平面向量及其应用 章末题型归纳总结（基础篇）（10大题型）解析版-2024-2025学年高一数学（人教A版必修第二册）

平面向量及其应用章末题型归纳总结

（基础篇）

【题型归纳目录】

题型一：向量的线性运算

题型二：向量的数量积运算、夹角、模长

题型三：向量范围与最值问题

题型四：余弦定理、正弦定理

题型五：平面向量的实际应用

题型六：解三角形范围与最值问题

题型七：图形类问题

题型八：三角形形状判断与多解问题

题型九：解三角形的实际应用

题型十：中线、角平分线、高问题

【思维导图】

【知识点梳理】

知识点1:向量的有关概念

(1)定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模).

(2)向量的模：向量在的大小，也就是向量下的长度，记作|而

(3)特殊向量：

①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.

②单位向量：长度等于1个单位的向量.

③平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：6与任一向量平行.

④相等向量：长度相等且方向相同的向量.

⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量.

知识点2：向量的线性运算

(1)向量的线性运算

运算定义法则(或几何意义)运算律

①交换律

求两个向量和的a+b=b+a

加法厂丁

运算aa②结合律

三角形法则平行四边形法则(a+b)+c=a+(b+c)

求@与B的相反

向量的和的

减法ci—b=6Z+(~b)

运算叫做I与Ba

的差三角形法则

(1)|Aa|=|21|51

4(4万)=(2//)3

求实数X与向量(2)当几>0时，23与万的方向相同；当

数乘(A+/Li)a=Aa+jLta

@的积的运算2<0时，25与万的方向相同；

4(万+B)=Aa+Ab

当2=0时，23=0

知识点3：平面向量基本定理和性质

1、共线向量基本定理

如果方=痛（力€幻，贝Ui/区；反之，如果//区且BwO,则一定存在唯一的实数；I,使@=/.（口

诀：数乘即得平行，平行必有数乘）.

2、平面向量基本定理

如果1和易是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量3,都存在唯一的一对

实数4,使得@=41+々尾，我们把不共线向量I，尾叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为

{—e?},+^62叫做向量3关于基底{乌勺}的分解式.

注意：由平面向量基本定理可知：只要向量1与最不共线，平面内的任一向量G都可以分解成形如

方=4q+402的形式，并且这样的分解是唯一的.4华+402叫做q,e2的一个线性组合.平面向量基本

定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.

推论1：若N=4q+4e?=4弓+402,则4=4，%=4.

推论2：若1=41+4最=0，则4=4=0.

3、线段定比分点的向量表达式

如图所示，在△N8C中，若点。是边3c上的点，且丽=彳友（47-1）,则向量

方+2就

~AD=.在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”

1+2

之功效，建议熟练掌握.

4、三点共线定理

平面内三点N,B,C共线的充要条件是：存在实数使反=2a+〃砺，其中彳+〃=1,。为

平面内一点.此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握.

A.B、C三点共线

O存在唯一的实数;I,使得就=几而；

o存在唯一的实数X,使得云=刀+4万；

o存在唯一的实数；I,使得云=（1-㈤刀+2砺;

O存在2+〃=1,使得皮=疝+〃砺.

5、中线向量定理

如图所示，在△NBC中，若点。患边2c的中点，则中线向量方=；(荏+*)，反之亦正确.

知识点4：平面向量的坐标表示及坐标运算

(1)平面向量的坐标表示.

在平面直角坐标中，分别取与X轴，》轴正半轴方向相同的两个单位向量7,7作为基底，那么由平面向

量基本定理可知，对于平面内的一个向量万，有且只有一对实数%/使5=%:+百，我们把有序实数对(XJ)

叫做向量)的坐标，记作5=(%/).

(2)向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有

向量(x,y)、对应)向量CM、=.布废)点A(x,y).

(3)设值=(再,必)，b=(x2,y2),贝！J。+(=(占+%2，%+%)，a-b=(xx-x29yl-y2),即两个向量的和

与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.

若不=(%/),2为实数，则=即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应

坐标.

