第3讲 函数与分析（练习）解析版

第3讲函数与分析（练习）真题回顾1．（2020·上海中考真题）已知反比例函数的图象经过点(2，﹣4)，那么这个反比例函数的解析式是()A．y= B．y=﹣ C．y= D．y=﹣【答案】D【分析】设解析式y=，代入点(2,-4)求出即可．【详解】解：设反比例函数解析式为y=，将(2，-4)代入，得：-4=，解得：k=-8，所以这个反比例函数解析式为y=-．故选：D．【点睛】本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，求反比例函数解析式只需要知道其图像上一点的坐标即可．2．（2019·上海中考真题）下列函数中，函数值随自变量x的值增大而增大的是()A． B． C． D．【答案】A【分析】一次函数当时，函数值总是随自变量的增大而增大，反比例函数当时，在每一个象限内，随自变量增大而增大.【详解】、该函数图象是直线，位于第一、三象限，随增大而增大，故本选项正确；、该函数图象是直线，位于第二、四象限，随增大而减小，故本选项错误；、该函数图象是双曲线，位于第一、三象限，在每一象限内，随增大而减小，故本选项错误；、该函数图象是双曲线，位于第二、四象限，在每一象限内，随增大而增大，故本选项错误.故选.【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数的增减性；熟练掌握一次函数、反比例函数的性质是关键.3．（2018·上海中考真题）下列对二次函数y=x2﹣x的图象的描述，正确的是（）A．开口向下 B．对称轴是y轴C．经过原点 D．在对称轴右侧部分是下降的【答案】C【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴公式以及二次函数性质逐项进行判断即可得答案.【详解】A、∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，选项A不正确；B、∵﹣，∴抛物线的对称轴为直线x=，选项B不正确；C、当x=0时，y=x2﹣x=0，∴抛物线经过原点，选项C正确；D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线x=，∴当x＞时，y随x值的增大而增大，选项D不正确，故选C．【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），对称轴直线x=-，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，c=0时抛物线经过原点，熟练掌握相关知识是解题的关键.4．（2020·上海中考真题）已知f(x)=，那么f(3)的值是____．【答案】1．【分析】根据f(x)=，将代入即可求解．【详解】解：由题意得：f(x)=，∴将代替表达式中的，∴f(3)==1．故答案为：1．【点睛】本题考查函数值的求法，解答本题的关键是明确题意，利用题目中新定义解答．5．（2020·上海中考真题）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s(米)与时间t(分钟)的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行____米．【答案】350．【分析】当8≤t≤20时，设s=kt+b，将（8，960）、（20，1800）代入求得s=70t+400，求出t=15时s的值，从而得出答案．【详解】解：当8≤t≤20时，设s=kt+b，将(8，960)、(20，1800)代入，得：，解得：，∴s=70t+400；当t=15时，s=1450，1800﹣1450=350，∴当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米．故答案为：350．【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意，从实际问题中抽象出一次函数的模型，并熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式．6．（2020·上海中考真题）如果将抛物线y=x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是____．【答案】y=x2+3．【分析】直接根据抛物线向上平移的规律求解．【详解】抛物线y=x2向上平移3个单位得到y=x2+3．故答案为：y=x2+3．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．7．（2020·上海中考真题）如果函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而_____．（填“增大”或“减小”）【答案】减小【分析】根据正比例函数的性质进行解答即可．