视图与投影综合题拓展训练（5考点40题）解析版-2024-2025学年人教版九年级数学下册

视图与投影综合题拓展训练（5考点40题）

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考点一、几何体表面积（体积）的计算............................................2

考点二、组成几何题的小立方体..................................................11

考点三、中心投影的综合应用....................................................25

考点四、平行投影的综合应用....................................................40

考点五、盲区的综合应用........................................................51

考点一、几何体表面积（体积）的计算

1.左图是我国古代南北朝时期独孤信的印章，其俯视图如右图所示，该印章有条棱，若棱长

均为1、则表面积等于__________.

【答案】4818+2石

【分析】本题考查了组合几何体的三视图，根据俯视图可以得出，从上往下看、从下往上看以及中间一圈

对应的棱，已经对应的图形，结合等边三角形的性质即可求解.

【详解】解：从上往下看共有20条棱，从下往上看也有20条棱，中间一圈还有8条棱，

故共有：20+20+8=48条棱；

从上往下看，几何体有5个正方形和4个正三角形，

从下往上看，几何体有5个正方形和4个正三角形，

中间一圈还有8个正方形，

故该几何体由18个正方形和8个正三角形围成，

棱长均为1的正方形的面积为1,

如图：A48c是正三角形，AB=AC=BC=1,AELBC,

A

：.AE=y/AB2-BE2=

棱长均为1的正三角形的面积为Lxlx"="

224

故几何体的表面积为18xl+8x3=18+2退.

4

故答案为：48；18+2省.

2.如图为一机器零件的三视图，它的俯视图为正三角形，根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的表面积

是.（结果保留根号）

【分析】根据三视图可得机器零件为正三棱柱，三棱柱的上下底是高为46的等边三角形，三棱柱高为4,

求出等边三角形边长，求出表面积即可.

【详解】解：由三视图得机器零件为正三棱柱，

作CDLAB于D,

：△NBC是正三角形，

CD

在Rtz\BCD中，BC=-----=8

sin/B

••§表面积=2S底而积+=2x—x8x4A/3+3X8X4=3273+96.

故答案为：32省+96

【点睛】本题考查了根据三视图还原几何体，并求其表面积.根据三视图得到几何体是正三棱柱，并根据

三视图原贝产长对正，高平齐，宽相等”确定相关数据时解题关键.

3.如图所示是一种棱长分别为3cm,4cm,6cm的长方体积木，现要用若干块这样的积木来搭建大长方体:

如果用3块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是—cm2,

如果用4块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是—cm2,

如果用24块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是—cm2.

【答案】228264912

【分析】如果用3块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是长3'3=9cm,宽4cm,高6cm的长方体的表

面积，根据长方体的表面积公式即可求解；

如果用4块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是长4x2=8cm,宽3x2=6cm,高6cm的长方体的表面积,

根据长方体的表面积公式即可求解；

如果用24块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是长6x2=12cm,宽4x2=8cm,高3x6=18cm的长方体

的表面积，根据长方体的表面积公式即可求解.

【详解】解：长3*3=9cm,宽4cm,高6cm,

(9x4+9x6+4x6)x2

=(36+54+24)x2

=114x2

=228(cm2).

答：如果用3块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是228cm2.

长4x2=8cm,宽3x2=6cm,高6cm,

(8*6+8*6+6乂6)x2

=(48+48+36)x2

=132x2

=264(cm2).

答：如果用4块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是264cm2.

长6x2=12cm,宽4x2=8cm,高3x6=18cm,

(12x8+18x8+12x18)乂2

=(96+144+216)x2

=456x2

=912(cm2).

答:如果用24块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是912cm2.

故答案为:228；264；912.

【点睛】考查了几何体的表面积，关键是熟练掌握长方体的表面积公式，难点是得到搭成的大长方体的长

宽高.

4.(1)一个由小正方体摆成的几何体，无论从正面，还是从左面都可以看到如图所示的图形，那么，最多

可以用_个小正方体，最少可以用一个小正方体.

(2)一个正方体截去一角后，剩下的几何体有一条棱，_个面，一个顶点.(说明：截去部分的边长都不超过

正方体的边长.)

(3)如图1,一个边长为2大正方体上截去一个小正方体后，可得到图2的几何体.

①所得几何体的表面积为

②如果图1中大正方体各棱的长度之和比图2中几何体各棱的长度之和少3,那么，所得几何体的体积是

【答案】(1)13,5；(2)15,7,10；(3)①24；②三

O

【分析】本题主要考查了三视图、认识几何体等知识，熟练掌握相关知识是解题关键.

