数学（新高考Ⅰ卷）（全解全析）-2025年高考数学二轮复习

2025年高考第二次模拟考试

高三数学（新高考I卷）01•全解全析

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知集合/={x*_x-2<0},2=,xlog,xvl>,贝|/门（48）=（）,

、2,

A.B,[-41c.（一1,2）D.团

【答案】A

【详解】因为/={小2_计2<0j={%-1<x<2},

B=log]X<1>=|xx>g1,则CRB=卜X4；1，

所以"（（0=卜卜一弓C

故选：A.

2.已知（2—2i）z=i,贝（）

11.1.11.11.

A.—1—iB.—

44444444

【答案】c

i・（2+2i）—2+2i11.

【详解】由题意知，2=*=------------=-----=——]

2-21（2-2i）（2+2i）844，

所以三二，一；,

44

故选：c

3.已知向量方b=(x+2,x2),则“x=-l”是“铝厂的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

【答案】A

【详解】由4b=(x+2,x2),

若贝UX+2-X'O,

解得x=2或x=-l,

故，，x=-1”是“1工b”的充分不必要条件，

故选：A.

4.某景区新开通了A,B,C3个游玩项目，并邀请了甲、乙、丙、丁4名志愿者体验游玩项目，每名志

愿者均选择1个项目进行体验，每个项目至少有1名志愿者进行体验，且甲不体验A项目，则不同

的体验方法共有()

A.12种B.18种

C.24种D.30种

【答案】C

【详解】若乙、丙、丁3人体验的项目各不相同，则有C；A；=12种体验方法，

若乙、丙、丁3人有2人体验的项目相同，则有C；C；A；=12种体验方法，

故不同的体验方法共有24种.

故选：C.

5.已知sin(二一=/，贝Ijcos卜+裔=()

75c.L

A.—B.—

999

【答案】D

【详解】因为sin］。-所以cos21一^!

QPcos^2a-^=|)

所以cos,e+詈)=cos(7

+7i=-cos2a--

JI(

故选：D.

6.已知S“为等差数列｛七｝的前〃项和，％=-21,S1=S\5,则S”的最小值为（）

A.-99B.-100C.-110D.-121

【答案】D

【详解】设｛2｝的公差为d,因为％=-21,凡=几，

Q]二—21

可得，7x615x14,解得d=2,所以%二2〃-23,

7(2.H-------Cl=1JdyH----------d

[1212

可得s“=-21”+———M="2-22",

"2

所以当〃=11时，S.取得最小值%=1F_22xll=T21.

故选：D.

22

7.已知点尸为椭圆上+匕=1上任意一点，直线/过OAf：/+J?_4x+3=0的圆心且与。A/交于A,B两

1612

点，则万•方的取值范围是（）

A.[3,35]B.[2,34]C.[2,36]D.[4,36]

【答案】A

【详解】OM:x2+y2-4x+3=0,即（％-2『+/=1的圆心M（2,0）,半径为1,

椭圆方程C:二+匕=1中，a2=16,b2=12,c2=a2—b2=16-12=4,c=2,

1612

则圆心M（2,0）为椭圆的右焦点，线段45为。〃的直径，连接尸河，

因止匕苏.而=（府+疝）•（而+砺）=（两_砺）•（而+砺）

=|PM|2-|W|2=|西点尸为椭圆c：^+卷=I上任意一点，

贝/西|=a-c=2,\PM\=a+c=6,即2Vl而归6,

IIminIImaxII

所以西.丽=|百可-1e[3,35].

故选：A

8.设函数/(x)=/(2x-l)-ax+a,其中“<1,若存在唯一的整数%,使得〃%)<0,则〃的取值范围是

()

A.1一；,"B.卜mc.mD.

L2t?JL2e4JL2e4；|_2e)

【答案】D

【详解】设g(x)=/(2x-l),y=a{x-\},

由题意知，函数〉=g(x)在直线N=ax-a下方的图象中只有一个点的横坐标为整数,

当x<-1■时，g'(x)<0；当■时，g'(x)>0.

