数列的通项公式及数列求和大题综合（学生卷）-2025年高考数学复习分项汇编

4<20照列的通项公蚁及照列求和丈题除合

十年考情­探规律

考点十年考情(2015-2024)命题趋势

考点1等差1.掌握数列的有关概念和表示

数列的通项2023•全国乙卷、2023•全国新I卷、2021•全方法，能利用与的关系以及递

公式及前n国新n卷、2019•全国卷、2018•全国卷、推关系求数列的通项公式，理

项和2016•全国卷解数列是一种特殊的函数，能

（10年5考）利用数列的周期性、单调性解

考点2等比决简单的问题

数列的通项该内容是新高考卷的必考内

2020.全国卷、2019•全国卷

公式及前n容，常考查利用与关系求通项

2018•全国卷、2017•全国卷

项和或项及通项公式构造的相关应

（10年4考）用，需综合复习

2022•全国新n卷、2020•全国卷、2019•北

考点3等差

乐卷2.理解等差数列的概念，掌握

等比综合

2017•北京卷、2017•全国卷、2016•北京卷等差数列的通项公式与前n项

（10年6考）

2015•天津卷和公式，能在具体的问题情境

2024•全国甲卷、2024•全国甲卷、2023•全中识别数列的等差关系并能用

国甲卷等差数列的有关知识解决相应

2022•全国甲卷、2022•全国新I卷、2021.天的问题，熟练掌握等差数列通

考点4数列

津卷项公式与前n项和的性质，该

通项公式的

2021•浙江卷、2021•全国乙卷、2021•全国内容是新高考卷的必考内容，

构造

卷一般给出数列为等差数列，或

（10年9考）

2020•全国卷、2019•全国卷、2018•全国卷通过构造为等差数列，求通项

2016•山东卷、2016•天津卷、2016•天津卷公式及前n项和，需综合复习

2016•全国卷、2016•全国卷、2016•全国卷

2015•重庆卷、2015•全国卷3.掌握等比数列的通项公式与

前n项和公式，能在具体的问

2024.天津卷、2024.全国甲卷、2024.全国题情境中识别数列的等比关系

甲卷并能用等比数列的有关知识解

2023•全国甲卷、2023•全国新II卷、2022•天决相应的问题，熟练掌握等比

津卷

数列通项公式与前n项和的性

考点5数列

2020•天津卷、2020•全国卷、2020•全国卷质，该内容是新高考卷的必考

求和

2019•天津卷、2019•天津卷、2018•天津卷内容，一般给出数列为等比数

（10年10

2017•天津卷、2017•山东卷、2016•浙江卷

考）歹U,或通过构造为等比数列，

•山东卷、•天津卷、•北京卷

201620162016求通项公式及前n项和。需综

2015•浙江卷、2015•全国卷、2015•天津卷合复习

2015•天津卷、2015•山东卷、2015•山东卷

2015•湖北卷、2015•安徽卷4.熟练掌握裂项相消求和和、

2023•全国新n卷、2022.全国新I卷、错位相减求和、分组及并项求

考点6数列2021•浙江卷和，该内容是新高考卷的常考

中的不等式、2021•全国乙卷、2020•浙江卷、2019•浙江内容，常考结合不等式、最值

最值及范围卷及范围考查，需重点综合复习

问题2017•北京卷、2016•浙江卷、2016•天津卷

（10年几考）2015•重庆卷、2015•浙江卷、2015•四川卷

2015•上海卷、2015•安徽卷

考点7数列

2024.上海卷、2024.全国新H卷、2023•全

与其他知识

国新I卷、2019•全国卷、2017•浙江卷、

点的关联问

2015•陕西卷

题

2015•湖南卷

（10年5考）

分考点二精准练上

考点01等差数列的通项公式及前n项和

1.（2023•全国乙卷•高考真题）记S“为等差数列｛见｝的前〃项和，已知出=11，%=40.

⑴求｛为｝的通项公式；

⑵求数列｛M|｝的前〃项和

2

2.（2023,全国新I卷,高考真题）设等差数列｛4｝的公差为d,且d>l.令勿=:，记S“Z分

别为数列｛%｝，也｝的前〃项和.