(1)观察图形，可知该几何体是三行三列两层，其中中间一列、一行都是一层；要使摆成几何体的小正方

体最少，则第一层最少3个小正方体，第二层最少2个：要使摆成几何体的小正方体最多，则第一层最多9

个小正方体，第二层最多4个，据此即可获得答案；

（2）一个正方体截去一角后，剩下的几何体增加1个面、3条棱和2个顶点，据此即可获得答案；

（3）①②结合图形可知，图2中几何体的各棱的长度之和比图1中几何体的各棱的长度之和多出6条小正

方体的棱长的和，进而求得被截去的小正方体的棱长，然后利用大正方体的体积减去小正方体的体积，即

可获得答案.

【详解】解：（1）分别画出最多和最少正方体时从上面看到的形状图，如图所示（其中小正方形中的数字

代表该位置上的小正方体的数目），

由所画的图形可以作出判断，

最多可以用2x4+1x5=13（块），最少可以用2x2+l=5（块）.

故答案为：13,5；

（2）一个正方体截去一角后，剩下的几何体有15条棱，7个面，10个顶点.

故答案为：15,7,10；

（3）①一个边长为2大正方体上截去一个小正方体后，可得到图2的几何体，

所得几何体的表面积与原几何体的表面积相同，

所以，此时所得几何体的表面积为：2x2x6=24；

②结合图形可知，图2中几何体的各棱的长度之和比图1中几何体的各棱的长度之和多出6条小正方体的

棱长的和，

则被截去的小正方体的棱长为3+6=；,

所以，所得几何体的体积是2X2X2-：X：X:=^.

故答案为：①24；②方.

o

5.由若干个棱长为1c机的小正方体构成的几何体，无论从正面看还是从左面看，得到的视图都如图所

（1）该几何体最多有个小正方体，最少有个小正方体;

（2）按实际的大小，用直尺画出正方体个数最少的一种俯视图，并标出每个位置小正方体的个数.

【答案】（1）13,5；（2）画图见解析

【分析】（1）结合题意，根据立方体三视图的性质，通过空间想象，即可得到答案；

（2）根据（1）的结论，画出俯视图，并标出每个位置小正方体的个数，即可完成解题.

【详解】（1）结合题意，这个几何体最多有13个小正方体，其中下层有9个小正方体，上层有4个正方体;

最少有5个小正方体，其中下层有3个小正方体，上层有2个正方体；

故答案为：13,5；

（2）俯视图如图所示:

【点睛】本题考查了三视图的知识；解题的关键是熟练掌握利用三视图的性质判断小正方体的个数，从而

完成求解.

6.用棱长为2cm的若干小正方体按如所示的规律在地面上搭建若干个几何体.图中每个几何体自上而下分

别叫第一层、第二层，…，第〃层（”为正整数）

从正面看从正面看从正面看

①②③

（1）搭建第④个几何体的小立方体的个数为

（2）分别求出第②、③个几何体的所有露出部分（不含底面）的面积.

（3）为了美观，若将几何体的露出部分都涂上油漆（不含底面），已知喷涂1c疗需要油漆0.2克，求喷涂第

20个几何体，共需要多少克油漆？

【答案】（1）30；（2）第②个几何体露出部分（不含底面）面积为64c加2,第③个几何体露出部分（不含

底面）面积为132c为;（3）992克.

【分析】（1）归纳出前3个几何体的规律即可得；

（2）分别画出两个几何体的三视图，再根据四个侧面和向上的面的小正方形的个数即可得；

（3）先根据（1）的方法得出第20个几何体每一层小立方体的个数，再根据（2）的方法得出第20个几何

体的所有露出部分(不含底面)的面积，然后乘以0.2即可得.

【详解】(1)搭建第①个几何体的小立方体的个数为1,

搭建第②个几何体的小立方体的个数为1+4=1+2?,

搭建第③个几何体的小立方体的个数为1+4+9=1+22+32,

归纳类推得：搭建第④个几何体的小立方体的个数为1+2?+3?+4?=1+4+9+16=30,

故答案为：30；

则第②个几何体的所有露出部分(不含底面)面积为(3X2+3X2+4)X4=64("?)；

第③个几何体的三视图如下：

则第③个几何体的所有露出部分(不含底面)面积为(6X2+6X2+9)X4=132("?)；

(3)第20个几何体从第1层到第20层小立方体的个数依次为1,22,…,202,

则第20个几何体的所有露出部分(不含底面)面积为

[2x(l+2+---+20)+2x(l+2+---+20)+202]x4=4960(cm2),

因此，共需要油漆的克数为4960x0.2=992(克)，

答：共需要992克油漆.

【点睛】本题考查了三视图、几何体的表面积、图形变化的规律型问题，依据题意，正确归纳类推出规律

是解题关键.

