2025版高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第3节随机事件的概率古典概型与几何概型教学案理含解析新人教A版

PAGE6-第三节随机事务的概率、古典概型与几何概型[考纲传真]1.了解随机事务发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区分.2.了解两个互斥事务的概率加法公式.3.理解古典概型及其概率计算公式.4.会计算一些随机事务所包含的基本领件数及事务发生的概率.5.了解随机数的意义，能运用随机模拟的方法估计概率.6.了解几何概型的意义．1．频率与概率的关系在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事务A发生的频率fn(A)＝eq\f(nA,n)会在某个常数旁边摇摆，则把这个常数记作P(A)，称为事务A的概率，简称为A的概率．2．事务的关系与运算名称定义符号表示包含关系假如事务A发生，则事务B肯定发生，这时称事务B包含事务A(或称事务A包含于事务B)B⊇A(或A⊆B)相等事务若B⊇A，且A⊇B，则称事务A与事务B相等A＝B并(和)事务若某事务发生当且仅当事务A或事务B发生，则称此事务为事务A与事务B的并事务(或和事务)A∪B(或A＋B)交(积)事务若某事务发生当且仅当事务A发生且事务B发生，则称此事务为事务A与事务B的交事务(或积事务)A∩B(或AB)互斥事务若A∩B为不行能事务，则称事务A与事务B互斥A∩B＝∅对立事务若A∩B为不行能事务，A∪B为必定事务，那么称事务A与事务B互为对立事务A∩B＝∅且A∪B＝U(U为全集)3.概率的基本性质(1)任何事务A的概率都在[0,1]内，即0≤P(A)≤1，不行能事务∅的概率为0，必定事务Ω的概率为1.(2)假如事务A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(3)事务A与它的对立事务eq\x\to(A)的概率满意P(A)＋P(eq\x\to(A))＝1.4．古典概型与几何概型名称古典概型几何概型相同点基本领件发生的可能性相等不同点基本领件有有限个基本领件有无限个计算公式P(A)＝eq\f(\o(\a\al(A包含的基本,事务的个数)),\o(\a\al(基本领件,的总数)))P(A)＝eq\f(\o(\a\al(构成事务A的区域,长度面积或体积)),\o(\a\al(试验的全部结果所构成的,区域长度面积或体积))).[常用结论]假如事务A1，A2，…，An两两互斥，则称这n个事务互斥，其概率有如下公式：P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．[基础自测]1．(思索辨析)推断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机模拟方法是以事务发生的频率估计概率．()(2)在大量的重复试验中，概率是频率的稳定值．()(3)对立事务肯定是互斥事务，互斥事务不肯定是对立事务．()(4)概率为0的事务肯定为不行能事务．()[答案](1)√(2)√(3)√(4)×2．某射手在同一条件下进行射击，结果如下：射击次数102050100200500击中靶心次数8194492178455这个射手射击一次，击中靶心的概率约是()A．0.80B．0.85C．0.90D．0.99C[由题意，该射手击中靶心的频率大约在0.9旁边上下波动，故其概率约为0.90.故选C.]3．(教材改编)投掷两枚匀称的硬币，则两枚硬币均正面朝上的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,4)A[P＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，故选A.]4．(教材改编)有四个嬉戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的嬉戏盘是()A[P(A)＝eq\f(3,8)，P(B)＝eq\f(2,8)，P(C)＝eq\f(2,6)，P(D)＝eq\f(1,3)，∴P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．]5．对飞机连续射击两次，每次放射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事务是________，互为对立事务的是________．A与B，A与C，B与C，B与DB与D[设I为对飞机连续射击两次所发生的全部状况，因为A∩B＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，B∩D＝∅，故A与B，A与C，B与C，B与D为互斥事务．而B∩D＝∅，B∪D＝I，故B与D互为对立事务．]随机事务的频率与概率【例1】(2024·全国卷Ⅲ)某超市安排按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．依据往年销售阅历，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．假如最高气温不低于25，需求量为500瓶；假如最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；假如最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购安排，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的全部可能值，并估计Y大于零的概率．[解](1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为eq\f(2＋16＋36,90)＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100.所以，Y的全部可能值为900,300，－100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为eq\f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.