不等式与基本不等式（解析版）-2025年高考数学复习易错题（新高考）

专题02不等式与基本不等式

目录

题型一：不等式性质及解法

易错点01忽略不等式性质成立的前提条件

易错点02解分式不等式时变形不等价

易错点03一元二次型不等式恒成立问题混淆范围

易错点04解含参不等式讨论不全

易错点05多变量不等式问题混淆主元

题型二基本不等式

易错点06基本不等式求最值忽略前提条件

题型一：不等式性质及解法

易错点01：忽略不等式性质成立的前提条件

易错陷阱与避错攻略

典例2.（24-25高三上•上海•期中）若。、b、ceR,a>b,则下列不等式中成立的是（）

a2>b2

C.-->——a|c|>b\c\

c+1c+1

【答案】C

【分析】由不等式的性质和反例即可判断.

【详解】对于AB：取=满足。>6,显然!<1,/不成立，错误;

对于C：因为百所以,正确;

对于D：取c=0,显然力|>小|不成立，错误,

故选：C

【易错剖析】

在应用不等式性质进行判断时，若忽略。力是否同号，容易错选若忽略不一定同大于零，容易错选

B,由于忽略c是否为零，容易错选D

【避错攻略】

1不等式的性质及推论

性质1：不等式的传递性：设a,b,c均为实数，如果且6>c,那么a>c

性质2：不等式的加法性质：设a,b,c均为实数，如果a>b,那么a+c>b+c

性质3：不等式的乘法性质：设a,6,c均为实数，如果a>b且c>0,那么ac>bc,如果a>b且c<0,那么ac<bc

推论1.如果a>b,c>4/那么a+c>6+d

推论2.如果。>6,c<d那么a-c>6-d

推论3.如果a>6>0,c>d>0那么

推论4.如果a>6>0,那么!〈工

ab

推论5.如果。>b>0,d>c>0那么@>2

cd

推论6.如果a>b>0,那么a">6"（"是正自然数）

推论7.如果a>6>0,那么a">6"（"是正自然数）

【提醒】（1）不等式的性质3中在不等式两边同乘一个因式时一定要判断正负；

（2）推论1逆命题不成立，且“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”.

（3）推论3、推论5、推论6、推论7中要注意成立的前提条件，即均为正数的同向不等式相乘，得同

向不等式，并无相除式.

2判断不等关系成立的常用方法：

（1）直接利用不等式的性质进行推理判断.；

（2）比较法：一是作差比较：即作差、变形、判断差式与0的大小、下结论；二是作商法：即作商、变形、

判断商式与1的大小、下结论.

（3）构造函数利用函数的单调性；

（4）特殊值排除法.

易错提醒：（1）一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此.在运用不等式性质之前，一定要准确把握前

提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件.

（2）不等式性质包括“充分条件（或者是必要条件）”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后

者一般是解不等式的理论基础.

举一反三

1.（24-25高三上•河北沧州•期中）已知。>6>c,则下列不等式一定成立的是（）

A.ab>bcB.ac1>be2

C.—^―>—^―D.a（a-c）>b（b-c）

a—ca-c

【答案】C

【分析】对A,举反例；对B,举反例；对C,根据不等式性质推理可得；对D,举反例说明.

【详解】对于A,当a=l,6=-l,c=-2时，不满足湖>左，故A错误；

对于B,当c=0时，ac2=be2,故B错误；

对于C,因为a>6>c,所以。一。>0,所以一'一>0,则，>上，故C正确；

a-ca-ca-c

对于D,当。=T力=-2,c=-3时，不满足a（a-c）>6（b-c）,故D错误.

故选：C.

2.（2024•福建泉州•一模）若实数。>6>0,则下列不等式一定不成立的是（）

A.0.3"<0.3'B.lga>lgbC.D.血

a-\b-\

【答案】c

【分析】根据指数函数的性质判断A,根据对数函数的性质判断B,利用特殊值判断C,根据塞函数的性质

判断D.

