山东省菏泽市2025届高三年级下册一模考试数学试题

山东省荷泽市2025届高三下学期一模考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.在复平面内，向量存对应的复数为-l+3i,向量就对应的复数为-2+i,则向量而对

应的复数为()

A.-3-4zB.-3+4iC.l+2iD.-l-2i

2.已知集合/={-i,o,i},s=|xp<2>,则/ng=()

A.{0}B.{1}C.{0,1}D.{-1,0,1)

3.已知V/8C的三个角/,B,C的对边分别为a,b,c,且=则tanC=()

c3b-a

]/?

A.-B.3C.—D.2A/2

34

4.已知数列{4},则“V〃z,〃eN*,%+"=。,“+%”是“数列{叫为等差数列”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.若ae(0,兀)，tan2a=)出"，贝ijsin[a+工]=()

COS6Z+1V6)

A.一无B.--C.1D.也

2222

6.曲线>=阿尤+1)|在/(西,必)，/马,%)两点处的切线互相垂直，则'+'的值为()

X]x2

A.-1B.0C.1D.e

7.已知V/BC的三个顶点都在抛物线「=4x上，三边么6、BC、。所在直线的斜率分别

为左，k2,左3，若;一则点4的坐标为()

/v2f^3

A.(1,-2)B.(1,2)C.(2,-1)D.(2,1)

8.已知函数/(x),若存在实数彳，使得了(x+4)+4(x)=0对任意的实数x恒成立，则称，(x)

满足性质尺(几)，下列说法正确的为()

A.若的周期为1,则/(x)满足性质醒(1)

试卷第1页，共4页

B.若〃x)=sinm,则/(x)不满足性质/(/)

C.若/("=小(°>0且4H1)满足性质R(2),则一>0

D.若偶函数/'(X)满足性质及(-1),则图象关于直线尤=；对称

9.已知平面向量1=(2,sin。),(cos0,1),则下列说法正确的有(

A.向量刃不可能垂直B.向量刃不可能共线

。+6不可能为3D.若。=胃，则Z在行上的投影向量为3

10.若从正方体的八个顶点中任取四个顶点，则下列说法正确的有()

A.若这四点不共面，则这四点构成的几何体的体积都相等

B.这四点能构成三棱锥的个数为58

C.若正方体棱长为a,则这四点能构成的所有三棱锥中表面积的最大值为2瓶力

D.若这四点分别记为4B,C,D,则直线与CO所成的角不可以为30°

11.已知曲线C的方程为一+/-刈=1,下列说法正确的有()

A.曲线C关于直线>=x对称

B.-1<X<1,-l<y<l

C.曲线C被直线y=x+；截得的弦长为容

D.曲线。上任意两点距离的最大值为2女

三、填空题

12.若〃是数据1,3,2,2,9,3,3,10的第75百分位数，则(x+y)(2x--y)"展开式中，/

的系数为.

13.已知函数/(x)=cosx在闭区间/上的最大值记为M，若实数太满足"卜御=如［*网，

贝小.

14.如图，在V48c中，AB=BC=2®，05=90°,£是4B的中点，。是/C边上靠近N

的四等分点，将V4DE沿翻折，使/到点尸处(尸点在平面48c上方)，得到四棱锥

试卷第2页，共4页

P-BCDE.^\

①尸C的中点M运动轨迹长度为；

②四棱锥尸-3CDE外接球表面积的最小值为.

四、解答题

15.在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100名观众进行问卷

调查，得到了如下数据：

喜欢不喜欢

男性4010

女性2030

(1)依据a=0.001的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？

(2)从这100名样本观众中任选1名，设事件”="选到的观众是男性”，事件3=“选到的观众

喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，比较和可可可的大小，并解释其意义.

2n^ad-bc^

“(〃+6)(c+d)(a+c)(b+d)n=a+b+c+d.

a0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

16.如图，在四棱锥尸—中，CDIIBE,ABED=60°,BC=CD=\,AE=2ED=2,

PB=2V2，PE=EB,方为心的中点.

