三角形相似.

判定定理2：

m心田ABBCAC

如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角如4t图，如果N®8，c，HC,'则nil

形相似.

△ABCsAAEC’.

判定定理3：简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三

如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角,田ABAC_

角形相似.如图，如n果行

一A'C'

相等，那么这两个三角形相似.

则ZX/BCsLA'B'C'.

八、相似三角形的性质

①相似三角形的对应角相等.

如图，AABCsAABC,则有

NA=NH,NB=NB',ZC=NC'./\人

②相似三角形的对应边成比例.

如图，AABCsLAEC',则有ZA

zBtACB‘_C'

ABBCAC,…宜，…、

———k（z左7为相似比）.

A'B'B'CA'C

③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平

分线成比例，都等于相似比.

如图，AABCsAWBC,AM,4/和4。是△NBC

中3C边上的中线、高线和角平分线，A'M'、和上zA

力UZt.2-A-/1JDC-ID。_L0JI、［nJ4U/rj1刀

BMCB'M'C

线，则有

AB_BC_AC_卜_AM_4H_AD

A'B'~B'C'~A'C~—A'M'~A'H'~A'D'

④相似三角形周长的比等于相似比.AA

如图，AABCsAAB'C'，则有BHCB'H'O

ABBCAC4B+BC+AC_卜

AfBf~BfCf~AC~AE+BC+ArC~*A

⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方.

如图，/\4BCs△4MC',则有

BDCB，IXC

c^-BCAHR「4H、

♦△“BC__2_______________ECAH=人2

^AA'B'CLBC•AHB'CAH，

2

（1）尺规作图法：①确定位似中心；②确定原图形中的关键点关于中心的对应点；③描出新图形

（2）坐标法：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数左（左W0）,

所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为问

03题型归纳

题型一利用成比例线段判断及求解

例题：（23-24九年级上•吉林长春•阶段练习）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（）

A.a—\,b=2,c=3,d=4B.Q=5,b=6,c=7,d=8

C.a=l,b-V2,c=VJ,d=D.a=4,b=6,c=6,d=8

巩固训练

1.（24-25九年级上•山东济南•阶段练习）下列线段中，能成比例的是（）

A.3cm、6cm、8cm、9cmB.3cm、5cm、6cm、9cm

C.3cm、6cm、7cm、9cmD,3cm、6cm>9cm、18cm

2.（23-24九年级上•江苏盐城•期末）已知线段或b满足〃：6=3:2,且a+2b=42.

（1）求线段。、6的长；

（2）若线段c是线段〃、6的比例中项，求线段c的长.

3.（23-24九年级上•浙江宁波•阶段练习）已知三条线段b,c满足£=当=；,且”+8+c=18.

324

⑴求a,b,c的值；

⑵若线段〃是线段。和6的比例中项，求〃的值.

题型二利用比例的合比性质求解

X]X

例题：（24-25九年级上•重庆•阶段练习）已知一=7,则——=__________.

y2x+y

巩固训练

X

1.（24・25九年级上•上海普陀•阶段练习）已知5x=4y,其中孙w0,那么一=

y

x—2y2x

2.（24-25九年级上•四川成都•阶段练习）若一则一=______.

V3y

3.（24-25九年级上•广东深圳•阶段练习）已知3=9=3,则的值为

2342x-y

题型三利用比例的等比性质求解

ace3

例题：（23-24九年级上•江西景德镇•期中）已知工=：=7=7（6+d+/*0）,则、/.

baj2b+a+j

巩固训练

ace3a—7c+2e

1.（24-25九年级上•上海浦东新•阶段练习）如果工=:=7=7，且b-7d+2/W0,那么=_____.

baj5b-Ja+2j

2x+2y—z2x—v+2z—x+2y+2z

2.（24-25九年级上•上海•阶段练习）已知非零实数1,V,z满足-----—=——=-----------

zyx

则（x+y）（严江+x）的值为一

xyz

2Q2b2c

3.（24-25九年级上•陕西西安•阶段练习）已知^—=——=―：=k,求后值.

b+ca+ca+b

n「e

4.己知,=§=7=2,且6+d+/#0.

bdJ

a+c+e

⑴求的值;

b+d+f

⑵若6-2d+3/=5,求。-2c+3e的值.

