2023九年级数学上册 第2章 一元二次方程2.3 一元二次方程根的判别式教学设计 （新版）湘教版

2023九年级数学上册第2章一元二次方程2.3一元二次方程根的判别式教学设计（新版）湘教版授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间设计思路嗨，同学们！今天我们来一起探索一元二次方程的神秘世界，特别是关于它的根的判别式。我会像讲故事一样，带着你们一步步走进这个奇妙的世界。首先，我们会通过一些有趣的例子，来感受根的判别式的魅力。然后，我们会用一些实用的方法，来找出方程根的性质。最后，我会和你们一起动手解决一些实际问题，让你们真正掌握这个知识点。准备好了吗？让我们一起开启数学的冒险之旅吧！😄📚🎯核心素养目标培养学生运用数学模型解决问题的能力，提升逻辑推理和数学运算素养。通过探究一元二次方程根的判别式，让学生体验数学与生活的联系，培养其数学抽象和数学建模意识。同时，强化学生数学表达和交流的能力，提高其数学思维品质。教学难点与重点1.教学重点

-**核心内容**：掌握一元二次方程根的判别式的概念和计算方法，理解判别式与方程根的关系。

-**详细列明**：重点讲解如何识别一元二次方程的判别式，如何计算判别式的值，以及如何根据判别式的值判断方程的根的情况。例如，讲解方程\(ax^2+bx+c=0\)的判别式为\(b^2-4ac\)，并让学生通过具体的例子，如\(x^2-3x+2=0\)，计算判别式，并讨论根的情况。

2.教学难点

-**难点内容**：理解判别式的几何意义以及其在实际问题中的应用。

-**详细列明**：难点在于帮助学生理解判别式\(b^2-4ac\)如何直观地反映出方程根的性质（两个实根、一个重根或没有实根）。例如，当判别式大于0时，方程有两个不同的实数根；当判别式等于0时，方程有一个重根；当判别式小于0时，方程没有实数根。难点还在于将这一理论应用到实际问题中，如解决物理中的抛物线问题或工程设计中的问题。通过具体的物理实验或工程案例，让学生感受判别式在现实世界中的应用。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有湘教版九年级数学上册教材，以方便课堂互动和课后复习。

2.辅助材料：准备与一元二次方程根的判别式相关的图片、图表，以及讲解判别式概念的动画视频，以增强直观理解。

3.实验器材：准备一些简单的几何工具，如直尺、圆规等，用于辅助学生进行几何作图，以理解判别式的几何意义。

4.教室布置：设置分组讨论区，以便学生进行小组合作学习，同时确保实验操作台安全，方便进行物理实验或工程案例分析。教学过程1.导入（约5分钟）

-激发兴趣：同学们，你们还记得小时候玩过的抛球游戏吗？当球抛向空中，它的轨迹是什么样的？今天我们就来探究一个和这个游戏有关的问题——一元二次方程的根的判别式。通过这个有趣的问题，我们可以了解数学是如何解释和预测现实生活中的现象的。

