2025届普通高等学校招生全国统一考试高考信息联考卷(一)-数学试题+答案

秘密★启用前注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设集合M={x|0<|x|<3},N={-3,-2,1,4,6},则集合M∩N的非空子集的个数为A.12.已知复数,其中i为虚数单位，则z的虚部为A.3B.-3C.43.某四棱台的下底面是长为90、宽为30的矩形，上底面是长为30、宽为10的矩形，且该四棱台的高为3,则该四棱台的体积为A.3900B.900√3C.13004.已知函数f(x)=sin[w(x+π)]为奇函数且w>0,则f(π)=5.已知双曲线C过点(3,6),且有相同的渐近线，则C的方程为B、B、,点P满足,则AP·BC=A.-2m²B.-3m²数学试题(一)第1页(共4页)7.已知函数f(x)=1+In(1+x)-√1+2x,则下列比较大小正确的是8.若关于x的方程2loga(ax)=loga(x+1)+log。(x+2)在定义域内有解，则实数a的取值范围为A.(0,1)B.(1,+○)目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得09.记等差数列{an}的前n项和为S,已知S,=Pn²+Qn+M(P,Q,M∈R),则下列说法一定正确的是C.若Q=0,则a₃=4a₁10.已知正数x,y满足x+3xy+2y=6,则下列说法正确的是A.6<x<811.已知抛物线S:y²=3x,M(2,0),N(-2,0),T(4,0),过点M的直线L与S交于A,BB.若△ATM为等腰三角形，则L的斜率为313.若数列{an}的前9项满足(x-2)⁸=a₁+a₂x+…+agx⁸,记{a}的前n项和为S,则14.对于Vb∈R,函数f(x)=e³²—(2x+b)e-a有且仅有一个零点，则实数a的取值范围是数学试题(一)第2页(共4页)数学试题(一)第3页(共4页)15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b(acosB+bcosA)=c,(1)求b的值；(3)求△ABC周长的最大值.16.(15分)在某活动中，参与者以抽奖的形式获得某种奖品，每次抽奖均分为中奖和不中奖两种结果.现在利用伪随机算法进行若干次抽奖，假定中奖后就不再继续抽奖.设p(0<p<1)是第一次抽奖中奖的概率，此后若前n-1次抽奖均未中奖，则进行时中奖的概率pn满足其中pn=1时一定中奖.设中奖时共抽奖17.(15分)(2)若AB=AD=2,AP=PD,BD=2CD,求二面角B-AP-C的正弦值.18.(17分)已知椭圆E)的左焦点为F(-1,0),过点F的直线L交E于A,B两点，分别过点A,B作L的垂线，交E分别于M,N两点(异于A,B两点).当L的斜率不存在时，四边形AMNB的面积为6.(1)求E的标准方程；19.(17分)设数列{rn}的前n项和为S,(n∈N*),且r₁=1,r₂=q(1<q≤4),S,(q-1)=rn+11,定义：S₀=0,已知在平面直角坐标系中，记圆C:(x-2S,-1-rn)²+(y-rn)²=r²,曲线Ω:y=2.(1)求{rn}的通项公式；(2)求C₁与Ω的交点个数；(3)探究当n≥3(n∈N*)时，C,与2是否有交点.数学试题(一)第4页(共4页)2025届普通高等学校招生全国统一考试高考信息联考卷(一){-3,-2,1,4,6},故M∩N={-2,1},含有两个元素，故其非空子集的个数为2²—4i,由复数的概念可得z的虚部为4.故选C.3.A【解析】由题意可得该四棱台的上底面面积为30×10=300,下底面面积为90×30=2700,将其代入棱台的体积公式得，该四棱台的体积函数，则必有f(0)=0,即sinwπ=0,则f(π)=sin2wπ=2sinwπcOswπ同的渐近线，则双曲线C的方程可设y²=λ(λ≠0),将(3,6)代入方程，得36=λ,解得λ=-33,整理得,故AB·AC=3m×m×,令函数g(x)=,即g(x)单调递区间上恒成立，则f(x)在故选B.