【详解】因为了=0.3、在定义域R上单调递减且。>6>0,所以0.3"<0.3J故A正确；

因为y=l改在定义域（0,+8）上单调递增且。>6>0,所以lga>lg6,故B正确；

当时，-^―>0>-^-故C不正确；

a-10-1

因为>=正在定义域［0,+⑹上单调递增且“>6>0,所以故D正确.

故选：C.

3.（24-25高三上•山东泰安•期中）（多选）已知a,b,xwR,则下列命题正确的是（）

A.若贝B.若a>b,则ae"〉加”

ab

C.若a>b>0,贝I>—D.若In—>0,贝（ja>b

a+\ab

【答案】BC

【分析】由不等式的基本性质即可判定各个选项.

【详解】A选项：当。=-1,6=2时，但”<人故A错误；

ab

B选项：・.•/>（）,.•・当a>6时，aex>bex,故B正确;

C选项：Ta〉b>0,Q+ab>6+Q6,a(l+6)>6(1+〃)，由a+1〉0,a>0,

1+bq(l+6)b(\+a)b

------------------------------——故C正确;

1+aQ(1+Q)Q(1+Q)a

D选项：ln9>0,则£>1,当6<0时，a<b,故D错误.

bb

故选：BC.

・易错题通关

1.（24-25高三上•上海•期中）已知。<6<0,则（）

A.—<1B.—<—C.ab<b2D.a2>b2

bab

【答案】D

【分析】根据不等式的性质判断，错误的可举例说明.

2

【详解】a<b<Of例如a=-2,b=-1,此时‘==ab=2>l=b,ABC均错;

ba2b

2222

q<6<0时，a-b<O,a+b<0fa-b=（a-b）｛a+/?）>0,BPa>bD正确.

故选：D.

2.（23-24高三上・四川泸州•阶段练习）若a>b>0,c<09则下列结论正确的是（）

A.ac>beB.a+c<b+c

117

C.—<—D.a-c<b-c

ab

【答案】c

【分析】根据不等式的性质以及作差法可求得结果.

【详解】对于A：因为”>6>0,c<0,利用不等式的性质得ac〈比，故A错误；

对于B：根据不等式可加性可知：a>b>0,c<0,则a+c>b+c,故B错误；

对于C：作差可得工-，=生；，因为。>6>0,所以">0,6-。<0,则』<!，故C正确；

ababab

对于D：c<0,则-c>0,根据不等式可加性可知：a-c>b-c,故D错误.

故选：C.

3.（24-25高三上•山东临沂•期中）已知非零实数0,6满足。>b,贝|（）

A.B.a2>b2C.a3>b3D.ac2>be2

ab

【答案】C

【分析】根据给定的条件，结合不等式的性质以及作差法，可得答案.

【详解】对于A,当a>0>6时，->0>y,故A错误；

ab

对于B,当。=1,6=-2时，显然,但是/<〃，故B错误；

对于C,当ab〉O时，〃一〃=（q-6）（/+仍+/72）>0,当时<0时，a>O>b,则故C正确;

对于D,当。=0时，ac2=bc2=0,故D错误.

4.（24・25高三上•广东•阶段练习）下列结论正确的是（）

A.若a〉b>0,则q"B.若则

ab

C.a+—N2D.2a—3

a

【答案】D

【分析】对于A,B,C用特殊值即可排除，对于D,用作差法即可比较大小.

【详解】对于A,取,2=0,此时碇2=庆2,故A错误；

对于B,取。=1,6=-1，满足!,此时a>b,故B错误；

ab

对于C,取a=—1,此时a+L=-2,故c错误；

a

对于D,因为（2a-3）=（a-1）+2>0,故/>2a—3，所以a?22a-3正确.

故选：D.

5.（24-25高三上•重庆•期中）已知a>b,c<d<Q,贝|（）

A.a+c>b+dB.a+c2>b+d2C.ac>bdD.ac2>bd~

【答案】B

【分析】由不等式的性质可得B；举出反例可得A、C、D.