⑴若3%=31+4,S3+7；=21,求｛4｝的通项公式；

（2）若也｝为等差数列,且S99-金=99,求d.

3.（2021•全国新H卷•高考真题）记S,是公差不为0的等差数列｛%｝的前〃项和，若%=怎9%=邑.

（1）求数列｛%｝的通项公式％;

（2）求使5.>为成立的"的最小值.

4.（2019,全国•高考真题）记即为等差数列｛m｝的前〃项和，已知S9=—45.

（1）若<23=4,求｛□〃｝的通项公式;

（2）若ai>0,求使得Snkan的n的取值范围.

5.（2018•全国•高考真题）记S“为等差数列｛%｝的前〃项和，已知％=-7,5=T5.

（1）求伍」的通项公式；

（2）求S",并求2的最小值.

6.（2016,全国局考真题）等差数列｛%｝中,%+&=4,%+%=6.

（回）求｛%｝的通项公式；

（回）设％=KJ,求数列仍“｝的前10项和,其中印表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.

考点02等比数列的通项公式及前n项和

1.（2020•全国•高考真题）设等比数列｛an｝满足4+电=4,a3-at=8.

（1）求｛an｝的通项公式；

（2）记S,,为数列｛Iog3an｝的前n项和.若黑+sm+1=sm+3,求m.

2.（2019,全国•高考真题）已知｛%｝是各项均为正数的等比数列，q=2,%=2a2+16.

（1）求｛?｝的通项公式；

（2）设优=log?%,求数列e」的前〃项和.

3.（2018,全国考真题）等比数列｛%｝中，at=l,a5=4a3.

（工）求｛%｝的通项公式；

（2）记S,为｛4｝的前"项和.若S“=63,求加.

4.（2017•全国•高考真题）记Sn为等比数列｛4｝的前n项和，已知52=2,53=6

（1）求｛%｝的通项公式；

（2）求Sn,并判断Sn+i,Sn,Sn+2是否成等差数列.

考点03等差等比综合

1.（2022•全国新n卷,高考真题）已知｛%｝为等差数列，也｝是公比为2的等比数列，且

a2-b2=a3-b3=b4-a4,

⑴证明：％=4；

⑵求集合树”=金+4，1<m<500｝中元素个数.

2.（2020•全国•高考真题）设｛%｝是公比不为1的等比数列，%为出，%的等差中项.

（1）求｛总的公比；

（2）若％=1,求数列｛〃%｝的前"项和.

3.（2019,北乐,身考真题）设｛a〃｝是等差数列,ai=-10）且02+10,<23+8,四+6成等比数列.

（回）求｛即｝的通项公式；

（回）记｛即｝的前几项和为S〃，求S〃的最小值.

4.（2017•北京・高考真题）已知等差数列®｝和等比数列也｝满足。1=d=1佗+。4=10力2b4=。5.

（回）求｛%｝的通项公式；

（回）求和：4+伪+&+…+&T.

5.（2017•全国•高考真题）已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“，等比数列M｝的前〃项和为T.，

同.Q]—1—1ya?+b2=4.

（1）若。3+4=7,求也｝的通项公式；

（2）若2=13,求打.

6.（2016•北京・高考真题）已知｛an｝是等差数列,｛bn｝是等比数列,Hb2=3,b3=9,ai=bi,ai4=b4.

（1）求｛an｝的通项公式；

（2）设Cn=an+bn,求数列｛品｝的通项公式.

7.（2015・天津•高考真题）已知｛%｝是各项均为正数的等比数列，也｝是等差数列，且4=4=1,

b2+b3=2a3,a5—3b?=7.

（回）求｛见｝和也｝的通项公式；

（回）设％=*，weN,,求数列匕｝的前”项和.

考点04数列通项公式的构造

1.（2024•全国甲卷•高考真题）记S”为数列｛%｝的前“项和，已知4s“=36+4.

⑴求｛%｝的通项公式；

（2）设6.=（-1尸”,求数列也｝的前«项和述.

2.（2024•全国甲卷•高考真题）已知等比数列｛4｝的前〃项和为S,,,且2s.=3%+「3.

⑴求｛%｝的通项公式；

⑵求数列｛5｝的前〃项和.

3.（2023•全国甲卷•高考真题）设S“为数列｛%｝的前〃项和，已知%=L2S“=〃a,.

