合肥第十一中学高二期中数学模拟试卷【含答案】

合肥第十一中学高二期中数学模拟试卷一．选择题（共6小题）1．某班有4名同学报名参加校运会的五个比赛项目，每人参加一项且各不相同，则不同的报名方法有（）A．45种 B．54种 C．种 D．种2．已知函数y＝x2﹣x在x＝2处的切线为l，则直线l与两坐标轴围成的三角形面积为（）A．3 B．4 C． D．3．函数，则＝（）A． B． C． D．4．已知（1+ax）（2﹣x）4（a∈R）的展开式中x4的系数为17．则实数a的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．25．现给如图所示的五个区域A，B，C，D，E涂色，有5种不同的颜色可供选择，每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（）A．420 B．340 C．260 D．1206．阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉．三个家庭的3位妈妈带着3名女宝和2名男宝共8人踏春．在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面．则不同的排法种数共有（）A．144种 B．216种 C．288种 D．432种二．多选题（共4小题）（多选）7．丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在（a，b）上的导函数为f″（x），若在（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在（a，b）上为“凸函数”，以下四个函数在（0，1）上是凸函数的是（）A．f（x）＝sinxcosxB． C．f（x）＝xex﹣x3 D．f（x）＝tanx（多选）8．若，则（）A．a0＝1 B． C． D．a0+2a1+4a2+6a3+⋯+20a10＝41（多选）9．现将5个不同的小球全部放入标有编号1、2、3、4、5的五个盒子中（）A．若有一个盒子有3个球，有两个盒子各有1个球，则不同的放球方法种数为 B．若恰有一个盒子没有小球，则不同的放球方法种数为 C．若恰有两个盒子没有小球，则装有小球的盒子的编号之和恰为1l的不同放法种数为150 D．若这5个小球的编号分别为1～5号，则恰有四个盒子的编号与球的编号不同的放法种数为45（多选）10．已知函数f（x）＝lnx﹣ax，则下列说法正确的是（）A．若f（x）≤0恒成立，则a≥1 B．当a＜0时，y＝f（x）的零点只有1个 C．若函数y＝f（x）有两个不同的零点x1，x2，则 D．当a＝1时，若不等式me2x+lnm≥f（x）恒成立，则正数m的取值范围是三．填空题（共4小题）11．从4名男生和3名女生中选出3人组成一个学习小组，其中至少有1名女生的不同选法共有12．在的展开式中，常数项为展开式的第项．13．用数字0、1、2、3、4、5可以组成无重复数字且能被5整除的五位数有个．14．某学校新分配五名教师，学校准备把他们分配到甲、乙、丙三个班级，每个班级至少分配一人，则其中老师C不分配到乙班的分配方案种数是．四．解答题（共5小题）15．已知函数f（x）＝x（1﹣lnx）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设a，b为两个不相等的正数，且blna﹣alnb＝a﹣b，证明：2＜+＜e．16．（1）6名身高互不相等的学生，排成三排二列，使每一列的前排学生比后排学生矮，有多少种不同的排法？（2）6本不同的书分给3名学生，每人至少发一本，共有多少种不同的分法？17．已知函数f（x）＝excosx﹣1．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．18．已知函数f（x）＝+alnx﹣2（a＞0）．（1）若曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线x+2y﹣2＝0垂直，求a的值．（2）若对于任意x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围；（3）记g（x）＝f（x）+x﹣b（b∈R）．当a＝1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．19．已知函数f（x）＝+alnx﹣2，曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y＝x+3垂直．