(4)设4(再,必)，5(x2,y2),则45=。3-04=(芯-%2，%一%),即一个向量的坐标等于该向量的有向

线段的终点的坐标减去始点坐标.

(5)平面向量的直角坐标运算

22

①已知点4(不，必)，B(X2,y2),则45=(%2-再，歹2-必)，|AB|=^/(x2-xj+(j2-y^

②已知N=(%i，必)，b=(x2,y2),贝！J=(玉±々，乂士%)，4万=(九%1，%必)，

a-b=xrx2+yxy2,|a|=Jx；+y；.

a//box1y2-x2y1=0,aLb<=>xxx2+yxy2=0

知识点5：平面向量的数量积

（1）平面向量数量积的定义

已知两个非零向量G与人我们把数量miiBicosd叫做）与彼的数量积（或内积），记作。石，即

a-b=\a^b\cos0,规定：零向量与任一向量的数量积为0.

（2）平面向量数量积的几何意义

①向量的投影：|2|cosd叫做向量）在3方向上的投影数量，当。为锐角时，它是正数；当。为钝角时,

它是负数；当。为直角时，它是0.

②24的几何意义：数量积2%等于,的长度|2|与Z在日方向上射影|Z|cos。的乘积.

③设3,3是两个非零向量，它们的夹角是。力与3是方向相同的单位向量，AB=a,CD=b,过万

的起点4和终点8,分别作画所在直线的垂线，垂足分别为4,耳，得到丽，我们称上述变换为向量3

向向量行投影，病叫做向量万在向量B上的投影向量.记为旧|cos在.

知识点6：数量积的运算律

已知向量石、Z、2和实数X,贝I」：

@a-b=b-a；

(2)(Aa)-b=2(5-b)=a'(Ab)；

@(a+b)-c=a-c+b-c.

知识点7：数量积的性质

设方、1都是非零向量，"是与Z方向相同的单位向量，e是日与"的夹角，则

(T)^-a=a-?=|a|cos6.@a1b<^>a-b=Q.

③当方与Z同向时，a-b^a\\b\；当方与Z反向时，a-b^-\a\\b\.

特别地，鼠或值|=后房.

④cos6="'(\a\\b|^0).⑤[Z]W]&|向.

\a\\b\

知识点8：数量积的坐标运算

已知非零向量2=（西，乂），b={x2,y2）,6为向量方、6的夹角.

结论几何表示坐标表示

模a\=yja-a1a\=y]x2+y2

数量积

a-b=\a\\b\cos0a-b=x1x2+yxy2

COS”,中2+22

cos0=

夹角Wg西+才•收+式

\a\\b\

的充要

a-b=0西工2+其力=0

条件

a//b的充要

a=AbCbw0)x,y2~x2yt=0

条件

a-^<|a5（当

I与

1项，+yty2氏

且仅当3〃3时等号成；+＞；,也；+

|初,|的关系Jxy2

立）

知识点9：正余弦定理

（1）正余弦定理：在八42。中，角B,C所对的边分别是a,b,c,R为A43C外接圆半径，则

定理正弦定理余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA；

，上=上=2a

公式b2=c2+a2-2accosB；

sinAsinBsinC

c2=a2+b2-2abcosC.

,b2+c2-a2

cosA=---------------；

(1)Q=2Rsin/,b=2RsinB,c=2RsinC；2bc

ahcnc2+a2-b2

常见变形(2)sin/=——,sinB=——,sinC=——；cosB=---------------；

2R2R2Rlac

-a2+b2-c2

cosC=---------------.

lab

（2）面积公式:

S.ABC=—absinC=—Z>csin^=—acsinfi

222

&/8。=笔=；（°+6+°）"。•是三角形内切圆的半径，并可由此计算R,八）

知识点10:正余弦定理的相关应用

（1）正弦定理的应用

①边化角，角化边=〃:b:c=sin4:sin5:sinC

②大边对大角大角对大边

a>bo4>5osin/>sinBocosA<cosB

a+b+c_a+bb+c_a+c_〃_b

③合分比:=2R

sin4+sin8+sinCsinZ+sinBsin5+sinCsin4+sinCsin/sinBsinC

(2)△ZSC内角和定理：A+B+C=TI

①sinC=sin(4+B)=sinAcosB+cosAsinBoc=acosB+bcosA

同理有：a=bcosC+ccosB,b=ccosA-]-acosC.

