数列的应用（原题版）-2024-2025学年高二数学同步训练（人教B版选择性必修第三册）

第07讲数列的应用

01学习目标

课程标准学习目标

1.掌握等差数列、等比数列的性质，熟记通项公式与求

1.理解并掌握“等额本金还款法”、“等额本和公式；

息还款法”及应用；2.能用数列知识求解分歧还款、政府支的“乘数”效应

2.理解并掌握政府支出的“乘数”效应及数以及其他的实际问题；

列的其他应用；3.进一步提升数学建模、逻辑推理与数学运算的核心素

养。

分期付款问题

产值增长问题

数列中的繁殖问题

数列中的图推问题

03知识清单

知识点01分期还款

1.等额本金还款法

将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本

金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率，一次这种方式中，每期还

款金额=笑辖+（贷款本金-已还本金总额）X利率

还款期数

2.等额本息还款法

将本金和利息平均分配到每一期进行偿还，因此每一次还钱数相等，即q=&=%=…=%，每期还

款金额=4（1+可，其中4为贷款时的资金，厂为银行贷款月利率，加为还款总期数（单位：月）

（l+r）m-l'

【即学即练1］（24-25高一上学期课时作业）某企业在2024年年初贷款M万元，年利率为加，从该年年末

开始，每年偿还的金额都是a万元，并恰好在10年间还清，则a的值为（）

M（1+m）10MmMm（l+m）10Mm（l+

ABD

-（i+4°-i-（i+4°u（i+“一i-（i+4°+i

知识点02政府支出的“乘数”效应

1.政府支出的“乘数”效应定义

为落实惠民政策，假设正负增加某项支出为。亿元，每个受惠的居民会将额外收入以r（r〉0）的比率用

于国内消费（最初政府支出也算是国内消费）。如果设第〃轮消费的金额为％亿元，那么经过〃

1_

轮影响之后，最后的国内消费总额是a+ar+a/+…+””=。------。最后的国内消费总额将会是。亿

1-r

元的倍数，也就是说有了“乘数”效应。

2.有关概念的理解

（1）“乘数”效应

①“乘数”效应是一种宏观的经济效应，是指经济活动中某一变量的增减所引起的经济总量变化的连

锁反应程度；

②财政政策乘数是研究财政收支变化对过国民经济的影响，其中包括财政支出乘数、税收乘数和平衡

预算乘数；

（2）政府支出：政府的财政支出（把政府消费支出和政府投资支出）是一种与居民投资十分类似的高

效能支出，政府在商品和服务商的一项采购，将会引发一系列的再支出。因此任何一届政府在选择经济政

策时，究竟是采取扩张性政策还是收缩性政策，在采取动作前必须知道实际的乘数究竟有多大，否则将会

对国民经济造成极大的伤害。

【即学即练2】（24-25高二上•全国,单元测试）某工厂2024年1月的生产总值为。万元，计划从2024年2

月起，每月生产总值比上一个月增长〃?％,则到2025年8月底该厂的生产总值为万元.

04题型精讲

题型01分期付款问题

【典例1］（23-24高二下•河南南阳•期中）刚考入大学的小明准备向银行贷款。元购买一台笔记本电脑，然

后上学的时候通过勤工俭学来分期还款.小明与银行约定：每个月月末还一次款，分12次还清所有的欠款,

且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为f.则小明每个月所要还款的钱数为（）元.

【变式1］（23-24高二下•河南驻马店•期中）某医院购买一台大型医疗机器价格为。万元，实行分期付款,

每期付款6万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为5%。，每月复利一次，则“，6满足（）

A.12b=aB.126="1+5%。产

C.12Z?=a（l+5%o）D.a<12b<a（l+5%o）'

