2025版高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第1节集合教学案含解析理

PAGE7-第一节集合[考纲传真]1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的详细问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在详细情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简洁集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能运用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系：属于或不属于，分别记为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR2.集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A的元素都是集合B的元素x∈A⇒x∈BA⊆B或B⊇A真子集集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一个元素不属于AA⊆B，∃x0∈B，x0∉AAB或BA相等集合A，B的元素完全相同A⊆B，B⊆A⇒A＝BA＝B空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集∀x，x∉∅，∅⊆A∅3.集合的基本运算表示运算文字语言符号语言图形语言记法交集属于A且属于B的元素组成的集合{x|x∈A且x∈B}A∩B并集属于A或属于B的元素组成的集合{x|x∈A或x∈B}A∪B补集全集U中不属于A的元素组成的集合{x|x∈U，x∉A}∁UAeq\o([常用结论])1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．A∩∁UA＝∅；A∪∁UA＝U；∁U(∁UA)＝A.[基础自测]1．(思索辨析)推断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何集合都至少有两个子集． ()(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C.()(3)若{x2，x}＝{－1,1}，则x＝－1. ()(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C. ()[解析](1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．(2)错误．集合A是函数y＝x2的定义域，即A＝(－∞，＋∞)；集合B是函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合C是抛物线y＝x2上的点集．因此A，B，C不相等．(3)正确．(4)错误．当A＝∅时，B，C可为随意集合．[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)若集合A＝{x∈N|x≤eq\r(10)}，a＝2eq\r(2)，则下列结论正确的是()A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉AD[由题意知A＝{0,1,2,3}，由a＝2eq\r(2)知，a∉A.]3．设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B＝( )A．{1,2,3,4} B．{1,2,3}C．{2,3,4} D．{1,3,4}A[A∪B＝{1,2,3,4}．]4．(2024·浙江高考)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，则∁UA＝( )A．∅ B．{1,3}C．{2,4,5} D．{1,2,3,4,5}C[∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，∴∁UA＝{2,4,5}．故选C.]5．若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝( )A．{x|－2＜x＜－1}B．{x|－2＜x＜3}C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}A[∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，∴A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．]集合的含义与表示1．设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为()A．3B．4 C．5 D．6B[因为集合M中的元素x＝a＋b，a∈A，b∈B，所以当b＝4，a＝1,2,3时，x＝5,6,7.当b＝5，a＝1,2,3时，x＝6,7,8.由集合元素的互异性，可知x＝5,6,7,8.即M＝{5,6,7,8}，共有4个元素．]2．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝( )A.eq\f(9,2)B.eq\f(9,8) C．0 D．0或eq\f(9,8)D[若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a＝0时，x＝eq\f(2,3)，符合题意；当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0得a＝eq\f(9,8)，所以a的取值为0或eq\f(9,8).]3．已知a，b∈R，若eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))＝{a2，a＋b,0}，则a2019＋b2019为( )A．1B．0 C．－1 D．±1C[由已知得a≠0，则eq\f(b,a)＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又依据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2019＋b2019＝(－1)2019＋02019＝－1.]4．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.1[由A∩B＝{3}知a＋2＝3或a2＋4＝3.解得a＝1.][规律方法]与集合中的元素有关的问题的求解策略1确定集合中的元素是什么，即集合是数集还是点集.2看这些元素满意什么限制条件.3依据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，要留意检验集合是否满意元素的互异性.集合间的基本关系【例1】(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则()A．B⊆AB．A＝BC．AB D．BA(2)(2024·大庆模拟)集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈Z\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,x－3)≤0))))，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则集合B的子集个数为()A．5B．8 C．3 D．2(3)已知集合A＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，B＝{x∈R|ax－1＝0}，若B⊆A，则实数a的取值集合为________．