【详解】解：函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而减小，故答案为：减小．【点睛】此题考查的是判断正比例函数的增减性，掌握正比例函数的性质是解决此题的关键．8．（2019·上海中考真题）已知f(x)＝x2－1，那么f(－1)＝________________.【答案】0【分析】根据自变量与函数值的对应关系，可得答案.【详解】当时，.故答案为.【点睛】本题考查了函数值，把自变量的值代入函数解析式是解题关键.9．（2019·上海中考真题）在登山过程中，海拔每升高1千米，气温下降6℃，已知某登山大本营所在的位置的气温是2℃，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高x千米时，所在位置的气温是y℃，那么y关于x的函数解析式是______.【答案】y＝－6x＋2【分析】根据海拔每升高1km气温下降6℃，可得登山队员由大本营向上登高xkm时，气温下降6x℃；接下来运用“登山队大本营所在地的气温为2℃”即可求出y与x函数关系式.【详解】根据题意得y=-6x+2，故答案为y=-6x+2【点睛】此题考查一次函数的解析式，解题关键在于根据题意列出方程组10．（2018·上海中考真题）已知反比例函数y=（k是常数，k≠1）的图象有一支在第二象限，那么k的取值范围是_____．【答案】k＜1【分析】由于在反比例函数y=的图象有一支在第二象限，故k﹣1＜0，求出k的取值范围即可．【详解】∵反比例函数y=的图象有一支在第二象限，∴k﹣1＜0，解得k＜1，故答案为k＜1．【点睛】本题考查了反比例函数y=(k≠0，k为常数)的图象与性质，反比例函数的图象是双曲线，k>0时，图象位于一、三象限，k<0时，图象位于二、四象限，熟知这些相关知识是解题的关键.11．（2020·上海中考真题）在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A、B(如图)．抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A．（1）求线段AB的长；（2）如果抛物线y=ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC=，求这条抛物线的表达式；（3）如果抛物线y=ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．【答案】（1）5；（2）y=﹣x2+x；（3）﹣＜a＜0．【分析】（1）先求出A，B坐标，即可得出结论；

（2）设点C（m，-m+5），则BC=|m，进而求出点C（2，4），最后将点A，C代入抛物线解析式中，即可得出结论；

（3）将点A坐标代入抛物线解析式中得出b=-10a，代入抛物线解析式中得出顶点D坐标为（5，-25a），即可得出结论．【详解】（1）针对于直线y=﹣x+5，令x=0，y=5，∴B(0，5)，令y=0，则﹣x+5=0，∴x=10，∴A(10，0)，∴AB==5；（2）设点C(m，﹣m+5)．∵B(0，5)，∴BC==|m|．∵BC=，∴|m|=，∴m=±2．∵点C在线段AB上，∴m=2，∴C(2，4)，将点A(10，0)，C(2，4)代入抛物线y=ax2+bx(a≠0)中，得，∴，∴抛物线y=﹣x2+x；（3）∵点A(10，0)在抛物线y=ax2+bx中，得100a+10b=0，∴b=﹣10a，∴抛物线的解析式为y=ax2﹣10ax=a(x﹣5)2﹣25a，∴抛物线的顶点D坐标为(5，﹣25a)，将x=5代入y=﹣x+5中，得y=﹣×5+5=，∵顶点D位于△AOB内，∴0＜﹣25a＜，∴﹣＜a＜0．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，抛物线的顶点坐标的求法，求出点D的坐标是解本题的关键．12．（2019·上海中考真题）在平面直角坐标系xoy中（如图），已知一次函数的图像平行于直线，且经过点A（2，3），与x轴交于点B。（1）求这个一次函数的解析式；（2）设点C在y轴上，当AC＝BC时，求点C的坐标。【答案】（1）；（2）点C的坐标是（0，）【分析】（1）设一次函数解析式为y＝kx＋b（k＝0），把A坐标代入即可解答（2）先求出点B坐标，设点C的坐标为（0，y），由AC＝BC利用勾股定理求出y即可解答【详解】（1）设一次函数解析式为y＝kx＋b（k＝0）.一次函数的图像平行于直线，∴又∵一次函数的图像经过点A（2，3），∴，解得b＝2.所以，所求一次函数的解析式是（2）由y＝，令y＝0，得号＝0，解得x＝－4.∴一次函数的图像与x轴的交点为B（－4，0）.∵点C在y轴上，.设点C的坐标为（0，y）.由AC＝BC，得，解得y＝经检验：y＝是原方程的根.∴点C的坐标是（0，）【点睛】此题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于利用勾股定理进行计算13．