2024-2025学年北京166中学高二（下）段考数学试卷（3月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京166中学高二（下）3月段考数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若直线l1：ax+3y=0与直线l2：3x+ay=0垂直，则实数a为(

)A.−3 B.−1 C.0 D.12.下列求导运算中，正确的一项是(

)A.(a⋅ex)′=(a+1)ex B.(cosx)′=sinx3.某家新能源电池制造企业拥有两类生产线，分别生产高能量密度锂电池和低能量密度锂电池，两条线的日总产量为400支锂电池，质检人员按两类生产线的产量比例采用分层抽样方法随机抽取一个容量为80的样本进行质量检测，已知样本中高能量密度锂电池有35支，则低能量密度锂电池的日产量为(

)A.175支 B.225支 C.300支 D.325支4.(2x2−1A.60 B.−60 C.80 D.−805.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)的图象是一条连续不断的曲线，f(x)的导函数为f′(x).若函数y=f′(x)的图象如图所示，则(

)A.f(x)在区间(−1,+∞)上单调递增

B.f(x)在区间(−∞,0)上单调递减

C.f(0)<f(−1)<f(−2)

D.f(−6.双曲线C：x24−y29=1A.0个 B.恰有1个 C.恰有2个 D.恰有4个7.设定义在R上的函数f(x)，g(x)，导函数分别为f′(x)，g′(x)，则“f(x)<g(x)”是“f′(x)<g′(x)”的(

)A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.将5名志愿者随机分配到3个项目(卫生、宣传、审计)服务，卫生项目与宣传项目各分配2名志愿者，审计项目只需1名志愿者，则不同的分配方案共有(

)A.30种 B.60种 C.90种 D.180种9.平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线C：x2=2py(p>0)交于O，AA.2 B.32 C.2 10.甲抛掷均匀硬币2025次，乙抛掷均匀硬币2024次，下列四个随机事件的概率是0.5的是(

)

①甲抛出正面次数比乙抛出正面次数多．

②甲抛出反面次数比乙抛出正面次数少．

③甲抛出反面次数比甲抛出正面次数多．

④乙抛出正面次数与乙抛出反面次数一样多．A.①③ B.①② C.②③ D.②④二、填空题：本题共6小题，共50分。11.展开式(2x−1)5=a0+a1x+12.(1)若f(x)=sinxx2+2x+2，则f′(0)=______；

(2)若f(x)=ln13.某雪堆在融化过程中，其体积T(单位：m3)与融化时间t(单位：ℎ)近似满足函数关系：T(t)=H(10−110t)3(H为常数)，其图象如图所示．

(1)设H=1，从t=80到t=90的雪堆体积的平均变化率的值为______；

(2)记t=80时雪堆融化的瞬时速度为v1，14.从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A，B，C，D四项不同的工作，每人承担一项.且甲、乙均不从事A工作，则不同的工作分配方案共有______种.15.意大利画家列奥纳多⋅达⋅芬奇(1452.4−1519.5)的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达⋅芬奇提出：一条粗细与质量分布均匀的项链，其长度不能自然伸缩，固定其两端，使其受重力作用自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线(Catenary)问题”.约翰⋅伯努利给出了悬链线的函数解析式：f(x)=ecx+e−cx2c，其中c为悬链线系数，是曲线顶点到横坐标轴的距离.并且由此数学世界中产生了一类新的函数：双曲函数.包括双曲正弦函数sinℎ(x)=ex−e−x2，双曲余弦函数cosℎ(x)=ex+e−x2．

可见，悬链线的函数解析式恰好是f(x)=______.(填asinℎ(xa)或者acosℎ(xa)之一)．

若双曲正弦函数C1在点16.若双曲正弦函数C1：sinℎx=ex−e−x2在点A(x1,y1)处的切线l1的斜率为1，双曲余弦函数C2：cosℎx=三、解答题：本题共6小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

已知函数f(x)=13x3−x2+1．

(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；18.(本小题10分)

一个不透明的袋子中，放有大小相同的7个小球，其中4个黑球，3个白球.回答下列问题：

(1)从袋中随机不放回地取出3个球，求其中恰好有两个黑球的概率；

(2)从袋中有放回地依次随机取球，每次取一个球，共取三次，求恰有两次取得黑球的概率；

(3)从袋中不放回地随机取球，每次取一个球，共取两次，求第二次取出黑球的概率．19.(本小题10分)