[规律方法]1.概率与频率的关系,概率是常数，是频率的稳定值，频率是变量，是概率的近似值.有时也用频率来作为随机事务概率的估计值.2.随机事务概率的求法,利用概率的统计定义求事务的概率，即通过大量的重复试验，事务发生的频率会渐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率.易错警示：概率的定义是求一个事务概率的基本方法.(2024·郑州模拟)某商店安排每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获得利润50元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件退回商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获得利润30元．(1)若商店一天购进该商品10件，求当天的利润y(单位：元)关于当天的需求量n(单位：件，n∈N*)的函数解析式；(2)商店记录了50天该商品的日需求量n(单位：件)，整理得下表：日需求量n/件89101112频数91115105(ⅰ)假设商店在这50天内每天购进10件该商品，求这50天的日利润的平均数；(ⅱ)若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各日需求量的频率作为各日需求量的概率，求当天的利润大于500元的概率．[解](1)当日需求量n≥10时，利润y＝50×10＋(n－10)×30＝30n＋200；当日需求量n＜10时，利润y＝50×n－(10－n)×10＝60n－100.所以日利润y关于日需求量n的函数解析式为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(30n＋200n≥10，n∈N*，,60n－100n＜10，n∈N*.))(2)(ⅰ)由(1)及表格可知，这50天中有9天的日利润为380元，有11天的日利润为440元，有15天的日利润为500元，有10天的日利润为530元，有5天的日利润为560元，所以这50天的日利润的平均数为eq\f(1,50)×(380×9＋440×11＋500×15＋530×10＋560×5)＝477.2(元)．(ⅱ)若当天的利润大于500元，则日需求量大于10件，则当天的利润大于500元的概率P＝eq\f(10＋5,50)＝eq\f(3,10).古典概型【例2】(1)(2024·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的探讨中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()A.eq\f(1,12) B.eq\f(1,14)C.eq\f(1,15) D.eq\f(1,18)(2)(2024·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于其次张卡片上的数的概率为()A.eq\f(1,10) B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,10) D.eq\f(2,5)(1)C(2)D[(1)不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，从中随机选取两个不同的数有Ceq\o\al(2,10)种不同的取法，这10个数中两个不同的数的和等于30的有3对，所以所求概率P＝eq\f(3,C\o\al(2,10))＝eq\f(1,15)，故选C.(2)从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的状况如图：基本领件总数为25，第一张卡片上的数大于其次张卡片上的数的事务数为10，∴所求概率P＝eq\f(10,25)＝eq\f(2,5).故选D.][规律方法]1.计算古典概型事务的概率可分三步：1计算基本领件总个数n；2计算事务A所包含的基本领件的个数m；3代入公式求出概率P.2.1用列举法写出全部基本领件时，可借助“树状图”列举，以便做到不重、不漏.2利用排列、组合计算基本领件时，肯定要分清是否有序，并重视两个计数原理的敏捷应用.(1)(2024·武汉模拟)将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球，那么甲盒中恰好有3个小球的概率为()A.eq\f(3,10) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,20) D.eq\f(1,4)(2)(2024·石家庄一模)用1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数，若用a1，a2，a3，a4，a5分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位，则出现a1＜a2＜a3＞a4＞a5特征的五位数的概率为________．(1)C(2)eq\f(1,20)[(1)将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球有Ceq\o\al(3,6)种放法，甲盒中恰好有3个小球有Ceq\o\al(2,3)种放法，结合古典概型的概率计算公式得所求概率为eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,20).故选C.(2)1,2,3,4,5可组成Aeq\o\al(5,5)＝120个不同的五位数，其中满意题目条件的五位数中，最大的5必需排在中间，左、右各两个数字只要选出，则排列位置就随之而定，满意条件的五位数有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝6个，故出现a1＜a2＜a3＞a4＞a5特征的五位数的概率为eq\f(6,120)＝eq\f(1,20).]