浙江省源清中学2025年下学期高三年级五调考试数学试题

浙江省源清中学2025年下学期高三年级五调考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数（），若函数有三个零点，则的取值范围是（）A． B．C． D．2．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近（）A． B． C． D．3．为得到函数的图像，只需将函数的图像（）A．向右平移个长度单位 B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位 D．向左平移个长度单位4．已知函数，若，则的最小值为（）参考数据：A． B． C． D．5．已知双曲线（）的渐近线方程为，则（）A． B． C． D．6．已知表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，且则“”是“”的()条件.A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要7．某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（）A．58厘米 B．63厘米 C．69厘米 D．76厘米8．若双曲线的一条渐近线与圆至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．9．设函数在定义城内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能为（）A． B．C． D．10．已知数列满足：)若正整数使得成立，则（）A．16 B．17 C．18 D．1911．已知,则()A． B． C． D．12．已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，设，，则当时，的最大值是（）A．8 B．9 C．10 D．11二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，如果函数有三个零点，则实数的取值范围是____________14．若，，则___________．15．关于函数有下列四个命题：①函数在上是增函数；②函数的图象关于中心对称；③不存在斜率小于且与函数的图象相切的直线；④函数的导函数不存在极小值.其中正确的命题有______.（写出所有正确命题的序号）16．己知函数，若曲线在处的切线与直线平行，则__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知点，直线与抛物线交于不同两点、，直线、与抛物线的另一交点分别为两点、，连接，点关于直线的对称点为点，连接、．（1）证明：；（2）若的面积，求的取值范围．18．（12分）中的内角，，的对边分别是，，，若，.（1）求；（2）若，点为边上一点，且，求的面积.19．（12分）在中，、、分别是角、、的对边，且.（1）求角的值；（2）若，且为锐角三角形，求的取值范围.20．（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1,an+1=2Sn+1（1）求数列{an}（2）设cn=bnan，求数列21．（12分）在中，角的对边分别为，已知．（1）求角的大小；（2）若，求的面积．22．（10分）以直角坐标系的原点为极坐标系的极点，轴的正半轴为极轴．已知曲线的极坐标方程为，是上一动点，，点的轨迹为．（1）求曲线的极坐标方程，并化为直角坐标方程；（2）若点，直线的参数方程（为参数），直线与曲线的交点为，当取最小值时，求直线的普通方程．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

分段求解函数零点，数形结合，分类讨论即可求得结果.【详解】作出和，的图像如下所示：函数有三个零点，等价于与有三个交点，又因为，且由图可知，当时与有两个交点，故只需当时，与有一个交点即可.若当时，时，显然𝑦=𝑓(𝑥)与𝑦=4|𝑥|有一个交点𝐵，故满足题意；时，显然𝑦=𝑓(𝑥)与𝑦=4|𝑥|没有交点，故不满足题意；时，显然𝑦=𝑓(𝑥)与𝑦=4|𝑥|也没有交点，故不满足题意；时，显然与有一个交点，故满足题意.综上所述，要满足题意，只需.故选：A.【点睛】本题考查由函数零点的个数求参数范围，属中档题.2、A【解析】

结合所给数字特征，我们可将每层数字表示成2的指数的形式，观察可知，每层指数的和成等比数列分布，结合等比数列前项和公式和对数恒等式即可求解【详解】如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为，所以原数字塔中前10层所有数字之积为.故选：A【点睛】本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题，逻辑推理，等比数列前项和公式应用，属于中档题3、D【解析】，所以要的函数的图象，只需将函数的图象向左平移个长度单位得到，故选D4、A【解析】

首先的单调性，由此判断出，由求得的关系式.利用导数求得的最小值，由此求得的最小值.【详解】由于函数，所以在上递减，在上递增.由于，，令，解得，所以，且，化简得，所以，构造函数，.构造函数，，所以在区间上递减，而，，所以存在，使.所以在上大于零，在上小于零.所以在区间上递增，在区间上递减.而，所以在区间上的最小值为，也即的最小值为，所以的最小值为.故选：A【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查分段函数的图像与性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.5、A【解析】

根据双曲线方程（），确定焦点位置，再根据渐近线方程得到求解.【详解】因为双曲线（），所以，又因为渐近线方程为，所以，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.6、B【解析】

根据充分必要条件的概念进行判断.【详解】对于充分性：若，则可以平行，相交，异面，故充分性不成立；若，则可得，必要性成立.故选：B【点睛】本题主要考查空间中线线，线面，面面的位置关系，以及充要条件的判断，考查学生综合运用知识的能力.解决充要条件判断问题，关键是要弄清楚谁是条件，谁是结论.7、B【解析】

由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可.【详解】因为弧长比较短的情况下分成6等分，所以每部分的弦长和弧长相差很小，可以用弧长近似代替弦长，故导线长度约为63(厘米).故选：B.【点睛】本题主要考查了扇形弧长的计算，属于容易题.8、C【解析】

求得双曲线的渐近线方程，可得圆心到渐近线的距离，由点到直线的距离公式可得的范围，再由离心率公式计算即可得到所求范围．【详解】双曲线的一条渐近线为，即，由题意知，直线与圆相切或相离，则，解得，因此，双曲线的离心率.故选：C.【点睛】本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用圆心到渐近线的距离不小于半径，考查化简整理的运算能力，属于中档题．9、D【解析】