（1）求实数a的值；（2）记g（x）＝f（x）+x﹣b（b∈R），若函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围；（3）若不等式πf（x）＞（）1+x﹣lnx在|t|≤2时恒成立，求实数x的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）题号123456答案CCAAAC二．多选题（共4小题）题号78910答案ABACDBCDBC一．选择题（共6小题）1．某班有4名同学报名参加校运会的五个比赛项目，每人参加一项且各不相同，则不同的报名方法有（）A．45种 B．54种 C．种 D．种【分析】利用排列数的概念即得．【解答】解：由题可知不同的报名方法数为从5个不同元素中取出4个元素的排列数，所以不同的报名方法有种．故选：C．【点评】本题考查排列的概念，考查学生的推理能力，属于基础题．2．已知函数y＝x2﹣x在x＝2处的切线为l，则直线l与两坐标轴围成的三角形面积为（）A．3 B．4 C． D．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝2时的导数值，利用直线方程点斜式求得直线l的方程，再求出直线在两坐标轴上的截距，则答案可求．【解答】解：由y＝x2﹣x，得y′＝2x﹣1，∴y′|x＝2＝3，又当x＝2时，y＝2．∴函数y＝x2﹣x在x＝2处的切线l：y﹣2＝3（x﹣2），取x＝0，得y＝﹣4，取y＝0得x＝．∴直线l与两坐标轴围成的三角形面积为S＝．故选：C．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础的计算题．3．函数，则＝（）A． B． C． D．【分析】求出函数的导函数，再令求出，即可得到函数解析式，再代入计算可得．【解答】解：因为，所以，所以，所以，所以函数f（x）＝x﹣2cosx，．故选：A．【点评】本题主要考查导数的运算，属于基础题．4．已知（1+ax）（2﹣x）4（a∈R）的展开式中x4的系数为17．则实数a的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【分析】先找到（2﹣x）4的展开式通项为，再由乘法分配律得展开式中x4的系数为1﹣8a，即可得解．【解答】解：二项式（2﹣x）4的展开式的通项公式为，r＝0，1，2，3，4，所以（1+ax）（2﹣x）4的展开式中x4为：，则1﹣8a＝17，解得a＝﹣2．故选：A．【点评】本题考查二项式定理的应用，属于基础题．5．现给如图所示的五个区域A，B，C，D，E涂色，有5种不同的颜色可供选择，每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（）A．420 B．340 C．260 D．120【分析】讨论A，E同色、B，D同色，A，E、B，D一组同色一组不同色，A，B，C，D，E的颜色互不相同，结合排列组合数求对应涂色方法，应用分类加法求不同涂色方案数．【解答】解：由题意五个区域A，B，C，D，E涂色，有5种不同的颜色可供选择，每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，可分情况讨论：若A，E同色、B，D同色，有，此时C有3种涂法，共有种，若A，E同色、B，D不同色，有，此时B，C，D有种涂法，共有种，同理B，D同色、A，E不同色也有120种，若A，B，C，D，E的颜色互不相同，则有种，综上，共有60+120+120+120＝420种．故选：A．【点评】本题考查了排列组合的运用，是中档题．6．阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉．三个家庭的3位妈妈带着3名女宝和2名男宝共8人踏春．在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面．则不同的排法种数共有（）A．144种 B．216种 C．288种 D．432种【分析】利用捆绑法和插空法进行求解．【解答】解：第一步：先将3名母亲全排，共有：种；第二步：将3名女宝捆绑在一起，共有：种；第三步：将捆绑在一起的3名女宝作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插入，有种；第四步：首先将2名男宝之中的一人，插入第三步后形成的两个妈妈中间，然后将另一个男宝插入由女宝与妈妈形成的2个空中的1个空，共有：种，所以不同的排法种数有：种．