奔驰定理与四心问题（原卷版）

专题16奔驰定理与四心问题

【考点预测】

—.四心的概念介绍：

（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1.

（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等.

（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等.

（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直.

二.奔驰定理,解决面积比例问题

重心定理：三角形三条中线的交点.

已知AABC的顶点A（玉，必），B（X2,%）,C（x3,%），贝U△ABC的重心坐标为

'3'3''

注意：（1）在中，若。为重心，则函+砺+诙=6.

（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1,且分的三个三角形面积相等.

重心的向量表示：AG=-AB+-AC.

33

4

奔驰定理：，4・加+既-0耳+51"=0，则403、△AOC、的面积之比等于4:4:4

奔驰定理证明：如图，令4函=两，4砺=西，^OC=OQ,即满足西i+砺i+南=0

三.三角形四心与推论：

(1)O是AABC的重心：:SACO.:SA,0B=1:1:1<^OA+OB+OC=6.

(2)O是△ABC的内心：^ABOC-^ACOA-^/\AOB—c<=>OA+OB+OC=0.

(3)O是△ABC的外心：

SAB0C:SACOA:S^OB=sin2A:sin2B:sin2C=sin2AOA+sin2BOB+sin2COC=0.

(4)O是AABC的垂心：SARnr::S.AnR=tanA:tanB:tanC<^>tanAOA+tanBOB+tanCOC=0.

【方法技巧与总结】

(1)内心：三角形的内心在向量陷+陷所在的直线上.

网IACI

|AB|-PC+|BC|-PC+|S|-PB=OOP为人短。的内心.

(2)外心：|西卜|丽|=|园=「为"BC的外心.

(3)垂心：丽•丽=丽•元=元•诙oP为△ABC的垂心.

(4)重心：可+丽+元=6oP为AABC的重心.

【题型归纳目录】

题型一：奔驰定理

题型二：重心定理

题型三：内心定理

题型四：外心定理

题型五：垂心定理

【典例例题】

题型一：奔驰定理

例1.(多选题)(2022•全国•高三专题练习)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理

对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbewz)的/og。很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知。是

△MC内的一点，“B0C、△AOC、的面积分别为枭、SB、”,则邑-函+§B-OS+Sc•诙=。.若

。是锐角”1BC内的一点，ZBAC、ZABC、N4CB是AABC的三个内角，且点。满足

OAOB^OBOC=OCOA，贝！1（）

A.。为AASC的垂心

B.ZAOB=7T-ZACB

c.|OA|:|OB|:|oc|=sinABAC:sinZABC:sinZACB

D.tanABAC-OA+tanZABC-OB+tanZACB-OC=0

例2.(多选题)(2022•全国•高三专题练习)点。在△A3C所在的平面内，则以下说法正确的有()

UUQuum)

uunuurABAC

A.若动点尸满足。尸=。4+丸Uttti-------------bTWtti----------a>0）,则动点。的轨迹一定经过△ABC的垂心;

AB|sinB|AC|sinC

UUIUULUuumuu

uur“uun

BCBASn

B.若OA?(jWttp03?(JULEIm）=°,则点。为△ABC的内心;

AC\BC\BA

C.^(OA+OB)AB=(OB+OC)BC=Of则点。为△ABC的外心；

/uniuum、

uunuurAD.「

D.若动点。满足OP=OA+4a------+TOB------(2>0),则动点P的轨迹一定经过△A3C的重心.

|AB|cosB|AC|cosC?

例3.（多选题）（2022•全国•高三专题练习）奔驰定理：已知。是△回（?内的一点，ABOC,AAOC,^AOB

的面积分别为力，SB,SC,则&-E+SB•丽+&•无=0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，

因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的/ogo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.若。、

P是锐角内的点，A、B、C是AASC的三个内角，且满足西+丽+定=3再，

OAOB=OBOC=OCOA，贝I（）

AUQ-C—J.•?•

APAB,»APBC'u^XPCA一宣•乙•♦

B.NA+N5OC=TT

C.|OA|:|(?B|:|oc|=cosA:cosB:cosC

D.tanAOA+tanBOB+tanCOC=0

例4.（多选题）（2022・浙江•高三专题练习）如图，已知点G为△回（7的重心，点。，E分别为AB,AC上

的点，且。，G,E二点共线，AZ）=THABfAE=nAC，机>0,n>0,记△AZ）EI,△ABC,四边形

的面积分别为s.s2,S3,贝I（）

A

D

S35

例5.（河南省安阳市2021-2022学年高一年级下学期阶段性测试（五）数学试卷）已知。是AABC内的一

点，若ABOC,M（9C,MOB的面积分别记为力邑,邑，则E・函+§2・/+S3•肉=6.这个定理对应的图形与

“奔驰”轿车的log。很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知。是AABC的垂心，n.OA+2OB+3OC=6,