又g⑼=T，g(l)=e>0.

直线>=⑪-。恒过定点(1,0)且斜率为a,

33

故-a>g(O)=-l且g(-l)=——>-a-a,解得一<a<l,故选D.

e2e

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.己知620,且。+26=1,则下列不等式中成立的有()

A.ab<—B.y/~a+y[b>——

82

}n(ab+a+b+1]a+,br-

C.二----------^>log23-lD.3<43

In2

【答案】ABC

【详解】对于A,因为所以a20,2b20,aZ,=：ax2b4：(q铲)2=：,当且仅当a=26=:时取

22282

等号，A正确；

对于B,因为0,620,a+26=l，(&J+(回『=i,

令«=cos。=sin9;;a,b20,:.9e0,—,y[a+-Jb=cos^+-^-sin0,

L2J2

55

令/(61)=cos。+学sin6>,.\f\6)=-sin。+学cos<9,

Br

令/(6))=0,.1tan4=芋,4e0,"令，

当e«o，a)时,/'(0)>0,/(0)在0e(0,4)上单调递增;

当ee时，_f⑻<0J⑻在0e上单调递减；

又〃。)=Y=%

/S)的6=]时，f(x)取最小值孝，所以B正确；

1

对于C,ln(""+"+’+l)-log2(ab+a+b+l)=log2[(1-2b)b+1-26+6+1]=log2(-2b+2)log23-1=log2,

i「1133

因为4=1-2620,,所以y=-2〃+2在be0,-上最小值为,，log2(—2/+2)Nlog2,C正确；

ii1/_

对于D,3a+6=31-\v0<ZJ<-,-<1-*<1,.•.31-;>>32=V3,D错误；

故选：ABC.

10.设函数/(x)=(x-a『(x-2)(aeR),则()

A.当a=T时，〃x)的图象关于点(0,-2)对称

B.当a=0时，方程〃x)+sinl=0有3个实根

C.当时，。是/(X)的极大值点

D.存在实数a,f(x)</(x+l)恒成立

【答案】ABD

【详解】对于A选项，当〃=一1时，/(X)=(X+1)2(X-2)=X3-3x-2,

因为/(-.x)=(-x)3-3-(-x)-2=-x3+3x-2,所以，〃x)+/(-%)=-4,

所以/(x)的图象关于点(0,-2)对称，故A正确；

对于B选项，当4=0时，/(x)=x3-2x2,贝V(x)=3--4%，

令/(x)=0,可得》=0或x=g,歹I」表如下：

4

X(-8,0)0

3

/‘(X)+0-0+

增极大值减极小值增

所以，函数〃x)在(-叫0)上单调递增，上单调递减，仁,+，|上单调递增，

所以〃x)极大=/(。)=0，/(x)极小=/0=-11,又因为0<sinl<l,如下图所示:

由图可知，直线V=-sinl与函数/(x)的图象由三个交点，

即。=0时，方程〃x)+sinl=0有3个实根，故B正确；

对于C选项，/f(x)=2(x-a)(x-2)+(x-a)2=3(x—a)[x-,

当a=2时，r(x)=3(x-2)2>0,此时函数/(x)在R上单调递增，故C错误;

对于D选项，当a=2时，函数/(x)在R上单调递增，此时〃x)</(x+l)恒成立，故D正确.

故选：ABD.

11.“8”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所示的曲线C过坐标原点

O,C上的点到两定点耳0),乙(。,0乂〃>0)的距离之积为定值.则下列说法正确的是()(参考数据:

6土2.236)

1ssi

A.若闺闾=12,则C的方程为(一+产)2=721-/)

B.若C上的点到两定点与、耳的距离之积为16,则点(-4,0)在C上

C.若a=3,点(3,%)在C上，则2<货<3

D.当。=3时，C上第一象限内的点尸满足△列记的面积为，则户耳「一户用『=]8石

【答案】ACD

【详解】已知原点。在C上，则|。用根刃=/，设(x,y)为C上任意一点，

则有力=^(x-«)2+/•^(x+af+y2,整理得(x?+/y=2a2(x2-y2).