故选：C．【点评】本题主要考查了排列组合知识，考查了捆绑法和插空法的应用，属于中档题．二．多选题（共4小题）（多选）7．丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在（a，b）上的导函数为f″（x），若在（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在（a，b）上为“凸函数”，以下四个函数在（0，1）上是凸函数的是（）A．f（x）＝sinxcosx B． C．f（x）＝xex﹣x3 D．f（x）＝tanx【分析】根据定义只需判断每一个选项中f″（x）＜0在（0，1）上是否恒成立即可．【解答】解：对于A，因为f（x）＝sinxcosx，f'（x）＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，所以f″（x）＝﹣2sin2x，因为x∈（0，1），所以2x∈（0，2），sin2x＞0，所以f″（x）＝﹣2sin2x＜0在x∈（0，1）上恒成立，所以f（x）＝sinxcosx在（0，1）上是凸函数；对于B，因为f（x）＝，x∈（0，1），所以f'（x）＝，f″（x）＝＜0，所以f（x）＝在（0，1）上是凸函数；对于C，因为f（x）＝xex﹣x3，所以f'（x）＝ex+xex﹣3x2，f″（x）＝（x+2）ex﹣6x，因为当x趋于0时，f″（x）趋于2，当x趋于1时，f″（x）趋于3e﹣6＞0，所以f″（x）＜0在（0，1）上不恒成立，所以f（x）＝xex﹣x3在（0，1）上不是凸函数；对于D，因为f（x）＝tanx＝，所以f'（x）＝＝cos﹣2x，f″（x）＝﹣2cos﹣3x•（﹣sinx）＝2sinx•＞0，所以f（x）＝tanx在（0，1）上不是凸函数．故选：AB．【点评】本题属于新概念题，考查了导数的综合运用及复合函数的求导，属于中档题．（多选）8．若，则（）A．a0＝1 B． C． D．a0+2a1+4a2+6a3+⋯+20a10＝41【分析】根据二项式展开式定理，令x＝2求得a0的值，判断选项A；令x＝3求得a0+a1+a2+...+a10，判断选项B；令x＝1求得a0﹣a1+a2﹣...+a10，即可求得a0+a2+...+a10，判断选项C；设f（x）＝（2x﹣5）10，求导数，令x＝3求得a1+2a2+3a3+...+10a10，判断选项D正确．【解答】解：二项式中，令x＝2，得（﹣1）10＝a0，所以a0＝1，选项A正确；令x＝3，得a0+a1+a2+...+a10＝110＝1，选项B错误；令x＝1时，得a0﹣a1+a2﹣...+a10＝（﹣3）10＝310，所以a0+a2+...+a10＝，选项C正确；设f（x）＝（2x﹣5）10，则f′（x）＝20（2x﹣5）9＝a1+2a2（x﹣2）+3a3（x﹣2）2+...+10a10（x﹣2）9，则f′（3）＝20＝a1+2a2+3a3+...+10a10，所以2a1+4a2+6a3+...+20a10＝40，所以a0+2a1+4a2+6a3+...+20a10＝41，选项D正确．故选：ACD．【点评】本题考查了二项式的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．（多选）9．现将5个不同的小球全部放入标有编号1、2、3、4、5的五个盒子中（）A．若有一个盒子有3个球，有两个盒子各有1个球，则不同的放球方法种数为 B．若恰有一个盒子没有小球，则不同的放球方法种数为 C．若恰有两个盒子没有小球，则装有小球的盒子的编号之和恰为1l的不同放法种数为150 D．若这5个小球的编号分别为1～5号，则恰有四个盒子的编号与球的编号不同的放法种数为45【分析】根据排列组合及分步乘法计数原理计算，一一判断即可．【解答】解：现将5个不同的小球全部放入标有编号1、2、3、4、5的五个盒子中，对于A，不同的放球方法种数为，故A错误；对于B，不同的放球方法种数为，故B正确；对于C，5个球放到编号为2、4、5的三个盒子中，因为每个盒子中至少放1个小球，所以在三个盒子中有两种方法：各放1个，2个，2个的方法有＝90种；各放3个，1个，1个的方法有＝60种．