则tan4L4C:tanNABC:tan/ACB=（）

A.1:2:3B.1:2:4C.2:3:4D.2:3:6

例6.（2021•四川德阳•高•一期末）已知产是AASC内部一点，且用+3万+呢=

面积之比为（）

A.1：3：5B.5：3：1C.1：9：25D.25：9：1

例7.（2022・安徽・芜湖一中三模（理））平面上有AABC及其内一点。，构成如图所示图形，若将AOAB,AC®C,

crULIUUULlUIUi

的面积分别记作s0,Sa,Sb,则有关系式SJOA+S/O3+SJOC=0.因图形和奔驰车的bg。很相似，

常把上述结论称为“奔驰定理”.己知AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若满足

a-OA+bOB+cOC=6,则。为AABC^T()

A

C.重心D.垂心

例8.（2022・云南・一模（理））在AABC中，D是直线AB上的点.若2丽=丽+2瓦，记/XACB的面积为S-

S,

△ACD的面积为S2,贝1喘=（）

2

A.—B.-C.-D.-

6233

例9.（2022・全国•高三专题练习）在平面四边形45co中，已知AASC的面积是△ACD的面积的2倍.若存

在正实数工，'使得衣=1-4）荏+而成立，则2x+y的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

例10.（2022.上海•高三专题练习）如图，P为AABC内任意一点，角A,B,C的对边分别为。，b,J

总有优美等式S“Bc丽+S»AC而+S-定成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现

有以下命题：

①若p是的重心，则有可+而+定=0；

②若°国+方而+cP可=0成立，则P是AABC的内心；

—»2—►1—.

③若=+则△板=2:5；

④若尸是AABC的外心，A=；,而=相而+”元，则7〃+〃e[-也1）.

则正确的命题有.

例11.（2022•江西宜春•高三期末（理））己知名.=3,点M是△ABC内一点且两+2砺=国，则AMBC

的面积为（）

uuuriuiniuun

例12.（2022・全国•高三专题练习）己知点M是AABC所在平面内一点，^AM=-AB+-AC,贝U人45河与

23

△BOW的面积之比为（）

A.—B.—C.2D.一

323

例13.（2022・全国•高三专题练习）已知点。为正AABC所在平面上一点，且满足西+彳历+（1+4）灰^=0,

若ACMC的面积与AOLB的面积比值为1:4,则2的值为（）

A.1B.-

23

C.2D.3

【方法技巧与总结】

奔驰定理：如图，已知尸为AABC内一点，贝I有S“BC•丽+S△尸AC•而•前=初

由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向

量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.

题型二：重心定理

例14.（2022・浙江绍兴•模拟预测）已知AABC是圆心为0,半径为R的圆的内接三角形，M是圆。上一点，

G是AABC的重心.若两贝1J田12+两°+两。=.

例15.（2022.江苏南京.模拟预测）在AASC中，超近=0，网=3,困=4,0为AABC的重心，O在

边BC上，且AT>_LBC,则而.

例16.（2022•全国•高三专题练习）在△ABC中，屈=£,CA=B,且。?=。。+加pi-------+臼-----,meR,

|6z|sinB|&|sinA

则点P的轨迹一定通过△ABC的（）

A.重心B.内心

C.外心D.垂心

例17.（2022・全国•高三专题练习）已知A,B,C是平面上不共线的三点，。为坐标原点，动点P满足丽=

OA+（1-^）办+（1+2%>n],则点尸的轨迹一定经过（）

A.ZVIBC的内心B.△ABC的垂心

C.ZXABC的重心D.A8边的中点

例18.（2022.河北•石家庄二中模拟预测）在AA6C中，G为重心，AC=2^3,BG=2,则荏.比=.

例19.（2022•四川达州•一模（文））在AABC中，G为重心，AC=2石，BG=2,则版.潴=.

例20.（2022・全国•高三专题练习（理））在AABC中，点G是"15c的重心，过点G作直线分别交线段48,

AB于点、N,M（M,N不与AASC的顶点重合），则沁的最小值为.

）△CMG

例21.（2022.全国•高三专题练习）在△ABC中，AB=1,ZABC=60°,尼•福=一1,若。是△ABC的重

心，K!lBO-AC=.

例22.（2022・全国•高三专题练习）如图，。是AABC的重心，AB=a，AC=b，。是边BC上一■点，且BD=3DC<

OD=44+〃B,则4+〃=.

