2024-2025学年陕西省西安市高新第二高级中学高一（下）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年陕西省西安市高新第二高级中学高一（下）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图，四边形ABCD中，AB=DC，则相等的向量是(

)

A.AD与CB B.OB与OD C.AC与BD D.AO与OC2.设P=a(2a+5)，Q=(2a+1)(a+2)，则(

)A.P>Q B.P=Q

C.P<Q D.P与Q的大小与a有关3.已知函数y=f(x−1)的定义域是[−1,2]，则y=f(1−3x)的定义域为(

)A.[−13,0] B.[−13,3]4.在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a=2,b=1,A=45°，B=A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°5.如图，已知△ABC中，D为AB的中点，AE=13AC，若DE=λAB+μA.−56 B.−16 C.6.已知向量a=(cosθ,sinθ)，b=(0,−1)，θ∈(0,π2)，则向量a与向量A.π−θ B.θ−π2 C.π27.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一.每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则PM⋅PN的取值范围是(

)A.[6,12] B.[6,16] C.[8,12] D.[8,16]8.边长为2的正三角形ABC的内切圆上有一点P，已知AP=xAB+yAC，则2x+yA.[3−3,3+3] B.[二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.对于任意向量a，b，c，下列命题中正确的是(

)A.若a⋅b=0，则a与b中至少有一个为0

B.向量a与向量b夹角的范围是[0,π)

C.若a⊥b10.已知△ABC为斜三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=2asinB，则(

)A.1tanA+1tanB=2 B.ba+ab的最小值为2

C.若11.在给出的下列命题中，正确的是(

)A.设O，A，B，C是同一平面上的四个点，若OA=m⋅OB+(1−m)⋅OC(m∈R)，则A，B，C三点必共线

B.若向量a，b是平面α上的两个向量，则平面α上的任一向量c都可以表示为c=λa+μb(λ,μ∈R)，且表示方法是唯一的

C.若平面向量OA，OB，OC满足OA⋅OB=OA⋅OC，AO=λ(AB三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.计算：0.125−13−(13.已知平面向量a,b满足a=(1,3),|b|=4,a与b14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=2，a(2sinB−3cosC)=3ccosA，点D是边BC的中点，且四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

设全集为U=R，已知集合A={x|m+1≤x≤3m−1}，B={x|1≤2x−1≤8}．

(1)当m=2时，求(∁UA)∪B；

(2)若“x∈A”是“16.(本小题15分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(b+c)(sinB−sinC)=(b−a)sinA．

(1)求C；

(2)若△ABC的面积为332,c=17.(本小题15分)

设两个向量a,b满足a=(2,0),b=(12,32)．

(1)求18.(本小题17分)

上海花博会的成功举办离不开对展览区域的精心规划.如图所示，将展区中扇形空地AOB分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、白玉兰和菊花.知扇形的半径为60米，∠AOB=π3，动点P在扇形AOB的弧上，点Q在半径OB上，且PQ/​/OA．

(1)当OQ=40米时，求分隔栏PQ的长；

(2)综合考虑到成本和美观等原因，希望使白玉兰种植区的面积尽可能的大，求该种植区三角形OPQ的面积S的最大值．19.(本小题17分)

已知向量m=(3cosx,1),n=(sinx,cos2x−1)，函数f(x)=m⋅n+12，

(1)若x∈[0,π4],f(x)=33，求cos2x的值；

(2)在△ABC中，角A，B，C参考答案1.D

2.C

3.C

4.A

5.C

6.C

7.C

8.D

9.CD

10.AC

11.ACD

12.−7

13.(1,0)或(−114.3或215.解：(1)当m=2时，A={x|3≤x≤5}，∁UA={x|x<3或x>5}，

又因为B={x|1≤2x−1≤8}={x|1≤x≤4}，

则(∁UA)∪B={x|x≤4或x>5}．

(2)因为x∈A是x∈B的充分条件，则A⊆B，

当A=⌀，即m+1>3m−1，即m<1，符合题意；

当A≠⌀时，m+1≤3m−1m+1≥13m−1≤416.解：(1)由正弦定理得b2−c2=ab−a2，即b2+a2−c2=ab，

由余弦定理得cosC=b2+a2−c22ab=ab2ab=12，

又因为C∈(0,π)，所以C=π3；17.解：(1)由已知a+b=(2,0)+(12,32)=(52,32)，

所以|a+b|=(52)2+(32)2=7，

所以a+b=7(5714,2118.解：(1)扇形的半径OP=60，

因为圆心角为π3，所以∠PQO=2π3，又OQ=40，

在△OPQ中，由余弦定理可得，OP2=OQ2+PQ2−2OQ⋅PQ⋅cos2π3，

即602=402+PQ2−2×40×PQ×(−12)，

解得PQ=206−20或PQ=−206−20(舍去)，

所以PQ的长为(206−20)米．

(2)设∠AOP=θ，θ∈(0,π3)，

在△OPQ中，由正弦定理得，19.解：(1)向量m=(3cosx,1),n=(sinx,cos2x−1)，

则：函数f(x)=m⋅n+12，

=3sinxcosx+co