共有150种，故C正确；对于D，恰有四个盒子的编号与球的编号不同，就是恰有1个编号相同，先选出1个小球，放到对应序号的盒子里，有种情况，不妨设5号球放在5号盒子里，其余4个球的放法为（2，1，4，3），（2，3，4，1），（2，4，1，3），（3，1，4，2），（3，4，1，2），（3，4，2，1），（4，1，2，3），（4，3，1，2），（4，3，2，1），共9种，故恰好有1个球的编号与盒子的编号相同的投放方法总数为5×9＝45种，故D正确．故选：BCD．【点评】本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于基础题．（多选）10．已知函数f（x）＝lnx﹣ax，则下列说法正确的是（）A．若f（x）≤0恒成立，则a≥1 B．当a＜0时，y＝f（x）的零点只有1个 C．若函数y＝f（x）有两个不同的零点x1，x2，则 D．当a＝1时，若不等式me2x+lnm≥f（x）恒成立，则正数m的取值范围是【分析】定义域为（0，+∞），对于A，分离参数研究y＝最大值即可；对于B，研究f（x）的单调性、极值的符号即可；对于C，利用极值点偏移的解题思路，将问题转化为证明lnx1+lnx2＞2，然后找到两个零点的关系，构造函数，利用导数研究最值即可；对于D，利用同构，构造函数并研究单调性解决问题．【解答】解：显然函数的定义域为（0，+∞），对于A，由已知，问题转化为，x＞0时恒成立，令g（x）＝，x＞0，令＝0，解得x＝e，0＜x＜e时，g′（x）＞0，x＞e时，g′（x）＜0，x＝e是g（x）唯一的极大值点，也是最大值点，g（e）＝，故a≥1为所求，A错误；对于B，a＜0时，＞0恒成立，故f（x）在（0，+∞）上递增，且x→0时，f（x）→﹣∞，x→+∞时，f（x）→+∞，故f（x）存在唯一的零点，故B正确；对于C，设两个零点为0＜x2＜x1，则lnx1﹣ax1＝0，lnx2﹣ax2＝0，两式相加得lnx1+lnx2＝a（x1+x2）①，相减得lnx1﹣lnx2＝a（x1﹣x2）②，假如成立，只需lnx1+lnx2＞2成立，只需a（x1+x2）＞2成立，结合②得，只需•（x1+x2）＞2成立，化简得＞2成立，令t＝，则上式可化为（t+1）lnt＞2（t﹣1），t＞1③时恒成立，再令h（t）＝（t+1）lnt﹣2（t﹣1），（t＞1），，显然h′（1）＝0，且h″（t）＝，故h′（t）在（1，+∞）上单调递增，故h′（t）＞h′（1）＝0，即h（t）在（1，+∞）上是增函数，所以h（t）＞h（1）＝0，故③式成立，即C正确；对于D，a＝1时，不等式me2x+lnm≥f（x）即me2x+lnm≥lnx﹣x，即e2x+lnm+2x+lnm≥elnx+lnx④，构造函数m（x）＝ex+x，显然该函数是增函数，故④式可化为2x+lnm≥lnx恒成立，即lnm≥lnx﹣2x恒成立，令y＝lnx﹣2x，x＞0，由＝0，得x＝，易知时，y′＞0，时，y′＜0，故是该函数极大值点，也是最大值点，故lnm≥，故m≥符合题意，故D错误．故选：BC．【点评】本题综合考查了利用导数研究不等式恒成立问题，极值点偏移问题，以及与函数零点相关的问题，同时考查了学生的逻辑推理，数学运算等核心素养，属于难题．三．填空题（共4小题）11．从4名男生和3名女生中选出3人组成一个学习小组，其中至少有1名女生的不同选法共有31种（用数字作答）【分析】由题意知这3人中至少有1名女生的对立事件是只选男生，即则这3人中至少有1名女生等于从全部方案中减去只选男生的方案数，由排列的方法计算全部方案与只选男生的方案数．【解答】解：从4名男生和3名女生中选出3人，组成一个学习小组，有C73种选法，其中只选派男生的方案数为C43，这3人中至少有1名女生与只选男生为对立事件，则这3人中至少有1名女生等于从全部方案中减去只选男生的方案数，即合理的选则方案共有C73﹣C43＝31种结果，故答案为：31【点评】本题考查排列组合的运用，本题解题的关键是看出要求的事件的对立事件，遇到求出现至多或至少这种语言时，一般要用间接法来解，正难则反12．在的展开式中，常数项为展开式的第13项．【分析】先求出的通项公式，再令指数为零可得常数项各为展开式的第13项．【解答】解：由题意得Tr+1＝•（9x）18﹣r（）r＝918﹣r•（）r••x，由题间得18﹣r＝0，解得r＝12，所以在的展开式中，常数项为展开式中的第13项．故答案为：13．【点评】本题考查二项式定理的展开式，通项公式是求解这类问题的关键，属基础题．13．用数字0、1、2、3、4、5可以组成无重复数字且能被5整除的五位数有216个．