江西省重点中学盟校2025届高三年级下册第一次联考数学试卷 （含答案与解析）

机密★启用前

江西省重点中学盟校2025届高三第一次联考

数学试卷

本试卷满分150分考试时间120分钟

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，

写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单选题：（每小题5分，共40分.每小题所给出的四个选项只有一项是符合题意）

N=[xeN|>=—^―eN],8={x|logjx<-1}.

1.已知〔x+2J5则AcB=（）

A.（2,6]B,{0,1}C,（2,6）D.{4}

2.设i为虚数单位，复数z的共匏复数为亍，若彳=含，则z在复平面内对应的点位于第（）象限

A.-B.二C.=D.四

3.已知sin8+cose=，,贝|tan8+---=（）

2tan。

4881

A.-B.——C.-D.一一

3332

4.已知平面内不共线的三个向量z、石、"两两夹角相等，且£为单位向量，W=2（|=4,则

|2口一3+4的值为（）

A.2百B.6C.3GD.7

5.从1,2,……，10中取三个不同的数，按从小到大的顺序排列，组成的数列是等差数列的概率为

（）

1111

A.-B.—C.-D.一

31246

6.已知点M、N在圆卡+「—2y—3=0上，点尸在直线Gx—y—3=0上，点。为"N中点，若

|"N|=20,则|尸。|的最小值为（）

A.V2B.2-73C.2-72D.V3

7.已知双曲线C：；-1=1的两焦点分别为《、F2,过右焦点月作直线/交右支于A、B点、,且

ab

-----*------►71

AB=3AF2,若/F1AB二,则双曲线。的离心率为（）

8.已知可导函数/（x）的定义域为R,/'（X）是/（x）的导函数，且/（2x—1）为偶函数/'（2x+l）为奇

函数，/（0）=1,则广（2024）+广（2025）+广（2026）=（）

A.-2B.-1C.0D.1

二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）

9.比较两组测量尺度差异较大数据的离散程度时，常使用离散系数，其定义为：离散系数=?等.某

均值

地区进行调研考试，共20000名学生参考，测试结果（单位：分）近似服从正态分布，且平均分为60,

离散系数为0.05,则下列说法正确是（）

（附：若随机变量Z服从正态分布尸Qz-■卜0.68,尸（|Z-4<2o■卜0.95）

A.学生考试成绩标准差为60x0.05=3

B.学生考试成绩近似服从正态分布N（60,9）

C,约有16800名学生的成绩低于66分

D.全体学生成绩的第84百分位数约为63

10.设正项等比数列也｝的前"项和为月，前〃项积为己知乙=2,则下列结论正确的是（

A.右(%23-1)(%24—1)<°则5024—5023〉1

B.右02026=02021则“2024=1

C.(62023-1)(62024-1)<0,则02023是。〃的最大值

D对任意“eN*,邛<优

11.如图，在棱长为2的正方体45CD—48CQ1中，~BE=ABC^CF=ACD>^^(0,1),则下列说

B.三棱锥G-CEE的体积最大值为1

C.若/=工，则点用到直线EF的距离为迪

22

D.三棱锥G-CEF外接球球心轨迹的长度近似为6

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)

12.已知幕函数/(x)=(〃2—6"+9*T在((),+⑹上单调递增，若正数口、b满足3a+46=〃，贝I

43

-+-的最小值为___________.

ab

13.用0,1,2,3组成没有重复数字的四位偶数有"个，贝|(l+x)3+(l+x)4+……+(l+x)"的展开式

中，好项的系数为.(用数字作答)

14.在抛物线/=2px(2>0)上有三个不同点A、B、C,焦点为F,点A坐标为(1,2)且

轴，尸为V4SC的重心，则V4SC的面积为.

四.解答题：(本大题共5小题.共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

15.设向量成=(gsinx,sinx+cosx),H=(2cosx,sinx-cosx),f(x)=加•元.

