2024-2025学年天津一百中高二（下）诊断数学试卷（3月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年天津一百中高二（下）3月诊断数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数f(x)=13x3−xA.2 B.4 C.8 D.162.曲线f(x)=x2lnx−2x+2在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为A.π4 B.π3 C.3π43.等差数列{an}的首项为1，公差不为0，若a2，a3，aA.15 B.−15 C.−13 D.134.函数f(x)=ex−eA. B.

C. D.5.现给如图所示的五个区域A，B，C，D，E涂色，有5种不同的颜色可供选择，每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为(

)A.420

B.340

C.260

D.1206.已知函数f(x)=lnx−12ax2−2x在[A.[0,+∞) B.(0,+∞) C.[−1,+∞) D.(−1,+∞)7.已知(4x+a)(1−2x)4的所有项的系数和为5，则x2的系数为A.−32 B.−8 C.24 D.488.定义在R上的函数f(x)导函数为f(x)，若对任意实数x，有f′(x)<f(x)，且f(0)=−1，则不等式f(x)ex+1<0的解集为A.(−∞,1e) B.(1e,+∞)9.已知奇函数f(x)在R上是减函数，g(x)=xf(x)，若a=g(−log29.1),b=g(20.8),c=g(3)，则a，bA.a<c<b B.a<b<c C.b<a<c D.b<c<a二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。10.若(x2+2x11.函数f(x)=x3−x212.某医疗队伍有4名医生需分配到2个志愿团队，每名医生只去一个志愿队，每个志愿队至少分配一名医生，则共有______种不同的方法.(用数字作答)13.已知函数f(x)=ex−x−1，g(x)=x−lnx+a，若∀x1∈R，∃x14.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的三位数，这样的三位数共有______个.(用数字作答)15.已知函数f(x)=lnx+1−2mx23x+1有两个零点a、b，且存在唯一的整数x0三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题15分)

如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB//DC，AB=3，AA1=2，AD=DC=1，M，N分别为DD1，B1C1的中点，

(1)求证：17.(本小题15分)

已知数列{an}是递增的等差数列，{bn}是等比数列，b1=2a1=2，b2=2a2，b3=2a4．

(1)求数列{18.(本小题15分)

已知函数f(x)=xex,g(x)=a2(x+1)2−1e，其中a>0．

(1)求f(x)的单调区间和极值；

(2)若对∀x1，x2∈[1,2]且19.(本小题15分)

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22，短轴长为4．

(1)求椭圆的方程．

(2)过左焦点F1作两条互相垂直的直线l1，l2(其中直线l1的斜率为正)，直线l1与椭圆交于20.(本小题15分)

已知f(x)=xln(ax+b)．

(1)若f(x)在(1,f(1))处的切线方程为2x−y−2=0，求实数a，b的值；

(2)当b=0时，若f(x)+(a2−2)x+a≥0对∀x∈(0,+∞)恒成立，求实数a的取值范围；

(3)若方程f(x)=x参考答案1.D

2.C

3.C

4.B

5.A

6.D

7.B

8.D

9.A

10.160

11.1

12.14

13.(−∞,−1]

14.54

15.[ln2e16.解：(1)证明：如图：

取CB1的中点P，连接NP，MP，

由N为BC1中点，可得NP//CC1且NP=12CC1，

由M为DD1中点，故D1M=12DD1=12CC1，且D1M//CC1，

所以D1M//NP且D1M=NP，

所以四边形D1MPN为平行四边形，所以D1N//MP，

又MP⊂平面CB1M，D1N⊄平面CB1M，

所以D1N//平面CB1M；

(2)因为AA1⊥平面ABCD，AB⊥AD，故可以A为原点，建立如图空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(3,0,0)，C(1,1,0)，B1(3,0,2)，M(0,1,1)，

所以BC=(−2,1,0)，BB1=(0,0,2)，AM=(0,1,1)，

设平面BB1C1C的法向量为m=(x1,y1,z1)，

则m⋅BC=−2x1+y1=0m17.解：(1)数列{an}是递增的等差数列，

{bn}是等比数列，b1=2a1=2，b2=2a2，b3=2a4．

设公差为d(d>0)，公比为q，

可得b1=2，a1=1，

联立可得2q=2(1+d)2q2=2(1+3d)，解得d=1q=2或d=0q=1(舍)，

所以an=n，bn=2n．

(2)由(1)可得an⋅bn=n⋅2n，

所以Sn=1×21+2×22+...+n⋅2n，

2Sn=1×22+2×23+...+n⋅2n+1，

相减可得，−Sn=21+22+...+2n−n⋅2n+1=2(1−2n)1−2−n⋅2n+1，

则Sn=(n−1)2n+1+2．

(3)由(1)得，cn=1anan+1=1n(n+1)=1n−1n+1，

i=1nci=1−12+12−13+...+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1．

18.解：(1)f′(x)=ex+xex=ex(x+1)，

当x<−1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>−1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

当x=−1时，函数f(x)取得极小值f(−1)=−1e，

所以函数f(x)的减区间为(−∞,−1)，增区间为(−1,+∞)，极小值为−1e，无极大值．

(2)由函数g(x)=a2(x+1)2−1e，可得xg(x)=a2x(x+1)2−1ex，

设m(x)=xg(x)=a2x(x+1)2−1ex,x∈[1,2]，可得m′(x)=a2(3x2+4x+1)−1e，

因为对∀x19.解：(1)由题意得e=ca=222b=4a2−b2=c2，解得a=22,b=2,c=2，

故椭圆方程为x28+y24=1．

(2)由(1)知F1(−2,0)，

设直线l1：y=k(x+2)(k>0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立y=k(x+2)x28+y24=1，消去y得(1+2k2)x2+820.解：(1)由f(x)=xln(ax+b)可得：f′(x)=ln(ax+b)+axax+b，f(1)=ln(a+b)．

因为f(x)在(1,f(1))处的切线方程为2x−y−2=0，

所以f′(1)=22×1−ln(a+b)−2=0，即ln(a+b)+aa+b=22×1−ln(a+b)−2=0，

故当f(x)在(1,f(1))处的切线方程为2x−y−2=0时：a=2b=−1；

(2)当b=0时，f(x)=xln(ax)．

因为f(x)+(a2−2)x+a≥0对∀x∈(0,+∞)恒成立，

所以xln(ax)+(a2−2)x+a≥0对∀x∈(0,+∞)恒成立，

要使不等式xln(ax)+(a2−2)x+a≥0在x∈(0,+∞)上有意义，需满足ax>0，

则a>0．

令g(x)=xln(ax)+(a2−2)x+a，x∈(0,+∞)，

则g′(x)=ln(ax)+a2−1；g(x)≥0对∀x∈(0,+∞)恒成立．

令g′(x)>0，解得：x>e1−a2a；令g′(x)<0，解得：0<x<e1−a2a，

所以函数g(x)在区间(0,e1−a2a)上单调递减；在区间(e1−a2a,+∞)上单调递增，

则当x∈(0,+∞)时，g(x)min=g(e1−a2a)=e1−a2a⋅ln(a⋅e1−a2a)+(a2−2)⋅e1−a2a+a=a−e1−a2