(1)C(2)B(3)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,2)，0))[(1)A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，则AB，故选C.(2)由eq\f(x＋1,x－3)≤0得－1≤x＜3，则A＝{－1,0,1,2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}＝{1,2,5}，其子集的个数为23＝8个．(3)A＝{－3,2}，若a＝0，则B＝∅，满意B⊆A，若a≠0，则B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))，由B⊆A知，eq\f(1,a)＝－3或eq\f(1,a)＝2，故a＝－eq\f(1,3)或a＝eq\f(1,2)，因此a的取值集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,2)，0)).][规律方法]1.集合间基本关系的两种判定方法1化简集合，从表达式中找寻两集合的关系.2用列举法或图示法等表示各个集合，从元素或图形中找寻关系.2.依据集合间的关系求参数的方法,已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满意的关系，解决这类问题经常要合理利用数轴、Venn图化抽象为直观进行求解.易错警示：B⊆AA≠∅，应分B＝∅和B≠∅两种状况探讨.(1)(2024·长沙模拟)已知集合A＝{0}，B＝{－1,0,1}，若A⊆C⊆B，则符合条件的集合C的个数为( )A．1B．2 C．4 D．8(2)已知集合A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________．(1)C(2)[2，＋∞)[(1)由A⊆C⊆B得C＝{0}或{0，－1}或{0,1}或{0，－1,1}，故选C.(2)A＝{x|0≤x≤2}，要使A⊆B，则a≥2.]集合的基本运算►考法1集合的运算【例2】(1)(2024·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝()A．{0} B．{1}C．{1,2} D．{0,1,2}(2)(2024·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则∁RA＝()A．{x|－1＜x＜2} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}(3)(2024·桂林模拟)已知集合M＝{x|－1＜x＜3}，N＝{－1,1}，则下列关系正确的是()A．M∪N＝{－1,1,3}B．M∪N＝{x|－1≤x＜3}C．M∩N＝{－1} D．M∩N＝{x|－1＜x＜1}(1)C(2)B(3)B[(1)由题意知，A＝{x|x≥1}，则A∩B＝{1,2}．(2)法一：A＝{x|(x－2)(x＋1)＞0}＝{x|x＜－1或x＞2}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}，故选B.法二：因为A＝{x|x2－x－2＞0}，所以∁RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B.(3)M∪N＝{x|－1≤x＜3}，M∩N＝{1}，故选B.]►考法2利用集合的运算求参数【例3】(1)设集合A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是()A．－1＜a≤2 B．a＞2C．a≥－1 D．a＞－1(2)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为()A．0B．1 C．2 D．4(3)(2024·厦门模拟)已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x2－3x＋2＜0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是()A．a≤1 B．a＜1C．a≥2 D．a＞2(1)D(2)D(3)C[(1)由A∩B≠∅知，集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示：易知a＞－1，故选D.(2)由题意可知{a，a2}＝{4,16}，所以a＝4，故选D.(3)B＝{x|1＜x＜2}，由A∩B＝B知B⊆A，则a≥2，故选C.][规律方法]解决集合运算问题需留意以下三点：1看元素组成，集合是由元素组成的，从探讨集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提.2看集合能否化简，集合能化简的先化简，再探讨其关系并进行运算，可使问题简洁明白，易于求解.3要借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，并留意端点值的取舍.(1)(2024·东北三省四市联考)设集合A＝{x||x|＜1}，B＝{x|x(x－3)＜0}，则A∪B＝()A．(－1,0) B．(0,1)C．(－1,3) D．(1,3)(2)(2024·西安模拟)设集合A＝{x|x2－3x＋2≥0}，B＝{x|x≤2，x∈Z}，则(∁RA)∩B＝()A．{1}B．{2} C．{1,2} D．∅(3)(2024·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝()A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}(4)(2024·长沙模拟)已知集合A＝{1,3,9,27}，B＝{y|y＝log3x，x∈A}，则A∩B＝()A．{1,3} B．{1,3,9}C．{3,9,27} D．{1,3,9,27)(1)C(2)D(3)C(4)A[(1)A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜3}，所以A∪B＝{x|－1＜x＜3}，故选C.(2)A＝{x|x≤1或x≥2}，则∁RA＝{x|1＜x＜2}．又集合B＝{x|x≤2，x∈Z}，所以(∁RA)∩B＝∅，故选D.(3)∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m＝0，即m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.(4)因为A＝{1,3,9,27}，B＝{y|y＝log3x，x∈A}＝{0,1,2,3}，所以A∩B＝{1,3}．]1．(2024·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝()A．{0,2} B．{1,2}C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}A[由题意知A∩B＝{0,2}．]2．(2024·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9B．8 C．5 D．4A[由x2＋y2≤3知，－eq\r(3)≤x≤eq\r(3)，－eq\r(3)≤y≤eq\r(3).又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1,0,1}，y∈{－1，0,1}，所以A中元素的个数为9，故选A.]3．(2024·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则()A．A∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜\f(3,2)))))B．A∩B＝∅C．A∪B＝eq\