7.小明是魔方爱好者，他擅长玩各种魔方，从二阶魔方到九阶魔方，他都能成功复原.有一天，小明突然

想到一个问题，在九阶魔方中，到底含有多少个长方体呢？为此，我们先来解决这样一个数学问题：如图，

图1是一个长、宽、高分别为a,b,c（近2,b>2,c>2,且a,b,c是正整数）的长方体，被分成了a^b^c

个棱长为1的小立方体.这个几何体中一共包含多少个长方体（包括正方体）？（参考公式：1+2+3…+"

问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得

出一般性的结论.

探究一：如图2,该几何体有1个小立方体组成，显然，该几何体共有1个长方体.如图3,该几何体有2

个小立方体组成，那么它一共包含1+2=3个长方体.如图4,该几何体有3个小立方体组成，那么它一共

包含个长方体.如图5,该几何体-共包含210个长方体，那么该几何体共有个小立方体组成.

探究二：如图6,该几何体有4个小立方体组成，那么它一共包含（1+2）x（1+2）=9个长方体.如图7,

该几何体有6个小立方体组成，那么它一共包含个长方体.如图8,该几何体共有2加个小立方体组

成，那么该几何体一共有个长方体.

探究三：如图1,该几何体共有个。义分。小立方体组成，那么该几何体共有个长方体.

探究四：我们现在可以解决小明开始的问题了.在九阶魔方（即。=b=c=9）中，含有个长方体.

探究五：聪明的小明在学习了三种视图后，又提出一个新的问题：在图1中，若。=6,6=4,c=5,如果

拿走一些小立方体后，剩下几何体的三种视图与原图1的三种视图完全一样，那么最多可以拿走个小

立方体；此时，剩下的几何体的表面积是.

【答案】探究一：6,20；探究二：18；探究三：四（"1）（"1）（0+1）；探究四：91125；探究五：72,

8

124或142或158或164

【分析】探究一：先输出图4的长方体个数，然后得出规律有〃小正方体组成的几何体有山辿个长方体，

2

由此求解即可；

探究二：由探究一可知图6中长一共有1+2=3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，那么它一共包

含（1+2）x（1+2）xl=9个长方体，图7中长一共有1+2+3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段,

图7中它一共包含（1+2+3）x（1+2）xl=18个长方体，

探究三：该几何体共有个。x6xc小立方体组成，该几何体有长有幽土D条线段，宽有处±11条线段，宽

22

有运土D条线段，由此求解即可；

2

探究四：由探究三可知，在九阶魔方（即。=6=c=9）中，含有9x9x9（9+1）（9+1）（9+1）=91125个长方

8

体；

探究五：拿走前后的三视图需要一样，只需要保留三视图三个面的几何体图形一样即可如图所示求解即

可.保留底层24个正方体不变，再将每4个一组共6组正方体的摆放顺序进行变化，分类讨论即可.

【详解】解：探究一：由题意得图4一共有：1+2+3=6个长方体，

•••有1个小正方体组成的几何体有子=1个长方体，有2个小正方体组成的几何体有年=3个长方体，

有3个小正方体组成的几何体有寸=6个长方体……

.••可以得出规律有“小正方体组成的几何体有业士D个长方体，

2

n（n+l）,

——^=210,即/+〃一420=0,

2

解得〃=20或〃=-21（舍去），

故答案为：6,20；

探究二：图6中长一共有1+2=3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，

.•.那么它一共包含（1+2）x（1+2）xl=9个长方体，

图7中长一共有1+2+3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，

.•.图7中它一共包含（1+2+3）x（1+2）xl=18个长方体，

故答案为：18；

探究三：:该几何体共有个axbxc小立方体组成，

.♦•该几何体有长有幽土D条线段，宽有4D条线段，宽有尘土D条线段，

222

・图]中一廿包含+="，。（-+1）（，+1）（。+1）个长方体

222-8'

故答案为：族（。+1）他+1）（。+1）;

8

探究四：由探究三可知，在九阶魔方（即a=6=c=9）中，含有9x9x9（9+.（9+l）（9+l）=9H25个长方

8

体；

探究五：•••拿走前后的三视图需要一样,

•♦•只需要保留三视图三个面的几何体图形一样即可，如图小方格内的数字表示此处一共有多少个小正方体,

此时一共有48个小正方体，即为所求，

.,.一共最多可以拿走6x5x4-48=72个小正方体，

①当剩下正方体按如下俯视图摆放时，

111111

111111

111111

555555

表面积为:6x5x2+(3+5)><2+6x4x2=124

②当正方体如图摆放时，

111111

111111

151111

515555

相对于①，此时面积增加16,表面积为124+16=142

③同理，当正方体如图摆放时，

111111

111111

151511

515155

相对于①，此时面积增加32,表面积为124+32=158

④当正方体如图摆放时，

111111

111111

151515

515151

相对于①，此时面积增加40,表面积为124+40=164

故答案为：124或142或158或164

【点睛】本题主要考查了图形类的规律，几何体的表面积等等，解题的关键在于能够准确读懂题意.