（用数字作答）【分析】根据题意，五位数的个位必须为0或5，据此分2种情况讨论，求出每种情况的五位数数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成没有重复数字且能被5整除的五位数，则五位数的个位必须为0或5，①若0排在个位，可从1，2，3，4，5这5个数字中选4个排在前面四个数位，有A54＝120种方法，②若5排在个位，0不能在万位，则万位有4种情况，在剩下的4个数字中任选3个，安排在中间3个数位，有4×A43＝96种方法，则有120+96＝216个五位数，故答案为：216．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，对有0与无0分类讨论是关键，也可以按末位是0还是5分类，突出分类讨论思想的考查，属于中档题．14．某学校新分配五名教师，学校准备把他们分配到甲、乙、丙三个班级，每个班级至少分配一人，则其中老师C不分配到乙班的分配方案种数是100．【分析】利用先分组再分配及计数原理即可求解．【解答】解：依题意知，分2步完成，第1步，将5名教师分为3组分2类，第1类，若分为3﹣1﹣1的三组，有种分组方法，第2类，若分为2﹣2﹣1的三组，有种分组方法，则共有10+15＝25种分组方法，第2步，将老师C所在的组安排在甲或丙班，剩下2组任意安排，有2×2＝4种安排方法，所以有25×4＝100种分配方案．故答案为：100．【点评】本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．四．解答题（共5小题）15．已知函数f（x）＝x（1﹣lnx）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设a，b为两个不相等的正数，且blna﹣alnb＝a﹣b，证明：2＜+＜e．【分析】（1）首先求得导函数的解析式，然后结合导函数的符号即可确定函数的单调性，（2）法一：利用同构关系将原问题转化为极值点偏移的问题，构造对称差函数分别证明左右两侧的不等式即可．法二：要证x1+x2＜e，由x1+x2＜x1（1﹣lnx1）+x2＝x2（1﹣lnx2）+x2，故构造g（x）＝x（1﹣lnx）+x，判断的单调性，即可得证．【解答】（1）解：由函数的解析式可得f'（x）＝1﹣lnx﹣1＝﹣lnx，∴x∈（0，1），f′（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（1，+∞），f′（x）＜0，f（x）单调递减，则f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．（2）证明：由blna﹣alnb＝a﹣b，得，即，由（1）f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，所以f（x）max＝f（1）＝1，且f（e）＝0，令，，则x1，x2为f（x）＝k的两根，其中k∈（0，1）．不妨令x1∈（0，1），x2∈（1，e），则2﹣x1＞1，先证2＜x1+x2，即证x2＞2﹣x1，即证f（x2）＝f（x1）＜f（2﹣x1），令h（x）＝f（x）﹣f（2﹣x），则h′（x）＝f′（x）+f′（2﹣x）＝﹣lnx﹣ln（2﹣x）＝﹣ln[x（2﹣x）]在（0，1）单调递减，所以h′（x）＞h′（1）＝0，故函数h（x）在（0，1）单调递增，∴h（x1）＜h（1）＝0．∴f（x1）＜f（2﹣x1），∴2＜x1+x2，得证．同理，要证x1+x2＜e，（法一）即证1＜x2＜e﹣x1，根据（1）中f（x）单调性，即证f（x2）＝f（x1）＞f（e﹣x1），令φ（x）＝f（x）﹣f（e﹣x），x∈（0，1），则φ'（x）＝﹣ln[x（e﹣x）]，令φ′（x0）＝0，x∈（0，x0），φ'（x）＞0，φ（x）单调递增，x∈（x0，1），φ'（x）＜0，φ（x）单调递减，又0＜x＜e时，f（x）＞0，且f（e）＝0，故φ（x）＝0，φ（1）＝f（1）﹣f（e﹣1）＞0，∴φ（x）＞0恒成立，x1+x2＜e得证，（法二）f（x1）＝f（x2），x1（1﹣lnx1）＝x2（1﹣lnx2），又x1∈（0，1），故1﹣lnx1＞1，x1（1﹣lnx1）＞x1，故x1+x2＜x1（1﹣lnx1）+x2＝x2（1﹣lnx2）+x2，x2∈（1，e），令g（x）＝x（1﹣lnx）+x，g′（x）＝1﹣lnx，x∈（1，e），在（1，e）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）＜g（e）＝e，即x2（1﹣lnx2）+x2＜e，所以x1+x2＜e，得证，则2＜+＜e．