②-cosC=cos(4+B)=cosAcosB-sinAsinB；

③斜三角形中，一tanC=tan(/+S)=t&n'+t&n'=tanA+tanB+tanC=tanA-tanB-tanC

Jl-tan^-tanS

,--x..A-\-BCA-\-B.C

出sin(---)=cos—；cos(---)=sin—

jr

⑤在AABC中，内角4B,C成等差数列OJ?=§,N+C=3-.

知识点11:解三角形的实际应用

1、仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）.

视线

铅金所

垂刎角霾

线'视线片

图①图②图③图④

2、方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如2点的方位角为a（如图②）.

3、方向角：相对于某一正方向的水平角.

（1）北偏东a,即由指北方向顺时针旋转a到达目标方向（如图③）.

（2）北偏西a,即由指北方向逆时针旋转a到达目标方向.

（3）南偏西等其他方向角类似.

4、坡角与坡度

（1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角。为坡角）.

（2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，z,为坡度）.坡度又称为坡比.

【典型例题】

题型一：向量的线性运算

【例1】如图所示，△N8C中，点。是线段3C的中点，E是线段的靠近A的三等分点，则第=()

5—►1—►?―►1—►1—►1—►?—►1—►

A.-BA——BCB.-BA+-BCC.-BA+-BCD.-BA+-BC

33363333

【答案】B

.—>'—>-.1—».1/—»—►\—►1R「—►2.1—►

【解析】根据题意有：BE=BA+AE=BA+-AD=BA+-(BD-BA\=BA+-----------BA=-BA+-BC.

a'a?as

故选：B.

【变式1-1］如图，在△48C中，BD=^DC,则诙=()

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

2244

2一1―•

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

3333

【答案】D

【解析】因为丽="1■皮，所以诟=标+丽=下+1瑟=运+!(就_而)=2次+1^.

233、,33

故选：D.

【变式1-2］如图，已知平行四边形45cZ),AB=a,AD=b，E为CD中点，则荔=()

_1一

C.aH—bD.—Q+b

22

【答案】D

【解析】~AE=AD+~DE=AD+-AB^-a+b.

22

故选：D.

【变式1-3］在△45。中，。为5C边上的中点,E是力。上靠近A的四等分点，则而=（）

A.--AB+-JCB.

8888

C.-1AB--AC

D.AABIAC

888+8

【答案】A

【解析】因为万而，

4

由已知可得，Ab=^AB+AC\所以荏=g（方+/）,

所以丽=荏一方=，（万+元）一方=-2万+，就.

8''88

故选：A

题型二：向量的数量积运算、夹角、模长

【例2】己知平面向量£、否满足同=4,|可=8,々与B的夹角为号.

⑴求卜-可;

（2）当实数人为何值时，（"+濡），（左”肛

【解析】⑴因为同=4,忖=8,£与*的夹角为号.

所以

所以**“1盯=yla2-2a-b+b2=^42-2x(-16)+82=477.

(2)因为(Q+届)_L(ka-b^,

所以(a+痛)•(左a—3)=左a+(k2-X^a-b-kb=\6k-\6(k2-6Ak—0,

化为《2+3左一1=0,解得上=二21姮.

2

【变式2-1］已知|矶=1,伍卜2,S.(a+b)-(a-2b)=-6.

⑴求向量2与B的夹角大小;

⑵求团+2司.

【解析】(1)由(〃+1),(〃—2b)=—6可得〃-a,b-2b=-6,

即卜|-|tz|-|fe|-cos<a^b>_2|S|=-6,

一.---1

所以l-lx2cos<a,b〉一2x22=—6,解得cos<〃,b>=—,

2

T2

且<a,Z?>G[O,K],所以<>=]兀.

|2

(2)\a+Q|+4|^|-|S|-COSy7l+4|S|

l+4xlx2x+4x22=旧.