（2018·上海中考真题）在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段CD的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+；（2）线段CD的长为2；（3）M点的坐标为（0，）或（0，﹣）．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）利用配方法得到y=﹣（x﹣2）2+，则根据二次函数的性质得到C点坐标和抛物线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t，则D（2，﹣t），根据旋转性质得∠PDC=90°，DP=DC=t，则P（2+t，﹣t），然后把P（2+t，﹣t）代入y=﹣x2+2x+得到关于t的方程，从而解方程可得到CD的长；（3）P点坐标为（4，），D点坐标为（2，），利用抛物线的平移规律确定E点坐标为（2，﹣2），设M（0，m），当m＞0时，利用梯形面积公式得到•（m++2）•2=8当m＜0时，利用梯形面积公式得到•（﹣m++2）•2=8，然后分别解方程求出m即可得到对应的M点坐标．【详解】（1）把A（﹣1，0）和点B（0，）代入y=﹣x2+bx+c得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+；（2）∵y=﹣（x﹣2）2+，∴C（2，），抛物线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t，则D（2，﹣t），∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，∴∠PDC=90°，DP=DC=t，∴P（2+t，﹣t），把P（2+t，﹣t）代入y=﹣x2+2x+得﹣（2+t）2+2（2+t）+=﹣t，整理得t2﹣2t=0，解得t1=0（舍去），t2=2，∴线段CD的长为2；（3）P点坐标为（4，），D点坐标为（2，），∵抛物线平移，使其顶点C（2，）移到原点O的位置，∴抛物线向左平移2个单位，向下平移个单位，而P点（4，）向左平移2个单位，向下平移个单位得到点E，∴E点坐标为（2，﹣2），设M（0，m），当m＞0时，•（m++2）•2=8，解得m=，此时M点坐标为（0，）；当m＜0时，•（﹣m++2）•2=8，解得m=﹣，此时M点坐标为（0，﹣）；综上所述，M点的坐标为（0，）或（0，﹣）．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、抛物线上点的坐标、旋转的性质、抛物线的平移等知识，综合性较强，正确添加辅助线、运用数形结合思想熟练相关知识是解题的关键.模拟预测一、单选题1．（2021·上海金山区·九年级一模）已知二次函数，那么该二次函数图像的对称轴是（）A．直线 B．直线 C．直线 D．直线【答案】A【分析】根据顶点式坐标直接得到二次函数图象的对称轴．【详解】解：∵二次函数的顶点式是，∴函数图象的对称轴是直线．故选：A．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数图象对称轴的求解方法．2．（2021·上海金山区·九年级一模）下列各点在抛物线上的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】将四个选项中的坐标代入抛物线的解析式中，看两边是否相等，即可判断该点是否在抛物线上．【详解】解：A.2≠2×4，故（2，2）不在抛物线上．

B.4≠2×4，故（2，4）不在抛物线上．

C.8=2×4，故（2，8）在抛物线上．D.16≠2×4，故（2，16）不在抛物线上．故选：C．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标满足其解析式．3．（2021·上海徐汇区·九年级一模）定义：表示不超过实数的最大整数例如：，，根据你学习函数的经验，下列关于函数的判断中，正确的是（）A．函数的定义域是一切整数B．函数的图像是经过原点的一条直线C．点在函数图像上D．函数的函数值随的增大而增大【答案】C【分析】根据题意描述的概念逐项分析即可．【详解】A、对于原函数，自变量显然可取一切实数，则其定义域为一切实数，故错误；B、因为原函数的函数值是一些整数，则图象不会是一条过原点的直线，故错误；C、由题意可知，则点在函数图像上，故正确；D、例如，，即当，时，函数值均为，不是随的增大而增大，故错误；故选：C．【点睛】本题考查函数的概念以及新定义问题，仔细审题，理解材料介绍的的概念是解题关键．4．（2021·上海长宁区·九年级一模）己知二次函数的图象如图所示，那么a、c满足（）A．a＞0，c＞0 B．a＞0，c＜0 C．a＜0，c＞0 D．a＜0，c＜0【答案】C【分析】根据二次函数图象开口向下确定出为负数，再根据二次函数图象与轴的交点即可确定出的正负情况，答案可解．