(1)求/(X)的单调递减区间；

(2)在锐角V45C中，角4B,。所对的边分别为a,b,c,若/(幺)=1,a=2,

sinS+sinC=Y5，求V45c的面积

2

16.在四棱锥P—48C。中，底面48CD为直角梯形，ADIIBC,AD±AB,侧面尸48J_底面48CD,

P4=PB=^，AD=^BC=2,且E、尸分别为尸C、CD的中点.

(1)证明：DE〃平面PAB；

(2)若直线P尸与平面尸48所成的角为45°，求平面尸45与平面PCD所成锐二面角的余弦值.

17.已知函数/(x)=x-(a+2)lnx,8(%)=二上

X

(1)若a=l,求函数/(x)的最小值；

(2)设函数4x)=/(x)—g(x),讨论函数〃(x)的单调性;

(3)若在区间［l,e］上存在一点/，使得/(xo)＜g(x0)成立，求。的取值范围.

22

18.已知椭圆。：三+%=1(。〉6〉0)的焦距为2,直线/：＞二丘+加(左＞0)与。交于〃、N两

3

点，。为坐标原点，P为MN中点、.若kop,k=-1.

3

⑵若OM、ON的斜率分别为左、左2且始终满足左住=/+勺+左2,求直线/的斜率左的值;

（3）A、8为椭圆C上关于原上对称的两点且满足2丽=刀，直线也、4V交于点0,问：&Q4B

的面积是否为定值？若是求出此定值，若不是请说明理由.

19.（1）某公司为提升员工身体素质，鼓励员工参与“健康帮，活力无限”健身打卡活动.公司统计了开展

活动后近5个月员工因健身而使身体指标（如体脂下降、心肺功能提升等）明显改善的人数.统计结果如

下：

月份X12345

身体指标明显改善人数J33026020014090

若身体指标明显改善人数了与月份变量x（月份变量x依次为1,2,3,4,5,…）具有线性相关关系，请预测

第6个月身体指标明显改善的大约有多少人？

（2）公司将参与健身打卡活动的员工分成了X、KZ三组进行健身竞赛，其规则：竞赛发起权在任何一

组，该组都可向另外两组发起竞赛，首先由X组先发起竞赛，挑战¥组、Z组的概率均为:，若X组挑战

y组，则下次竞赛发起权在y组.若竞赛发起权在y组，则挑战x组、z组的概率分别为!■和J；若竞赛

发起权在z组，则挑战x组、y组的概率分别为3和J；

44

①经过3次挑战赛后，求竞赛发起权在Y组的次数〃的分布列与数学期望；

②定义：已知数列｛%｝,若对于任意给定的正数£（不论它多么小），总存在正整数N。，使得当〃〉£

时，旧,一旬<£（A是一个确定的实数），则称数列｛%｝为“聚点数列”，A称为数列｛%｝的聚点.经过〃

次竞赛后，竞赛发起权在X组的概率为4,证明数列｛4｝为“聚点数列”，并求出聚点A的值.附：回归

d=y—bx,

参考答案

一、单选题：（每小题5分，共40分.每小题所给出的四个选项只有一项是符合题意）

^=jxeN|j=—,jGNl,J5=｛x|log1x<-l｝.

1.已知〔x+2J5则AcB=（）

A.(2,6]B.{0,1}C.(2,6)D.{4}

【答案】D

【解析】

【分析】首先求出集合43,再利用交集的概念及运算求答案即可.

【详解】由题意知2={0』,4},3={市)2},

则Nc8={4},

故选：D.

2.设i为虚数单位，复数z的共轨复数为亍，若彳=含，则z在复平面内对应的点位于第()象限

A.-B.二C.三D.四

【答案】A

【解析】

【分析】由复数的运算性质化简得1=1_2i，则2=l+2i,即答案可求.

【详解】由题意得彳=熹吉=2里=l—2i,

所以z=1+2i,则Z在复平面内对应的点位于第一象限，

故选：A.