【变式21（23-24高二下•辽宁葫芦岛•期末）李华准备通过某银行贷款8800元，后通过分期付款的方式还款,

银行与李华约定：每个月还款一次，分12次还清所有欠款，且每个月的还款额都相等，贷款的月利率为

。6%,则李华每个月的还款额为（）（精确到。.。1元，参考数据占等；W）

A.733.21元B.757.37元C.760.33元D.770.66元

【变式3】（23-24高二下•江西赣州•阶段练习）某电动汽车刚上市，就引起了小胡的关注，小胡2024年5

月1日向银行贷款。元用来购买该电动汽车，银行贷款的月利率是人并按复利计息.若每月月底还银行相同

金额的贷款，到2025年4月底全部还清（即用12个月等额还款），则小胡每个月月底需要还款（）

【变式4】（2024•辽宁沈阳•模拟预测）某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银行

贷款，月利率0.3%,分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）.有两种金融方案：等额本金还款，

将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除

以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率；等额本息还款，每一期偿还同

等数额的本息和，利息以复利计算.下列说法正确的是（）

A.等额本金方案，所有的利息和为2340元

B.等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元

C.等额本息方案，每月还款金额中的本金部分呈现递增等比数列

D.等额本金方案比等额本息方案还款利息更少，所以等额本金方案优于等额本息方案

题型02产值增长问题

【典例2】（2024•陕西宝鸡•模拟预测）某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到

10年内每年此农产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年（2024年）该公司

该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（）（参考数

据：1.3X3.79）

A.3937万元B.3837万元C.3737万元D.3637万元

【变式1］（2024・山西运城•一模）某工厂加工一种电子零件，去年12月份生产1万个，产品合格率为87%.

为提高产品合格率，工厂进行了设备更新，今年1月份的产量在去年12月的基础上提高4%,产品合格率比

去年12月增加0.4%,计划以后两年内，每月的产量和产品合格率都按此标准增长，那么该工厂的月不合格

品数达到最大是今年的（）

A.5月份B.6月份

C.7月份D.8月份

【变式2】（23-24高二上•河南■期末）中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开,

二十大报告提出：尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求.必须牢

固树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，站在人与自然和谐共生的高度谋划发展.某市为了改善当地

生态环境，计划通过五年时间治理市区湖泊污染，并将其建造成环湖风光带，预计第一年投入资金81万元,

4-

以后每年投入资金是上一年的§倍；第一年的旅游收入为20万元，以后每年旅游收入比上一年增加10万

元，则这五年的投入资金总额与旅游收入总额分别为（）.

A.781万元，60万元B.525万元，200万元

C.781万元，200万元D.1122万元，270万元

【变式3】（23-24高二上•山东青岛•期末）某牧场今年年初牛的存栏数为1000,预计以后每年存栏数的增长

率为20%,且在每年年底卖出loo,设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为4、%、&、•・•.

⑴写出一个递推公式来表示6向与，之间的关系；

（2）将（1）中的递推公式表示成%「左=：•（2-左）的形式，其中人『为常数.

（3）求其前10项和品的值.（精确到1,其中12°46.192）

【变式4】（23-24高二上•新疆乌鲁木齐•期末）总书记说："绿水青山就是金山银山."某地响应号召，投入

资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，以后每年投入将比上一年减少g,本年度当地旅

游业收入估计为500万元，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加;.

⑴设〃年内（2019年为第一年）总投入为5“万元，旅游业总收入为7；万元，写出S“、1的表达式；

（2）至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入.

参考数据：lg2=0.3010,lg3=0.4771,lg5=0.6990.

题型03数列中的繁殖问题

【典例3】（2024•北京海淀•一模）某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观

察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的

角度约为60。），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.

于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心。开始，沿

直线繁殖到4,然后分叉向当与42方向继续繁殖，其中乙6442=60°,且4Ml与4/22关于所在

直线对称，44=4142=（%■…若4cm,为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿

的半径r（reN\单位：cm）至少为（）

D.9

【变式1］（2024•河北沧州•模拟预测）自然界中某些生物的基因型是由雌雄配子的基因组合而成的，这种生

物在生育下一代时，成对的基因相互分离形成配子，配子随机结合形成下一代的基因型.若某生物群体的

基因型为在该生物个体的随机交配过程中，基因型为由的子代因无法适应自然环境而被自然界淘

汰.例如当亲代只有4?的基因型个体时，其子一代的基因型如下表所示：

雄

雌

1

3——CL

22

1,

-A-AA一A.U.