【变式2-2】已知向量同=2,,=3,\3a-2b\=6.

(D求向量或B的夹角e；

⑵求但+2孙侬-的值.

【解析】⑴因为同=2,网=3,历-2,=6,

所以(32-2bf=97一1275+4片=36，

BP9X22-12X2X3COS6>+4X32=36,

解得cos6=51，由6e[0,兀],得。=]71.

(2)由(1)得展3=|司Wcosd=2x3xg=3,

(a+2b)-(2a-b)=la+3a-b-2b=2x22+3x3—2x32=—1.

【变式2-3】已知向量或B的夹角为寸洞=3,「=2亚

⑴求收一2司;

⑵若标+2不与2的夹角为钝角，求实数k的取值范围.

【解析】(1)因为向量4与B的夹角为。=彳，且0=3,⑸=20,

所以晨很=同词cos+=3X2A/2x(-^-)=-6，

所以归一2.=#一2盯=^|a|2+41&|2-4(A■=79+4x8+24=765;

(2)因为向量4与B的夹角为。=彳，且@=3,⑸=20，

所以(%+2司•m一2司=%同2-4归1+(—2左+2)展役=9左一32-6(—2左+2)=2庆一44,

44

若(肪+2分(万-2同<0,即21左-44<0,解得无〈受,

当质+25与。-2在共线时，此时满足：==，解得a=-1,

1—2

此时而+26与1-2瓦共线，且方向相反，

44

故而+23与1—23夹角为钝角时，左〈天且左w—1,

所以上的取值范围是(-

题型三：向量范围与最值问题

【例3】已知q,02是夹角为60。的两个单位向量，a=2ex+e2,b-Xex-2e2(2eR).

(1)若2］可以作为一组基底，求实数彳的取值范围；

(2)若垂直，求实数几的值；

(3)求⑻的最小值.

【解析】(1)因为可以作为一组基底，所以*3不平行，

2Q

又录，口不共线，所以即XW-4,

所以，实数2的取值范围为(-8,-4)3-4,+8).

(2)因为垂直，所以75=(2耳+耳〉(4，-2耳)=0，

—*2—*—»—»2

即22q+(彳—4)gj,e,—2%—0，

又12=丁=1，ex-e2=lxlxcos60°=1.,

1o

所以22+万(2-4)-2=0,解得彳=).

,----1

(3)由(2)知，e/4=3，

因为囚2=(狷_2心)2=%丁_4狷£+4丁=力_2彳+4=(彳_1)2+3,

所以，当4=1时，⑻2取得最小值3,

所以㈤的最小值为百.

【变式3-1】已知在平面直角坐标系中，ft4=(2,0),OB=(l,V3),OC=(l-2)a4+2OB(22^2),其中。为

坐标原点.

⑴求律在砺方向上的投影向量；

(2)证明：4B、C三点共线，并求口白的最小值.

【解析】(1)刀在历方向上的投影向量为:

OAOB2x0+lx百

0B=•（1,73）

12+（V3）2

(2)因为1=(1-标+2砺，贝欣-次=2(9-两,

即就=彳方，又/C与43有公共点，所以/、B、C三点共线;;

|oc|2^OC2^(i-AyOA+A2OB2+2(i-A)WA-0B

=4(1-/I)2+422+4(1-2)2=4(22-2+1)=4^1-1j+3,

当时，pq的最小值为g.

【变式3-2］如图，已知正方形48CD的边长为1,点£是边上的动点，求:

⑴亚的值；

(2)瓦.万心的最大值.

【解析】(1)依题意建立如图所示平面直角坐标系,

则。（0,0）,C（0,l）,5（1,1）,

设E（l,x）,（0<x<l）,

所以反=(l,x),CS=(1,O),

所以瓦.瓦=lxl+xxO=l.