若闺阊=12,则C的方程为卜2+_/)2=7212—2),故A正确；

若10GH。闻=16,则°=4,代入方程得①+力2=32①-力，显然点(-4,0)不在此曲线上，故B错误;

若a=3,点(3,%)在C上，有](3-3?+/Y(3+3)2+y；=9,

整理得(y：+18)2=405,所以诉=9百-18。2.124,故C正确；

因为邑叼2=；|尸用P阊sin/G9=|,|尸耳||尸马=9,可得";P£=90。，

所以点尸是曲线。：(/+力2=18，-力和以片外为直径的圆/+了2=9在第一象限内的交点，

联立方程，解得X=孚，j=|,即尸(地3,所以归片「-|尸图2=18百，故D正确.

2222

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：根据题干背景得到曲线方程(/+/)2=2/(/-/)为关键.

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

2

12.已知直线/与直线%—+2=0平行，且与曲线＞=lnx—+1相切，则直线/的方程是.

【答案】y=x+ln2-2(或%-歹+ln2-2=0)

【详解】直线1-歹+2=0的斜率为1,由于直线/与直线＞+2=0平行，则直线/的斜率为1,

21212

对函数、=lnx――+1求导得了=—+=,令了=_+==1,解得x=2或x=—l(舍去)，

XXXXX

所以切点的坐标为(2,In2).

故直线/的方程为了-也2=》-2,即尸x+ln2-2.

故答案为：y=x+ln2-2(或x-y+ln2-2=0).

13.在三棱台NBC-44G中，ABA.AC,BC=6,AXBX=AtC,=472,44=5忘，平面28©。，平面48C,

则该三棱台外接球的体积为

500万

【答案】

3

【详解】

分别取8c,8c的中点o,q,则。a，平面/Be,且外接球球心M在直线。a上，由题意,

AO=3,=4,0。］=Jaa；_(4O「4O『=7.

T^MA=r,MOi=x,

若球心在线段0a上，则/=9+(7-X)2/2=4?+X2,得X=3/=5；

若球心不在线段。。上，则/=9+(7+»,/=42+/,无正数解.

所以外接球体积为2=色厂=%.

33

500兀

故答案为:

3

14.小郅和小豪同学玩纸牌游戏，小郅面前有标有点数分别为1、2、3、4、5的纸牌各1张，小豪面前有

标号为1、2、3、4、5的纸牌分别有5、4、3、2、1张（抽牌阶段抽到每张牌的概率均等），规定首先小豪

同学从其面前纸堆中抽取一张牌点数记为X,然后放回牌堆，随后小郅同学任意从其面前牌堆中抽取X张

牌，记这X张纸牌的点数和为乙则。（町=，£（丫）=.

14

【答案】y7

【详解】X的分布列为：

X12345

]_4]_21

P

31551515

g、-183817

所以E(X)=—+—+—+—+-=一

31551533

X?的分布列为:

1491625

]_4J_21

P

31551515

214

同理：E（JV2）=7,故：。（幻=£（『）_［即为］=—,

当X=1时，X的分布列为:

12345

111]_

P

55555

所以颐中=3,

当X=5时，毛的分布列为:

所以E&)=15,

当X=2时：4的分布列为:

丫23456789

11j_j_j_11

P

10105551010

£亿)=6,

当X=3时：月的分布列为:

6789101112

11j_j_j_11

p

10io55510To

£(功=9,

当X=4时：匕的分布列为:

41011121314

j_111j_

p

55555

£亿)=12,

14121

所以：E(Y)=——3+——6+--9+——12+——15=7.

v731551515

-14

故答案为：—:7

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.如图(1),在直角梯形N3CA中，AD//BC,AB1BC,AB=BC=l,AD=2,现沿着NC折起，使得平

面A4C_L平面ZMC,如图(2).