【详解】解：∵二次函数图象开口向下，∴，∵二次函数图象与轴的正半轴相交，∴，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的开口方向、对称轴、与轴的交点与系数的关系是解题的关键．二、填空题5．（2021·上海市徐汇区教育学院九年级一模）已知抛物线的开口向上，那么a的取值范围是______．【答案】【分析】根据二次函数的图像与性质可直接进行求解．【详解】解：由抛物线的开口向上，可得：，解得：；故答案为．【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．6．（2021·上海黄浦区·九年级一模）如果抛物线的顶点为，那么该抛物线的顶点坐标是________．【答案】（-1，1）【分析】根据抛物线顶点坐标公式即可列出方程组，从而求出b和c的值，即可求出结论．【详解】解：根据题意可得：解①，得b=-1将b=-1代入②，解得：c=1，∴该抛物线的顶点坐标是（-1,1），故答案为：（-1，1）．【点睛】此题考查的是求抛物线的顶点坐标，掌握抛物线顶点坐标公式是解题关键．7．（2021·上海闵行区·九年级一模）将抛物线向下平移1个单位，那么所得抛物线与y轴的交点的坐标为_________．【答案】【分析】先确定抛物线的顶点坐标为（-1，-1），再利用点平移的坐标规律写出平移后顶点坐标，然后利用顶点式写出平移后的抛物线解析式即可求得结论．【详解】解：∵抛物线，∴顶点坐标为（-1，-1），∴点（-1，-1）向下平移1个单位所得对应点的坐标为（-1，-2），

所以平移后的抛物线的表达式为-1．令x=0，则y=-1，∴抛物线与y轴的交点的坐标为（0，-1），故答案为：（0，-1）．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．8．（2020·上海普陀区·九年级月考）如图，已知二次函数的图像经过点，那么__________．（填“”、“”或“”）【答案】【分析】根据二次函数的图象得出对称轴的范围，再根据对称性即可得出答案．【详解】解：由题可知，因为二次函数的对称轴在0和0.5之间，且二次函数经过A二次函数在x轴的另一点在0和-0.5之间，∴f(-1)>0，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的性质，读懂二次函数的图是解题的关键．三、解答题9．（2021·上海金山区·九年级一模）已知抛物线经过点、．（1）求抛物线的表达式；（2）把表达式化成的形式，并写出顶点坐标与对称轴．【答案】（1）；（2），顶点坐标为：，对称轴为：直线．【分析】（1）直接将A、B的坐标代入求得b、c即可；（2）通过配方将（1）求得的解析式化成顶点式，然后直接写出顶点坐标和对称轴即可．【详解】解：（1）由抛物线经过点、两点可得：，解得：；∴抛物线的解析式为：；（2）；∴，∴顶点坐标为：，对称轴为：直线．【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质，将二次函数的一般式化成顶点式成为解答本题的关键．10．（2021·上海徐汇区·九年级一模）已知抛物线与轴交于点，它的顶点为，对称轴是直线．（1）求此抛物线的表达式及点的坐标；（2）将上述抛物线向下平移个单位，所得新抛物线经过原点，设新抛物线的顶点为，请判断的形状，并说明理由．【答案】（1），；（2）△MON是等腰直角三角形．【分析】（1）根据对称轴是直线，可求b，再代入点C，可求抛物线解析式，把，代入解析式，可求M点坐标；（2）由原抛物线与y轴交点可知，抛物线向下平移2个单位，可求新顶点坐标，再求出MO、ON、MN的长，可判断三角形形状．【详解】解：（1）∵抛物线对称轴是直线，∴，解得b=2，把代入得，，∴抛物线解析式为：；把代入得，，，点M的坐标为：．（2）抛物线与y轴交点为，向下平移个单位后经过原点，∴m=2，新抛物线的顶点N的坐标为：，∴，，MN=2，∴，∴△MON是等腰直角三角形．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和函数的平移以及勾股定理逆定理，灵活运用已知条件，准确把握函数图象平移特征，根据三边长判断三角形形状是解题关键．11．（2021·上海宝山区·九年级一模）已知二次函数的图像经过点．（1）求该二次函数的解析式和顶点坐标；（2）能否通过所求得的抛物线的平移得到抛物线？如果能，请说明怎样平移，如果不能，请说明理由．【答案】（1），顶点为；（2）可以，先向左平移2个单位，再向下平移个单位【分析】（1）把点代入函数解析式，求出的值即可得到解析式，再把一般式写成顶点式得到顶点坐标；（2）把所给的函数解析式化为顶点式，根据函数图象的平移法则进行求解．【详解】解：（1）把点代入函数解析式，得，解得，∴，写成顶点式：，∴顶点坐标是；（2）将也写成顶点式，得，，，∴把原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移个单位．