8.如图，一透明的敞口正方体容器/BCD—4夕。)中装有一些液体，棱N8始终在水平桌面上，容器底部

的倾斜角为a(/C8£=a).

探究：如图①，液面刚好过棱CD,并与棱交于点Q,此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如

图②所示.

解决问题:

(1)C0与BE的位置关系是,BQ的长是dm；

(2)求液体的体积(提示：P破=5屎。乂高4B)；

33

(3)求液面到桌面的高度和倾斜角a的度数rsin37°«-,tan370=->.

【答案】⑴平行，3

3

(2)K<=24(dm).

(3)a~37°.

【详解】试题分析：(1)根据水面与水平面平行可以得到C0、BE的位置关系，利用勾股定理结合三视图即

可求得2。的长.

(2)液体正好是一个以△BCQ为底面的直棱柱，据此即可求得液体的体积.

⑶在RtaBC。中易得/8c0的正切值，结合已知即可求解.

试题解析：(1)平行，3.

(2)/.=1x3x4x4=24(dm3).

(3)过点3作AFLC。，垂足为尸.

111212

•；S0CQ=}*3x4=石x5xBF,：.BF=—dm,...液面到桌面的高度是飞"dm.

\•在RtZiBC。中，tanZ5C0=^=|,:./BCQ^T.

由(1)可知C0〃8E,；.a=ZBCQ=37°.

点睛：本题主要考查三视图、棱柱的体积以及三角函数等知识，熟练掌握并灵活运用这些知识是解题的关

考点二、组成几何题的小立方体

9.如图，某几何体的主视图和它的左视图，则搭建这样的几何体最少需要的小正方体为()

主视图左视图

A.4个B.5个C.6个D.7个

【答案】A

【分析】根据主视图和左视图分析即可.

【详解】解：•••主视图有4个小正方体组成，左视图有3个小正方体组成，

，几何体的底层最少3个小正方体，第二层最少有1个小正方体，

因此组成这个几何体的小正方体的个数为1+3=4个，

故选：A.

【点睛】本题考查由几何体判断三视图，考查了对三视图的熟练掌握程度，也体现了对空间想象能力的考

查，解题的关键是掌握“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就容易得到答案.

10.如图，用棱长为1的27个小正方体堆成一个棱长为3的正方体，它的主视图、俯视图、左视图均为一

个3x3的正方形.现从中拿走若干个小正方体，但不改变图形的三视图，那么最多能拿走个

小正方体.

【答案】12

【分析】考查组合几何体的三视图知识；主视图，左视图，俯视图分别是从几何体的正面，左面，上面看

得到的平面图形.

【详解】解：如图，方格中的数字表示该处的小正方体个数，27-15=12.

故答案为：12.

11.用若干大小相同的小立方块搭一个几何体，使得从左面和从上面看到的这个几何体的形状图如图所

示.请从A,B两题中任选一题作答.我选择题.答案是

B.根据所给的两个形状图，要画出从正面看到的形状图，最多能画出种不同的图形.

【答案】67

【分析】选择A：从左视图和俯视图出发确定每一列或每一层正方体最少的个数即可得到答案;

选择B：将不同的搭建方式，从不同的俯视图看到的图形标注出来，据此求解即可.

【详解】解：选择A：从左面看，左边第1列最少有1个小正方体，中间一列最少有1个小正方体，最右

边一列最少有2个小正方形，

从上面看，最上面一层，最少有1个小正方体，中间一层最少有一个小正方体，最下面一层最少有3个正

方体，最多有6个小正方体,

，搭成该几何体的小立方块最少有6个小正方体，最多有8个小正方体;

故答案为：6；

选择B：将不同的搭建方式，从不同的俯视图看到的图形上标注如下:

第弼伙上面石'第6种从上面行新种从上面看

，一共可以画7种不同的图形,

故答案为：7.

【点睛】本题主要考查了小正方体组成的几何体的三视图，正确理解题意读懂三视图是解题的关键.

12.如图1,是一个由53个大小相同的小正方体堆成的立体图形，从正面观察这个立体图形得到的平面图

形如图2所示.

(1)请在图3、图4中依次画出从左面、上面观察这个立体图形得到的平面图形

（2）保持这个立体图形中最底层的小正方体不动，从其余部分中取走k个小正方体，得到一个新的立体图

形.如果依次从正面、左面、上面观察新的立体图形，所得到的平面图形分别与图2、图3、图4是一样的,

那么k的最大值为

【答案】（1）见解析；（2）16

【分析】（1）从左面看共4列,从左向右依次为5,5,3,2个小正方形,从上面看共6列,从左向右依次为4,4,4,3,2,1

个小正方形；

（2）由已知条件从主视图的列数与俯视图的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字

中的最大数字，左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字

中的最大数字，据此即可求解.

