云南省昭通市云天化中学教研联盟2023-2024学年高二下学期7月期末考试 数学 含解析

云天化中学教研联盟2024年春季学期期末考试高二数学试卷注意事项：1．答题前为生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在符图卡上填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码.2．回答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动.用像皮擦干净后，再选涂其它符案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（每小题5分，共40分）1.复数在复平面内对应的点位于（）A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量，若，则（）A. B. C.1 D.23.曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（）A. B. C. D.4.已知等差数列的前项和为，若，则（）A.288 B.144 C.96 D.255.抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为（）．A. B. C.4 D.56.已知等比数列的公比不为1，若，且成等差数列，则（）A. B. C. D.7.下列说法错误的是（）A.若随机变量满足且，则B.已知随机变量～，若，则C.若事件相互独立，则D.若两组成对数据的相关系数分别为、，则组数据的相关性更强8.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则（）A. B. C. D.二、多选题（每小题6分，共18分）9.如图为函数的部分图象，则下列说法中正确的是（）A.函数的最小正周期是B.函数的图象关于点成中心对称C.函数在区间上单调递增D.函数图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移后关于轴对称10.已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当，，则下列说法中正确的有（）A.函数的图象关于直线对称 B.4是函数的周期C. D.方程恰有4个不同根11.如图，正方体棱长为2，P是直线上的一个动点，则下列结论中正确的是（）A.的最小值为B.的最小值为C.三棱锥的体积为D.以点为球心，为半径的球面与平面的交线长第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（每小题5分，共15分）12.在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为______．13.盒中有4个白球，5个黄球，先随机地从中取出一个球，观察其颜色后放回，并另放入同色球2个，第二次再从盒中取一个球，则第二次取出的是黄球的概率为__________.14.如图所示，已知双曲线的右焦点F，过点F作直线l交双曲线C于两点，过点F作直线l的垂线交双曲线C于点G，，且三点共线（其中O为坐标原点），则双曲线C的离心率为_________．四、解答题（本大题共77分）15.在中，所对的边分别为，且满足．（1）求;（2）点在线段AC延长线上，且，若，求的面积．16.四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，，点E是棱PC上一点.（1）求证：平面平面BDE；（2）当E为PC中点时，求所成二面角锐角的大小.17.随着移动互联网和直播带货技术的发展，直播带货已经成为一种热门的销售方式，特别是商家通过展示产品，使顾客对商品有更全面的了解.下面统计了某新手开启直播带货后从6月份到10月份每个月的销售量(万件)的数据，得到如图所示的散点图．其中6月份至10月份相应的代码为，如:表示6月份.（1）根据散点图判断，模型①与模型②哪一个更适宜作为月销售量关于月份代码的回归方程?（给出判断即可，不必说明理由）（2）（i）根据（1）的判断结果，建立关于的回归方程;(计算结果精确到0.01)（ⅱ）根据结果预测12月份的销售量大约是多少万件?参考公式与数据:，，，其中.18已知函数．（1）求的单调区间；（2）当时，证明：当时，恒成立．19.已知圆，圆动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）设不经过点的直线与曲线相交于两点，直线与直线的斜率均存在且斜率之和为，直线是否过定点，若过定点，写出定点坐标．云天化中学教研联盟2024年春季学期期末考试高二数学试卷注意事项：1．答题前为生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在符图卡上填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码.2．回答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动.