空间向量与立体几何（解答题）-2020-2024年高考数学试题分类汇编（学生版）

4<06变间向量鸟克体几何(解多盘J

五年考情•探规律

考点五年考情(2020-2024)命题趋势

2023甲乙卷空间几何体表面积体积问题一般采

考点01求空间几何体表2022甲乙卷

2021甲乙卷用等体积法或者是空间向量解决，一

面积体积

2021乙甲卷般出现在第一问。

2020全国III卷

2024甲n卷

2023II乙卷二面角的正弦余弦值是高考空间几

2022III卷何体的高频考点，也是高考的一盒重

考点02求二面角

2021甲乙II卷要的趋势。

2020I卷

2023甲卷

线面角问题是高考中的常考点，方法

考点03求线面角2022甲乙卷

是方向向量与法向量的夹角

2020IIIIII卷

2024I卷

求距离问题是高考I卷的一个重大

考点04已知二面角，求2023I卷

趋势，容易与动点问题相结合

点，距离2021I卷

2024甲卷点到平面的距离问题是高考的一个

考点05求点到面的距离

2021I卷重要题型，应加强这方面的练习

分考点•精准练

考点01求空间几何体体积表面积

1.(2023•全国•统考高考甲卷)如图，在三棱锥尸-48C中，AB1BC,AB=2,BC=2亚,

PB=PC=a，BP,/P,5c的中点分别为。,E,。，点厂在ZC上，BFLAO.

A

⑴求证：EF〃平面ADO；

(2)若/尸。尸=120。，求三棱锥尸-N8C的体积.

2.(2023•全国•统考高考乙卷)如图，在三棱柱中，4。，平面/3仁//。5=90。.

⑴证明：平面ZCG4,平面84GC；

(2)设48=AXB,44]=2,求四棱锥&-月与。©的高.

3.（2022•全国•统考高考乙卷题）如图，四面体N8CD中，AD1CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,£为NC的

中点.

⑴证明：平面BED_L平面/CD；

（2）设AB=BD=2,NACB=60。，点F在BD上,当的面积最小时，求三棱锥F-/8C的体积.

4.（2022•全国•统考高考甲卷）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示:

底面N8CD是边长为8（单位：cm）的正方形，AEABQFBCQGCDQHDA均为正三角形,且它们所在的平

面都与平面48CD垂直.

（1）证明：EF〃平面/3CD；

（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.

5.(2021•全国•统考高考乙卷)如图，四棱锥尸-48。的底面是矩形，PD工底面4BCD,"为8c的中点,

S.PB1AM.

(1)证明：平面尸平面尸；

(2)若PD=DC=1,求四棱锥的体积.

6.(2021•全国•高考甲卷题)已知直三棱柱/8C-/4G中，侧面44/R为正方形，AB=BC=2,E,/分

别为NC和C£的中点，BF14^1.

(1)求三棱锥F-E5C的体积;

(2)已知。为棱44上的点，证明：BF±DE.

7.（2020•全国•统考高考I卷题）如图，。为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，“8C是底面的内接正三

角形，尸为。。上一点，NAPC=90°.

（1）证明：平面PAB_L平面PAC；

（2）设。。=血，圆锥的侧面积为百兀，求三棱锥P-ABC的体积.

8.（2020•全国•统考高考H卷）如图，已知三棱柱ABC-4&G的底面是正三角形，侧面BBQC是矩形，M,

N分别为BC,BQ的中点，P为AM上一点.过&G和P的平面交项于E，交AC于F.

（1）证明：AAJ/MN,且平面A1AMN1平面EaGF；

.jr

（2）设。为△4&G的中心，若AO=A8=6,A。〃平面EB】QF,S.^MPN=~,求四棱锥B-EB^GF的体积.

考点02求二面角

1(2024•全国•高考H)如图，平面四边形48a>中，AB=8,CD=3,40=5百，ZADC=90°,

NBAD=30°,点、E,厂满足冠=］而，AF=-AB,将△/斯沿斯翻折至尸，使得PC=46.

P

(1)证明：EF工PD；

⑵求平面PCD与平面PAF所成的二面角的正弦值.

2(2024•全国•高考甲卷)如图，在以/,B,C,D,E,尸为顶点的五面体中，四边形/BCD与四边形4DEF

均为等腰梯形，EF/IAD,BCI/AD,4D=4,AB=BC=EF=2,ED=A,FB=2人,〃■为40的中点.

BC

(1)证明：引1///平面。。£；

(2)求二面角尸-8河-石的正弦值.