【详解】（1）如图：

图3（从左面看）

图4（从上面行）

（2）k的最大值为：4+5+3+3+1=16,

故答案为：16.

【点睛】此题考查几何体的三视图，能正确理解三视图的对应的关系，确定每列中的最大个数是解题的关

键.

13.用6个相同的小正方体摆成如图所示的几何体.

(1)画出该几何体从正面、左面和上面看到的形状图；

(2)如果每个小正方体棱长为1,则该几何体的表面积是一；

(3)在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，如果从左面和从上面看到的形状图不变，那么最多可以再

添加个小正方体.

【答案】(1)见解析

(2)26

(3)2

【分析】(1)根据三视图的概念作图即可得；

(2)三视图面积相加后乘以2,再加上中间凹进去部分左右两侧2个面的面积即可；

(3)保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再在后面一行第1和2列各添加1个小正方体.

【详解】(1)解：该几何体的三视图如下：

(2)解：该几何体的表面积为2x(4+3+5)+2=26,

故答案为：26；

(3)解：保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再在后面一行第1和2列各添加1个小正

方体，

故答案为：2.

【点睛】本题考查了几何体的三视图，理解三视图的概念是解题的关键.

14.用若干大小相同的小正方体搭一个几何体，使得从正面和从上面看到的这个几何体的形状如图所示完

成下列问题：

(1)搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体最多需要一个小正方体，请在网格中画出用最多小正方体

搭成的几何体的左视图；

(2)搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体最少需要一个小正方体，用最少小正方体搭成的几何体共

有一种不同形状.

(3)用8块小正方体搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体一共有多少种不同形状？

【答案】⑴10,图见解析

(2)7,6

(3)9

【分析】(1)在俯视图中，写出最多时，小正方体的个数，可得结论；

(2)利用俯视图，结合主视图的特征，解决问题即可；

(3)根据题意判断即可.

【详解】(1)解：搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体最多需要：2+2+2+2+2=10(个)，左视图如

图所示.

故答案为：10；

(2)搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体最少需要3个小正方体，用最少小正方体搭成的几何体共

有6种不同形状.

故答案为:7,6；

主视图俯视图

（3）:从俯视图可知下层有5块小正方体，

.♦•上层有3个小正方体，

当右侧放2个小正方体时，有3种形状，

当右侧放1块小正方体时，有2x3=6种形状，

.♦.用8块小正方体搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体一共有9种不同形状.

【点睛】本题考查由三视图判断几何体，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型.

15.（1）一个几何体由一些大小相同的小正方体搭成，如图是从上面看这个几何体的形状图，小正方形中

的数字表示在该位置的小正方体的个数，请在网格中画出从正面和左面看到的几何体的形状图.

从上面看从正面看从左面看

（2）用小立方块搭一几何体，使它从正面看，从左面看，从上面看得到的图形如图所示.请在从上面看到

的图形的小正方形中填入相应的数字，使得小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数.其中，图1

填入的数字表示最多组成该几何体的小立方块的个数，图2填入的数字表示最少组成该几何体的小立方块

的个数.

图1图2

从正面看从左面看从上面看

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）根据俯视图中小正方体的个数结合主视图，主视图是从前面向后看得到的图形，从正面看分

左中右三列，左边列有2个正方形，中间列有3个正方形，右边列有4个正方形画出图形，根据俯视图中

小正方体的个数结合左视图，左视图是从左边向右看得到的图形，从左边看分左中右三列，左边列1个正

方形，中间列4个正方形，右边列2个正方形画出图形即可；

(2)根据俯视图的图形两行三列，中间列一行，从正面看分左中右三例，左边列3个正方形，中间列1个

正方形，右边列2个正方形，从左面看，分两行，前行后行，前行2个正方形，后行3个正方形，左列前

行可以是1个正方体或2个正方体，左列后行3个正方体，中间列只有前行1个正方体，右边列前行2个

正方体，右边列后行可以1个或2个正方体，最多10个正方体如图1,最少8个正方体如图2在俯视图中

标出个数即可.

【详解】解：(1)从正面看分左中右三列，左边列有2个正方形，中间列有3个正方形，右边列有4个正

方形，如图

从左边看分左中右三列，左边列1个正方形，中间列4个正方形，右边列2个正方形，

如图所示：

从正面看从左面看

(2)从正面看分左中右三例，左边列3个正方形，中间列1个正方形，右边列2个正方形，

从左面看，分两行，前行后行，前行2个正方形，后行3个正方形，

左列前行可以是1个正方体或两个正方体，，左列后行3个正方体，中间列只有前行1个正方体，右边列前

行2个正方体，后列可以1个或2个正方体，最多10个正方体如图1,最少8个正方体如图2.