11

3.已知sine+cose=一，贝Utan0d-----=()

2tan。

4881

A.-B.——c.一D.--

3332

【答案】B

【解析】

【分析】在等式sin8+cos，=1两边平方，求出sin。cos6的值，再利用切化弦可求得tan0+-^―的值.

2tan。

【详解】在等式sin9+cos8=L两边平方可得l+2sinecos6=，,可得sinOcosd=-？，

248

八1sin8cos0sin20+cos2018

所以tan。cos6(sin。sin6,cos6f_33-

—8

故选：B.

4.已知平面内不共线的三个向量£、b>"两两夹角相等，且£为单位向量，W=2口=4,则

^2a-b+c|的值为（）

A.20B,6C.36D.7

【答案】B

【解析】

_2兀

【分析】分析可知三个向量2、B、1两两的夹角为q-，利用平面向量数量积的定义和运算性质可求得

2口-的值.

2兀

【详解】由题意可知，三个向量£、B、"两两的夹角为

由平面向量数量积的定义可得。/=忖一区卜05号=1义4*]—；）=—2,

同理可得a・c=—1,6.c=-4,

I-►-►­»I//—►—►­►\2/—►2-►2-*2-►—►—►―►—►—►

所以，2a-6+。=,（2Q-Z）+C）=74a+b+c-4Q,6+4Q・C-2b

=J4+16+4+8-4+8=6•

故选：B.

5.从1,2,……，10中取三个不同的数，按从小到大的顺序排列，组成的数列是等差数列的概率为

（）

1111

A.-B.—C.—D.一

31246

【答案】D

【解析】

【分析】设取出的3个不同的数分别为0、6、c,结合等差数列的性质分析可知故a、c同为奇数或同为偶

数，且。与c确定后，6随之而定，利用古典概型的概率公式求解可得答案.

【详解】设取出的3个不同的数分别为a、b、c,

不同的取法共有C；0=120种，

若这3个数构成等差数列，则有a+c=2江

故。、c同为奇数或同为偶数，且。与c确定后，6随之而定.

C2+c2i

从而所求概率为55=--

C106

故选：D.

6.已知点M、N在圆2y—3=0上，点尸在直线Gx—y—3=0上，点。为"N中点，若

|"N|=20，则|尸。|的最小值为（）

A.桓B.2-V3C.2-V2D.V3

【答案】C

【解析】

【分析】求出圆的圆心为C（o,l）,半径为r=2,利用勾股定理求出|c@的值，利用圆的几何性质可求得

\PQ\的最小值.

【详解】圆V+j?—2y—3=0的标准方程为r+（了—=4,

所以，圆心为C（0,l）,半径为r=2,

由中垂线的性质可得则|。。|=J/—也竺174-2=6,

所以，点。在以点。为圆心，半径为正的圆上,

点C到直线V3x-v-3=0的距离为d=匕上3=2,

V3+1

所以，同1*"烟=2-0.

故选：C.

22

7.已知双曲线4=1的两焦点分别为《、F2,过右焦点乙作直线/交右支于A、B点，且

ab

—,1*兀

幺8=32工，若/月则双曲线C的离心率为()

【答案】D

【解析】

【分析】令|2£|=/,可得出|48|=3/，忸闾=2/,由双曲线的定义可得出恒国、忸周，在ANB耳中,

利用余弦定理可出/=5口，可得出以片|、|Zg|,然后在耳层中利用余弦定理可求得该双曲线的离

心率的值.

【详解】令|4刈|=」由方=3,，得|48|=3/,忸闻=2/,

由双曲线定义|幺与|=以用+2a=t+2a,\BFl\=\BF2\+2a=2t+2a,

TT

在A48片中，NF、AB=—,

3

2

由余弦定理可得|2片|+\AB^-2\AF\-\AB\COSNF]AB=\BFX『，

得(7++(3/1—2(7+2a)x3/cosg=(2/+，整理得3^_10^=0，

解得/=所以，以周=/+24=修%闾=/=ga.