(2)因为历=(l,x),衣=(O,l),

所以诙•丽=lx0+xxl=x,

因为0WxWl,

所以瓦•友的最大值是1.

【变式3・3】已知向量Q=(1,加)，b-(2,n).

(1)若加=3,〃二一1,且〃_L(Q+4),求实数丸的值；

(2)若忖+0=5,求屋刃的最大值.

【解析】⑴当"?=3,〃=-1时，£=(1,3),又5=(2,-1),

所以£+彳5=(1,3)+彳(2,—1)=(1+2彳,3-A),

若Q_L(Q+苏)，则〃•(〃+刀)=0,即(1+2几)+3(3—X)=0,解得1=10.

(2)因为a=(1,⑼,b-(2,ri),所以a+B=(3,加+〃)，

因为卜+q=5,所以3?+(加+4=52,则(加+4=16,

--101

所以Q・6=1X2+mn＜2+—(m+n)2=2+—xl6=6,

44

故当机=〃=2或加=〃=一2时，a-b的最大值为6.

题型四：余弦定理、正弦定理

【例4】在△45。中，角A,B,C的对边分别是b,。，ccosB=(2〃-b)cosC,则角。=()

,nc兀c[nc5万

A.—B.-C.—D.—-

6336

【答案】B

[解析】由ccosB=(2a-A)cosC得sinCcos5=(2sin74-sin5)cosC=2sin4cosC-sin5cosC,

则sinCcos5+sinBcosC=2sinZcosC,所以sin(5+C)=2sinZcosC,即sinZ=2sinAcosC,

171

因为4。为三角形内角，所以sinZ〉0,0＜。＜兀，贝iJcosC=5,所以C=1；

故选：B

【变式4-1】在△/5C中，若BCsin方一二4CsiiL4,则角吕=()

7Cc兀71

A.—B.1C.-D.

462~3

【答案】D

A.L.QA+C

【解析】由正弦定理可知，BCsm-------=ZCsiM可化为“sin--------=bsinA,

22

又/+6+。=兀，则qsin^—―=bsinA,BOacQS—=bs\nA,

22

再根据正弦定理可知，sin^cosy=sin5siiL4,

即cos0=2sin0cos0,贝!]sinO=」，

又sin/w0,

22222

TT

又0<3〈兀，所以2=§.

故选：D.

【变式4-2】已知△48C的内角N,B,C的对边分别为a,b,c,a+ccosA-b+acosC.

(1)求角C的大小;

(2)若c=2,△48C的面积为百，求UBC的周长.

122_22,r2_2

【解析】(1)由题设a+cx力'—=b+a/+0-c,整理可得。方=/十〃一°2

26c2ab

匕「I、1b2+a2—c21,,71

所以COSC=---------------=—,0<C<7L,故C=；.

2ab23

(2)由题意一absinC=百==4,又c?=/+〃一[/?=(〃+/?>—3仍，

2

所以(a+b)2=16n〃+6=4,故△NBC的周长为a+b+c=6.

4

【变式4-3】在△NBC中，角4民。所对的边分别为Q也。，已知。=2,cosB=-.

(1)若6=4,求sinZ的值；

(2)若的面积S=3,求6和。的值.

4

【解析】(1)vcosB=-,且0<8<九，

/.sinB=Vl-cos2B=j,

由正弦定理得，==刍，

smAsmB

又b=4,

2X

1_3;

asin5

sinA

b410

(2)'：S.ARr=—acsinB=-x2cx-=3,

△ABC225

..c=5•

3

由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB=22+52-2x2x5x-=ll,

:.b=417.

题型五：平面向量的实际应用

【例5】已知一个物体在三个力冗=(0,1),瓦=(-1,-3),用的作用下，处于静止状态，则冗=()

A.(-1,-2)B.(1,2)C.(2,1)D.(-2,1)

【答案】B

【解析】因为该物体静止，所以瓦+瓦+用=6,所以居=-(冗+居)，

又因为月+月=(0,1)+(-1,-3)=(-1,-2),所以瓦=一(耳+瓦)=(1,2),

故选：B.