【详解】对A：取。=1,6=0,c=-2,d,止匕时a+c=6+d=-l,故A错误；

对B：由c<d<0,则c2>[2,又a>b,故a+c2>b+/，故B正确；

对C：取“=1,6=0,c=-2,〃=一1,止匕时ac=—2<6d=0,故C错误；

对D：取a=—1,b=—2,c=—2,d=—1,此时ac2=—4<bd2=—2,故D错误；

故选：B.

6.（24-25高三上•山东聊城•期中）已知a,6,cwR,a>b,则下列不等式一定成立的是（）

A.a2>b2B.—1-->2C.g]UD，ac。>be。

【答案】C

【分析】根据题意，分别举出反例即可判断ABD,由指数函数的单调性，即可判断C.

【详解】取。=1/=-2,满足”>b,但是力<〃，故A错误；

取a=l,6=-2,满足a>b,但是2+/=-2+[-!]=二<2,故B错误;

abI2）2

因为y=在R上单调递减，由0>b可得[g[,故C正确；

取a=l,b=_2,c=0,满足,但是ac?=次2,故D错误；

故选：C

7.（24-25高三上•江苏无锡•阶段练习）下列命题中，真命题的是（）

A.若。<6,则一>7

ab

B.若a>b,贝

C.若a>b>c>0,贝1]巴>山

bb+c

D.若0<Q<6<C,贝！Jlog,。<log,b

【答案】c

【分析】利用特殊值判断A、B、D,利用作差法判断C.

【详解】对于A：当“=-1,6=1时，满足。<6,但是!<1,故A错误;

ab

对于B：当〃=1,6=-1时，满足但是/=62>必，故B错误；

aa+ca(b+c)-b(a+c)c(a-b)

对于C：

bb+cb(b+c)b(b+c)

aa+cc(a-b)

又a>b>c>0,所以"6>0,所以了一区7-方伍+c）>。,即am，故c正确;

对于D：当0<c<l时y=log°x在（0,+e）上单调递减，又0<a<6<c,所以log。a>log。6,故D错误.

故选：C

8.（24-25高三上•江苏无锡•期中）（多选）下列说法中正确的有（）

A.若〃>b>0,c<d<0f贝ijacvbd

B.若a>b>0,c<0,贝!J—>—

ab

C.若-1<ZJ<0,则2<〃一b<3

D.若。<0,ab>d,则

【答案】ABD

【分析】利用不等式的基本性质逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，因为Q〉b>0,c<d<0,贝！J-c>-d>0,

由不等式的基本性质可得-，则acvbd,A对；

对于B选项，因为。>6>0,不等式的两边同时除以必可得

ab

因为c<0,由不等式的基本性质可得反>：,B对；

ab

对于C选项，因为1<。<3,-\<b<0,贝

由不等式的基本性质可得1<。-6<4,C错；

对于D选项，因为a<0,ab>a2,由不等式的基本性质可得6<。<0,则-6>-a>0,

由不等式的基本性质可得/</,口对.

故选：ABD.

9.（24-25高三上•河南安阳•期中）（多选）已知4,6,c,d为实数，则下列结论正确的有（）

A.若a>6,则

B.若a>b,c>d,贝［Ja+c>b+d

C.若e">eJ则!<:

ab

D.若Ina>ln6,Inc>Ind,则

【答案】BD

【分析】由不等式的基本性质即可判断选项AB,不等式的基本性质结合指数函数的性质即可判断C选项,

不等式的基本性质结合对数函数的性质即可判断D选项.

【详解】A选项，当cWO时结论不成立，A错误；

B选项，由不等式的性质可知B正确；

C选项，由e">eJ得a>b,当a>O>b时，结论不成立，C错误；

D选项，由Ina>Inline>1而，得a>b>0,c>d>0,由不等式的性质可知“c>,D正确.

故选：BD.

10.（24-25高三上•山东烟台•期中）（多选）已知。<0,6>0且a+6>0,则（）

A.a1<b2B.a2+ab>0C.—+-7<0D.（a-1）（Z?-1）<0

ab

【答案】AC

【分析】利用作差法结合平方差公式判断A正确；利用不等式的性质可知选项B错误；通分之后判断分子

和分母的符号可得选项C正确；举反例说明选项D错误.