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究极值点偏移问题，等价转化的数学思想，同构的数学思想等知识，属于难题．16．（1）6名身高互不相等的学生，排成三排二列，使每一列的前排学生比后排学生矮，有多少种不同的排法？（2）6本不同的书分给3名学生，每人至少发一本，共有多少种不同的分法？【分析】（1）按先取后排（先排第一列，再排第二列，最后排第三列）即可得到结论；（2）先分组，再分给3名学生，利用乘法原理，即可得到结论．【解答】解：（1）从6人中任选2人排在第一列（前矮后高），有＝15种方法，再从剩余的4人中选2人排在第二列（前矮后高），有＝6种方法，最后剩余的两人排在第三列（前矮后高），有一种方法，由分步乘法计数原理可得共有15×6＝90；（2）先把6本书分成3组，包括1、1、4；1、2、3；2、2、2三种情况，共有＝90种分法，再分给3名学生有＝6种方法，故共有90×6＝540种分法．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，突出考查分步乘法计数原理的应用，考查理解与应用能力，属于中档题．17．已知函数f（x）＝excosx﹣1．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）f′（x）＝ex（cosx﹣sinx），f′（0）＝1．又f（0）＝0，即可得出曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程．（Ⅱ）令f′（x）＝ex（cosx﹣sinx）＝0，x∈[0，]，解得x＝．利用单调性即可得出最值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝ex（cosx﹣sinx），f′（0）＝1．又∵f（0）＝0，∴曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣0＝x﹣0，即x﹣y＝0．（Ⅱ）令f′（x）＝ex（cosx﹣sinx）＝0，x∈[0，]，解得x＝．∴函数f（x）在上单调递增，在上单调递减．又f（0）＝0，＝﹣1，＝﹣1．故求函数f（x）在区间[0，]上的最大值为﹣1，最小值为﹣1．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值及其切线方程、方程与不等式的解法、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．已知函数f（x）＝+alnx﹣2（a＞0）．（1）若曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线x+2y﹣2＝0垂直，求a的值．（2）若对于任意x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围；（3）记g（x）＝f（x）+x﹣b（b∈R）．当a＝1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．【分析】（1）根据题意可得直线x+2y﹣2＝0的斜率为﹣，那么切线的斜率为2，根据导数的几何意义可得f′（1）＝2，进而解得a的值．（2）对f（x）求导数，分析单调性，得f（x）的最小值，对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，⇒f（x）最小值大于2（a﹣1）即可解得答案．（3）对g（x）求导分析单调性，若函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，则，解得b的取值范围．【解答】解：（1）直线x+2y﹣2＝0的斜率为﹣，函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为f′（x）＝﹣+，所以f′（1）＝﹣+＝2，所以a＝4．（2）f′（x）＝﹣+＝，由f′（x）＞0解得x＞，由f′（x）＜0解得0＜x＜，所以f（x）在区间（，+∞）上单调递增，在区间（0，）上单调递减，所以，当x＝时，函数f（x）取得最小值，ymin＝f（），因为对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，所以f（）＞2（a﹣1）即可，则+aln﹣2＞2（a﹣1），由aln＞a解得