⑴求｛%｝的通项公式；

⑵求数列，管,的前〃项和7“.

4.（2022•全国甲卷,高考真题）记S“为数列｛。,｝的前〃项和.已知3+"=2%+1.

n

⑴证明：｛见｝是等差数列；

（2）若%，%，。9成等比数列,求S”的最小值.

5.（2022•全国新I卷•高考真题）记5.为数列｛%｝的前〃项和，已知4=1，｝］是公差为（的等

差数列.

⑴求｛见｝的通项公式；

111c

（2）证明：一+—+…+—<2.

axa2an

6.（2021・天津•高考真题）已知｛4｝是公差为2的等差数列，其前8项和为64.也｝是公比大

于0的等比数列,乙=4也-伪=48.

（I）求｛4｝和也｝的通项公式；

（II）记J=8“+（，”eN",

（i）证明花-%｝是等比数列；

（ii）证明孚工<2右（〃N*）

k=l\Ck~C2k

7.（2021•浙江•高考真题）已知数列同｝的前〃项和为S“，且4s）=35“-9.

（1）求数列｛%｝的通项；

（2）设数列也｝满足地+（"4）%=0（〃eN*）,记也｝的前〃项和为】，若2」曲对任意neN*恒

成立，求实数2的取值范围.

8.（2021•全国乙卷•高考真题）记5.为数列加,｝的前〃项和，a为数列｛邑｝的前〃项积，已知

210

--1--=2

s“b"■

（1）证明：数列也｝是等差数列；

（2）求｛%｝的通项公式.

9.（2021•全国•高考真题）记S“为数列｛%｝的前〃项和，已知%>09=30，且数列｛后｝是等差

数列，证明：｛%｝是等差数列.

10.（2020•全国•高考真题）设数列｛加｝满足幻=3,a„+i=3a„-4«.

（1）计算42,a3,猜想｛a〃｝的通项公式并加以证明;

（2）求数列｛2〃。〃｝的前九项和Sn.

11.（2019•全国•高考真题）已知数列｛m｝和｛加｝满足a/=l,bi=0,4a„+1=3an-bn+4,

4%=3bn-an-4.

（1）证明：｛即+而｝是等比数列，｛加-加｝是等差数列；

（2）求｛即｝和｛加｝的通项公式.

12.（2018,全国,高考真题）已知数列｛程｝满足q=1,nan+l=2（n+l）an,设勿吟.

（1）求瓦，％,瓦;

（2）判断数列论,｝是否为等比数列，并说明理由；

（3）求｛%｝的通项公式.

13.（2016•山东•高考真题）已知数列｛%｝的前n项和S”=3九，8〃，圾｝是等差数列，且=2+%.

（回）求数列也｝的通项公式；

（回）令的=务4A求数列匕｝的前n项和心

（么+2）

14.（2016・天津・高考真题）已知｛4｝是各项均为正数的等差数列，公差为d,对任意的〃wN*,b〃

是。“和4+1的等比中项.

（回）设―N*,求证：｛%｝是等差数列;

2nnii

（回）设％="W=X（T）%J,〃eN*,求证：^―<—7.

k=lk=T1k

ii9

15.（2016・天津•高考真题）已知｛可｝是等比数列，前n项和为S/zeN*）,且----=一应=63.

Cly^^2^^3

（回）求｛。“｝的通项公式；

（回）若对任意的〃eN*,么是log.”和log2%M的等差中项，求数列的前2n项和.

16.（2016•全国•高考真题）已知数列｛“的前n项和S产1+阳,其中CHO.

（回）证明｛对｝是等比数列，并求其通项公式；

31

（回）若$5=至，求几.

17.（2016•全国•高考真题）已知各项都为正数的数列｛4｝满足4=1,^-（2a„+1-lH-2a„+1=0.

（回）求生,4;

（回）求｛%｝的通项公式.

18.（2016•全国•高考真题）已知｛4｝是公差为3的等差数列，数列也｝满足

4=1，%=；,anbn+｝+bn+l=nbn.

（I）求｛%｝的通项公式；（E）求也｝的前〃项和.