根据题意，填图如下：

图1图2

从上面看

【点睛】本题考查根据俯视图画主视图与左视图，根据主视图与左视图确定组成图形的正方体的个数，从

立体图形到平面图形的转化三视图，由平面图形三视图到立体图形还原几何体空间想象能力，本题难度较

大，培养空间想象力，掌握相关知识是解题关键.

16.在平整的地面上，由若干个完全相同的棱长为10cm的小正方体堆成一个几何体，如图①所示.

(1)请你在方格纸中分别画出这个几何体的主视图和左视图；

(2)若现在手头还有一些相同的小正方体，如果保持这个几何体的主视图和俯视图不变，

I.在图①所示几何体上最多可以添加一个小正方体；

n.在图①所示几何体上最多可以拿走_个小正方体；

in.在题n的情况下，把这个几何体放置在墙角，使得几何体的左面和后面靠墙，其俯视图如图②所示，若给

该几何体露在外面的面喷上红漆，则需要喷漆的面积最少是多少平方厘米？

【答案】（1）见解析；（2）1.2个小正方体；H.2个小正方体；HL1900平方厘米.

【分析】（1）根据几何体可知主视图为3歹!],第一列是三个小正方形，第二列是1个小正方形，第三列是2

个小正方形；左视图是三列，第一列是3个正方形，第二列是3个正方形，第三列是1个正方形；

（2）I.可在正面第一列的最前面添加2个小正方体，

故答案为：2

IL可以拿走最左侧第2排两个，也可以拿走最左侧3排两个，

故答案为：2

III.若拿走最左侧第2排两个，能喷漆的面有19个，若拿走最左侧第3排两个，能喷漆的面有21个，根据

面积公式计算即可.

【详解】⑴画图

主视图左视图

（2）1.可在正面第一列的最前面添加2个小正方体；

II,可以拿走最左侧第2排两个，也可以拿走最左侧3排两个；

2个小正方体；

III.若拿走最左侧第2排两个，喷涂面积为19x102=1900平方厘米；

若拿走最左侧第3排两个，喷涂面积为21x102=2100平方厘米；

综上所述，需要喷漆的面积最少是1900平方厘米.

【点睛】此题考查几何体的三视图，能正确观察几何体得到不同方位的视图是解题的关键，根据三视图对

应添加或是减少时注意保证某些视图的正确性，需具有很好的空间想象能力.

17.如图是一些棱长为1cm的小立方块组成的几何体.

(1)请画出从正面看，从左面看，从上面看到的这个几何体的形状图.

(2)该几何体的表面积是_c加.

(3)如果把它拼成一个无空隙的正方体，则至少还需要同样的小立方块—块.

(4)如果保持从正面和上面看到的形状不变，最多可以再添加一个小立方块.

【答案】(1)如图所示，见解析；(2)该几何体的表面积是34cm2；(3)还需要19块；(4)最多可以再添

加3个小立方块.

【分析】(1)分别画出该几何体的三视图即可；(2)由三视图得到的正方形个数乘以2,即可得到表面积；

(3)拼成无空隙正方体至少棱长为3,总共27个小正方体，减掉目前8个小正方体，即可得出结果；(4)

以主视图和俯视图不变的原则进行添加，可得到结果.

(2)该几何体的表面积是：6x2+6x2+5x2=34(cw2)；故答为:34；

(3)最少可以拼成一个棱长为3的正方体.故还需要27-8=19块.

(4)保持主视图和俯视图不变，主视图看列，左列最高处有3个小立方块，中列最高处有1个小立方

块，右列最高处有2个小立方块，所以左列最多为“3+3”，中列最多为力”，右列最多为“2+2”，总共最多

为6+1+4=11个小立方块，现在有8个，所以最多可以再添加3个小立方块.

【点睛】本题考查小立方块组成的几何体的三视图画法，从不同方向观察几何体作图，锻炼了空间想象力和

抽象思维能力.

18.用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状如下图所示，从上面看到形状中小正方形中

的字母表示在该位置上小立方块的个数，请问：

(1)俯视图中b=,a=.

(2)这个几何体最少由个小立方块搭成.