【点睛】本题考查二次函数解析式的求解和图象的平移，解题的关键是掌握解析式的求解方法和函数图象的平移方法．12．（2021·上海虹口区·九年级一模）已知二次函数的解析式为．（1）用配方法把该二次函数的解析式化为的形式；（2）选取适当的数据填入下表，并在图中所示的平面直角坐标系内描点，画出该函数的图像．……【答案】（1）；（2）见解析．【分析】（1）直接利用配方法即可把该二次函数的解析式化为顶点式；（2）列表、描点、连线，画出函数的图象即可．【详解】解：（1）∴；（2）填表如下：……-20246…………60-206……图像如下：．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数图象，正确掌握配方法以及画二次函数图象的步骤是解题关键．13．（2021·上海徐汇区·九年级一模）已知二次函数的大致图像如图所示，这个函数图像的顶点为点．（1）求该函数图像的开口方向、对称轴及点的坐标；（2）设该函数图像与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，图像的对称轴与轴交于点，如果，，求该二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，设点在第一象限该函数的图像上，且点的横坐标为，如果的面积是，求点的坐标．【答案】（1）抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点；（2）；（3）点M的坐标为【分析】（1）根据二次函数图象与系数之间的关系即可判断开口方向，对称轴以及顶点坐标；（2）过点D作DE⊥y轴，即可判断出△CDE∽△BCO，然后结合，可推出，从而通过相似三角形的性质列式求解a，即可得出解析式；（3）首先根据M的坐标求出直线CM的解析式，从而得到直线CM与对称轴的交点P的坐标，进而利用割补法建立关于面积的等式，求解出t的值即可．【详解】（1）∵，∴抛物线开口向下，根据对称轴公式可得：，当时，，则顶点，∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点；（2）如图所示，作DE⊥y轴，由（1）可知顶点，则OA=ED=1，∵DC⊥BC，∴∠DCE+∠BCO=90°，又∵∠DCE+∠CDE=90°，∴∠CDE=∠BCO，∴△CDE∽△BCO，∴，∵，∴当时，，即点C的坐标为，∴，则：，解得：，经检验a=-1是方程的解，∴抛物线的解析式为：；（3）在（2）的条件下，如图所示，连接MC，M的坐标为，此时设直线CM的解析式为：，将C，M的坐标代入得：，解得：，即：直线CM的解析式为：，设直线CM与对称轴交于P点，则P的坐标为，，∴，解得：，将代入抛物线解析式得：，∴点M的坐标为．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，相似三角形的判定与性质，正切函数的定义等，熟悉二次函数的性质，灵活构造相似三角形并运用其性质是解题关键．14．（2021·上海长宁区·九年级一模）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点、，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）点D是抛物线上的点，且位于线段BC上方，联结CD．①如果点D的横坐标为2．求cot∠DCB的值；②如果∠DCB＝2∠CBO，求点D的坐标．【答案】（1）；（2）①；②【分析】（1）根据点，的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）①根据（1）中所求抛物线表达式，可以得到点、、的坐标，根据坐标系中两点间距离公式求出、、的值，证明三角形为直角三角形，进而求出cot∠DCB的值；②过作轴的平行线，过作轴平行线交于，根据平行线的性质推导出，从而得出三角形相似，利用相似比求出点D的坐标．【详解】（1）将、代入y＝ax2+bx+2，得，，解得：，∴抛物线的表达式为；（2）①当时，，当时，，∴，，，∴，,,，为直角三角形，其中，∴;②过作轴的平行线，过作轴平行线交于，设点D坐标为,则，，∵，∴，,,，，,∴，解得：，（舍），∴．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数上点的坐标、坐标中两点间距离公式、余切三角函数、平行线的性质、相似三角形的判定、相似比等，解答本题的关键是熟练运用这些知识点并根据已知条件做好辅助线．15．（2021·上海市徐汇区教育学院九年级一模）已知在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（点C在点D左侧），顶点A在第一象限，异于顶点A的点在该抛物线上．