19.（2015•重庆•高考真题）在数列｛%｝中，o1=3,%+q+X%+|+〃％2=0（〃eN+）

（1）若几=0,〃=-2,求数列｛%｝的通项公式；

（2）若九=：（扁€乂,322）,〃=-1,证明：2+1<<2^^<2+1

/VQD/CQI1ZK。十1

20.（2015•全国•高考真题）S“为数列｛%｝的前"项和.已知““>0,a—.

（回）求｛七｝的通项公式；

（回）设勿=；，求数列｛4｝的前〃项和.

anan+\

考点05数列求和

1.（2024・天津•高考真题）已知数列｛%｝是公比大于0的等比数列.其前"项和为若

%=1,S2=Q3—]•

⑴求数列小｝前〃项和S.；

、I[k,n=a,

⑵设"=/，丘N*42.

也_i+2左,4<“<见+]

（回）当*2,〃=%]时，求证：bn-lak'bn；

S„

（回）求

2i=l.

2.（2024•全国甲卷,高考真题）记S“为数列｛见｝的前〃项和，已知4S.=3%+4.

⑴求｛。“｝的通项公式；

（2）设2=㈠严隗，求数列也｝的前〃项和7“.

3.（2024•全国甲卷•高考真题）已知等比数列也｝的前〃项和为S“，且2s“=3%+「3.

⑴求｛%｝的通项公式；

⑵求数列｛5｝的前〃项和.

4.（2023,全国甲卷•高考真题）设5“为数列｛4｝的前〃项和，已知电=1，2'=叫一

⑴求｛%｝的通项公式；

⑵求数列.筌，的前〃项和J

5.（2023•全国新H卷•高考真题）已知｛《｝为等差数列，"=]；"一6:总数，记加I分别为数

[2〃〃,〃为偶数

歹U®｝,也｝的前〃项和，邑=32,T3=16.

⑴求｛%｝的通项公式；

（2）证明:当〃>5时，Tn>Sn.

6.（2022•天津•高考真题）设也｝是等差数列，也｝是等比数列，且4=仿=出也=6心=1.

⑴求｛玛｝与圾｝的通项公式；

⑵设｛%｝的前n项和为S",求证：（Sn+l+an+i）bn=Sn+lbn+1-Snbn；

2n

⑶求£[%+i—（T）%M.

k=T

7.（2020・天津•高考真题）已知同｝为等差数列，也｝为等比数列，

q=bx=1,<75=5（%—%），4=4（d—4）.

（回）求｛%｝和也｝的通项公式；

（回）记｛%｝的前〃项和为S“，求证：S£+2<S：//eN*）；

色匚也，〃为奇数，

（回）对任意的正整数"，设c,="同+2求数列匕｝的前2〃项和.

也，”为偶数.

1加

8.（2020,全国•高考真题）设数列｛劭｝满足幻=3,an+l=3a„-4«.

（1）计算。2,123,猜想｛加｝的通项公式并加以证明；

（2）求数列｛2〃加｝的前〃项和S”.

9.（2020•全国・图考真题）设｛%｝是公比不为1的等比数列,%为。2,%的等差中项.

（1）求｛““｝的公比；

（2）若q=1,求数列｛“叫的前〃项和.

10.（2019・天津•高考真题）设｛4｝是等差数列，也｝是等比数列，公比大于0,已知q=4=3,

b2=a3,b3-4a2+3.

（回）求｛%｝和也｝的通项公式；

1,〃为奇数，

（回）设数列｛%｝满足C"=""〃为偶数，求2c2+--+。2后“pieN*）.

、2

1L（2019・天津•高考真题）设｛““｝是等差数列，也｝是等比数列.已知

ciy—4,4=6,b?=2ci?—2,Z?3—2〃3+4.

（回）求｛%｝和｛2｝的通项公式；

（回）设数列｛%｝满足G=l，g=[其中0N*.

（i）求数列｛%七-项的通项公式;

（ii）求£%0（”eN）

i=l

12.（2018・天津•高考真题）设｛即｝是等差数列，其前〃项和为S〃（砸N*）；｛加｝是等比数列,

公比大于0,其前九项和为乃z（〃回N*）.已知力=1,加=岳+2,b4=Q3+as,bs=a4+2a6.

（0）求S〃和Tn；

（回）若+（Ti+T2+...+Tn）=an+^bn,求正整数〃的值.