【详解】A.,由a<0,b>0得a—b<0,

因为。+6>0,所以/一/=m+b)(q-b)<0,即选项A正确.

B.由Q<0,a+b>0,a(a+b)<0,BPa2+tz/?<0,选项B错误.

C.由avO,b>0得ab〈O,

因为a+6>0,所以1+：=*<0,选项C正确.

abab

D.令。=一：/=1,则(。-1)(6-1)<0不成立，选项D错误.

故选：AC.

易错点02：解分式不等式时转化不等价

易错陷阱与避错攻略

2—x

典例(24-25甘肃兰州•期中)不等式一21的解为()

X

A.{x|0<x<l}B.{%|x<0或％21}

C.{x|0<x<l}D.{x|x<0^x>l}

【答案】A

【分析】把分式不等式转化为整式不等式，即可得解.

2-x2-x2-2xfx(l-x)>0

【详解】由上三21,得上上-120,即上士20,因此n,解得0<x«l,

XXX[xWU

所以原不等式的解集为{x|0<x<l).

故选：A

【易错剖析】

本题求解时容易忽略XW1这一条件而造成化简不等价而出错.

【避错攻略】

1.基本思路：应用同号相乘(除)得正，异号同号相乘(除)得负，将其转化为同解整式不等式.在此

过程中，变形的等价性尤为重要.

2.基本方法：

①通过移项，将分式不等式右边化为零；

②左边进行通分，化为形如的形式；

g(x)

③常见同解变形:

(1)>0o/(x>g(x)>0

g(x)

(2)0<=>/(x)-g(x)<0

g(x)

(3)g(无)[g(x)#O

f(x)/(x)-g(x)^O

(4)

g(x)、g(x)xO

易错提醒：求解不等式时，一定要注意化简的等价性，如去分母时要保证分母不为0、平方时范围不能变大、

两边同乘（除）一个因式时要注意判断因式的符号等.

举一反三

1.（24-25高三上•北京•阶段练习）函数/卜）=产|的定义域为（）

A.(13)B.[1,4)

C.(-0o,l)U(4,+oo)D.(-co,l]u(4,+co)

【答案】D

【分析】函数定义域：二次根式被开方数为非负数.

【详解】由题设二X—二1N0,

x-4

j（x-l）（x-4）>0

[x-4w0

xe(-oo,1]“4,+«?).

故选：D

2.（24-25高一上•上海•期中）“x>l”是“1<1”的（）

X

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由:<1得{x|x<0或x>l},进而根据概念直接求解即可.

【详解】解：解不等式工<1得：L<1OLL_I<0O&<0OX（1-X）<0OX<0或x>l,

XXXX

因为{x|x>l}是{x|x<0或X>1}的真子集，

所以，{x|x>1}是何x<0或x>1}的充分不必要条件，

即“x>1”是“4<1”的充分不必要条件.

X

故选：A

3.（24-25高三上•安徽•阶段练习）已知集合〃=卜7^万<2},2V={x|x2-x-2<0},则（）

A.{x|-l<x<5jB.{x[l<x<5}

C.{乂-1（尤<2}D.{x|l<x<2j

【答案】D

【分析】分别求出不等式的解集，再利用交集的运算法则求解.

【详解】由已知得”={x|lWx<5},N={x\-l<x<2},

即AfcN={x|lVx<2}

故选：D.

・易错题通关

1.（24-25高三上•江苏宿迁•期中）若集合/={-1,0,1,2},5=jx|^->o1,则/口3=（）

A.{-1,0}B.{0,1}C.{1,2}D.{-1,0,1）

【答案】B

【分析】解出集合8,再根据交集含义即可得到答案.

【详解】由题意得\\,解得04x<2,即8=x04x<2,

则/c8={0,l}.

故选：B.