可转化为方程(ax)²=(x+1)(x+2)在定义域内有解，由对数函数的定义域可知，,令,则t>0,因为的图象开口向上，对称轴为,所以在(0,+∞)上单调递增，所以当t>0时，y=故M=0,故A错误；若{an}单调递增，则d>0,故B正确；若Q=a₁-,则若P+Q+M=0,则,故a₁=0,故D正确.10.BCD【解析】对于A,分离变量可得y=,解得0<x<6,故A错误；对于B,分离变量可得,解得对于C,由基本不等式可得6=x+3xy+仅当x=2y即对于D,由x+3xy+2y=6得(6x+4)(3y+当且仅当6x+4即坐标均为2,代入S的方程，解得A的纵坐,注意到其为角平分线定理的形式，等价于∠ANM=∠BNM,设l的方程为方程与抛物线S的方程联立，解得y²—3ty-6=0,即y₁+y₂=3t,yiy2=-6,若四边形ANBT为梯形，由对称性，不妨设上底为AT,∠ATM=∠ANM,即点A在NT的中垂线上，故A的横坐标为1,解得A(1,√3),故B(4,-2√3),故梯形ANBT的面积为12.7【解析】将样本数据按照从小到大的顺序排列为：2,2,3,4,5,7,9.由7×75%=5.25,可知该组数据的上四分位数是7.a₂+…+ag,即S,=1.又因为S,=S₉-a9-a=1-1+16=16.使得f(x)有且仅有一个零点，令f(x)=线y=b有且仅有一个交点，若g(x)的值域不是R,设g(x)的值域为M,则3bM,使得g(x)≠b,矛盾，所以g(x)的值域为R,且为单调函数(否则与直线y=b存在至少两个交点),所以恒有g'(x)≤0或g'(x)>0,所以恒有g'(x)≥0,得a≥2e*—2e³恒成立，记m(x)=2e²—2e³#,则m'(x)=2e²-6e³²=2e²(1-3e²²),,故实数a的取值范围是由正弦定理可得，(1分)所以bsin(A+B)=sinC,(2分)又A+B=π-C,所以bsinC=sinC,(3分)因为sinC≠0,所以b=1.(4分)(2)若,则(6分)故(8分)(3)因为,b=1,由余弦定理得b²=a²+c²—2accos(10分)(11分)当且仅当a=c=1时等号成立，(12分)故△ABC周长的最大值为3.(13分)2(1-p)=2-p,(2分)故E(X)>1.(4分)(2)证明：当,E(X)=p+2(1-p)·2p+3(1-p)(1-2p)=2p²-4p+3=2(p-1)²+1,(6分)故2.(8分)(3)由题意可得X的可能取值有1,2,3,4,(9分)(10分)(11分)(12分)(13分)故X的分布列为X1234P(14分)(15分)垂足为点E,则PEC平面PAD.(1分)因为平面PAD⊥底面ABC,平面PAD∩所以PE⊥平面ABC.(2分)又ABC平面ABC,所以AB⊥PE.(3分)又因为PD⊥平面PAB,ABC平面PAB,所以AB⊥PD.(4分)所以AB⊥平面PAD.(5分)所以PALAB.(6分)(2)由(1)可知AB⊥平面PAD,且ADC平面PAD,所以AB⊥AD,故以点A为原点A作垂直于底面ABC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.(7分)因为PD⊥平面PAB,APC平面PAB,所以AP⊥PD.(8分)C(-1,3,0),P(0,1,1),(9分)(-1,3,0).(10分)依题意得，平面PAB的一个法向量为DP=(0,-1,1).(11分)设平面PAC的一个法向量为n=(a,b,c),取a=3,则n=(3,1,-1).(13分)(14分)故二面角B-AP-C的正弦值为(15分)当l垂直于x轴时，(2分)由题意易得,②(3分)联立①②解(5分)故E的标准方程(6分)证(7分)N(xa,y4),(8分)(9分)设直线AM和NB的斜率为k,即(3+4k²)x²+(8ky₁-8k²x₁)x+(4k²—3)x²-8kx₁y₁=0,(10分)(11分)(12分)(13分)则-ky₁=x₁+1,