例23.(2022・重庆・三模)已知。为AABC的重心，记丽=£,OB=b，则就=()

A.—2a—5B.—a+2bC.a—2bD.2a+b

例24.（2022.安徽蚌埠•模拟预测（理））已知点尸是AABC的重心，则下列结论正确的是（

A.（sin2A）PA+（sin2B）PB+（sin2C）PC=0

B.（sin+（sinB）PB+（sinC）PC=0

C.（tanA）PA+（tanPB+（tanC）PC=0

D.PA+PB+PC=O

27r

例25.（2022.辽宁・二模）已知点尸为△ABC的重心，AB=3,AC=6,A=q-,点Q是线段8尸的中点，

则I而I为（）

5厂3

A.2B.—C.yj3D.一

22

例26.（2022.全国•高三专题练习）设。是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点尸满足

OP=OA+^（AB+AC）,2e[0,+oo）,则P的轨迹一定通过々IBC的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

例27.（2022•宁夏石嘴山•一模（理））已知G是△ABC重心，若网=2,瓯卜而，则而.芯的值为（）

A.4B.1C.-2D.2

例28.（2022•黑龙江・哈九中高三开学考试（理））数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首

次指出：△ABC的外心。，重心G,垂心H,依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心

距离的一半，该直线被称为欧拉线.若AB=4,AC=2,则下列各式不正确的是（）

A.AGBC-4=0.B.2GO=-GH

C.AOBC+6=0D.OH=OA+OB+OC

例29.（2022•湖北省鄂州高中高三期末）在AABC中，A.,G为AASC的重心，若而•覆=而.蔗=6,

则AABC外接圆的半径为（）

A.GB.理C.2D.273

JT

例30.（2022•全国•高三专题练习（理））在△A3C中，A=—,。为△ABC的重心，若=,

则△ABC外接圆的半径为（）

A.BB.毡C.73D.逑

333

例31.（2022・全国•高三专题练习）已知△ABC的三个内角分别为ABC。为平面内任意一点，动点P满足

___、___、sr

OP=OA+A『——+『——"e（O,+⑹则动点P的轨迹一定经过AASC的（）

|AqsinB|AC|sinC

A.重心B.垂心C.内心D.外心

【方法技巧与总结】

三角形的重心一定在三角形的中线上，所以，在等式中显示出的现象是两个相加的向量，前面的系数

相同，还需注意两个系数相同的向量相加的同时还会产生中点.

题型三：内心定理

例32.（2022.全国•高三专题练习）若。在AABC所在的平面内，且满足以下条件

画］篇一部,加玄［篇一战则。是八板的（）

A.垂心B.重心C.内心D.外心

例33.（2022・全国•高三专题练习）已知点。是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点尸

满足由=砺+%(4e(0,+<»)),则点P的轨迹一定通过△ABC的（)

A.夕卜心B.内心C.重心D.垂心

例34.（2022・全国•高三专题练习）己知及AABC中，AB=3,AC=4,BC=5,/是AASC的内心，P是“BC

内部（不含边界）的动点.若/=；1疝+〃42（4，〃©尺），则彳+〃的取值范围是.

例35.（2022.广西柳州.高一期中）设。为AABC的内心，AB=AC=5,BC=8,AO=mAB+nBC（m,neR）,

则/+〃=_______________

例36.（2022・全国•高三专题练习）AABC中，a、b、c分别是8C、AC、AB的长度，若。.函+6•丽+c•宓=3，

则。是）

A.外心B.内心C.重心D,垂心

例37.（2022.全国•高三专题练习）在AASC中，AB=2AC,动点M满足赤.（反'+m）=0,则直线AM—

定经过AASC的（）

A.垂心B.内心C.外心D.重心

例38.（2022・全国•高三专题练习）已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.ZXABC内一点M

满足：a-MA+b-MB+c-MC^O^则M一定为△ABC的（）

A.外心B.重心C,垂心D.内心

例39.（2022.全国•高三专题练习）己知。是AABC所在平面上的一点，角A、B、C所对的边分别为a,b,c,

若所=四土2空土空（其中尸是AABC所在平面内任意一点），则。点是AABC的（）

a+b+c

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【方法技巧与总结】

角平分线定理：若丽=£,OB=b,则ZAOB平分线上的向量。砺为为由而决定.

l«l\b\

角平分线定理证明：令卷和分别为西和丽方向上的单位向量，兰+是以含和；f；为一组

⑷⑸\a\\b\\a\\b\

邻边的平行四边形过O点的的一条对角线，而此平行四边形为菱形，故互+R在NAO3平分线上，但

lai⑸

/AOB平分线上的向量两■终点的位置由的决定.当4=1时，四边形。4MB构成以NAOB=120。的菱形.