试卷第3页，共4页

p

K-JWX

DC

⑴求证：CF〃平面尸4。；

(2)若平面PBE1平面ABCD,求DF与平面ABP所成角的正弦值.

17.已知函数/(x)=Qe“—x.

⑴求f(x)的单调区间；

(2)当。>0时，存在使得［〃x)|22,求。的取值范围.

18.定义正方形数阵,化/满足。(,/=『-/，其中3yeN*.

(1)若i+/=100,求数阵｛4“)｝所有项的和T-,

(2)若加，n,p,qeN*,求证：。(为⑷％⑷也是数阵｛%/中的项；

(3)若i,%｛1,2,3「-,〃｝,，口且此3,求%,))的值为奇数的概率£.

22

19.已知双曲线C:=-4=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±也x,点(百,2)在双

(2)如图，过双曲线C右支上一点P作圆。:/+/=2的切线交双曲线。左支于。，右支于

R,直线尸。与圆。切于点

①求证：。、R两点关于原点。对称；

②判断话•题是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，求话•题的取值范围.

试卷第4页，共4页

《山东省荷泽市2025届高三下学期一模考试数学试题》参考答案

题号12345678910

答案DCDACABDBDBCD

题号11

答案ACD

1.D

【分析】利用复数的几何意义及复数的减法运算即可求解.

【详解】因为向量漏对应的复数为-l+3i,向量次对应的复数为-2+i,

所以就=就_益=(_2+i)_(_l+3i)=_l_2i

所以向量就对应的复数为

故选：D.

2.C

【分析】本题的关键是解不等式£<2,注意不要忽略式子G中x的取值范围卜,20}.

【详解】因为2=={0Vx<4},^={-1,0,1),

所以/n”{0,1}.

故选：C

3.D

■/-_L_-T-e…TB2coscCOSA....、］COsCCOSAHr*2八

【分析】由正弦定理将-----=-一转化为一^7=三」——，再由正弦的和差角公式

c3b—asinC3sinB-sinA

求出cosC及sinC,再由tanC=邕上求解即可.

cosC

【详解】因为您C詈4,所以由正弦定理可得:cosC_cosA

3b-asinC3sin5-sinA

所以3sinBcosC—sin4cosc=cos/sinC,

即3sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC=sin(Z+C),

又因为5山(/+。=5皿兀一5)=$山8,0＜5＜兀，所以sinB〉0,

故3cosc=1,解得cosC=-,

3

又因为0＜。＜兀，所以sinC＞0,

2^/2

所以sinC=Jl—cos2c=

~T~

答案第1页，共13页

2A/2

所以tanC=与£=--=2/.

cosC1

3

故选：D.

4.A

【分析】根据充分必要条件的判断方法，分充分性和必要性，分别判断.

【详解】充分性：若对V加，〃EN*,都有册+〃=4+%，

则令加=1,得%=%+。“，即="，因为q为常数，所以数列｛%｝为等差数列；

必要性:等差数列不一定满足V机，〃eN*,am+„=am+an,

例如:当等差数列｛%｝通项公式为="+l时,%+“=m+n+l,am+an=m+n+2,

此时％,+“片am+an，所以eN*+“=。加+%”是“数列｛%｝为等差数列的充分不必要条

件.

故选：A

5.C

【分析】利用同角三角函数基本关系式和二倍角公式，可求出cosa和。的值，再计算

sin(cr+—)即可.

,、4csmasin2a2sinacosasina

【详解】Ttan2a=-----------,?.

cosa+1cos2a2cos2a-1cosa+1

Q。£(0,兀),sina。0,

2c?sa=---,化简得12兀

2一,|4-1|HJ[讨LcUoQsCaZ—=-—,•■CcZc-——

2cosa-\cosa+123

.兀、./2兀兀、.57i1

1.sinz(a+—)=sin(----F—)=sin——二—.