3.(2023全国•统考新课标II卷)如图，三棱锥/-BCD中，DA=DB=DC,BD±CD,

zLADB=ZADC=60°,E为BC的中点、.

⑴证明：BCIDA；

(2)点尸满足而^房，求二面角。的正弦值.

4.(2023•全国•统考高考乙卷)如图，在三棱锥尸-48。中，AB1BC,48=2,BC=2亚,

PB=PC=46,BP,AP,8c的中点分别为。，E,O,/。=石。。，点尸在NC上，BFLAO.

⑴证明：跖//平面

(2)证明：平面平面8ER

⑶求二面角D-AO-C的正弦值.

5.（2022・全国•新课标I卷）如图，直三棱柱NBC-48cl的体积为4,△48c的面积为2近.

⑴求“到平面4SC的距离；

（2）设。为4c的中点，AAt=AB,平面平面求二面角4-8O-C的正弦值.

6.（2022全国•统考新课标n卷）如图，尸O是三棱锥尸-/3C的高，PA=PB,AB1AC,E是P3的中点.

(1)证明：OE//平面尸/C；

(2)若/48O=/CBO=30。，PO=3,PA=5,求二面角C-/E-3的正弦值.

7.（2021•全国•统考高考乙卷）如图，四棱锥尸-的底面是矩形，如，底面/BCD,PD=DC=\,M

为3C的中点，且尸

（2）求二面角的正弦值.

8.（2021•全国•统考高考甲卷）已知直三棱柱/3。-48£中，侧面44出乃为正方形，ABBC=2,E,F

分别为/C和CG的中点，。为棱/再上的点.BFYA.B,

Cl）证明：BFIDE；

（2）当瓦。为何值时，面8片GC与面。底£所成的二面角的正弦值最小?

9.（2021全国•统考新课标II卷）在四棱锥。-/皿力中，底面/BCD是正方形，若

AD=2,QD=QA=y/5,QC=3.

（1）证明：平面040，平面/3CZ）；

（2）求二面角的平面角的余弦值.

10.（2020・全国•I卷）如图，。为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，/£为底面直径，AE=AD.“BC

是底面的内接正三角形，尸为。。上一点，PO=£DO.

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（1）证明：尸/，平面P8C；

（2）求二面角8-PC-E的余弦值.

考点03求线面角

1（2023•全国•统考高考甲卷）如图，在三棱柱NBC-43G中，4。，底面/5C,ZACB=90°,AAt=2,4

到平面2CG片的距离为L

⑴证明：AXC=AC.

⑵已知AA,与BBt的距离为2,求/片与平面BCCB所成角的正弦值.

2.（2022•全国•统考高考乙卷）如图，四面体N3CD中，AD1CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E为/C的中

点.

⑴证明：平面BED_L平面/CD；

⑵设/8=8。=2,乙4c5=60。，点尸在上，当的面积最小时，求CF与平面NBQ所成的角的正

弦值.

3.（2022•全国•统考高考甲卷）在四棱锥中，尸底面

ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP.

⑴证明：BD1PA；

（2）求尸。与平面尸N5所成的角的正弦值.

4.（2020•全国•新课标I卷）如图，四棱锥PN8CD的底面为正方形，PD1底面/BCD设平面尸与平面

PBC的交线为I.

（1）证明：/I平面尸DC；

（2）已知阳=/。=1,0为/上的点，求网与平面QCD所成角的正弦值的最大值.

5.（2020全国•统考新课标II卷）如图，四棱锥P/8C。的底面为正方形，P。，底面ABC。.设平面必。与

平面PBC的交线为/.

(1)证明：/!.平面PDC；

(2)已知PD=AD=1,Q为/上的点，QB=&,求PB与平面QCD所成角的正弦值.

6.(2020全国•统考新课标II卷)如图，已知三棱柱ABC-4&G的底面是正三角形，侧面BB】GC是矩形,

M,N分别为BC,&G的中点，P为AM上一点，过&G和P的平面交项于E,交AC于F.

(1)证明：AAi\\MN,且平面4AMN1EBQF；

(2)设。为△4&G的中心，若AO||平面EBQF,且AO=AB,求直线B】E与平面A】A/WN所成角的正弦值.

考点04已知二面角求点距离

1（2024•全国•高考I卷）如图，四棱锥尸一/BCD中，P4_L底面48cD,PA=AC=2,BC=l,AB=g.

(1)若40,尸8,证明：40〃平面P8C；

(2)若/OLDC,且二面角的正弦值为这，求NO.

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2.（2023・全国•新课标I卷）如图，在正四棱柱/BCD-//C中，N8=2,441=4•点4,鸟,C?,。?分别

在棱A