2.（24-25高三上•重庆•阶段练习）“x>l”是“」<1”的（）

X

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必

要条件

【答案】A

【分析】将-1<1化简，再根据充分必要条件关系判断.

X

1y-L1

【详解】—<1=----->0=x(x+l)>0ox<-l或%>0,

由x>l成立可以推出或x>0,但x<—l或x>0成立不能推出1>1,

所以X>1是的充分不必要条件

X

故选：A.

3.(24-25高三上•河南•阶段练习)不等式°的解集为()

x--2x+3

A.RB.{x|x>l}C.{x|x<l}D.{x|x<-l)

【答案】C

【分析】判断分母的正负，再去分母求解即得.

Y—1

【详解】由/_2x+3>0,得一―-<0^x-l<0<=>x<l.

故选：C

4.(2024•陕西西安三模)若集合/=k|正<2},5={-3,-1,0,1,3),则工口8=()

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{0,1,3}D.{-3,-1,0,1,3)

【答案】C

【分析】先求解根式不等式，化简集合4,然后再根据集合交集运算规则即可求解.

【详解】依题意得/=卜«42}=[0,4],贝UC3={0,1,3}.

故选：C.

1_?x

5.(24-25高三上•山东德州•期中)已知夕：q：--<0,若夕是9的充分不必要条件，则。的取

x+2

值范围是()

A.Q<—2B.a4-2

C.。<—D.a&—

22

【答案】A

【分析】先解分式不等式，根据充分不必要条件的定义结合集合间的基本关系计算即可.

1_O1

【详解】由一^Y40可得(l-2x)(x+2)wo(x+2*o),解之得x<-2或xN：,

x+22

设P：x<a,对应/=(-8,可,

q：匕其解集对应8=（-*一2）u

x+2|_2）

则夕是4的充分不必要条件等价于4是B的真子集，所以。<-2.

故选：A

3

6.（24・25高三上•河南•阶段练习）使不等式^一41成立的一个必要不充分条件是（）

2-x

A.（-oo,-l）U（2,+00）B.（-oo5-l]U（2,+oo）

C.(-oo,-l)o[2,+oo)D.(-oo,-l]u[2,+oo)

【答案】D

【分析】利用分式不等式化简可得xN2或x<-l,即可根据真子集关系求解.

【详解】由241可得解得%>2或

2-x2-x

3

设不等式「VI成立的一个必要不充分条件构成的集合是A,

则（-8,+司是A的一个真子集，结合选项可知A可以为（-8,-1]32,+CO）,

故选：D

7.（24-25高三上•上海•期中）不等式2与x+：3W0的解集为______.

x-1

【答案】-1,11

【分析】把分式不等式转化为整式不等式求解.

2r+3(2x+3)(x-l)<03

【详解】一<o<^<=>—<x<1„

x-1rx—lwO2'

故答案为：[-3][）.

Y—6

8.（24-25高三上•上海•阶段练习）已知不等式一的解集为A,若则实数。的取值范围为—

ax-1

【答案】<2>—gSca<0

【分析】根据条件,利用分式不等式的解法,得到（办-1）[（1--5]>0,再结合5任4,从而得到5a（5a-l）>0,

即可求解.

【详解】由=>1,得到°一等价于（办一1）口一。）无一5]>0,

ax-1ax-\

因为5任/,则有（5a-l）[（l-a）x5-5]V0,gp5fl（5a-l）>0,解得。2g或a40,

故答案为：a>^a<0.

9.（24-25高三上•上海浦东新•期中）不等式^^W3的解集为_________.

x-1

【答案】[-3,1）

【分析】根据条件，利用分式不等式的解法即可求出结果.

【详解】由内可/3,得到至手忘0,

x-lx-1

等价于01-，，解得-3"<1,

[x—lwO

所以不等式的解集为

故答案为：13,1）.