(1)求证：CD_L平面A4c.

(2)求二面角/一8。一C的大小.

【答案】(1)证明见解析

【详解】（1）由题可求得4C=C7）=/，且4。=2,

则,可知NC_LC。，

且平面R4C_L平面,平面B4Cc平面£UC=/C,CZ）u平面£MC,

所以C7）_L平面历IC.

（2）取NC的中点0,连接50,

因为4B=8C,则3O_L/C,

且平面5/C_L平面ZMC,平面氏4Cc平面Z）/C=/C,BOu平面A4C,

所以801平面4c£）.

以。为坐标原点，。。,。8所在的直线分别为X/轴，平行于。9的直线为y轴，建立空间直角坐标系,

（历、（万\（万、（1

则C1,0,0,A-^,0,0,B0,0,1,DN^-,A/2,0.

I7\7\7\-)

出0,7]，通=(在在0

可得而=（o,也,0）,就=—,0,--,AB=

I22）I

m-CD=y[2y[=0

设平面的一个法向量为折=（再,加）则

BQC4,-—八'

m,£>C=----x,-------z=0

〔2121

令演=1,则必=0,句=1,可得而=（1,0,1）；

[就近工行n

n,AB=----x9H------z,=0

设平面的一个法向量为W=（X2，y2，Z2）,则2222,

n-AD=V2X2+y[2y2=0

令々=1,则%=Z2=—1,可得力二（1,一1,一1）,

坛•方0

则侬加'"=网万广上、收二£

TT

所以二面角/-50-C的大小为万.

16.已知数列｛%｝是等差数列，其前力和为S",%=2同=45,数列也｝满足%仄+。2瓦+…a也=(«-1)-2"+1

⑴求数列｛%｝，也｝的通项公式；

⑵若对数列｛%｝，｛2｝,在为与%M之间插入为个1(左€”),组成一个新数列｛4“｝,求数列｛一“｝的前2025

项的和4025•

【答案】(1)%=〃，a=2〃T；

(2)2080

【详解】(1)｛%｝为等差数列，设其公差为d,

贝ax+d=2,S9=9al+36d=45,解得％=d=1,

故%=ax+(n-\)d=n-

+a2b2H----1-a„bn=(AZ-1)-2"+1(T),

,,1

故当7?W2时，atbt+a2b2H----1-an_pn_x=(w-2)-2+1@,

两式相减得anbn=(„-1)­2"+l-(zz-2)-2Tli=〃•2"。

故泌"所以6,=2"T,"W2,

又％4=0+1=1,故4=1,满足»=2"T,

从而a=2"一；

1

(2)由(1)知，a“=n,bn=2'-,

所以在｛4,｝中，从%开始到项4为止，

1—2比一1

共有项数为左+2°+2i+22+―+2*-2=k+=k+2k-'-l,

1-2

当上=11时，11+21°-1=1034<2025,

当左=12时,12+211-1=2059>2025,

所以数列｛4,｝前2025项是项知之后，还有2025-1034=991项为1,

故盘25=。+2+3+…+11)+2°+2〔+22+…+29+991=2080.

17.甲、乙两人进行投篮比赛，甲先投2次，然后乙投2次，投进次数多者为胜，结束比赛，若甲、乙投进

的次数相同，则甲、乙需要再各投1次（称为第3次投篮），结束比赛，规定3次投篮投进次数多者为胜,

若3次投篮甲、乙投进的次数相同，则判定甲、乙平局.己知甲每次投进的概率为g,乙每次投进的概率为

各次投进与否相互独立.