在△4大乙由余弦定理以用2+|N片「—2|4F；H/g|cosN片4B=|片片「，

,616Y<10Yc1610兀小、2

wBIciI+1ciI-2xd•6/cos-=（2cJ,

196r7

整理得——a2=4c2,则e=—=一.

9a3

故选：D.

【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：

（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得。、。的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；

（2）齐次式法：由已知条件得出关于。、。的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；

（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.

8.已知可导函数/（力的定义域为R,/'（x）是/⑴的导函数，且/（2x-1）为偶函数/'（2x+l）为奇

函数，户（0）=1，则广（2024）+广（2025）+广（2026）=（）

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可得/'（1-/）+/'。+/）=0,由函数奇偶性的定义得出/（T—1）=/。-1）,求导得出

—/'（T—=进而可推出函数/'（x）是周期为4的周期函数，以及函数/'（X）的对称中心为

（1,0）,求出/'⑴、/'（0）+求'（2）的值,结合函数周期性可求得广（2024）+广（2025）+/'（2026）的值.

【详解】因为函数/'（2x+l）为奇函数，则/2x+l）=—/'（2x+l）,

即/'（_2x+l）+/'（2x+l）=0,令,=2x,则/'（1_/）+/'（1+/）=0,

所以，函数/'（X）的对称中心为（1,0）,且广（2-）+人）=0,①

在等式①中，令/=1可得2/'（1）=0,解得/'（1）=0,

在等式①中，令"0可得/'（0）+/'（2）=0,

因为函数/（2》一1）为偶函数，则/（—2x—=—

令r=2x,可得/（一/-1）=/。-1）,求导得-/'（-/-1）=/'。T）,

则/'（/）+/'（-2-。=0,②

由①②可得/'（2T）=/'（_2T）,令s=—2T,则广（4+S）=_T（S）,

所以，函数/'（x）是周期为4的周期函数，

所以，r（2024）+r（2025）+r（2026）=r（0）+r（l）+r（2）=0.

故选：C.

【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：

（1）若函数/（X）的图象关于直线x=a和X=b对称，则函数/（X）的周期为7=2卜一小

（2）若函数/（x）的图象关于点（。,0）和点（仇0）对称，则函数/（x）的周期为丁=2,一4；

（3）若函数/（x）的图象关于直线x=a和点（a0）对称，则函数“X）的周期为7=可。一叶

二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）

标准差

9.比较两组测量尺度差异较大数据的离散程度时，常使用离散系数，其定义为：离散系数=里等.某

均值

地区进行调研考试，共20000名学生参考，测试结果（单位：分）近似服从正态分布，且平均分为60,

离散系数为0.05,则下列说法正确是（）

（附：若随机变量Z服从正态分布N（〃Q2）,尸（|Z-b0.68,尸（|Z-4<2o■卜0.95）

A.学生考试成绩标准差为60x0.05=3

B.学生考试成绩近似服从正态分布N（60,9）

C,约有16800名学生的成绩低于66分

D.全体学生成绩的第84百分位数约为63

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用离散系数的定义可判断A选项；利用正态分布的概念可判断B选项；利用正态分布3。原则

可判断C选项；利用百分位数的定义可判断D选项.

【详解】对于A选项，-=0.05,则学生考试成绩标准差为（7=60x0.05=3,A对；

对于B选项，由正态分布可知学生考试成绩近似服从正态分布N（60,9）,B对;

对于C选项，因为66=〃+2cr,

则尸(Z<〃+cr)=0.5+0.5P(|Z-//|<cr)土0.5+0.5x0.95=0,975,

所以，绩低于66分的学生人数约为20000x0.975=19500,C错；

对于D选项，因为尸(Z<〃+cr)=0.5+0.5P(|Z-//|<cr)土0.5+0.5x0.68=0.84,

所以，全体学生成绩的第84百分位数约为〃+b=63,D对.

故选：ABD.