用像皮擦干净后，再选涂其它符案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（每小题5分，共40分）1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标可得答案．【详解】，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．故选：D.2.已知向量，若，则（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值.【详解】因为，所以，所以即，故，故选：D.3.曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】运用导数求得切线方程，再求得切线与两坐标轴的交点，进而可求得三角形面积.【详解】由，则，，所以在处切线的方程为，即，令，得；令，得，所以切线与坐标轴围成的三角形面积为.故选：A4.已知等差数列前项和为，若，则（）A.288 B.144 C.96 D.25【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的前项和列方程组求出，进而即可求解.【详解】由题意，即，解得.于是.故选：B.5.抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为（）．A. B. C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和，等于此点到焦点的距离与到直线的距离之和，其最小值为焦点到直线的距离，求值即可.【详解】抛物线，焦点，准线方程为，抛物线上的点，到其准线的距离为，到直线的距离为，由抛物线的定义可知，则有，其最小值为焦点到直线的距离．即抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为.故选：A.6.已知等比数列的公比不为1，若，且成等差数列，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用等差中项的性质及等比数列基本量的计算求通项公式即可.【详解】设的公比为q，则依题意有，解方程得或（舍去），所以.故选：C7.下列说法错误的是（）A.若随机变量满足且，则B.已知随机变量～，若，则C.若事件相互独立，则D.若两组成对数据的相关系数分别为、，则组数据的相关性更强【答案】D【解析】【分析】根据方差的性质判断A，根据二项分布的期望和方差的计算公式判断B，根据相互独立事件及条件概率概率公式判断C，根据相关系数的概念判断D.【详解】对于A：因且，所以，故A正确；对于B：随机变量～，则，解得：，故B正确；对于C：若事件、相互独立，则，所以，故C正确；对于D：若、两组成对数据的相关系数分别为、，因为，所以组数据的相关性更强，故D错误.故选：D8.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意先求得短半轴长，再根据正弦定理求得，进而根据离心率的公式求解即可【详解】因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，由图可知，椭圆的短半轴长，在中，，由正弦定理得：，所以，故选：D.二、多选题（每小题6分，共18分）9.如图为函数的部分图象，则下列说法中正确的是（）A.函数的最小正周期是B.函数的图象关于点成中心对称C.函数在区间上单调递增D.函数的图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移后关于轴对称【答案】BC【解析】【分析】根据图象直接求出周期可判断A；利用周期求，代点求，然后代入法验证即可判断B；根据正弦函数单调性，利用整体代入法求解可判断C；根据周期变换和平移变换，求出变换后的解析式即可判断D.【详解】对于A，由图可知，所以，A错误；对于B，因为，图象过点，所以，所以，即，所以，因为，所以点为函数的一个对称中心，B正确；对于C，，由解得，所以为函数的一个单调递增区间，所以，在区间上单调递增，C正确；对于D，将的图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍得，再向右平移得，为奇函数，D错误.故选：BC10.已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当，，则下列说法中正确的有（）A.函数的图象关于直线对称 B.4是函数的周期C. D.方程恰有4个不同的根【答案】ABD【解析】【分析】利用是偶函数，可得，关于对称，又因为是奇函数，即是双对称函数，从而可证明是周期函数，这样可以由的图象，根据关于对称，作出，再根据关于点对称,作出,这样就有了一个完整周期为4的图象，再利用周期为4进行不断的延伸，这样后面的选项就可以利用数形结合来分析解决.【详解】对于A：令是偶函数，则，即，所以关于对称，故A正确；对于B：因为，所以，即，即周期，故B正确；对于C：，，所以，故C错误；对于D：因为，，且关于直线对称，根据对称性可以作出上的图象，又，可知关于点对称，又可作出上的图象，又的周期，作出的图象与的图象，如图所示：所以与有4个交点，故D正确，故选：ABD．11.如图，正方体棱长为2，P是直线上的一个动点，则下列结论中正确的是（）A.的最小值为B.的最小值为C.