第8届全国大学生数学竞赛非数学类预赛试卷及答案_第1页
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省市学校准考证省市学校准考证号绝密⋆启用前(14金融工程-白兔兔)一二三四五六注意：1:所有答题都须写在试卷密封线右边,写在其他纸上一律无效:2:密封线左边请勿答题,密封线外不得有姓名及相关标记:3:如答题空白不够,可写在当页背面,并标明题号:一(填空题,本题满分30分,共5小题,每小题6分)若在点x=a可导,且f0,则n解解3.设f(x)有连续导数=2.记z=f,若=z,则当x>0,f(x)=解由题设得exy=f,令u=exy2,得到当u>0有f′,即,从而所以有lnf(u)=lnu+C1,f(u)=Cu.再而由初始条件得f(u)=2u故当x>0有f(x)=2x4.设f(x)=exsin2x,则f(4)(0)=解由Taylor展开式得所以f(x)展开式的4次项3×x+=−x4,从而,故f(4)(0)=245.曲面z=平行于平面2x+2y−z=0的切平面方程为解该曲面在点(x0,y0,z0)的切平面的法向量为(x0,2y0,−1)。又该切平面于已知平面平行，从而两平面法向量平行，故从而x0=2,y0=1,得z0=从而所求切平面为2(x−2)+2(y−1)−(z−3)=0即2x+2y−z=3二(本题满分14分)设f(x)在[0,1]可导,f(0)=0,且当x∈(0,1),0<f′(x)<1.试证当a∈(0,1)f(x)dx)2>f3(x)dx.证明设F(x)=f(t)dt)2−f3(t)dt,则F(0)=0且要证明F′(x)>0设g(x)=2f(t)dt−f2(x),则F′(x)=f(x)g(x)由于f(0)=0,f′(x)>0,故f(x)>0,从而只要证明g(x)>0,x>0而g(0)=0,我们只要证明g′(x)>0,0<x<a而g′(x)=2f(x)[1−f′(x)]>0,得证省市省市学校准考证号三(本题满分14分)某物体所在的空间区域为Ω:x2+y2+2z2≤x+y+2z,密度函数为x2+y2+z2,求质量解由于2≤1,是一个椭球其体积为作变换u=x—,v=y—,w=√将Ω变为单位球Σ:u2+v2+w2≤1,而故dudvdw=√dxdydz且因一次项积分都是0,故其中记由于u2,v2,w2在Σ上积分都是,故设函数f(x)在闭区间[0,1]上具有连续导数,f(0)=0,f(1)=1.证明:解n等分区间[0,1],分点为0=x0<x1<···<xn−1<xn=1.记,则xk=0+kh=kh,xk—xk−1=h,k=1,2,···,n.dxξk∈设函数f(x)在区间[0,1]上连续,且I=.证明:在(0,1)内存在不同的两点x1,x2使得证明设dt则F=0,F由介值定理,存在ξ∈使得F省市学校准考证省市学校准考证号,x1∈设f(x)在(−∞,+∞)可导,且f(x)=f(x+2)=f(x+√3)用Fourier级数理论证明f(x)为常数证明由f(x)=f(x+2)知f(x)为以2为周期的周期函数，其Fourier系数分别为：由f(x)=f(x+√3)知所以an=ancos√3nπ+bn

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