244

11,

-Q一AaX

24

21

由上表可知，子一代中44:乙=1:2,子一代产生的配子中/占“a占以此类推，子七代中4的个

体所占的比例为.

题型04数列中的图推问题

【典例4］（23-24高三上•江西南昌•阶段练习）我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如

图将1,2,3,…,9填入3x3的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连

续的正整数1,2,3,…,〃2填入"X”个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方

形叫做〃阶幻方.记"阶幻方的每列的数字之和为M，如图三阶幻方的％=15,那么阳=.

【变式1］（24-25高二下•上海,单元测试）题图是某神奇"黄金数学草”的生长图.第1阶段生长为竖直向上

长为1米的枝干，第2阶段在枝头生长出两根新的枝干，新枝干的长度是原来的与1,且与旧枝成拳

第3阶段又在每个枝头各长出两根新的枝干，新枝干的长度是原来的理，且与旧枝成g一依次生

长，直到永远.

第1阶段第2阶段第3阶段第4阶段

⑴求第3阶段“黄金数学草”的高度;

⑵求第13阶段"黄金数学草”的所有枝干的长度之和；（精确到0.01米）

⑶该"黄金数学草"最终能长多高？（精确到0.01米）

【变式2】（24-25高一上•重庆•开学考试）如图是用♦摆放而成的图案，其中第①个图中有2个*,第②个

图中有5个*,第③个图中有10个*,第④个图中有17个.,......按此规律排列下去，则第⑦个图案中.

的个数为（）

♦♦♦

♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦

♦♦♦♦♦

♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦

♦♦♦

①②③④

A.35B.48C.50D.64

【变式3】（23-24高二下•全国•期末）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据

沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1,3,6,10,…称为

三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1,4,9,16,…称为正方形数，记三角形数构成数列也,},正方

形数构成数列{"},则下列说法正确的是（）

B.1849既是三角形数，又是正方形数

111133

C—+一+—+...+一＜一

b、b2b3b„20

D.VmeN,,总存在0,qeN*,使得成立

【变式4】（23-24高二下•北京怀柔・期末）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形

几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形.例如图（1）是

一个边长为1的正三角形，将每边3等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得到图

（2）,如此继续下去，得到图（3）,则第三个图形的边数；第"个图形的周长.

(1)(2)(3)

强化训练

一、单选题

1.（2023•辽宁沈阳•高二沈阳二中校考阶段练习）调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法

规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0。2〃噜/力辽.如果某人喝了少量酒后，血液中酒精

含量将迅速上升到0.3俏g/八心在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减小，问他至少要经

过几小时才可以加强机动车（精确到小时）

A.1小时B.2小时C.4小时D.6小时

A.10373B.10396C.10422D.10456

3.小蕾2018年1月31日存入银行若干万元，年利率为1.75%,到2019年1月31日取款时，银行按国家

规定给付利息469元，则小蕾存入银行的本金介于（）元之间，并说明理由.

A.1万〜2万B.2万〜3万C.3万〜4万D.4万〜5万

4.（2023•全国•高二期末）血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理.某医

学研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者/给药3小时的时候血药浓度达到峰值，

此后每经过2小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的40%,当血药浓度为峰值的

1.024%时，给药时间为（）

A.11小时B.13小时C.17小时D.19小时

5.（22-23高二下•辽宁大连•期末）刚考入大学的小明准备向银行贷款。元购买一台笔记本电脑，然后上学的

时通过勤工俭学来分期还款.小明与银行约定：每个月还一次款，分10次还清所有的欠款，且每个月还款

的钱数都相等，贷款的月利率为九则小明每个月所要还款的钱数为（）元.

6.复利是一种计算利息的方法.即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.某同学

有压岁钱1000元，存入银行，年利率为2.25%；若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达

4.01%.如果将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息（）元.