三棱锥的体积为D.以点为球心，为半径的球面与平面的交线长【答案】ACD【解析】【分析】利用三角形的高可判定A，利用展开图形可判定B，利用体积公式可求C，利用球的截面圆的半径可判定D.【详解】对于A，在中，，P是直线上的一个动点，所以的最小值为高，最小值为，A正确.对于B，将沿翻折，使与矩形在同一个平面内，如图，当三点共线时，取到最小值，中，，，由余弦定理可得，所以，所以的最小值为，B不正确.对于C，易知三棱锥为正四面体，且棱长为，如图，作平面于，则为的中心，由正弦定理可得，即，所以，所以三棱锥的体积为，C正确.对于D，设点到平面的距离为，因为，所以,所以，解得；以点为球心，为半径的球面与平面的交线是以为半径的圆，其周长为,D正确.故选：ACD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（每小题5分，共15分）12.在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为______．【答案】10【解析】【分析】令，解出，再利用二项式的展开式的通项合理赋值即可.【详解】令，，即，解得，所以的展开式通项公式为，令，则，．故答案为：10．13.盒中有4个白球，5个黄球，先随机地从中取出一个球，观察其颜色后放回，并另放入同色球2个，第二次再从盒中取一个球，则第二次取出的是黄球的概率为__________.【答案】【解析】【分析】运用全概率公式进行求解即可.【详解】设事件A表示第一次抽取的是黄球，则，，事件表示第二次抽取的是黄球，因此有，所以.故答案为：14.如图所示，已知双曲线的右焦点F，过点F作直线l交双曲线C于两点，过点F作直线l的垂线交双曲线C于点G，，且三点共线（其中O为坐标原点），则双曲线C的离心率为_________．【答案】【解析】【分析】利用双曲线的几何定义，设就可以来研究各焦半径的长度，再利用两个勾股定理就可以求出离心率.【详解】设另一个焦点，连接，设则再根据双曲线的定义可知：由双曲线的对称性可知，是的中点，也是的中点，所以四边形是平行四边形，又因为，所以可得，所以由勾股定理得：，化简得：，再由勾股定理得：，代入得：，故答案为：.四、解答题（本大题共77分）15.在中，所对的边分别为，且满足．（1）求;（2）点在线段AC的延长线上，且，若，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理和倍角公式可求答案；（2）利用直角三角形的知识得出为正三角形，结合面积公式可求答案.【小问1详解】因为，所以由正弦定理得因为，所以，则，因为，所以，又因为，所以;【小问2详解】在中，，可得，又，可得，又，，可得正三角形，故面积为.16.四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，，点E是棱PC上一点.（1）求证：平面平面BDE；（2）当E为PC中点时，求所成二面角锐角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，进而得到平面PAC，从而得到面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到两平面的法向量，求出二面角的大小.【小问1详解】底面ABCD是正方形，，平面ABCD，平面ABCD，，又平面PAC，平面PAC，又平面BDE，平面平面BDE.【小问2详解】平面ABCD，平面ABCD，所以，以为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系，则，所以，设平面ABE的法向量为，则，解得，令得，故，设平面DBE的法向量为，则，解得，令得，故，设二面角为，由图可知二面角为锐二面角，所以，所以锐二面角为.17.随着移动互联网和直播带货技术的发展，直播带货已经成为一种热门的销售方式，特别是商家通过展示产品，使顾客对商品有更全面的了解.下面统计了某新手开启直播带货后从6月份到10月份每个月的销售量(万件)的数据，得到如图所示的散点图．其中6月份至10月份相应的代码为，如:表示6月份.（1）根据散点图判断，模型①与模型②哪一个更适宜作为月销售量关于月份代码的回归方程?（给出判断即可，不必说明理由）（2）（i）根据（1）判断结果，建立关于的回归方程;(计算结果精确到0.01)（ⅱ）根据结果预测12月份的销售量大约是多少万件?参考公式与数据:，，，其中.【答案】（1）模型②（2）（i）；（ⅱ）预测12月份的销售量大约是13.9万件【解析】【分析】（1）根据散点图结合一次函数以及二次函数图象特征分析判断；（2）（i）令，根据题中数据和公式求回归方程；（ⅱ）令，代入回归方程运算求解即可.【小问1详解】由散点图可知增加幅度不一致，且散点图接近于曲线，非线性，结合图象故选模型②.【小问2详解】（i）令，则，可得，，则，，所以关于的回归方程为，即关于的回归方程；（ⅱ）令，可得，预测12月份的销售量大约是13.9万件.18.已知函数．（1）求的单调区间；（2）当时，证明：当时，恒成立．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当时，即可.【小问1详解】定义域为，当时，，故在上单调递减；当时，时，，单调递增，当时，，单调递减.综上所述，当时，的单调递