【变式5-1】一物体在力户的作用下，由点4(2,15)移动到点8(7,8),已知芹=(-4,3),则户对该物体所做的

功为()

A.-41B.-1C.1D.41

【答案】A

【解析】由题意可知，^5=(5,-7),F=(-4,3),F.^=(-4)X5+3X(-7)=-41,

所以户对该物体所做的功为-41.

故选：A.

【变式5-2］在水流速度10km/h的自西向东的河中，如果要使船以10j§km/h的速度从河的南岸垂直到达北

岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为()

A.北偏西30。，20km/h

B.北偏西60。，loV2km/h

C.北偏东30。，1oV2km/h

D.北偏东60°,20km/h

【答案】A

如图，船从点O出发，沿反方向行驶才能使船垂直到达对岸,

依题意，OAYOB，\OA\=10,\OB\=10y5,

则||=7l|2+|OB|2=20，则cosZBOC==平,

因为N3OC为锐角，故N8OC=30。，

故船以20km/h的速度，以北偏西30。的方向行驶，才能垂直到达对岸.

故选:A.

【变式5-3】已知飞机从/地按北偏东30。的方向飞行2000km到达8地，再从8地按南偏东30。的方向飞

行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行10000km到达。地.则。地距/地（）

A.2000kmB.2000收kmC.1000kmD.1000五km

【答案】D

【解析】以A为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为了轴正方向建立直角坐标系.

由题意知8点在第一象限，C点在x轴正半轴上，。点在第四象限，

北

南

由已知可得，△N5C为正三角形，48=2000km,所以/C=2000km.

又41CD=45。,CD=1000圆n，则N/CD=45。，

所以ASC为等腰直角三角形，所以1000应km.

故选：D.

题型六：解三角形范围与最值问题

【例6】在△4BC中，角4民。的对边分别为a/，。，S为△48C的面积，若2s-回ccos/=0.

(1)求cosA；

（2）若q=VL求△4BC周长的范围.

【解析】⑴S

•二besin^4-6c-V3COSA=0

sin力=VJcosA

：.tanA=VJ,A=—,所以cos4=，

32

b_c_a_近

(2)根据正弦定理可得sin5sinCsin/g"

~2

设周长为C.

C=a+b+c=y/3+b+c

=y/3+2sinB+sin

旦osB+tinB

=y/3+2

(22

二6+2瓜inB+-71

6

①。中715%

•■-5+r~6,~6

sin18+£卜

:.CeQ瓜3同

【变式6-1】已知△4BC的内角A,B,C所对的边分别是。，b,c,且26sin/=atanB.

⑴求角3；

⑵若a+c=4,求△4BC周长的最小值，并求出此时△4BC的面积.

【解析】（1）因为26sinT=atan2=ns,11',即2bsin/cos5=asinB,

COS5

由正弦定理可得2sinBsinZcos_8=sinZsin5,

因为sinZ>0,sin5>0,所以2cosB=l,所以cosB='，

2

因为8e(O,7i),所以8

(2)由余弦定理〃=a2+c2-2QCCOS5=(Q+C)2-3ac=16-3。。,

即3ac=16-b2，

所以34c=16-/=12,所以解得622或(舍去)，

当且仅当Q=C=2时取等号，所以%.=2,

即4ABC的周长的最小值为6,此时SAABC=^acsinB=>/3

【变式6-2］已知中,角4氏。的对边分别为。也。，且2QbcosC=〃2sin25+/sin24.

⑴求。；

(2)若。=2,求△48。面积的最大值.

【解析】(1)由正弦定理及倍角公式得2cosc=?sin28+2sin2/=吧且・sin2B+10-sin2N

basin5sinA

=2siih4cosS+2sia8cosZ=2sin(4+5)=2sinC,得cosC=sinC,

即tanC=l,Ce(0,兀)，故C=:.

(2)由余弦定理可得=4=/+b2-\［2ab(2-V2jab,

解得仍W4+2&，

当且仅当a=b="+20时取等号，

△ABC的面积S=的W拒+1.