13.（2017・天津•高考真题）已知｛%｝为等差数列,前〃项和为S“（〃eN*）,依｝是首项为2的等

比数列，且公比大于0,

b2+b3=12也=4-2%,Su=1电.

（回）求｛“"｝和电｝的通项公式；

（回）求数歹U｛出也｝的前〃项和（〃eN*）.

14.（2017•山东•高考真题）已知｛an｝是各项均为正数的等比数列，且％+g=6,W2=4.

（I）求数列｛an｝通项公式；

（ll）｛bn｝为各项非零的等差数列，其前n项和Sn,已知邑向=22+1,求数列的前n项和

15.（2016•浙江•高考真题）设数列｛%｝的前〃项和为S..已知邑=4,%=2S,+1,〃cN*.

（回）求通项公式。.；

（回）求数列-2|｝的前〃项和.

16.（2016・山东・高考真题）已知数列｛外｝的前门项和邑=3“2+8”，也｝是等差数列，且

（回）求数列圾｝的通项公式；

（0）令1=生卑.求数列｛%｝的前n项和心

3〃+2）

112

17.（2016・天津•高考真题）已知｛%｝是等比数列，前n项和为S/eN*）,且7-丁=丁，4=63.

CT]Cfq

（回）求｛4｝的通项公式;

（回）若对任意的〃eN*,么是1吗%和1唯心的等差中项，求数列｛（T）%/｝的前2n项和.

18.（2016•北京・高考真题）已知同｝是等差数列，｛bj是等比数列，且b2=3,b3=9,ai=bi，ai4=b4.

（1）求｛aj的通项公式；

（2）设Cn=an+bn,求数列｛品｝的通项公式.

19.（2015•浙江•高考真题）已知数列｛4｝和也｝满足，卬=2,仿=L*=2%（"eN*）,

4+…+=2+「l，weN*.

23n

（1）求。“与切；

（2）记数列加/”｝的前“项和为求1.

20.（2015•全国•高考真题）S“为数列｛%｝的前〃项和.已知%>0,4+24=4s“+3.

（回）求｛七｝的通项公式；

（回）设d=三~，求数列｛2｝的前〃项和.

anan+\

21.（2015・天津•高考真题）已知｛q｝是各项均为正数的等比数列，出｝是等差数列，且4=仿=1,

b2+b3=2a3,a5—3b2=7,

（国）求｛见｝和也｝的通项公式；

（回）设的=。也，neN,,求数列匕｝的前”项和.

22.（2015・天津•高考真题）已知数列｛“满足4+2=%（4为实数，且#1），〃wN*,%=l,%=2,且

。2+“3,/+。4M4+生成等差数列.

（回）求q的值和｛2｝的通项公式；

（回）设£=竽％,〃eN*,求数列也｝的前，，项和.

a2n-l

23.（2015•山东•高考真题）已知数列｛见｝是首项为正数的等差数列，数列［了\］的前〃项和

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）设2=（%+1）2”，求数列出｝的前〃项和却

24.（2015•山东•高考真题）设数列｛4｝的前〃项和为力已知2=3"+3.

（回）求｛%｝的通项公式；

（回）若数列间满足。也=啕°“，求也｝的前〃项和r”.

25.（2015・湖北•高考真题）设等差数列应｝的公差为d,前"项和为S”,等比数列也｝的公比为

Q.已知b、=a、,b2=2,q=d,S,0=100.

26.（2015・安徽•高考真题）已知数列a｝是递增的等比数列，且4+&=9,。必=8.

（回）求数列｛%｝的通项公式；

（回）设S,为数列｛4｝的前n项和，么=导，求数列｛〃｝的前n项和

考点06数列中的不等式、最值及范围问题

1.（2023•全国新H卷•高考真题）已知｛%｝为等差数列，"=［：,一6:总数，记S.，r”分别为数

为偶数

列｛4｝，也｝的前〃项和，邑=32,『16.

⑴求｛%｝的通项公式；

（2）证明:当〃>5时，Tn>S„.

2.（2022•全国新I卷•高考真题）记S“为数列｛%｝的前〃项和，已知％=1,1｝］是公差为;的等

差数列.