10.设正项等比数列0｝的前"项和为匕，前〃项积为己知4=2,则下列结论正确的是()

A.若(4023-1)(4024_1)<0则^2024—^2023〉1

B.若02026=02021则，2024=1

C.32023—1)32024—1)<0，则02023是。"的最大值

D.对任意neN*,b；<2

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据给定条件，按公比q21,0<q<l探讨单调性判断AC；利用等比数列性质计算判断B；借助

等比数列通项公式推理判断D.

【详解】设正项等比数列｛4｝的公比为9,q>0,b“>0,而4=2,

对于A,若"I,则"b/T”S2023Tx狐24T)〉°，不符合题意，

若0<q<l,则数列｛"｝单调递减,由S2023-1)(源24T)<0，得&023〉1也024<1，

于是，2024=6()24—6o23<1，A错误；

对于B,由。2026=02021，得畀=，2022,2023,202也025篇26=£)24=1，则&024=1，B正确；

»2021

对于C,由选项A知，数列｛4｝前2023项都大于1,从第2024项起为都小于1的正数，

因此。2023是数列｛。“｝中的最大项，C正确；

2nx

对于D,b"=(b/T)'=b；q"g),Qn=b"-q-q-■-q-=邛可源+…+所。=b"q^，

产）,而4>1,则申=（邛）2>邛,因此¥<优，D正确.

故选：BCD

11.如图，在棱长为2的正方体4SCO-48]G2中，BE=ABC>CF=ACD>^^（0,1）,则下列说

B.三棱锥G-CEE的体积最大值为1

c.若4=工，则点用到直线斯的距离为迪

22

D.三棱锥G-CEF外接球球心轨迹的长度近似为V3

【答案】AC

【解析】

【分析】以。为坐标原点，建立空间直角坐标系求得直线方向向量可判断A,由三棱锥体积公式可判断

B,由点到线距离的向量法公式即可判断C,设EF,CG的中点分别为T,S,过点T作平面4BC。的

垂线/,过点S作与棱CG垂直的平面判断直线/与平面a交于点。为球心，得到点。的轨迹长度与

点T的轨迹长度相等，即可判断D.

【详解】以。为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示.设BE=CF=m（0<m<2）,

则耳（2,2,2）,G（0,2,2）,A（0,0,2）,F（0,2-m,0）,£（2-m,2,0）.

对于选项A：因为/=（―2,——2）,=（2—%2,—2）,

所以57•£）]£=-2（2-机）-2m+4=0,

所以军上印，所以A正确.

对于选项B：三棱锥G—CEF的体积jz=；-CQ=|x|xm（2-m）x2=-1（m-l）2+1,

所以当机=1时，三棱锥G-CE尸的体积取得最大值g,B错误.

对于选项C：若a=:，则m=1,F（O,1,O）,E（1,2,0）,

所以而=（1,1,0）,函=（2,1,2）,

(_\2

所以点4到直线£F的距离"=|M|2-FBhIEC正确.

V1l阀J2

对于选项D：设EF,CG的中点分别为T,s,

过点T作平面ABCD的垂线/,过点S作与棱CQ垂直的平面a,

直线/与平面a交于点。，则点。为外接球的球心，

显然点。的轨迹长度与点T的轨迹长度相等.

因为E（0,2—机,0）,£（2-m,2,0）,所以—£,2—

在平面N5CD内，点T的轨迹方程为y—x=l,且0<x<l,l<y<2,

故点T的轨迹长度近似为正，即三棱锥G-CM外接球球心轨迹的长度近似为正，D错误.

故选：AC.

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)

12.已知幕函数/(x)=(〃2—6〃+9卜7在Q+⑹上单调递增，若正数/,满足3a+4b=〃，则

43

—+；的最小值为___________.

ab

【答案】12

【解析】

【分析】由幕函数的定义与单调性可得出关于实数〃的等式或不等式，解出"=4,可得出3a+4b=4,

43143

将代数式-+-与代数式a。。+4A)相乘，展开后利用基本不等式可求得-+-的最小值.