63662

故选：C.

6.A

【分析】根据对数的运算性质化简函数的解析式，结合导数的几何意义，互相垂直的两直线

的斜率的关系分类讨论进行求解即可.

L、[-

—,x>0

【详解】由…।卜/+讣l_n.(x+4]-l)),x_>i0<x<o=y,=1r+1

1r-----.—1<x0

x+1

答案第2页，共13页

不妨设为<苫2，两切线的斜率分别为3发2,

则有Q表肉士,此时她飞

当04%时,显然左左12。—1,

因此4^/2不成立，不符合题意;

当-1<再<%<。时，则有人一六'—一!,此时2飞+1)；+1)>°，显然

k[k?w—19

因此4,4不成立，不符合题意；

当一1<再<0</，则有％1==7，

项+1x2+1

止匕时kxk2=-1=>项/+项+%2=。，变形得：+:=-1.

故选：A

7.B

【分析】假设三个点的坐标，分别求出其斜率，根据条件即可求解4的坐标.

【详解】设§*/J，。*"①；"［牛,；

K=%一%=4:%一％=4_k=—二4_

।_।।*V|225<*22222

则乂+%h__纥必+%y2y3%+%，

444444

rp,11+1—M+%M+%1%+%_%_［

所6以［一二1，

2

解得%=2,故％=+1,

故点/的坐标为(1,2),

故选：B.

8.D

【分析】根据新定义结合条件逐项进行验证.

【详解】选项A,7(无)的周期为1,则/(尤+l)=/(x)=/(尤-1),从而有〃x-l)-〃x)=0,

因此〃x)具有性质R(T),但/(尤+l)+/(x)=2/(x)=0不一定成立，A错;

选项B,/(x)=sin7tr,/(x+1)=sin(x+1)TI=sin(x7i+n)=-sinxn=-f(x),所以

/(x+l)+/(x)=0,所以〃x)具有性质R⑴，B错；

答案第3页，共13页

选项C,若/(力=优">0且4H1)满足性质尺(2),贝I］

/(x+2)+A/(x)=ax+A+AaA=ax(a2+A)=0,所以/+2=0,从而2=—/<0,C错；

选项D,偶函数/(x)满足性质R(-l),即/(x-1)-/•(尤)=0,又/(无)是偶函数，

所以=所以/(x)图象关于直线x=(对称，D正确，

故选：D.

9.BD

【分析】根据向量垂直的坐标表示可判断A；根据向量平行的坐标表示可判断B；根据向量

abb

模长坐标公式可判断C；根据［在■上的投影向量为W同可判断D.

【详解】由题意知2=(2,sin。)，B=(cos。/).

对于选项A,若向量QJ_B，则“石=2cos6+sin。=0,BPtan0=—2,

显然此式能成立，故A错；

对于选项B,若向量Z//B，贝1］有2乂1一5诂。605。=0,BP2--sin2^=0,

即sin26=4,显然此式不成立，故B正确；

对于选项C,忸+同=J(2+COS6)2+(sin6+1)2=j6+4cos6+2sin。=56+2石cos(。-9)，

则当cos(9-夕)=时，归+可=3,故C错；

对于选项D,若6=5,贝恒=(2，1)，3=(0,1),

a-bb1fT

则Z在B上的投影向量为m［同=而6="，故D正确.

故选：BD

10.BCD

【分析】举例说明A是错误的；利用组合数公式求三棱锥的个数，判断B的真假；找出表

面积最大的三棱锥判断C的真假;找出连接正方体顶点的两条直线所成角的最小值可判断D

的真假.