题型四：外心定理

TT

例40.（2022・全国•高三专题练习）在AABC中，AB=4,AC=3,A=§,点。为AASC的外心，若

AO=AAB+juAC,X、则九=.

例41.（2022•全国•高三专题练习）已知。是平面上的一定点，AB,C是平面上不共线的三个点，动点尸满

_________________________\

足赤=。8：*力§+一＞，Xe（0,+s）,则动点尸的轨迹一定通过AA?C的（）

2|^|AB|cosB|AC|COSC^

A.重心B.外心C.内心D.垂心

例42.（2022・全国•模拟预测）在AABC中，AB=2,AC=2^/3,3c=4,点。为AABC的外心，则祈.肥=

,P是三角形ABC外接圆圆心。上一动点，则丽•（而+正）的最小值为.

例43.（2022•全国•高三专题练习）设。为AABC的外心，若彩=通+2AC，则sinABAC的值为.

例44.（2022・全国•高三专题练习）在AABC中，点。为AABC的外心，|而|=6,则荏.同=,

例45.（2022•宁夏六盘山高级中学二模（理））已知AABC中，AB=AC=1,BC=&，点。是△ABC的外

心，贝1］仍不豆=.

例46.（2022・全国•高三专题练习）已知在△A8C中，AB=1,BC=R,AC=2,点。为△ABC的外心，若

AO=sAB+tAC＞则有序实数对（s1）为.

例47.（2022•浙江・宁波诺丁汉附中模拟预测）在AABC中，点。、点”分别为AABC的外心和垂心，

IAB|=5,|AC|=3,则由.而=.

例48.（2022・河南.襄城县教育体育局教学研究室二模（文））已知A4BC的外心为。,若荏+Z?=2Q

且。4=AB,则B=.

例49.（2022•全国•高三专题练习）在平面直角坐标系WV中，04=（1,3）,诙=（3,1）,OC=xOA+yOB（其

中xcR,ywR）.

⑴若点C在直线AB上，且反，通，求的值.

⑵若点。为公。钻的外心，求点C的坐标.

例50.（2022.全国•高三专题练习）设。为AABC的外心，a,。分别为角A,B,C的对边，若6=3,

c=5,则方・瓦（）

A.8B.-8C.6D.-6

例51.（2022・全国•高三专题练习）已知AABC的外心为0,2AC=53C=10,贝九2反.通=（）

A.11B.10C.20D.21

JT

例52.（2022.全国•模拟预测（理））在AABC中，ZABC=-,。为AABC的外心，丽.诙=2,BCBO=4,

I,UUUL1U

则R4・5C=（）

A.2B.2A/2C.4D.472

例53.（2022.江苏.华罗庚中学高三阶段练习）在△回（?中，CA=2CB=4,/为△ABC的外心，则方.丽=

（）

A.-4B.4C.-6D.6

例54.（2022・江西上饶•二模（理））已知AABC的外心为点。，M为边3C上的一点，且

BM=iMC,ZBAC=^,AOAM=l,贝UAABC的面积的最大值等于（）

A."B.6

r3底C3瓜

284

例55.（2022・全国•高三专题练习）在AABC中，角B,C的边长分别为b,c,点。为AABC的外心，若〃+。?=26,

uumUUILI_

则2。A。的取值范围是（）

C.一*力D.卜；，2）

A.——B.(0,2)

例56.（2022・全国•高三专题练习）已知平面向量次，而满足矶痂=0,囱=2,D为线段04上一点,

E为△AOB的外心，则丽.丽的值为（）

44

A.—2B.—C.-D.2

33

例57.（2022・全国•高三专题练习）在AABC中，设衣?一而两.册，那么动点河的轨迹必通过

的（）

A.垂心B.内心C.外心D.重心

【方法技巧与总结】

外心定理：垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等.

（1）AO.AB=-\AB^,AO.AC=-|AC|2；BO.BC=-|BC|2；

222

.—.1—.c1—.c

(2)AO.AF=-\AB\1+-|AC|2,BO»BE=-\AB^+-|BC|2,CO.CD=-|BC|2+-|AC|2；

444444

(3)AO.BC=-|AC|2--|AB|2,W.AC=-|BC|2--|BA|2,CO.AB=-|BC|2--|AC|2.

222222

题型五：垂心定理

例58.（2022•全国•高三专题练习）已知。为AABC的垂心，且函+2砺+3历=6，则角A的值为（）

A3兀

A.——B.-

44

2兀c兀

C.—D.-

33

例59.（2022.全国•高三专题练习）设。是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三点，动点尸满足

ABAC

OP=OA+A(）,4目0,收），则