(3)能搭出满足条件的几何体共种情况，请在所给网格图中画出小立方块最多时几何体的左视

图.(为便于观察，请将视图中的小方格用斜线阴影标注，示例：■).

aS

主视图俯视图左视图

【答案】(1)1；3(2)9(3)7

【详解】试题分析：(1)由主视图可知，第2列小正方体个数都为1,所以6=1,,第三列小正方体个数为

3,所以a=3；(2)正方体个数最少时，第一列正方体个数为：1+1+2=4个，第2列正方体个数为：1+1=2

个，第3列正方体个数为：3个，一共有：4+2+3=9个；(3)第2列正方体个数确定为：1+1=2个，第3列

正方体个数确定为：3个，第1列正方体情况可能为：①d=l,e=l,户2；②d=l,e=2,户1；③d=2,e=l,

户1；@d=2,e=2,/=1；⑤d=2,e=l,f=2；⑥d=l,e=2,f=2；⑦d=2,e=2,f=2,共7种情况，当d=2,

e=2,户2时小立方块最多，左视图如图所示.

试题解析：

(1)b=l,a=3；

(2)1+1+2+1+1+3=9个；

(3)共7种情况，当d=2,e=2,户2时小立方块最多.

此时，左视图为：

点睛：掌握三视图的画法，并会根据三视图判断对应的正方体的个数.

19.在桌面上，有6个完全相同的小正方体对成的一个几何体，如图所示.

(1)请画出这个几何体的三视图.

(2)若将此几何A的表面喷上红漆(放在桌面上的一面不喷)，则三个面上是红色的小正方体有一个.

(3)若另一个几何体B与几何体A的主视图和左视图相同，而小正方体个数则比几何体A多1个，则共

有种添法.请在图2中画出几何体B的俯视图可能的两种不同情形.

（4）若现在你的手头还有一些相同的小正方体可添放在几何体A上，要保持主视图和左视图不变，则最多

可以添个.

【答案】（1）详见解析；（2）2个；（3）4种；（4）4个.

【分析】见详解.

（2）三个面是红色的有2个，为从上往下数第二行第一列的那两个.

（4）由图可知该几何体最多有10个正方体,几何体A只有6个小正方体，

10-6=4,所以最多可以添加4个正方体.

【点睛】本题考查了物体的三视图，中等难度，培养看图能力、空间感是解题关键.

20.空间任意选定一点。，以点。为端点作三条互相垂直的射线Ox,Oy,Oz.这三条互相垂直的射线分

别称作x轴、了轴、z轴，统称为坐标轴，它们的方向分别为Ox（水平向前），Oy（水平向右），Oz（竖

直向上）方向，这样的坐标系称为空间直角坐标系.将相邻三个面的面积记为几$2,M，且岳<$2<£的小

长方体称为单位长方体，现将若干个单位长方体在空间直角坐标系内进行码放，要求码放时将单位长方体E

所在的面与x轴垂直，S2所在的面与y轴垂直，M所在的面与z轴垂直，如图1所示.若将x轴方向表示的

量称为几何体码放的排数，了轴方向表示的量称为几何体码放的列数，z轴方向表示的量称为几何体码放的

层数；如图2是由若干个单位长方体在空间直角坐标内码放的一个几何体，其中这个几何体共码放了1排2

列6层，用有序数组记作（1,2,6）,如图3的几何体码放了2排3列4层，用有序数组记作（2,3,4）.这

样我们就可用每一个有序数组（x,%z）表示一种几何体的码放方式.

(1)有序数组(3,2,4)所对应的码放的几何体是.

y(列)

(2)图4是由若干个单位长方体码放的一个几何体的三视图，则这种码放方式的有序数组为(—,

.),组成这个几何体的单位长方体的个数为一个;

左视图

(3)为了进一步探究有序数组(xj,z)的几何体的表面积公式,某同学针对若干个单位长方体进行码

放，制作了下列表格：

单位长

几何体表面上面积表面上面积表面上面积

方体的表面积

育济数组为$的个数为s»的个数为$的个数

个数

。，1,1)12222SI+2S2+2S3

(1,2,1)24244s产s22XS3

。，1,1)326625r652+6S5

(2,1,2)448441超+41

(1,5,1)5102101051+252+10S3

(1,2,3)6126412S।+652+4占

(1,1,7)714142145,+14S;+2Sj

(2,2,2)88888«5|+852+853

・・・•••••••••…・・・

根据以上规律，请直接写出有序数组（阳-Z）的几何体表面积13肉的计算公式；（用X,%Z,H,$2,$3表示）

（4）当E=2,$2=3,S3=4时，对由12个单位长方体码放的几何体进行打包，为了节约外包装材料，我

们可以对12个单位长方体码放的几何体表面积最小的规律进行探究，请你根据自己探究的结果直接写出使

几何体表面积最小的有序数组，这个有序数组为（_,—，—）,此时求出的这个几何体表面积的大小为

.（缝隙不计）

【答案】（1）B；（2）2；3；2；12：（3）S（xy：z）=1yzSx+2xzS2+2xyS3=2（yzSx+xzS2+xyS3）:（4）2；

2；3；92.