【详解】如图：

答案第4页，共13页

对A：设48=1,则七TBC=丁5*1=.,VA_B^C=1-47B_ABC=-,所以A不正确;

对B：从正方体的8个顶点中任选4个的选法有C；=篝舒=7°中,其中不能构成三棱

锥的有：①四个点在正方体的一个面上，即所选四点为：ABCD,ABCR,DCCQ1,

ADDXAX,8cq4共6个；②所选四个点在正方体的相对棱上，即所选的四点为：4BCR,

ARCD,BCDM,B\CQA,BBQQ,AA^C，共6个.

所以所选的四个点可以构成三棱锥的个数为：70-6-6=58个，故B正确；

对C：正方体棱长为0,从正方体的8个顶点中选3个，构成三角形，其中面积最大的就是

象△480这样的等边三角形，其边长为收°,面积为所以四点能构成的所有三棱

2

锥中表面积的最大的就是三棱锥/-3QC这样的正四面体，其表面积为也/、4=2抬滔，

2

故C正确；

对D：在正方体的8个顶点中选4个，连成两条直线，所成的角最小的就是形如直线与

3c的所成的角，设为。，贝Usin8=」==遮>L=sin30P,所以0>30。，故D正确.

V332

故选：BCD

II.ACD

【分析】对于A,根据对称的理解，进行运算即可判断A；对于B,通过分析方程的特征可

求出x、V的范围；对于C,求出直线和曲线的交点，用两点间的距离公式即可求解；对于D,

对方程进行变形可知曲线C为椭圆，结合椭圆的形状判断即可.

【详解】选项A：将方程中的x和y互换，得到/+工2-声=1,与原方程一致，因此曲线

关于直线〉=x对称，A正确；

选项B：通过分析方程，+/-个=1,设固定x,解关于V的二次方程，判别式要求

答案第5页，共13页

-3x2+4>0,

22

即一国斗工百，超出一IWXWI同理夕的范围也超过［-1』，B错误;

选项D：x2+_y2-xy=1,则(x+y)2+3(x—y)2=4,/.(x+y)2<4,即—24x+y(2,

V3

T

同理可得:jx+?卜,+^j='W+(x+»］，

/I-I-\/I-I-\

则曲线C的上任一点。(x,y)到"--—,--—,N———的距离之和为:

、7\?

曲线C表示以为焦点且°=也,,=地的椭圆，则6=

33

则线段\PQ\的最大值为2a=2V2,D正确；

故选：ACD

【点睛】点睛：关键点点睛：对于D选项，关键是对曲线方程进行变形，进行明确该曲线

方程表示的是椭圆，利用椭圆的性质求解即可.

12.80

【分析】求出第75百分位数”，然后由二项式定理求解.

【详解】已知数据从小到大排列为：1,2列3,3,3,9,10,共8个,8x75%=6,

答案第6页，共13页

第6个数是3,第7个数是9,

3+9

—=6,所以〃=6,

2

(x+y)(2x-城展开式中”的系数为2gx(一4+2，C：x(一I),=80,

故答案为：80.

13.［或J

【分析】可以根据区间的定义，k＞o,得到“［弄］=c°s°=l,然后根据余弦函数单调性和

特殊角的余弦值得到左=E或斤=§.

36

IT

【详解】根据区间的定义，左端点小于右端点，k＜2k,得到%＞0,即0e--,k根据余弦

函数的性质，M［_^］=COSO=1,由题意：峰盟=；，根据函数〃M=cosx的周期为2元，

而且其在［0,可单调递减，在［兀,2可单调递增，/(2兀)=1,2左一左＜2兀，即无＜2无，所以2米＜2兀,

即左＜兀，

当0〈发时，2k£*/(x)=cos尤在［匕2月单调递减，则叫⑶=cos笈=g，可得左=；;

当^■〈左＜兀时，兀＜2左＜2兀，/(x)=cosx在艮兀］单调递减，且/(x)＜0在［兀,2左］单调递增，

X,C7175兀

^［k,2k］=cos2k=3,k=飞.

故答案为：£或是.