题型四利用黄金分割求线段的长

例题：点尸是长度为10的线段上的黄金分割点，则较短线段的长度为（）

A.575-5B.30-1075C.15-575D.1075-20

巩固训练

I.在长度为1的线段48上有一点尸.满足=3P4B,则AP长为（）

A.3-遥B.3-45C.V5-2D.

22

2.“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用.如图（1）,点C把线段分成两部

分，如果3C：AC=AC：AB,那么称点C是线段42的黄金分割点.如图（2）,点C、D、E分别是线段

AB,AC.4D的黄金分害U点，（AOBC,AD>DC,AE>ED）,若/8=1,则/E的长是（）

ACBAEDCB

图⑴图⑵

「3—VsD.

A.V5-2B.#-1

222

3.鹦鹉螺是一类古老的软体动物.鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美

的鬼斧神工.如图，尸是48的黄金分割点（AP>BP）,若线段的长为8c"?,则5P的长为

cm.（结果保留根号）

题型五由平行判断成比例的线段

例题：如图，在中，DE//BC,DF//AC,则下列比例式中正确的是（）

BF_DFBFCE

"7c-7cFC~AE

1.如图，直线a〃b〃c,分别交直线机、〃于点4、C、E、B、D、F,下列结论不正确的是（)

AC_ABCEDFAE_BF

CEDF~AE~^F~AE~~BF~AC~^D

2.如图，在平行四边形/BC。中，E是4。上一点，连接CE并延长交切的延长线于点R则下列结论错

误的是（）

D__大

\

F

AB

,ABDEAEAFFAFEFAAE

/-----------B-----------c----=-----D-----------

AFEAADFB'ABEC'CDBC

3.（24-25九年级上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）如图，在△ABC中，D、E分别为48、/C边上的点,

DE〃BC,点、F为BC边上一点、,连接/下交DE于点G,则下列结论中一定正确的是（）

--------------------------------/~J-----------------------------(-----------------------------/)---------------------------------

ABECGFBD'ADAE'AFEC

题型六由平行截线求相关线段的长

例题：（24-25九年级上•陕西西安•阶段练习）如图，直线〃斯，AC:CE=2:3,BD=3,则。尸

的长是一

巩固训练

1.（24-25九年级上•四川巴中•阶段练习）如图，AD、2。相交于点。，点E、尸分别在BC、AD

AB//CD//EF.若CE=4,EO=2,BO=3,AF=10,则/£>=.

2.（2024九年级上•北京・专题练习）如图，在中Q、E、尸分别是28、3c上的点，且。E〃/C,/E〃。尸，

BD3

——=—,BF=9cm,求石产和R7的长.

AD2

B

3.（2024九年级上•河北•专题练习）如图，已知直线4，4，4分别截直线乙于点A,B,C,截直线4于

点、D,E,F,且4〃4〃4.

(1)如果/B=4,5C=8,EF=\2,求的长;

(2)如果。尸=2:3,AC=25,求的长.

题型七由平行截线求相关线段的比值

例题：（24-25八年级上•四川成都•阶段练习）如图，直线4〃4〃/3,直线/C分别交/i，h，4于点4B,

C;直线M分别交4,4,4于点，E,F."与正相交于点",且6=2,*1,BC=5,则百的

值为.

巩固训练

1.（23-24九年级上•河南南阳・期中）如图，已知在A/BC中，点、D、E、尸分别是边/8、AC.8C上的点,

DE//BC,EF//AB,且/。:。8=3:5,那么C5:CB等于

A

2.（2024九年级下•全国•专题练习）如图，4D是△4BC的中线，E是4D上一点，过点C作CG〃4B,交

Ap

8E的延长线于点G,交/C于点足若FG=3EF,求二二的值.

3.（24-25九年级上•山东济南•阶段练习）如图，为2c边上的中线，£为4。上的点，连接班并延长,

交/C于尸.

（1）若E是4。的中点，贝；

⑵若AE:ED=1:2,则/尸：/C=；

⑶若NE:助=1:3,贝!]/尸：NC=；

（4）若皮）=1:〃，猜想/尸：NC=........,并证明.