2

故△48C面积的最大值为V2+1.

【变式6-3］在八48。中，角4,B,C的对边分别是a,b,c,若bcos/=——asinB.

3

(1)求角4的大小；

(2)若6+。=6,求面积的最大值.

n

【解析】(1)vbcosA=——asinB,

3

n

由正弦定理得sin5cos/=——sinAsinB，

3

八sin/rr

,：sin5w0,/.-------=73,

cosA

即tan/=JL•.•力是A45C的内角，

A=60°.

(2)由b+c=6,得y/bc<~~~-3,

则be<9,当且仅当b=c=3时等号成立,

_1,•//9公

-Scc=-6csin^<—^―,

二A42C面积的最大值为WL

4

题型七：图形类问题

［例7］如图，在△/8C中/。8的平分线交BC边于点£,点。在45边上,4石=7,/。=3后,

⑴求—NOE的大小；

2兀

⑵若ZACB=—，求&CDE的面积.

【解析】(1)因为是—C4B的角平分线，所以cosNC4E=cos4UE=等，

在LADE中，根据余弦定理得DE2=AE2+AD2-2AE-ADcosZDAE=49+63-2x7x377xX=7,

14

所以。E=V7,

AD2+DE2—AE263+7—49

则cosNADE=

2ADDE2X3V7XV72

因为//。£«0,兀）,

jr

所以=

(2)因为cos/CAE;上，所以sin/CAE=Jl—cos?/CAE=

14

CEAECE1门口后

--------------=--------------=>-=-=-=>CE=-v7

在△NCE中,由正弦定理得sinNC4EsinZACE旧73

27r冗

在四边形ADEC中,NCED+/CAD=2冗一NACB—/ADE=2兀一三一个=冗,

所以sinZ.CED=sinZ.CAD=2sinZ.CAEcos/CAE=2x-----x------=------,

141414

则SBE=>CE-DEsinZCED='5乂近X史=史.

“CDE22144

【变式7-1］如图，在四边形4BCD中，48_12仁/40。=120。,48=8=240,4/。。的面积为也.

2

⑴求sin/C/B；

(2)证明：/CAB=/CAD,

【解析】（1）设。。=2/。=2氏。＞0,

因为△4CD的面积为火,=120°,

2

1a

所以一X2QXQXsinl20°=——，解得Q=1,

22

所以/5=。。=2,4。=1.

在△/C。中，由余弦定理得=4Q2+cQ2_2mCDcosl20。=l+4-2x2xlx1_；）=7,

所以NC="

在RtZX/BC中，ABIBC,AB=2,所以BC=Lc?-='7-4=退，

所以sin/C4B=.石国

AC7

（2）由（1）可得CD=2,AC=近,

CDAC

在ANCD中，由正弦定理得

smZCADsmZADC

所以.CDsinZADC2x~向,且0。<NC4D<60°.

sin/。力〃=-----------=—-=----

ACV77

历

由(1)可得sin/C48=土，又0°</C48<90°,

7

所以/C45=/C4D.

【变式7-2］如图，AADC是等边三角形，△4BC是等腰直角三角形，ZACB=90°,BD交幺C于E,

AB=2.

⑴求—ABE的度数；

(2)求△4AD的面积.

【解析】⑴由已知得

ADAC=NADC=ZACD=60°,Z.ABC=Z54C=45°,

所以△BC。是等腰三角形，/BCD=60。+90。=150。，

所以乙92。=；(180°-150°)=15°,

所以N48E=45°-15°=30°.

(2)由(1)知中，ZABD=30°,ZDAB=60°+45°=105°,

又sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos600+sin60°cos45°=x—+x=亚+",

''22224

所以S/砧=,*/3></Dxsinl05°=^^.

△ADU22

【变式7-3]如图，在平面四边形48co中，/ADB=45°,ZBAD^105°,AD=—,BC=2,4C=3.

2

(1)求边45的长；

(2)求△48C