（参考数据：1.02254=1.093,1.02255=1.117,1.04014=1,170,1.04015=1,217）

A.176B.104.5C.77D.88

7.中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，二十大报告提出：尊重自然、顺

应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求.必须牢固树立和践行绿水青山就是金山

银山的理念，站在人与自然和谐共生的高度谋划发展.某市为了改善当地生态环境，计划通过五年时间治

理市区湖泊污染，并将其建造成环湖风光带，预计第一年投入资金81万元，以后每年投入资金是上一年的

4-

§倍；第一年的旅游收入为20万元，以后每年旅游收入比上一年增加10万元，则这五年的投入资金总额

与旅游收入总额分别为（）.

A.781万元，60万元B.525万元，200万元

C.781万元，200万元D.H22万元，270万元

8.如图，有一台擀面机共有10对轧辐，所有轧辐的半径厂都是陋mm,面带从一端输入，经过各对轧辐

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逐步减薄后输出，每对轧辐都将面带的厚度压缩为输入该对轧辐时的0.8倍（整个过程中面带宽度不变，且

不考虑损耗）.若第4对轧辐有缺陷，每滚动一周在面带上压出一个疵点，则在擀面机最终输出的面带上，

相邻疵点的间距4=（）

A.800X0,2*T°mmB.1600x0.8bHimm

C.1600x0.8*mmD.1600x0.2i°mm

二、多选题

9.我国在预测人口变化趋势上有直接推算法、灰色预测模型、VAR模型、队列要素法等多种方法，直接推

算法使用的公式是匕=6（1+左）"小＞-1）,其中［为预测期人口数，鸟为初期人口数，左为预测期内人口增

长率，〃为预测期间隔年数，则下列说法正确的有（）

A.若在某一时期内则这期间人口数呈下降趋势

B.若在某一时期内左＞0,则这期间人口数呈上升趋势

C.若在某一时期内0＜后＜1,则这期间人口数摆动变化

D.若在某一时期内左=0,则这期间人口数不变

10.（2023•海南僧州•高二校考阶段练习）某企业为一个高科技项目注入了启动资金2000万元，已知每年可

获利20%,但由于竞争激烈，每年年底需从利润中取出200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方

能保持原有的利润增长率.设经过"年之后，该项目的资金为见万元.（取lg2a0.30,怆3。0.48）,则下

列叙述正确的是（）

A.%=2200

B.数列｛an｝的递推关系是=anx（1+20%）

C.数列｛%-io。。｝为等比数列

D.至少要经过6年，该项目的资金才可以达到或超过翻一番（即为原来的2倍）的目标

11.（22-23高三下•重庆北借•阶段练习）某人买一辆15万元的新车，购买当天支付3万元首付，剩余向银

行贷款，月利率0.3%,分12个月还清（每月购买车的那一天分期还款）.有两种金融方案：等额本金还款,

将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除

以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率：等额本息还款，每一期偿还同

等数额的本息和，利息以复利计算.下列说法正确的是（）

（参考：1.00311~1.0335,1.00312-1.0366：计算结果精确到分）

A.等额本息方案，每月还款金额为10196.07元

B.等额本金方案，最后一个月还款金额为10030元

C.等额本金方案，所有的利息和为2340元

D.等额本金方案比等额本息方案还款利息更少，所以等额本金方案优于等额本息方案

三、填空题

12.（2023・全国•高二专题练习）沈阳京东MALL于2022年国庆节盛大开业，商场为了满足广大数码狂热

爱好者的需求，开展商品分期付款活动.现计划某商品一次性付款的金额为。元，以分期付款的形式等额分

成n次付清，每期期末所付款是x元，每期利率为r,则爱好者每期需要付款》=.

13.某人实施一项投资计划，从2021年起，每年1月1日，把上一年工资的10%投资某个项目.已知2020

年他的工资是10万元，预计未来十年每年工资都会逐年增加1万元；若投资年收益是10%