【详解】因为嘉函数/⑺=(/-6〃+9)x"-3在(0,+。)上单调递增，

«2-6«+9=1

则解得n=4,

〃一3>0

正数。、力满足3a+4Z?=4,

2

ci——

等号成立,

b=—

2

43

因此，一+7的最小值为12.

ab

故答案为：12.

13.用0,1,2,3组成没有重复数字的四位偶数有"个，贝U(l+x)3+(l+x)4+……+(l+x)"的展开式

中，X3项的系数为.(用数字作答)

【答案】330

【解析】

【分析】求出用0,1,2,3组成没有重复数字的四位偶数的个数，得到〃的值.再根据二项式定理通项

公式求出展开式中V项的系数即可.

【详解】当个位数字为0时：其他三个数位从1,2,3这三个数字中任意排列，有A；=3x2xl=6种情

况.

当个位数字为2时：千位不能为0,所以千位有2种选择（从1,3中选），百位从剩下的2个数字中选,

十位再从剩下的1个数字中选，

根据分步乘法计数原理，共有2xA；=2x2xl=4种情况.

所以〃=10

根据二项式展开式的通项公式9+1=对于（l+x>,展开式中/项的系数为c；

Qk=3,4,…,10）.

那么（l+x）3+（l+x）4+…+（l+x）i。展开式中V项的系数为c；+c：+C；+…+C>

由组合数的性质C：+C：T=C；+i，且C；=C：,则

C；+C；+C；+…+C：o=C：+C：+C；+.••+/=C+《+.•,+&=•••=■•

11x10x9x8

可得C；1==330.

4x3x2xl

故答案为：330.

14.在抛物线/=2px（夕>0）上有三个不同点A、B、C,焦点为F,点A坐标为（1,2）且4F_Lx

轴，尸为V4SC的重心，则V4SC的面积为.

【答案】正

2

【解析】

【分析】由可求出抛物线的方程，由重心的性质可求得线段3c的中点。的坐标，利用点差法求

出直线3c的方程，将该直线方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合三角形的面积公式以及韦达定

理可求得结果.

【详解】由点A的坐标为（1,2）且轴得尸（1,0）,即7=2,抛物线方程为/=4x,

设8（%1，%）、C（x2,y2）,贝卜4”相减可得（必一%）（必+%）=4（石一%）,

y2=4X2

7ji-y?4

BC所在直线斜率kBC==------

Xi-%%+%

记8c中点为。，又由尸为V45c的重心，可知万=2两,

/、/、/、12（加一1）=0[m=\/、

设点。（九〃），则（0,—2）=2（机—1,〃），可得｛\,解得〈一即点。（1,一1）,

2n=-2n=-l

所以，8c所在直线方程为y+l=—2（x—1）,即y=-2x+l,

y——2x+1/、？

联立方程42（，得4——8x+l=0，△=（—8）—4x4>0,

y=4x

由韦达定理可得X1%=4,X；+x2=2,得k]—引=J（X[+》2）2-4》1》2=百，

故：MABC的面积为s=SAADB+S-ADC=~,以。卜,1一%|；x3XG=孑•.

故答案为：士.

2

三.解答题：（本大题共5小题.共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.设向量成=（Gsinx,sinx+cosx）,H=（2cosx,sinx-cosx）,=.

（1）求/（x）的单调递减区间；

（2）在锐角V48C中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,若/（幺）=1,a=2,

sinB+sinC=Y6，求V45c的面积

2

TT57r

【答案】(1)ku+—,kit+(左£Z)

36

(2)10-573

【解析】

TT

【分析】（1）应用向量数量积的坐标表示及三角恒等变换化简求得/（x）=2sin（2x-一）,再利用正弦型

6

函数的性质求递减区间；

（2）由/（2）=1得/=与，结合正弦定理可得b+c=2指，结合余弦定理有〃+02一百儿=4,联立

求得秘=20（2-6）,最后应用三角形面积公式求面积.