题型八补充条件使两个三角形相似

例题：如图，在A/5C中，48>/C,点。在48上（点。与A,B不重合），若再增加一个条件就能使

AACD^AABC,则这个条件是（写出一个条件即可）.

BC

巩固训练

1.如图，在A/8C中，点。在48边上，点E在/C边上，请添加一个条件,使

△ADE〜^ABC.

2.如图，已知/CAD相交于点O,若补充一个条件后，便可得到A4O2~AZ）OC,则要补充的条件可以是

3.如图所示，在四边形48CD中〃DII8C,如果要使那么还要补充的一个条件是

.（只要求写出一个条件即可）

题型九利用三角形相似的性质求解

例题：（24-25九年级上•福建泉州•阶段练习）已知AABCs^DEF,相似比为1:3,则△4BC与S斯的周

长比为.

1.（24-25九年级上•浙江宁波•阶段练习）如图，AABCS^ADE,S^ABC-SmBDEC=A5,其中C3=2,

DE=

A

2.（23-24九年级下•湖南岳阳•期末）若△ZBCSA40C，,AB=2,A'B'=4,△48。面积为10,则A/®。

的面积为.

3.（24-25九年级上•山东聊城•阶段练习）在△N3C中，AB=5,AC=4,E是48上一点，AE=2,在/C

上取一点尸，使以/、E、尸为顶点的三角形与ZUBC相似，那么2尸=.

4.（24-25九年级上•福建泉州•阶段练习）如图，AC,5。相交于点。，NA=ND.

(1)求证：△AOBsLDOC；

(2)已知20=5,DO=3,的面积为50,求△DOC的面积.

题型十三角形相似的判定与性质

例题：如图，03c和AZ）EF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上

（1）求证：△A8C〜△DM

（2）“BC的力EF的面积比为

巩固训练

DE1

1.如图所示，延长平行四边形/BCD一边3c至点足连接4尸交CZI于点£,

CE3

(1)求证：AADESAFCE；

(2)若BC=3,求CF的长.

2.如图，在正方形/BCD中，E是4D的中点，点厂在C。上，且C/=3ED.

(1)求证：/\ABEsADEF；

⑵与ABE尸相似吗？为什么？

3.如图，在AASC中，4D平分/A4C,点£在/。上，且ZEAD=ZADE.

(1)求证：ADCEsABCA；

⑵若43=6,/C=8,求空的值.

题型十一利用位似在网格中作图求解

例题：(23-24九年级上•四川成都•阶段练习)如图，△NBC的顶点坐标分别为8(2,3),C(3,0).

zvAk

二

小

钎

谭

寄

3哥nXc/w

01rn|m

T>5=

喙

卷t**r:

T-4

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『UQ

'i'二

『

韩

舍o*=MG#

硬

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『

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『

肥

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舸

林

0*=善^

力

口

。

『F0n

『

〃

q必M

出IjIaI

』

(1)作出△N3C先向左平移4个单位，再向上平移1个单位后得到的aHQ。；

(2)在第三象限内，以点。为位似中心作出△4BC的位似图形使新图与原图的位似比为2:1.

(3)在(2)的条件下，若M为4C边上的中点，则△42"C"的边上与点M对应的点AT的坐标为

巩固训练

1.(23-24九年级上•海南海口•阶段练习)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△4BC的顶点在格

点(网格线的交点)上，以点。为原点建立平面直角坐标系，点2的坐标为(1,0).

(1)将△48。向左平移5个单位长度，得到△4gC],画出△4片。；

(2)以点。为位似中心，将△吊耳G放大到两倍(即新图与原图的相似比为2),得到△4与6,在所给的方

格纸中画出

(3)若点M是48的中点，经过(1)、(2)两次变换，〃的对应点监的坐标是一.

2.(23-24八年级下•山东烟台•期末)已知，△NBC在平面直角坐标系的位置如图所示，点),B,C的坐标

分别为(L0)，(3,-1),(4,2).

⑴以点O为位似中心，在y轴右侧画A/2'C',使它与△4BC的相似比为2:1；

(2)AH"U的面积为；

(3)若点、M(a,b)为&ABC内一点，则点〃的对应点V的坐标为.

3.（23-24八年级下•江苏苏州•阶段练习）己知在平面直角坐标系中的位