易错点03：解含参不等式讨论不全面出错

，易错陷阱与避错攻略

典例（24-25山东高三联考）（多选）对于给定实数。，关于龙的一元二次不等式（“x-l）（x+l）<0的解集可

能是（）

A.1x|-l<x<—jB.{x|xw-l}C.—<x<-l|D.R

【答案】AB

【详解】由（"-l）（x+l）<0,分类讨论。如下：

当Q〉0时，—1<X<一;

a

当a=0时，x>-1；

当一1<。<0时，工或1〉一1；

a

当。=一1时，X;

当4<-1时，X<-1^X>—.

a

故选：AB.

【易错剖析】

本题在求解过程中对参数〃的分类讨论容易不全面而漏解失分.

【避错攻略】

1.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

项目/>0J=0J<0

12V

y=ax2-\-bx-\-c(tz>0)

的图象

Xl\|g/X2X

O\Xi=X2XO\X

有两个相等的实数根

ax2-\~bx-\~c—0(。>0)有两个不相等的实数没有

b

的根

根修，X2（X1<X2）~~X2=实数根

一2a

ax2-\~bx~\~c>0(tz>0)

{x\x<X\,或X>X2}R

的解集

ax2-\-bx~\-c<0(tz>0)

{x\X\<X<X2}00

的解集

2解不含参数的一元二次不等式的一般步骤

第一步（化标准）：通过对不等式变形，使不等式右侧为0,二次项系数为正；

第二步（判别式）：对不等式左侧进行因式分解，若不易分解，则计算相应方程的判别式;

第三步（求实根）：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根；

第四步（画图象）：根据一元二次方程根的情况画出相应的二次函数的图象；

第五步（写解集）：根据图象写出不等式的解集.

3解含参数的一元二次不等式的一般步骤

【注意】

求解方程的根时可优先考虑用因式分解的方法求解，不能因式分解时再求判别式/,用求根公式计算.

易错提醒：含参数一元二次不等式的求解最容易出现的错误就是讨论不全面，在求解过程紧抓三点就可以

有效的避免失误：一是分析二次项系数是否需要讨论；而是分析方程根的存在型是否需要讨论；三是根的

大小关系是否需要讨论.

举一反三

1.(24-25高三上•安徽•阶段练习)设实数加，〃满足加+”>0,则关于x的不等式(x-m)(x+〃)>0的解集为

()

A.{x|x<-n^x>m}B.{x|x<-m^x>n\

C.{x\-n<x<m}D.{x\-m<x<n}

【答案】A

【分析】根据二次不等式与二次函数的关系，给合题意，可得答案.

【详解】因为加>一”,所以不等式的解集为{x|x<-"或x>w}.

故选：A.

2.(23-24江苏徐州•阶段练习)(多选)对于给定的实数关于实数x的一元二次不等式。(x-4(*+1)>。

的解集可能为()

A.0B.{-1}

C.(a,-l)D.(-co,-l)U(a,+<»)

【答案】ACD

【分析】首先讨论三种情况讨论不等式的形式，再讨论对应方程两根大小，得不等式的

解集.

【详解】对于一元二次不等式“x-a)(x+l)>0,则a*0

当a>0时，函数>=a(x-a)(x+l)开口向上，与x轴的交点为0,-1,

故不等式的解集为xe(-a),-l)u(a,+e)；

当a<0时，函数>=a(x-a)(x+l)开口向下，

若。=-1,不等式解集为0；

若不等式的解集为(-1,4),

若。<-1,不等式的解集为(凡-1),

故选：ACD

3.(24-25高三上•江苏盐城•开学考试)(多选)已知集合/={x[l<x<4},B={x\x2-(a+l)x+a<0},则下

列命题中正确的是()

A.若/U3=8,则“24

B.若/U2=N,贝IJ14a44

C.若BPlN=B,贝（jl<a<4

D.若/|"|3=0,贝！|a<l

【答案】AB

【分析】讨论。，求集合B,在结合集合关系在各选项的条件下列不等式求。的范围，由此可判断各选项.

［详解］B=1x|x2-(a+l)x+a＜o!=|x|(x—l)(x—tz)＜0j.

.,.当a>l时，2={x[l<x<a}；

当a=l时，B=0；

当a<l时，8={x[a<x<l}.