36

兀

14.—1071

2

【分析】因为M到。C中点的距离等于《尸。=［(定值)，且尸点在平面N8C上方，所以M

22

的轨迹是以DC中点为圆心，!为半径的半圆，进而可求周长；确定四棱锥底面BCDE外接

2

圆的圆心及半径，当该点为球心时，四棱锥外接球的表面积最小.

【详解】因为“到DC中点的距离等于1电＞=1,且P点在平面/8C上方，

22

所以”的轨迹是以DC中点为圆心，g为半径的半圆，

1兀

所以PC的中点〃运动轨迹长度为无X；=彳；

22

因为四边形BCDE的外心为CE的中点，所以四边形BCDE的外接球的半径

答案第7页，共13页

7I2+32_VTO

所以四棱锥P-BCOE外接球的球心。在过四边形BCDE的外心且垂直平面BCDE的直线

上，

设四棱锥尸-3CQE外接球的半径为H,设球心。到四边形8a）£的外心的距离为

则斤=/+尸2/=3，当”0时，等号成立，

4

所以四棱锥尸-BCDE外接球表面积的最小值为4兀x?=10兀.

故答案为：|；107T.

15.（1）与性别有关联

⑵尸（叫/）＞尸（用勾，意义见解析

【分析】（1）提出零假设，并求出/,与表中数据对比即可下结论；

（2）根据条件概率的计算公式求解即可.

【详解】（1）零假设4：对机器人表演节目的喜欢与性别无关.

根据列联表中的数据得/=1°°X（40X30-10X20）2=50,

16.667＞10.828=x

50x50x60x4030001I

依据a=0.001的独立性检验，可以推断"。不成立，即对机器人表演节目的喜欢与性别有关

联.

⑵依题意得，P（/即.、）=n号（AB=）十40二4

尸（引/）＞尸（,勾

意义：该样本中男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的概率比女性对机器人团体舞蹈表演节

目喜欢概率大；

或者男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的人数比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢多

等等

16.（1）证明见解析

⑵丽

【分析】（1）取尸£的中点连结〃/，证明四边形CWF为平行四边形即可证明CF〃平

面PAD；

答案第8页，共13页

（2）建立空间直角坐标系，求出直线。下的方向向量与平面Z8P的法向量，利用空间向量

求空间角即可.

【详解】（1）0CDHBE,BC=CD=DE=\,ZDEB=60°,易求BE=2

取尸E的中点连结儿田，尸为尸8的中点

所以MF//BE,MF=-BE,所以MF=1,MF//CD

2

所以四边形CDMF为平行四边形.

所以，CF//DM,又CD<Z平面P/。，DWu平面尸/D

所以CF〃平面P/D

（2）由P£=£8=2,PB=2A/2.所以/+防2=PB?

所以PE_LEB,又平面平面4BCD,所以PE_L平面/2CO

以E为原点，E3所在直线为V轴，过E与EB垂直的直线为x轴，EP所在直线为z轴，建

立如图所示的空间直角坐标系，则

D^,-,0,尸（0,0,2）,5（0,2,0）,下（0,1,1）,^（-V3-1,0）,

I22J

V3,—1,—2j,PB=（0,2,—2）,DF=—,—,1

设平面45尸的法向量为方=（x,K2）,则〃_L刀，n-LPB

位=°,所以[一底一一

取z=-l,则》=百,了=-1

n-PB=0[2尸2z=0

所以平面N3尸的一个法向量为为=（百,

设。尸与平面/8P所成角为。，则

\n-DF\35

sin3='.__

H-MV5V210

答案第9页，共13页

所以直线。尸与平面Z8P所成角的正弦值为唾

17.(1)证明见解析

【分析】(1)求出导函数，对参数。进行讨论，判断了'(X)与0的大小即可得到相应的单调

性；

(2)依题意，由参数4>0可知只需7m式%)22即可，结合(1)可求篇x(x).