【小问1详解】

由题意得/(x)-m-n-2V3sinxcosx+(sinx+cosx)(sinx-cosx)=V3sin2x-cos2x

=2sin(2x-.7T),

令2祈+巴V2x-—<2k7i+—(keZ),解得祈+工Vx<kTt+—[kGZ)

26236

JTSJT

所以/（x）的单调递增区间为kn+-,kn+—（左eZ）.

【小问2详解】

因为V4SC为锐角三角形，由/（幺）=1得2sin[2N-6]=1,

由八|呜]可得2"一会〔比爸，

所以2/—〃=巴，故/='，

666

在V45c中，由正弦定理得一^=27?=4,所以6+c='^（sin8+sinC）=2&,

sinAsinA

所以户+。2+2儿=24①，

由余弦定理得〃+/-/=2bccosA»得/+c2—y/3bc=4②，

由①②解得be=20（2-6）,

所以V48C的面积为S“BC=-Z>csin^=10-573.

16.在四棱锥P—4BS中，底面48CD为直角梯形，ADHBC,AD±AB,侧面尸45J_底面48CD,

PA=PB=屈，AD=-BC=2,且£、尸分别为尸C、CD的中点.

2

（2）若直线P尸与平面尸48所成的角为45°，求平面尸4g与平面尸8所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵

11

【解析】

【分析】（1）取网中点连接ZM、EM,推导出四边形ZDEN为平行四边形，可得出〃/

再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；

（2）推导出8C,平面尸4B,由线面角的定义可求得则GP=；（4D+5C）=3,PG=GF=3,然后

以点G为坐标原点，GB、GF、GP所在直线分别为x、了、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法

可求得平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.

【小问1详解】

取尸8中点连接HI/、EM,

因为£为尸C的中点，所以，MEIIBC,ME=-BC,

2

又因为ADHBC,AD=-BC,所以，MEHAD,ME=AD,

2

所以，四边形ZDEN为平行四边形，则。£〃//,

因为。£«平面「45,ZMu平面尸48,所以，DE//平面PAB.

【小问2详解】

因为AD〃BC,AD1AB,则BCLNB,

因为平面尸45平面48CD,平面R43c平面48CD=48,8Cu平面48CD,

所以，8C_L平面尸48,

取48中点G,连接歹G,则FG〃8C,所以，尸G,平面尸48,

故PF与平面PAB所成的角为/GPP=45°，则GE=:(40+5C)=3,

所以，PG=GF=3,

又因为尸/=PB=A，则ZG=8G=dPB?-PG?=V14-9=，

如图以G为坐标原点，GB、GF、GP所在直线分别为x、>、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,

则尸(0,0,3)、C(V5,4,0),£>(-75,2,0),

所以定=(6,4,-3),CD=(-275,-2,0),

设平面PCD的一个法向量为〃1=(x,y,z),

取x=l,贝!j=(1,—,

易知平面尸48的一个法向量为鼠=(0,1,0),

设平面PAB与平面PCD所成锐二面角为0,

«i-«2出J55

所以,cos0-|一|J」=—j=-

■Ml而11

所以平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值运.

11

1I/~t

17.已知函数/(x)=x-(a+2)lnx,g(x)=----

⑴若a=l,求函数/(x)的最小值;

(2)设函数//(x)=/(x)-g(x),讨论函数丸(x)的单调性;

(3)若在区间［l,e］上存在一点飞,使得/(xo)<g(x。)成立，求。的取值范围.

【答案】(1)3-31n3

(2)答案见解析(3)(0,+。)

【解析】

【分析】(1)当4=1时，求出函数/(X)的解析式，利用导数分析函数/(X)的单调性，即可求出函数/(X)

的最小值；

(2)求得+,对实数。的取值进行分类讨论，利用函数单调性与导数的关系可

求得函数力⑴的增区间和减区间；

(3)由题意可知，当xe[l,e]时，/z(x)m,n<0,对实数。的取值进行分类讨论，分析函数〃(x)在区间

[l,e]上单调性，结合力(力皿证<0可求得实数。的取值范围.

