2024-2025学年广东省广州实验外语学校高一（下）第一次月考数学试卷（3月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省广州实验外语学校高一（下）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(1,2)，c=(m,−1)，若a⊥(a−cA.9 B.7 C.17 D.212.在△ABC中，BC=2，AB=4，cosC=−14，则AC的值为(

)A.2 B.3 C.4 D.53.已知AB=(−1,cosα)，BC=(2,0)，CD=(2,2sinα)，若A，B，D三点共线，则tanα=A.−2 B.−12 C.124.已知等边三角形ABC的边长是2，D，E分别是AB，AC的中点，则BE⋅CD=A.−332 B.−325.已知向量a=(1,3)，b=(−2,4)，且a在b上的投影向量为μb，则a−μb与A.π6 B.π4 C.π26.互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图，在斜坐标系中，过点P作两坐标轴的平行线，其在x轴和y轴上的截距a，b分别作为点P的x坐标和y坐标，记P(a,b).若斜坐标系中，x轴正方向和y轴正方向的夹角为θ，则该坐标系中M(x1,y1)和A.(x1−x2)2+(7.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若BC=a,BA=bA.1225a−16C.1225a+8.如图，已知D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，且满足AB=32AD，AC=4AE，BE与CD交于O，连接AO并延长交BC于F点.若AO=λA.73

B.43

C.52二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a，b，c满足a=(1,1)，b=(−1,2)，c=(2m,n−1)，则A.|a−b|=5 B.当b//c时，4m+n=1

C.当(2a+b10.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为60米，转盘直径为50米，设置有24个座舱，摩天轮开启前，距地面最近的点为0号座舱，距地面最远的座舱为12号，座舱逆时针排列且均匀分布，游客甲坐2号舱位，乙坐6号舱位，开启后按逆时针方向匀速旋转，开启后的第8分钟这一时刻，游客甲和乙首次距离地面高度相同，游客甲在摩天轮转动过程中距离地面的高度为H米，下列说法正确的是(

)A.H关于t的函数解析式为H=25sin(π12t−π6)+35

B.开启后第20分钟这一时刻游客甲和乙第二次距离地面高度相同

C.开启后第10分钟游客乙距离地面47.5米

D.开启后第1011.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图像如图所示，下列说法正确的是(

)A.f(x)的图像关于点(−π6,0)对称

B.f(x)的图像关于直线x=−5π12对称

C.将函数y=2sin(2x−π6)的图像向左平移π2个单位长度得到函数f(x)的图像

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知α是第一象限角，且cos(α+π6)=51313.关于平面向量有下列四个命题：

①若a⋅b=a⋅c，则b=c，；

②已知a=(k,3)，b=(−2,6).若a/​/b，则k=−1．

③非零向量a和b，满足|a|=|b|=|a14.若平面向量a，b，c满足|a|=1，b⋅c=0，a⋅b四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量a=(m,−1)，b=(1,2)．

(1)若(a+b)⊥2b，求|a+2b|；

16.(本小题15分)

如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，∠BAD=60°，E，F分别为AB，BC上的点，且AE=2EB，CF=2FB．

(1)若DE=xAB+yAD，求x，y的值；

(2)求AB⋅DE的值；

17.(本小题15分)

已知在△ABC中，C=2A，cosA=34，且2BA⋅CB=−27．

(1)求cosB的值；

18.(本小题17分)

如图，某公园有一块扇形人工湖OMN，其中圆心角∠MON=π4，半径为1千米，为了增加观赏性，公园在人工湖中划分出一片荷花池，荷花池的形状为矩形ABCD(四个顶点都落在扇形边界上)；再建造一个观景台，形状为△DAM，记∠MOD=α．

(1)当角α取何值时，荷花池的面积最大？并求出最大面积．

(2)若在OA的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元(不计桥的宽度)；且建造观景台的费用为每平方千米1619.(本小题17分)

设平面内两个非零向量m,n的夹角为θ，定义一种运算“⊗”：m⊗n=|m||n|sinθ.试求解下列问题：

(1)已知向量a,b满足a=(2,1),|b|=2,a⋅b=4，求a⊗b的值；

(2)①若a=(x1,y1),b=(x2参考答案1.B

2.B

3.A

4.B

5.C

6.A

7.A

8.A

9.BCD

10.BCD

11.ABD

12.−513.②③④

14.2

15.解：(1)由题干得到：a=(m,−1)，b=(1,2)．

故得到：a+b=(m+1,1)，2b=(2,4)．

已知(a+b)⊥2b，所以可得(a+b)⋅2b=0，即2(m+1)+4=0．

解得m=−3．

所以a+2b=(−1,3)．

故|a+2b|=10．

(2)因为向量16.解：(1)∵DE=AE−AD=23AB−AD，

又DE=xAB+yAD，

∴x=23,y=−1．

(2)∵AB=4，AD=2，∠BAD=60°，DE=23AB−AD，

∴AB⋅DE=AB⋅(23AB−AD)

=23AB2−AB⋅AD

=217.解：(1)∵C=2A，∴cosC=cos2A=2cos2A−1=18，

∴sinC=378,sinA=74，

∴cosB=−cos(A+C)=916.…(6分)

(2)∵C=2A，∴csinC=asinA，∴c=32a. …(8分18.解：(1)由题意可得D(cosα,sinα)(0<α<π4)，

所以|BC|=|AD|=sinα，

又因为∠MON=π4，

所以△BCO为等腰直角三角形，

所以|OB|=|BC|=sinα，

所以|AB|=|OA|−|OB|=cosα−sinα，

所以S矩形ABCD=|AB|⋅|AD|

=(cosα−sinα)sinα

=cosα⋅sinα−sin2α

=12sin2α+12cos2α−12

=22sin(2α+π4)−12，

因为0<α<π4，

所以π4<2α+π4<3π4，

所以当2α+π4=π2，即α=π8时，

S矩形ABCD取最大值，为2−12；

所以当α=π8时，荷花池的面积最大，最大面积2−12(平方千米19.解：(1)