【分析】（1）根据有序数组（x,%z）中x、y和z表示的实际意义即可得出结论；

（2）根据三视图的定义和有序数组（x,y,z）中x、y和z表示的实际意义即可得出结论；

（3）根据题意，分别从不同方向找出面积为H、邑和邑的长方形，用含x、y、z的式子表示出它们的个数，

然后根据表面积公式计算即可；

（4）由题意可知：xyz=12,而12=1x1x12=1x2x6=1x3x4=2x2x3,然后分类讨论，根据（3）的公式分别求

出在每一种情况下的最小值，最后通过比较找出最小的即可得出结论.

【详解】解：（1）有序数组（3,2,4）表示3排2列4层，故B选项符合

故选：B.

（2）由左视图和俯视图可知：该几何体共码放了2排，由主视图和俯视图可知：该几何体共码放了3歹U,

由主视图和左视图可知：该几何体共码放了2层，

故这种码放方式的有序数组为（2,3,2）；

组成这个几何体的单位长方体的个数为2*3x2=12；

故答案为：2；3；2；12；

（3）根据题意可知：从几何体的前面和后面看：面积为W的长方形共有2yz个，从几何体的左面和右面看：

面积为邑的长方形共有2xz个，从几何体的上面和下面看：面积为邑的长方形共有2xy个，

，几何体表面积*,3）=2yzS]+2XZS2+2xyS}=2[yzS[+xzS2+xyS3）

（4）由题意可知：xyz=12,而12=1x1x12=1x2x6=1x3x4=2x2x3

①当xyz=1x1x12时

：S3=4>$2=3>H=2

根据（3）中公式可知，此时当x=l,y=l,z=12时，几何体表面积最小

止匕时S(u12)=2x(1x12x2+1x12x3+1x1x4)=108；

②当xyz=1x2x6时

S3=4>52=3>^=2

根据(3)中公式可知，此时当x=l,y=2,z=6时，几何体表面积最小

此时Sq2,6)=2X(2X6X2+1X6X3+1X2X4)=100；

③当xyz=lx3x4时

*.*53=4>52=3>^=2

根据(3)中公式可知，此时当x=l,y=3,z=4时，几何体表面积最小

止匕时I1,3,旬=2x(3x4x2+1x4x3+1x3x4)=96；

④当xyz=2x2x3时

・.・S3=4>邑=3>H=2

根据(3)中公式可知，此时当x=2,y=2,z=3时，几何体表面积最小

止匕时S(2,2,3)=2X(2X3X2+2X3X3+2X2X4)=92；

,*,S(2,2,3)<S(I,3,4)<S(l,2,6)<^(1,1,12)

・•・这个有序数组为(2,2,3),最小面积为%2.3)=92.

故答案为：2；2；3；92.

【点睛】此题考查的是新定义类问题，读懂材料、并归纳总结公式和掌握三视图的概念和表面积的求法和

分类讨论的数学思想是解决此题的关键.

考点三、中心投影的综合应用

21.在平面直角坐标系工帆中，对于点尸和图形河，以点尸为圆心，1为半径作。尸，图形M上的每一个

点。(不是原点)，都能使得直线。。与。尸有公共点，那么称图形〃和点尸关联.

(1)点下列图形中与点P关联的图形是;

①y轴;

②直线x=；；

③半径为1的OO；

④线段HK,其中H(O,-1)其(-L-1).

(2)点P在直线y=l上，点A在X轴上，点8在第一象限，已知△0/8为等边三角形，若△0/8与点尸关联,

求点尸横坐标才的取值范围；

⑶平面上一点C满足OC=2近，将点C绕点。顺时针旋转60。得到点C,连接CC',点P在线段CC'上.点

E在以。为中心，边长为8的正方形上，OE与点尸关联，直接写出OE的半径『的取值范围.

【答案】(1)①④

⑵出石

(3)^+^<r<V3+V7

【分析】(1)根据新定义画出图形，即可求解；

(2)根据新定义，作。尸使得与直线。C和x轴的相切，过点P作。氏CM的垂线，得出0D=6PD=C,

结合新定义可得当,2。。时，△0/3与点尸关联，即可求解；

(3)当E在CC'的垂直平分线上时，E到的距离相等，根据中心投影的性质可得，当£离。最近

时，，最小，离。最远时，「最大，

当E在(4,0)时，如图所示，过点G作于点K,过点石作£尸，。。于点尸，当E在(4,4)时，QE

的半径取得最大值，根据AOGKSAOE尸，求得E尸的长，即可求解.

【详解】(1)解：如图所示，

根据定义可得与点P关联的图形是①④

(2)解：如图所示，P在直线了=1上，点A在x轴上，点8在第一象限，已知△0/8为等边三角形,

y

A

l/^Cly\

外力Ax

作OP使得与直线oc和x轴的相切，过点p作OBQA的垂线，

•••AO4B是等边三角形