【小问1详解】

3v—3

当0=1时，/(x)=x—31nx,其中x>o,则/''(X)=l--=-——,

xx

由/'(x)<0可得0<x<3,由/'(x)〉0可得x>3,

所以，函数/⑺的减区间为(0,3),增区间为(3,+8),

所以，/(x)mm=/⑶=3-31n3-

【小问2详解】

因为/z(x)=/(x)-g(x)=x-(o+2)lnx--^-^,其中%>0,

则h'(x)=\-。+2+£±1=，-(a+2)x+(a+l)=(x—l)[x—(a+1)],

XXXX

当a+lWO时，即当aV—1时，由〃'(x)<0可得0<x<l,由〃'(x)〉0可得x>1,

此时，函数丸(x)的减区间为(0,1),增区间为(1,+8)；

当+时，即当一1<。<0时，

由〃'(x)<0可得a+l<x<l,由〃'(x)〉0可得0<x<a+l或x>l,

此时，函数力⑴的增区间为(0,。+1)、(1,+⑹，减区间为(a+1,1)；

当a+1=1时，即当a=0时，对任意的x>0,>0,

此时，函数/(X)的增区间为(0,+。)，无减区间；

当Q+1>1时，即当。〉0时,

由〃'(x)〉0可得0<x<l或x>a+l,由〃'(x)<0可得l<x<a+l,

此时,函数丸(x)的增区间为(0,1)、(a+l,+e),减区间为(l,a+l).

综上所述，当a<—1时，函数〃(x)的减区间为(0,1),增区间为(1,+8)；

当一1<0<0时，函数/(X)的增区间为(0,。+1)、(1,+℃),减区间为(。+1,1)；

当a=0时，函数〃(x)的增区间为(0,+。)，无减区间;

当。>0时,函数%(x)的增区间为(0,1)、(a+l,+e),减区间为(l,a+l).

【小问3详解】

由(2)可知，当aWO时，函数〃(x)在［l,e］上单调递增，则〃口L=〃⑴=一a20,不合乎题意;

当a>0时，函数〃⑴在上单调递减，在［a+1,+8)上单调递增，

⑴若a+lWe,则a«e-1时,则函数五(x)在［1,a+1］上单调递减,在［a+l,e］上单调递增,

所以，//(%僵=+=a-(2+a)ln(l+a)<0,

设加(a)=a—(2+a)ln(l+a)其中0<aWe-l,则机'(a)=——-----ln(l+a)<0,

1+a

所以，函数加(a)在(O,e—1］上单调递减，则加(a)(机(0)=0,合乎题意;

(ii)若a+l>e,即当a>e—1时，函数入⑴在［l,e］上单调递减,

zy1「2_Op_1

所以，=Me)=e—(a+2)—1-<0,解得

e2—2e—1/xe~-2e—1—(e+l)(e—1)2el,

因m为-----------(e-l)=----------------------------)-=-------<0<1则ma〉e_］.

e+1e+1e+1

综上所述，实数。的取值范围是(0,+。).

【点睛】思路点睛：讨论含参函数的单调性，通常注意以下几个方面：

(1)求导后看最高次项系数是否为0,须需分类讨论；

(2)若最高次项系数不为0,通常是二次函数，若二次函数开口方向确定时，再根据判别式讨论无根或

两根相等的情况；

(3)再根据判别式讨论两根不等时，注意两根大小比较，或与定义域比较..

18.已知椭圆。：三+%=1(。〉6〉0)的焦距为2,直线/：＞=依+机(左＞0)与C交于/、N两

3

点，。为坐标原点，P为MN中点、.若如?•左=-王

3

⑵若OM、ON的斜率分别为左、k2且始终满足W=z+左+左2，求直线I的斜率k的值；

(3)A、B为椭圆C上关于原上对称的两点且满足2加