根据的图象可得的单调性，从而得到在相应范围上的符号和极值点，据此可判断的图象.【详解】由的图象可知，在上为增函数，且在上存在正数，使得在上为增函数，在为减函数，故在有两个不同的零点，且在这两个零点的附近，有变化，故排除A，B.由在上为增函数可得在上恒成立，故排除C.故选：D.【点睛】本题考查导函数图象的识别，此类问题应根据原函数的单调性来考虑导函数的符号与零点情况，本题属于基础题.10、B【解析】

计算，故，解得答案.【详解】当时，，即，且.故，，故.故选：.【点睛】本题考查了数列的相关计算，意在考查学生的计算能力和对于数列公式方法的综合应用.11、B【解析】

利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可．【详解】，本题正确选项：【点睛】本题考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．12、B【解析】

根据题意计算，，，解不等式得到答案.【详解】∵是以1为首项，2为公差的等差数列，∴.∵是以1为首项，2为公比的等比数列，∴.∴.∵，∴，解得.则当时，的最大值是9.故选：.【点睛】本题考查了等差数列，等比数列，f分组求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

首先把零点问题转化为方程问题，等价于有三个零点，两侧开方，可得，即有三个零点，再运用函数的单调性结合最值即可求出参数的取值范围.【详解】若函数有三个零点，即零点有，显然，则有，可得，即有三个零点，不妨令，对于，函数单调递增，，，所以函数在区间上只有一解，对于函数，，解得，，解得，，解得，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，，当时，，当时，，此时函数若有两个零点，则有，综上可知，若函数有三个零点，则实数的取值范围是.故答案为：【点睛】本题考查了函数零点的零点，恰当的开方，转化为函数有零点问题，注意恰有三个零点条件的应用，根据函数的最值求解参数的范围，属于难题.14、【解析】

因为，所以，又，所以，则，所以．15、①②③【解析】

由单调性、对称性概念、导数的几何意义、导数与极值的关系进行判断．【详解】函数的定义域是，由于，在上递增，∴函数在上是递增，①正确；，∴函数的图象关于中心对称，②正确；，时取等号，∴③正确；，设，则，显然是即的极小值点，④错误．故答案为：①②③.【点睛】本题考查函数的单调性、对称性，考查导数的几何意义、导数与极值，解题时按照相关概念判断即可，属于中档题．16、【解析】

先求导，再根据导数的几何意义，有求解.【详解】因为函数，所以，所以，解得.故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义，还考查运算求解能力以及数形结合思想，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）．【解析】

（1）设点、，求出直线、的方程，与抛物线的方程联立，求出点、的坐标，利用直线、的斜率相等证明出；（2）设点到直线、的距离分别为、，求出，利用相似得出，可得出的边上的高，并利用弦长公式计算出，即可得出关于的表达式，结合不等式可解出实数的取值范围.【详解】（1）设点、，则，直线的方程为：，由，消去并整理得，由韦达定理可知，，，代入直线的方程，得，解得，同理，可得，，，,代入得，因此，；（2）设点到直线、的距离分别为、，则，由（1）知，，，，，，同理，得，，由，整理得，由韦达定理得，，，得，设点到直线的高为，则，，，，解得，因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查直线与直线平行的证明，考查实数的取值范围的求法，考查抛物线、直线方程、韦达定理、弦长公式、直线的斜率等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是难题．18、（1）（2）10【解析】

（1）由二倍角的正弦公式以及正弦定理，可得，再根据二倍角的余弦公式计算即可；（2）由已知可得，利用余弦定理解出，由已知计算出与，再根据三角形的面积公式求出结果即可.【详解】（1），，在中，由正弦定理得，，又，，，（2），，，由余弦定理得，，则，化简得，，解得或（负值舍去），，，，，，的面积.【点睛】本题考查了三角形面积公式以及正弦定理、余弦定理的应用，考查了二倍角公式的应用，考查了运算能力，属于基础题.19、(1).(2).【解析】

（1）根据题意，由余弦定理求得，即可求解C角的值；（2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，再根据为锐角三角形，求得，利用三角函数的图象与性质，即可求解.【详解】（1）由题意知，∴，由余弦定理可知，，又∵，∴.（2）由正弦定理可知，，即∴，又∵为锐角三角形，∴，即，则，所以，综上的取值范围为.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.20、（1）an=（2）Tn【解析】

（1）利用an与Sn的递推关系可以an的通项公式；P点代入直线方程得b【详解】(1)由an+1=2S两式相减得an+1-a又a2=2S1+1=3，所以a由点P(bn,bn+1则数列{bn(2)因为cn=b则13两式相减得：23所以Tn【点睛】用递推关系an=Sn-21、（1）；（2）【解析】

(1)利用正弦定理边化角,再利用二倍角的正弦公式与正弦的和角公式化简求解即可.(2)由(1)有,根据正弦定理可得,进而求得的值,再根据三角形的面积公式求解即可.【详解】（1）由,得,得,由正弦定理得,显然,同时除以,得.所以.所以.显然,所以,解得.又,所以.（2）若,由正弦定理得,得,解得.又,所以.【点睛】本题主要考查了正余弦定理与面积公式在解三角形中的运用,需要根据题意用正弦定理进行边角互化,再根据三角恒等变换进行化简求解等.属于中档题.22、（1），；（2）.【解析】

（1）设点极坐标分别为,