高考数学复习专题七数学思想方法第1讲函数与方程思想数形结合思想

第1讲函数与方程思想、数形结合思想1/36高考定位函数与方程思想普通经过函数与导数、三角函数、数列、解析几何等知识进行考查；数形结合思想普通在选择题、填空题中考查.2/36真题感悟1.函数与方程思想含义(1)函数思想，是用运动和改变观点，分析和研究数学中数量关系，是对函数概念本质认识，建立函数关系或结构函数，利用函数图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题取得处理思想方法.(2)方程思想，就是分析数学问题中变量间等量关系，建立方程或方程组，或者结构方程，经过解方程或方程组，或者利用方程性质去分析、转化问题，使问题取得处理思想方法.3/362.函数与方程思想在解题中应用(1)函数与不等式相互转化，对于函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数图象和性质可处理相关问题，而研究函数性质也离不开不等式.(2)数列通项与前n项和是自变量为正整数函数，用函数观点去处理数列问题十分主要.(3)解析几何中许多问题，需要经过解二元方程组才能处理，这都包括二次方程与二次函数相关理论.4/363.数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致能够分为两种情形：①借助形生动和直观性来说明数之间联络，即以形作为伎俩，数为目标，比如应用函数图象来直观地说明函数性质；②借助于数准确性和规范严密性来说明形一些属性，即以数作为伎俩，形作为目标，如应用曲线方程来准确地说明曲线几何性质.5/364.在利用数形结合思想分析和处理问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算几何意义以及曲线代数特征，对数学题目中条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数取值范围.数学中知识，有本身就能够看作是数形结合.6/36热点一函数与方程思想应用[微题型1]不等式问题中函数(方程)法【例1－1】(1)f(x)＝ax3－3x＋1对于x∈[－1，1]，总有f(x)≥0成立，则a＝________.(2)设f(x)，g(x)分别是定义在R上奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)＜0解集是________.7/368/36且g(x)在区间[－1，0)上单调递增，所以g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，综上a＝4.(2)设F(x)＝f(x)g(x)，因为f(x)，g(x)分别是定义在R上奇函数和偶函数，得F(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，即F(x)在R上为奇函数.又当x＜0时，F′(x)＝f′(x)·g(x)＋f(x)g′(x)＞0，9/36所以x＜0时，F(x)为增函数.因为奇函数在对称区间上单调性相同，所以x＞0时，F(x)也是增函数.因为F(－3)＝f(－3)g(－3)＝0＝－F(3).所以，由图可知F(x)＜0解集是(－∞，－3)∪(0，3).答案(1)4

(2)(－∞，－3)∪(0，3)10/36探究提升

(1)在处理不等式问题时，一个最主要思想方法就是结构适当函数，利用函数图象和性质处理问题；(2)函数f(x)＞0或f(x)＜0恒成立，普通可转化为f(x)min＞0或f(x)max＜0；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解.11/36[微题型2]数列问题函数(方程)法(1)解由a1＝3，an＋1＝an＋p·3n，得a2＝3＋3p，a3＝a2＋9p＝3＋12p.因为a1，a2＋6，a3成等差数列，所以a1＋a3＝2(a2＋6)，即3＋3＋12p＝2(3＋3p＋6)，12/3613/3614/3615/36[微题型3]解析几何问题方程(函数)法【例1－3】

设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它两个顶点，直线y＝kx(k＞0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点.16/3617/3618/3619/36探究提升

解析几何中最值是高考热点，在圆锥曲线综合问题中经常出现，求解这类问题普通思绪为在深刻认识运动改变过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量函数，然后借助于函数最值探求来使问题得以处理.20/36热点二数形结合思想应用[微题型1]利用数形结合思想讨论方程根或函数零点【例2－1】(1)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b取值范围是________.A.5 B.6C.7 D.821/36解析(1)由f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，可得|2x－2|＝b有两个不等实根，从而可得函数y＝|2x－2|图象与函数y＝b图象有两个交点，如图所表示.结合函数图象，可得0＜b＜2，故填(0，2).22/3623/36答案(1)(0，2)

(2)B24/36探究提升

用图象法讨论方程(尤其是含参数指数、对数、根式、三角等复杂方程)解(或函数零点)个数是一个主要思想方法，其基本思想是先把方程两边代数式看作是两个熟悉函数表示式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数图象，图象交点个数即为方程解(或函数零点)个数.25/36[微题型2]利用数形结合思想解不等式或求参数范围26/3627/36探究提升

求参数范围或解不等式问题经常联络函数图象，依据不等式中量特点，选择适当两个(或多个)函数，利用两个函数图象上、下位置关系转化数量关系来处理问题，往往能够防止繁琐运算，取得简捷解答.28/36[微题型3]利用数形结合思想求最值【例2－3】(1)已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上动点，PA、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0两条切线，A、B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积最小值为________.29/3630/36(2)设双曲线左焦点为F1，连接PF1，依据双曲线定义可知|PF|＝2＋|PF1|，则△APF周长为|PA|＋|PF|＋|AF|＝|PA|＋2＋|PF1|＋|AF|＝|PA|＋|PF1|＋|AF|＋2，因为|AF|＋2是定值，31/3632/36探究提升

破解圆锥曲线问题关键是画出对应图形，注意数形结合相互渗透，并从相关图形中挖掘对应信息加以分析与研究.直线与圆锥曲线位置关系转化有两种，一个是经过数形结合建立对应关系式，另一个是经过代数形式转化为二元二次方程组解问题进行讨论.33/361.当问题中包括一些改变量时，就需要建立这些改变量之间关系，经过变量之间关系探究问题答案，这就需要使用函数思想.2.借助相关函数性质，一是用来处理相关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数取值范围等问题，二是在问题研究中，能够经过建立函数关系式或结构中间函数来求解.34/363.许多数学问题中，普通都含有常量、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出主导地位，把这个参变量称为主元，结构出关于主元方程，主元思想有利于回避多元困扰，解方程实质就是分离参变量.