（1）如果点P与点C重合，求线段的长；（2）如果抛物线经过原点，点Q是抛物线上一点，，求点Q的坐标；（3）如果直线与x轴的负半轴相交，求m的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）且．【分析】（1）根据题意求出C点的坐标，由点P与点C重合列等式求解即可；（2）由题意代入原点坐标可得出点P的坐标，连接OP，PQ，作于E点，轴于F点，根据三角函数值可证明，从而得到OG=PG，得到G点的坐标，求出PG所在直线的解析式，联立等式求解即可；（3）分别求出B、P的坐标，求出直线BP的解析式，令y=0，可得直线BP与x轴的交点横坐标，求其小于0的取值范围即可．【详解】（1）如图1，抛物线与x轴相交于C点，，，C点在D点的左侧，C(m-2，0)，又点P与点C重合，，m-2=1，m=3，，A(3，4)，P(1，0)，；（2）如果抛物线经过原点，将(0，0)代入，得，顶点A在第一象限，m=2，=，当x=1时，y=3，P(1，3)，如图2，连接OP，PQ，作于E点，轴于F点，，，，设PQ延长线与x轴交于点G（x，0），又OG=PG，，解得x=5，检验：把x=5代入原方程，左边=右边，所以x=5为方程的解，G（5,0），设直线PG的解析式为：y=kx+b，将P，G两点坐标代入得，求得，PG所在直线的解析式为，联立直线PG和抛物线解析式可得，解得或，Q；（3）如图3，点在该抛物线上，代入中，，，又抛物线与y轴交于点B，B（0，），设直线BP的解析式为：y=kx+b，代入B、P两点，，则，直线BP的解析式为：，令y=0，，直线与x轴的负半轴相交，，或，解得m<-2或<m<2，又顶点A在第一象限，m>0,点A与点P不重合，，综上所述，且．【点睛】本题考查抛物线与坐标轴交点，抛物线顶点，一次函数与抛物线交点等问题，还涉及解直角三角形，综合性比较强，难度比较大，需要有较强的数形结合思想，充分掌握一次函数和二次函数综合知识，运用图形解题是解决本题的关键．16．（2021·上海黄浦区·九年级一模）如图，平面直角坐标系内直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C是线段的中点．（1）求直线的表达式：（2）若抛物线经过点C，且其顶点位于线段上（不含端点O、A）．①用含b的代数式表示a，并写出的取值范围；②设该抛物线与直线在第一象限内的交点为点D，试问：与能否相似？如果能，请求此时抛物线的表达式：如果不能，请说明由．【答案】（1）；（2）①，0＜＜1；②能，【分析】（1）根据直线解析式分别求出点A和点B的坐标，然后根据中点求出点C的坐标，然后设直线AC的解析式为y=kx＋d，利用待定系数法即可求出结论；（2）①将点C的坐标代入即可求出c的值，然后根据题意可知：该抛物线与x轴只有一个交点，从而求出b和a的关系，然后根据其顶点位于线段上（不含端点O、A）即可求出的取值范围；②根据题意，画图，设点D的坐标为（x，x＋4），利用平面直角坐标系中任意两点的距离公式即可求出DC、DB和DA，根据相似三角形的性质列出比例式即可求出点D的坐标，然后将点D的坐标代入抛物线解析式中即可求出结论．【详解】解：（1）将y=0代入中，解得：x=-4；将x=0代入中，解得：y=4，∴点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，4）∵点C是线段的中点，∴点C的坐标为（0，2）设直线AC的解析式为y=kx＋d将点A和点C的坐标分别代入，得解得：，∴直线AC的解析式为；（2）①将点C的坐标代入中，得∴抛物线解析式为由题意可知：该抛物线与x轴只有一个交点，∴∴∴抛物线的解析式为，其对称轴为直线∵其顶点位于线段上（不含端点O、A）∴-4＜＜0解得：0＜＜1；②能，如下图所示，连接DC设点D的坐标为（x，x＋4），易知x＞0∴DC=DB=，DA=由∠BDC=∠CDA，∠DBC和∠DCA为钝角，结合已知可得△BDC∽△CDA∴，即整理，得=，解得：x=1，经检验x=1是方程的解，∴点D的坐标为（1,5）将点D的坐标代入中，得解得：b1=，b2=当b=时，则＜0，显然不符合0＜＜1，故舍去；当b=时，则，满足0＜＜1；∴抛物线的解析式为．【点睛】此题考查的是二次函数与一次函数的综合大题，掌握利用待定系数法求一次函数解析式、二次函数解析式、相似三角形的性质和平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式是解题关键．17．（2021·上海虹口区·九年级一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、，抛物线经过、两点．（1）当该抛物线经过点时，求该抛物线的表达式；（2）在（1）题的条件下，点为该抛物线上一点，且位于第三象限，当时，求点的坐标；（3）如果抛物线的顶点位于内，求的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）将点、、代入抛物线，利用待定系数法即可求