为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从同一年A，B两地区的空气质量指数(AQI)数据中随机抽取相同20天的观测数据，形成20个有序数对(a,b)(a,b分别为同一天A，B两地的空气质量指数)，如图所示：

根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：空气质量指数AQI(0,100)[100,200)[200,300)空气质量状况优良轻中度污染重度污染(1)任取此年中的一天，试估计A地区在这一天空气质量等级为“优良”的概率；

(2)任取此年中的三天，用样本的频率估计总体的概率，设X表示这三天中A地区空气质量等级为“优良”的天数.求X的分布列及数学期望；

(3)从抽取的20天中随机抽取3天，求其中至少有一天两地空气质量等级均为“优良”的概率．20.(本小题10分)

椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为M(0,1)，离心率为22．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点(−1,−1)的直线交椭圆C于A，B21.(本小题10分)

已知函数f(x)=exln(1+x)，x∈[0,+∞)．

(1)设g(x)=f′(x)，讨论函数g(x)的单调性；

(2)证明：对任意的s，t∈(0,+∞)22.(本小题10分)

将1至n2这n2个自然数随机填入n×n方格的n2个方格中，每个方格恰填一个数(n≥2,n∈N∗).对于同行或同列的每一对数，都计算较大数与较小数的比值，在这n2(n−1)个比值中的最小值，称为这一填数法的“特征值”．

(Ⅰ)若n=2，请写出一种填数法，并计算此填数法的“特征值”；

(Ⅱ)当n=3时，请写出一种填数法，使得此填数法的“特征值”为n+1n；参考答案1.C

2.D

3.B

4.A

5.C

6.B

7.D

8.A

9.B

10.A

11.32

2

12.12

−13.−0.7

4

14.72

15.acosℎ(xa)16.2+17.解：(1)因为

f(x)=13x3−x2+1，所以

f′(x)=x2−2x，

所以f(1)=13，f′(1)=−1，

所以所求切线方程为y−13=−(x−1)，即3x+3y−4=0；

(2)设切点坐标为(m,13m3−m2+1)，且f(0)=1，由(1)知f′(m)=m2−2m，

由直线的点斜式方程可得切线方程为

y−(13m3−m2+1)=(m2−2m)(x−m)，

由切线经过点(0,1)，代入可得1−(13m3−m2+1)=(m2−2m)(−m)，

化简得

23m3−m2=0，解得

m=0或32，又f′(0)=0,f′(32)=(32)2−2×32=−34，

结合切线过点(0,1)可得切线的方程为

y=1或3x+4y−4=0．

18.解：(1)从袋中随机不放回地取出3个球，其中恰好有两个黑球的概率为P=C42C31C73=1835；

(2)从袋中每次取一个球，其为黑球的概率为C41C71=X0123P192727故E(X)=3×34=94．

(3)由图知，在抽取的20天中，两地空气质量等级均为“优良”的有13天，

至少有一天两地空气质量等级均为“优良”的对立事件是3天没有任何一天两地空气质量等级均为“优良”，

所以从抽取的20天中随机抽取3天，至少有一天两地空气质量等级均为“优良”的概率

P=1−20.解：(1)根据题目：椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，

上顶点为M(0,1)，离心率为22.得b=1，

由椭圆C的离心率为22，得a2−b2a=22，解得a=2，

所以椭圆C的方程为：x22+y2=1．

(2)证明：由题：过点(−1,−1)的直线交椭圆C于A，B两点，设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，

当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k(x+1)−1，k≠2，A(x1,y1)，B(x2,y2)，21.解：(1)因为f(x)=exln(1+x)，x∈[0,+∞)，

所以f′(x)=exln(1+x)+exx+1，x∈[0,+∞)．

所以g(x)=f′(x)=exln(x+1)+exx+1，

则g′(x)=ex[ln(x+1)+2x+1(x+1)2]，

令m(x)=ln(x+1)+2x+1(x+1)2，

则m′(x)=x2+1(x+1)3，

当x∈[0,+∞)时，m′(x)>0恒成立，则m(x)单调递增，

又m(0)=1>0，所以m(x)>0恒成立，

则g′(x)>0在[0,+∞)上恒成立，

所以g(x)在[0,+∞)上单调递增；

(2)证明：令ℎ(x)=f(x+t)−f(x)−f(t)，其中x>0，t>0，

22.解：(Ⅰ)当n=2时，如下表填数：

同行或同列的每一对数，计算较大数与较小数的比值分别为

2，43，3，2，可得此填数法的“特征值”为43；

(Ⅱ)当n=3时，如下表