对于选项A,若/U8=B,则/=故正确.

对于选项B,若/U8=N,则台1/,故14aW4,故正确.

对于选项C,若8口/=5,则故1W4,故错误.

对于选项D,若/门8=0,贝故错误.

故选：AB.

易错题通关

1-x

1.(24-25高三上•湖北•阶段练习)已知集合力=xW0={x|J_（2a+l）x+a（a+l）W0},若

x+2

是的必要不充分条件，则实数。的取值范围是()

A.a<-3^a>lB.aV-3或。>1

C.。＜一3或D.。＜一3或。＞1

【答案】C

【分析】由题意确定554列出不等式即可求解.

【详解】A=xxx21或％<-2}

B=1x|*_（2a+1）X+Q（Q+1）Wo}={x[a<x<a+\^

因为“xw/”是“xwB”的必要不充分条件，所以5u4,

所以a+l<-2或aNL解得:a<-3或a21.

故选:C

2.(24-25高三上•北京•阶段练习)已知2={>wR|/+23+加2一4<0},5={xeN||x|<1},^A[}B=B,

那么实数加的取值范围是()

A.(-1,1)B.[-1,1]C.(-2,2)D.[-2,2]

【答案】C

【分析】解不等式化简集合45,再利用交集的结果列式求解即得.

【详解】不等式X?+2加x+一4<0=++2)(x+加-2)<0,解得一加一2<x<-〃z+2,

贝/={x|-a-2Vxe-机+2},而2={0},由/Cl3=3,得0e/,

因止匕一"2—2<0<—机+2,角星得一2<机<2,

所以实数〃?的取值范围是(-2,2).

故选：C

3.(23-24高三上•浙江绍兴•期末)(多选)已知aeR,关于x的一元二次不等式(◎-2)(x+2)>0的解集可

能是()

【答案】ACD

2

【分析】分Q=o,。〉0,。<0三种情况结合4与-2的大小关系讨论，可得不等式的解集.

a

【详解】当a=0时，(办一2)(x+2)=—2(x+2)〉0nx<—2；

当Q>0时，(ax—2)(x+2)=a[x—■|[(x+2)>0nx>"|或工<一2,故A正确；

当a<0时，(ax—2)(x+2)=Q(x)(x+2),

2

若—=一2no=-1,则解集为空集；

a

22

若—<_2n-l<a<0,则不等式的解为：一<x<-2,故D正确；

aa

22

若一>-2na<-l,则不等式的解为：-2<x<—,故C正确.

aa

故选：ACD

4.（23-24高三上•河北邢台•阶段练习）（多选）关于x的不等式（办-l）（x+2”2）>0的解集中恰有4个整

数，则。的值可以是（）

123

A.——B.——C.——D.-1

234

【答案】AD

【分析】利用已知条件判断。的符号，求出不等式对应方程的根，然后列出不等式求解即可.

【详解】关于x的不等式（GT）（X+22）>0的解集中恰有4个整数，

所以。<0,因为时，不等式的解集中的整数有无数多个.

不等式（ax—l）（x+2。-2）>0,对应的方程为：（ax-l）（x+2a-2）=0,

方程的根为：,和2-2a；

a

由题意知，一<0,则2-2。44,解得a2-1；

a

当。=-1时，不等式的解集是（-1,4）,解集中含有4个整数：0,1,2,3；满足题意.

当。=一；时，不等式的解集是（-2,3）,解集中含有4个整数：-1,0,1,2；满足题意.

当。€（-1,一；）时，不等式的解集是《，2-2°）,此时:e（-2,-l）,2-2ae（3,4）,

解集中含有5个整数：-1,0,1,2,3；不满足题意.

当ae'”）时，不等式的解集是（：，2-2a）,1e（-»,-2）,2-e（2,3）,

解集中含有整数个数多于4个，不满足题意.

综上知，。的值可以是-1和-g.

故选：AD

5.（24-25高三上•河南安阳・期中）已知不等式以2+6x+c>0的解集为3-1<x<2}.若不存在整数x满足不

等式（aAx+*2+2c）（2c-加）<0,则实数左的取值范围是.