（1）求甲、乙需要进行第3次投篮的概率;

（2）若每次投篮投进得1分，否则得0分，求甲得分X的分布列与数学期望.

【答案】⑴昱13

OC

（2）分布列答案见解析，数学期望：—

【详解】（1）设甲第％=1,2）次投进为事件4,乙第十=1,2）次投进为事件与，

71

则尸⑷=§,尸（4）=].

设甲、乙需要进行第3次投篮为事件C,则事件C包括以下两两互斥的三个事件:

①“甲、乙前2次都投进2次”,其概率为尸（44））（用当）=

②“甲、乙前2次都投进1次”，其概率为尸（4%+%4）•尸（4瓦+丽）=2xgx；x2x；xgq,

③“甲、乙前2次都投进0次”，其概率为尸（反瓦'U=^6'

则由互斥事件的概率加法公式，可得P（c）=,1+37+玄1=V14.

（2）由题意可得X的所有可能取值为0,1,2,3,

P（X=O）=I1-|

211217

P（^=1）=C*x-x-x+——x—

36354

（提示：此时有三种情况，①甲前2次投进1次，乙前2次投进0次或2次;

②甲、乙前2次均投进1次，第3次甲未投进；③甲、乙前2次均未投进，第3次甲投进）

2214

p（X=2）=+9X3-27,

3）=K4

22

18.已知椭圆E:三+q=1(°>6>0)的左、右焦点分别为《，B，抛物线C:/=4x的焦点与巴重合，点

ab

G是。与£在第一象限的交点，且

(1)求E的方程.

(2)设过点6的直线/与E交于点M,N,交C于点/,B,且N,B,M,N互不重合.

(i)若/的倾斜角为45。，求C粤的值；

\^B\

(ii)若P为C的准线上一点，设尸4PB,的斜率分别为尢他A，证明：%为勺和与的等差中项.

【答案】⑴土工2+匕V2=1

43

3

⑵(i),；(ii)证明见解析

【详解】(1)由已知得C的焦点为(1,0),即工(1,0),所以五一二二由①

因为IG居《5，由抛物线的定义可得%52所以G

代入E的方程可得彳4+#8=1.@

2

由①②解得/=4,从=3,所以E的方程为3丫2+4V=1.

（2）设/（X],必）,8（X2，%）,“（%3，%），N值,%）.

(i)因为直线1的倾斜角为45。，所以勺=1,直线1的方程为N=x-1.

fV=X—1,

联立2,整理得/一6x+l=0,贝也+%=6,

U=4x,

所以|幺8|=%+%+°=6+2=8.

y=x-l,

联立工2y2整理得7/_8X-8=0,

一+—=1,

I43

e88

则W+匕=,,/匕=--,

24

T

24

所以也N|亍3.

\AB\87

(ii)由题意知耳(TO),月(1,0),

设尸(-1,切)，且直线AB的方程为x=(y+l.

[x=ty+l,,c

联立2■整理得/一44=0,显然△>(),

[y=4x,

则乂+%=4Ly>-y2=-4>

所以左=8,月=匹子，.号，

%1+1x2+12

k+k=M_加I%_"?=（M—加）（丫2+1）+（力-机）（为+1）

12

X]+1x2+1（玉+l）（x2+1）

二（必一加）（0+2）+（%一⑼（研+2）=2协力+（2一加。（必+%）-4加

2

（%+2）（优+2）ty}y2+2«%+%）+4

2

—--St--+-（-2----m-t-）-4-/---4-m=---4-m--（/--+-1-）——m

-4「+8/+44（r+l）

又2k3=-m,即2k3=kx+k2,

所以勺为匕和心的等差中项.

19.若对\/再,工2e。且再＜马，函数/'(x),g(x)满足：|/(占)-〃%),同g(xj-g(x2)](m＞。)，则称函数

/(X)是函数g(x)在区间。上的加级控制函数.

⑴判断函数/(X)=2x是否是函数g(x)=/在区