【详解】(1)r(x)=«eA-l

当时，/'(x)<0恒成立，此时/⑺在R上单调递减;

当°>0时，令/'(x)=0,贝!J尤=-Ina

当xe(-8,-lna)时，/'(x)<0,此时/(可在(-8,-Ina)单调递减，

当xe(-Ina,+8)时，/,(x)>0,此时/'(x)在(-Ina,+e)单调递增；

综上所述，当aWO时，/(无)的减区间为(-叫+⑹，无增区间；

当a>0时，/(X)的减区间为(-8,-Ina),增区间为(-Ina,+e).

(2)因为存在使得|/(刈22.只需盘或7mHi(x)W-2

因为a>0,所以/(x)=ae*-x>-x>-l

所以只需舞、(x”2,由(1)知九、(x)为〃-1)与/⑴中的较大者

所以八l)=ae-l22或/(-1)=。厂+1»2,解得a式或a2e,

e

所以。二3

e

答案第10页，共13页

综上所述，a的取值范围为

18.（1）0

（2）证明见解析

（3）答案见解析

【分析】（1）根据，+/=10。确定亿/）的所有取值情况，通过分析%0的性质，发现

a0

气力+（j,i）=°以及。（50,50）=，从而得出数阵所有项的和为0.

（2）对。（叫“产（加）进行展开变形，再根据数阵的定义，证得结论成立.

（3）先根据。（必=（T）gj）以及i-j与i+j具有相同奇偶性，得出生,）为奇数时i与j一

奇一偶，然后分〃为奇数和偶数两种情况，分别计算（，,/）的取值情况数，进而计算出概率必

【详解】⑴若，+/=100,则亿/）的所有取值情况为：

（1,99）,（2,98）,（3,97）,-,（50,50）,-,（97,3）（98,2）,（99,1）

故数阵｛。（5｝共99项，由%/）=产一/知：。（50,50）=°，

”（1,99）+“（99,1）="（2,98）+°（98,2）="''=,力+°（7）=0，

所以7="（1,99）+"（2,98）+"（3,97）4F“（50,50）4卜0（97,3）+°（98,2）+“（99,1）=°.

（2）%㈤-4PM=（/—叫（P?_/）=（〃卯+—（西+叩》

由私”,p,qeN*知,mp+nq,mq+np&K,故,%）=。（吵+町网+皿），

所以%⑷也是数阵｛%/中的项.

22

（3）i,/e｛1,2,3,…若/J知：a（,y）=/-j=（z-j）（z+j）,

由i-/与i+/具有相同的奇偶性知要使4M的值为奇数，需使j-i与j+7都是奇数，

即i与j必定一奇一偶，

42

当〃=3时，（。）的取值情况有4种，故月=Q=§；

82

当〃=4时，化力的取值情况有8种，故2=Q=§；

123

当"=5时，&_/）的取值情况有12种，故4=Q=）；

答案第11页，共13页

当且〃为奇数时，｛1,2,3,…中有等个奇数，一个偶数,

n2-\

故亿力的取值情况有SxTx2=20种，故尸./"+1;

222

"一S一2〃

当心3且〃为偶数时，｛1,2,3,…中有3个奇数，个偶数，

2戒

故亿））的取值情况有Kx?x2=上种，故2_2_"；

222夕不一而刁

综上所述，当“W3且〃为奇数时，匕=竽；当且〃为偶数时，夕=和%.

【点睛】方法点睛：

对于求满足特定条件的数阵所有项的和，先确定数阵中元素的组成情况，再通过分析元素之

间的关系（如本题中的对称关系。（灯）与。（加）来简化求和过程.

证明一个式子是数阵中的项，通常对式子进行代数变形，使其符合数阵元素的定义形式，再

结合数阵中参数的取值范围进行判断.

求概率问题，先分析事件发生的条件（如本题中％,