-回顾旧知：在上一节课中，我们学习了什么？是的，一元二次方程及其解法。今天，我们将深入探讨方程的根与判别式之间的关系。

2.新课呈现（约15分钟）

-讲解新知：首先，我会详细讲解一元二次方程根的判别式的概念，即\(b^2-4ac\)的含义，以及它如何帮助我们判断方程根的性质。

-举例说明：通过展示一些具体的方程，如\(x^2-3x+2=0\)，我会引导学生计算判别式，并讨论根的情况。

-互动探究：我会提出问题，让学生分组讨论，比如：“如果判别式为正，方程的根有什么特点？”通过讨论，让学生自己发现规律。

3.巩固练习（约20分钟）

-学生活动：接下来，我会分发一些练习题，让学生独立完成。这些题目包括计算判别式、判断根的性质以及解一元二次方程。

-教师指导：在学生练习的过程中，我会巡视教室，观察他们的解题过程，并适时提供帮助。对于特别困难的题目，我会组织学生讨论，共同解决问题。

4.拓展延伸（约10分钟）

-我会引入一些拓展问题，比如：“如果判别式接近于0，方程的根会有什么特点？”让学生思考并尝试解答。

-通过这些拓展问题，我希望学生能够将所学知识应用到更广泛的情境中。

5.实验活动（约15分钟）

-在教室的一角，我会设置一个实验操作台，准备一些简单的实验器材，如小球、斜面等，用于演示抛物线运动和一元二次方程的关系。

-学生分组进行实验，观察并记录数据，通过实验结果来验证判别式与方程根的关系。

6.总结反思（约5分钟）

-在课程接近尾声时，我会让学生回顾今天所学的内容，提问：“我们今天学习了什么？”

-我会总结重点，强调一元二次方程根的判别式的重要性，并鼓励学生在课后继续探究数学的奥秘。

7.课后作业（约5分钟）

-我会布置一些课后作业，包括一些应用题和思考题，让学生在课后巩固所学知识，并培养他们的数学思维。拓展与延伸1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料

-《一元二次方程在工程中的应用》：介绍一元二次方程在建筑设计、机械制造等领域的应用实例，让学生了解数学在现实世界中的重要性。

-《数学史上的判别式》：简要介绍判别式的历史背景和发展过程，激发学生对数学历史的兴趣。

-《一元二次方程与物理运动》：探讨一元二次方程在物理学中的应用，如抛体运动、振动系统等，帮助学生理解数学与物理的紧密联系。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究

-**探究一元二次方程根的分布**：引导学生思考，如果将一元二次方程的系数\(a\)、\(b\)、\(c\)分别取不同的值，方程的根会发生怎样的变化？鼓励学生通过计算和绘图来探究根的分布规律。

-**研究一元二次方程的根与系数的关系**：让学生探究一元二次方程的根与系数之间的关系，如韦达定理，并尝试证明这些关系。

-**应用一元二次方程解决实际问题**：鼓励学生从生活中寻找与一元二次方程相关的问题，如优化问题、最值问题等，尝试运用所学知识解决这些问题。

-**探索一元二次方程的几何意义**：引导学生思考一元二次方程的图像与判别式之间的关系，如抛物线的开口方向、顶点坐标等，通过几何方法加深对一元二次方程的理解。

-**比较一元二次方程与其他类型方程的解法**：让学生比较一元二次方程、一次方程和二次方程的解法，分析不同类型方程的解法特点，提高学生的数学思维能力。教学评价与反馈1.课堂表现：

-学生在课堂上的参与度是评价学生学习效果的重要指标。我会观察学生在课堂上的发言次数、提问频率以及解决问题的能力。

-对于积极参与课堂讨论、能够正确回答问题、在小组合作中起到领导作用的学生，我会给予正面的评价和鼓励。

2.小组讨论成果展示：

-在小组讨论环节，我会评估学生的团队合作能力和沟通能力。我会查看每个小组的讨论记录，以及他们展示的成果。

-优秀的讨论成果展示将包括清晰的解题思路、逻辑严密的分析和富有创意的解决方案。

3.随堂测试：

-为了检验学生对一元二次方程根的判别式的理解和应用能力，我会设计随堂测试题，包括选择题、填空题和简答题。

-通过随堂测试，我可以了解学生对知识点的掌握程度，以及他们在实际应用中的困难。

4.学生自评与互评：

-我会鼓励学生进行自我评价，反思自己在课堂上的表现和学习效果。

-同时，我会安排学生之间的互评，让学生互相学习，共同进步。

5.教师评价与反馈：

-针对学生在课堂上的表现，我会提供具体的反馈，包括他们的优点和需要改进的地方。

-对于学生的优点，我会给予肯定和表扬，以增强他们的自信心。

-对于学生的不足，我会提出建设性的意见，帮助他们找到解决问题的方法。

-例如，如果学生在计算判别式时经常出错，我会建议他们加强基础数学运算的训练，并提供一些练习题供他们练习。

-如果学生在应用判别式解决实际问题时感到困难，我会引导他们思考如何将数学知识与实际问题相结合，并给出一些具体的案例供他们参考。

-我还会定期与学生家长沟通，分享学生的学习进度和表现，共同关注学生的成长。

-通过这样的评价与反馈机制，我相信学生能够更好地理解一元二次方程根的判别式，并在数学学习的道路上不断进步。重点题型整理1.题型一：计算一元二次方程的判别式并判断根的性质