⑴求的通项公式；

、十r111c

（2）证明：一+—+…+—<2.

axa2an

3.（2021•浙江•高考真题）已知数列｛〃“｝的前"项和为S“，且4sm=35“-9.

（1）求数列｛玛｝的通项；

（2）设数列M｝满足地+（-4）a“=0（〃eN*）,记间的前〃项和为A,若20%对任意"eN*恒

成立，求实数几的取值范围.

4.（2021•全国乙卷高考真题）设｛%｝是首项为1的等比数列，数列也｝满足或=詈.已知％,

3%,9%成等差数列.

（1）求｛4｝和也｝的通项公式;

C

（2）记S“和（分别为｛%｝和也｝的前〃项和.证明：Tn<^.

b

5.（2020・浙江,高考真题）已知数列｛an｝,｛bn｝,｛cn｝中,al=bi=c1=l,cn=a„,c„+1=c„（neN）.

D〃+2

（回）若数列｛bn｝为等比数列，且公比q>。，且4+凡=64，求q与｛an｝的通项公式；

（回）若数列｛加｝为等差数列，且公差〃>0,证明：cl+c2+.：+c„<l+j.（«6^）

6.（2019•浙江•高考真题）设等差数列的前〃项和为S“，/=4,%=邑，数列也｝满足：对

每〃eN*£+4，S用+%Sm+"成等比数列.

（1）求数列｛叫，电｝的通项公式；

（2）记C“=J察,neN*,证明：Ct+C2+•••+C<2-Jn,??eN,.

7.（2017•北京・高考真题）已知等差数列｛%｝和等比数列也｝满足。1=也=1,。2+。4=10力2b4=。5.

（回）求｛4｝的通项公式;

（回）求和：4+4+求+…+砥-1.

8.（2016•浙江•高考真题）设数列｛4｝满足neN*.

（回）证明：同221同-2）,“eN*；

（回）若㈤，〃cN*,证明：⑷。，weN,.

9.（2016・天津•高考真题）已知也｝是各项均为正数的等差数列，公差为d,对任意的〃eN*,b“

是。”和%+1的等比中项.

（回）设c“=%*“N*,求证：｛%｝是等差数列；

2n11

（回）设q=d,7；=X（T）%2，〃eN"，求证：^—<—7.

k=lk=\1k

10.（2015•重庆•高考真题）在数列｛4｝中，«1=3,an+ian+Aan+l+^a；=0（ne?7+）

（1）若2=0,〃=-2,求数列｛4｝的通项公式；

\11

（2）若％=/（3”,322）,〃=-1,证明：2+——-<^+1<2+——■

/VQ3Ko十J-乙KgI1

11.（2015・浙江・高考真题）已知数列｛氏｝满足%=|■且《+产”"-片（〃©"*）.

（1）证明：1<—

an+\

1s1

（2）设数列｛明的前，:项和为S“，证明彳（”N*）.

12.（2015・四川•高考真题）设数列｛%｝的前〃项和S.=2%-且4。+1吗成等差数列.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）记数列前〃项和1,求使|[-1|<焉成立的〃的最小值.

[an]1000

13.（2015•上海•高考真题）已知数列｛g｝与也｝满足%+i-%=2（%-％）,〃wN*.

（1）若a=3〃+5,且4=1,求数列加“｝的通项公式；

（2）设｛%｝的第％项是最大项，即4>4（zieN*）,求证：数列也｝的第传项是最大项；

（3）设％=2<0,（〃eN*）,求彳的取值范围，使得｛6｝有最大值M与最小值优，且

—e（-2,2）.

m

14.（2015・安徽•高考真题）设〃eN*,当是曲线y=直吹+1在点Q2）处的切线与x轴交点的横坐

标.

（回）求数列｛%｝的通项公式;

（回）记，=尤;考…名T,证明

考点07数列与其他知识点的关联问题

1.（2024•上海・高考真题）若/（x）=log“x（a>0,"l）.

（1）尸/口）过（4,2）,求的解集；

⑵存在x使得〃x+l）、〃6）、〃x+2）成等差数列，求。的取值范围.

2.（2024•全国新H卷•高考真题）已知双曲线C：x?-9=〃7（m>0）,点片（5,4）在C上，上为常数，

0<^<1.按照如下方式依次构造点Pn（n=2,