【答案】口,4]

【分析】根据一元二次不等式的解集，结合韦达定理可得。<0,b=-a,c=-2a,然后代入目标不等式化简

即可得解.

【详解】不等式办2+6x+c>0的解集为{x|-l<x<2},

贝iJa<0,且一1,2分另ij为方程办2+乐+°=0的两根,

-1+2=--,

由根与系数的关系，得agp6=-a,c=-2a

-1x2=-,

a

将6=-a,c=-2a代入不等式(。米+b左2+2c)(2c-6x)<0,

化简得力（fct-V-4）（x-4）＜0,即（区—/一4）（%—4）〈0

容易判断左=0或左＜0时，均不符合题意，所以左＞0.

/J2A\

所以原不等式即为［x-一厂J（x-4）＜0,

斤2

依题意应有34上+=445且左＞0,所以14后44.

k

故答案为：口,4］

6.（2024高三•全国•专题练习）解关于x的不等式：ax2-（3a+l）x+3＜0（其中。＞0）.

【答案】答案见解析

【分析】因式分解，结合分类讨论，根据一元二次不等式的解的性质即可求解.

【详解】因为。＞0,不等式可化为（x-3）（x-：j＜0,下面分类讨论：

①当3=工，即时，不等式化为（X-3＞＜0,此时不等式无解；

a3

②当3＜,，即0＜。＜工时，解得3＜了＜工；

a3a

③当工＜3,即./时，解得，＜x＜3；

a3a

综上：当。=1时，解集为0;

当0＜a＜；时，解集为［卜＜工＜：］；

当时，解集为［xp＜x＜3

7.（24-25高三上・甘肃白银•阶段练习）已知关于x的一元二次不等式G2+X+6＞0的解集为

(-oo,-2)u(l,+8)

⑴求。和6的值

(2)求不等式ax?—(2a+6+2)cx+c?—1<0的解集

【答案】（1）。=1,b=-2

（2）（c-l,c+l）

【分析】（1）根据一元二次不等式的解、根与系数关系列方程组来求得。力.

（2）先因式分解，进而求得不等式的解集.

【详解】（1）依题意，关于x的一元二次不等式办2+x+6>o的解集为（-*-2）3（1,+%）

a>0

所以-2+1=-1，解得a=1,6=-2.

a

-2xl=-

a

（2）由于a=l,6=-2,所以不等式ox?-（2a+6+2）cx+<?-1<0,

即x2-2cx+c2-1=[x-（c-l）][x-（c+l）]<0,由于c-]<c+],

所以不等式的解集为c-l<x<c+l,

所以不等式以2-（2。+6+2）3+02-1<0的解集"-1,。+1）.

易错点04：二次型不等式恒成立问题混淆范围

易错陷阱与避错攻略

典例（24-25高三上•山东临沂•期中）“。<3”是“不等式/一如+220在（。,+8）上恒成立”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】分离参数得到x+2z。在（0,+8）上恒成立，由基本不等式求出X+2N2也，得到OV20，根据

a<3^a<2V2,042也na<3求出答案.

【详解】不等式/一办+2N0在（0,+8）上恒成立，

2

即X+—2〃在（0,+8）上恒成立，

其中X+2N2JT1=2啦，当且仅当x=2即片/时，等号成立，

X\XX

故a«2V2，

由于。<33/420,a<2V2=>a<3>

故。<3是不等式/-“X+220在(0,+8)上恒成立的必要不充分条件.

故选：B

【易错剖析】

本题求解时容易忽略在(0,+“)上这一条件而误认为在R上恒成立而而出错.

【避错攻略】

对于一元二次型不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴

上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方，解决一元二次不等式中的恒

成立、能成立问题常常转化为求二次函数的最值或分离参数后求最值的方法解决问题.

1、在R上的恒成立问题

Q〉0a=b=0,

①二次型不等式以2+区+c>0在R上恒成立或者解集为R时，满足