-题目：求解方程\(x^2-5x+6=0\)的根，并判断根的性质。

-解答：判别式\(Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1\)。因为\(Δ>0\)，所以方程有两个不相等的实数根。

2.题型二：根据判别式判断方程根的情况

-题目：已知方程\(ax^2+bx+c=0\)的判别式\(Δ=15\)，且\(a\neq0\)，求证：方程有两个实数根。

-解答：因为\(Δ=15>0\)，根据判别式的性质，方程\(ax^2+bx+c=0\)有两个不相等的实数根。

3.题型三：利用判别式解一元二次方程

-题目：求解方程\(2x^2-4x-6=0\)的根，并判断根的性质。

-解答：判别式\(Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot2\cdot(-6)=16+48=64\)。因为\(Δ>0\)，方程有两个不相等的实数根。根为\(x_1=\frac{4+\sqrt{64}}{4}=2\)和\(x_2=\frac{4-\sqrt{64}}{4}=-1\)。

4.题型四：根据根的性质确定方程的系数

-题目：已知方程\(x^2+4x+3=0\)有一个重根，求方程的系数\(a\)、\(b\)、\(c\)。

-解答：因为方程有一个重根，所以判别式\(Δ=0\)。计算判别式\(Δ=b^2-4ac=4^2-4\cdot1\cdot3=16-12=4\)。由于\(Δ=0\)，所以\(a\)、\(b\)、\(c\)的值分别是\(1\)、\(4\)、\(3\)。

5.题型五：应用判别式解决实际问题

-题目：一辆汽车以\(60\)公里/小时的速度行驶，从\(A\)地出发前往\(B\)地，已知\(A\)地到\(B\)地的距离为\(180\)公里。若汽车行驶过程中速度恒定，求汽车从\(A\)地出发\(x\)小时后，汽车行驶距离与剩余距离的比值的平方根。

-解答：汽车行驶\(x\)小时后，行驶距离为\(60x\)公里，剩余距离为\(180-60x\)公里。比值平方根为\(\sqrt{\frac{60x}{180-60x}}\)。根据实际情况，这个比值平方根应大于等于\(0\)且小于等于\(1\)。因此，我们可以设置不等式\(\sqrt{\frac{60x}{180-60x}}\geq0\)且\(\sqrt{\frac{60x}{180-60x}}\leq1\)，进而求解\(x\)的范围。教学反思与总结今天的课，咱们一起探索了一元二次方程根的判别式，我觉得挺有意思的。先说说我自己的感受吧。

首先，我觉得今天的导入做得不错。我通过抛球游戏这个大家都熟悉的例子，让学生们感受到了数学与生活的联系，他们兴趣挺高的。不过，我发现有几个学生对于一元二次方程的基本概念还是有些模糊，我可能在导入时可以更简洁地回顾一下旧知，帮助这些学生快速进入状态。

接着，新课的讲解部分，我尽量用简单易懂的语言来解释判别式的概念，我觉得效果还可以。但是，我发现有些学生对于判别式的几何意义理解起来比较吃力。下次，我打算用一些更直观的图形或者动画来帮助他们理解这个概念。

在小组讨论环节，学生们都很积极地参与进来，讨论得很热烈。我看到他们互相帮助，共同解决问题的样子，真的很开心。不过，也有个别小组讨论时声音太大，影响了其他小组，我需要在管理上做得更好，确保每个小组都能安静、高效地讨论。

随堂测试的时候，大部分学生都能正确地计算出判别式，并判断出根的性质。但是，有几个学生在解决实际问题时显得有些吃力，这可能是因为他们对数学应用的理解还不