几何概型【例3】(1)(2024·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)(2)(2024·合肥二模)小李从网上购买了一件商品，快递员安排在下午5：00到6：00之间送货上门，已知小李下班到家的时间在下午5：30到6：00之间．快递员到小李家时，假如小李未到家，则快递员会电话联系小李．若小李能在10分钟之内到家，则快递员等小李回来；否则，就将商品存放在快递柜中．则小李须要去快递柜领取商品的概率为()A.eq\f(1,9) B.eq\f(8,9)C.eq\f(5,12) D.eq\f(7,12)(3)已知在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA＝AB＝2，现在该四棱锥内部或表面任取一点O，则四棱锥O­ABCD的体积不小于eq\f(2,3)的概率为________．(1)B(2)D(3)eq\f(27,64)[(1)这是几何概型问题，总的基本领件空间如图所示，共40分钟，等车时间不超过10分钟的时间段为：7：50至8：00和8：20至8：30，共20分钟，故他等车时间不超过10分钟的概率为eq\f(20,40)＝eq\f(1,2)，故选B.(2)如图，设快递员和小李分别在下午5点后过了x分钟和y分钟到小李家，则全部结果构成的区域为{(x，y)|0≤x≤60,30≤y≤60}，这是一个矩形区域，y－x＞10表示小李比快递员晚到超过10分钟，事务M表示小李须要去快递柜领取商品，其所构成的区域是如图所示的直角梯形ABCD的内部区域及边界(不包含AB)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝60，,y＝x＋10，))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝50，,y＝60，))即A(50,60)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝30，,y＝x＋10，))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝20，,y＝30，))即B(20,30)，所以由几何概型的概率计算公式可知P(M)＝eq\f(\f(1,2)×50＋20×30,60×30)＝eq\f(7,12)，故选D.(3)当四棱锥O­ABCD的体积为eq\f(2,3)时，设O到平面ABCD的距离为h，则eq\f(1,3)×22×h＝eq\f(2,3)，解得h＝eq\f(1,2).如图所示，在四棱锥P­ABCD内作平面EFGH平行于底面ABCD，且平面EFGH与底面ABCD的距离为eq\f(1,2).因为PA⊥底面ABCD，且PA＝2，所以eq\f(PH,PA)＝eq\f(3,4)，所以四棱锥O­ABCD的体积不小于eq\f(2,3)的概率P＝eq\f(V四棱锥P­EFGH,V四棱锥P­ABCD)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PH,PA)))3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))3＝eq\f(27,64).][规律方法]解答几何概型试题要擅长依据题目特点找寻基本领件所在线、面、体，找寻随机事务所在的线、面、体，把几何概型的计算转化为相应的长度、面积和体积的比值的计算.1在线段上取点，则点在线段上等可能出现；在角内作射线，则射线在角内的分布等可能.2两个变量在某个范围内取值，对应的“区域”是面积.(1)随机地取两个实数x和y，使得x∈[－1,1]，y∈[0,1]，则满意y≥x2的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(3,4)(2)如图所示，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与AB交于点M，则AM＜AC的概率为________．(1)B(2)eq\f(3,4)[(1)满意x∈[－1,1]，y∈[0,1]的区域为矩形区域(包括边界)(图略)，面积为2，满意y≥x2的区域的面积S＝eq\i\in(,1,)－1(1－x2)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,3)x3))eq\o\al(1,－1)＝eq\f(4,3)，故所求概率P＝eq\f(\f(4,3),2)＝eq\f(2,3).故选B.(2)在AB上取AC′＝AC(图略)，则∠ACC′＝eq\f(180°－45°,2)＝67.5°，记A＝{在∠ACB内部任作一射线CM与线段AB交于点M，AM＜AC}，则全部可能结果的区域为∠ACB，事务A构成的区域为∠ACC′.又∠ACB＝90°，∠ACC′＝67.5°，∴P(A)＝eq\f(67.5°,90°)＝eq\f(3,4).]1．(2024·全国卷Ⅰ)如图来自古希腊数学家希波克拉底所探讨的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则()A．p1＝p2 B．p1＝p3C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3A[设直角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则区域Ⅰ的面积即△ABC的面积，为S1＝eq\f(1,2)bc，区域Ⅱ的面积S2＝eq\f(1,2)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))2＋eq\f(1,2)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)))2－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2,2)－\f(1,2)bc))＝eq\f(1,8)π(c2＋b2－a2)＋eq\f(1,2)bc＝eq\f(1,2)bc，所以S1＝S2，由几何概型的学问知p1＝p2，故选A.]2．(2024·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A