2025中考数学一轮复习：锐角三角函数（含解析+考点卡片）

2025年中考数学一轮复习

第22讲锐角三角函数

一.选择题（共10小题）

1.如图，在△48C中，ZACB=90°，点3,C分别在地面OP和墙面OQ上，且边/2〃。。，若/。=1,

ZABC=a,则CO的长为（）

cosatana

A.------B.------

tanacosa

1

C.cosaXtanaD.---------------

cosaxtana

2.如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未受损.已知该金字塔的下底面是一个边长

为200羽的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为（)

C.100mD.100V3m

3.如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为a,sina=堤坝高3C=15〃?，则迎水坡面N3的长度为（)

A.20mB.25mC.30mD.35m

4.某校数学“综合与实践”小组的同学想要测量校园内文化长廊（如图1）的最高点到地面的高度.如图

2是其测量示意图，五边形48DEC关于直线所对称，EF与AB,CD分别相交于点凡G.测得N8=3加,

CD=5m,ZABD^135°,ZBDE=92°,则文化长廊的最高点离地面的高度斯约为（）（结果保留

一位小数，参考数据：sin47°仁0.73,cos47°^0.68,tan47°-1.07)

E

Z\AFB

图1图2

A.4.2mB.4.0mC.3.7mD.3.6m

5.如图，△45C的顶点都在正方形网格的格点上，则taiL4的值是()

……(¥f\

“WI-

344

A-B.gC.-D.2

6.如图，滑雪场有一坡角20。的滑雪道，滑雪道/C长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB

的长为()米.

---------------------

200200

A.---------B.--------C.200cos20°I).200sin20°

cos200sin20°

坡度，则大厅两层之间的距

7.如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图，己知扶梯的长度为仅米,i=W

离为()

5512t12r

A.-TH米B.-zn米C.—TH米I).二-TH米

8.在计算tanl5。的值时，可以借用“数形结合”思想构建几何图形的方法解决，如图，在中,

ZC=90°，ZABC=30°，延长。5到。使5。=4瓦连接4。，得NQ=15°，设4C=e则

=2Q,BC=y/3a,CD=(2+V3)a,RS中tm®=册熹=（2+京2丁=2-回类比这

种方法,可以得到tan22.5°的值为（

1

C.V2D.

2

9.如图，图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知游步机手柄N3与地面平行,

端板CD长为1.5加，CD与地面。E的夹角NCDE=a,支架NC长为1加，Z015=120°,则距步机手柄

所在直线与地面之间的距离为（）

图①

A.—+1.5sina

1

C.—+1.5cosaD.-+l.Scosa

2

10.如图，在正方体中，的正切值为（）

D.V2

二.填空题（共5小题）

11.某地为拓宽河道和提高拦水坝，进行了现有拦水坝改造.如图所示，改造前的斜坡力B=80g米,

坡度为1：4；将斜坡A8的高度AE提高20米（即/。=20米）后，斜坡改造成斜坡⑦，其坡度为1：

1.5.则改造后斜坡CD的长为

c

A

EDB

12.如图，与斜坡CE垂直的太阳光线照射立柱（与水平地面垂直）形成的影子，一部分落在地面

上，另一部分落在斜坡上.若3C=3米，CD=8.48米，斜坡的坡角/ECF=32°,则立柱48的高为

13.如图，社小山的东侧炼/处有一个热气球，由于受西风的影响，以30加/加〃的速度沿与地面成75°角

的方向飞行，20加〃后到达点C处，此时热气球上的人测得小山西侧点2处的俯角为30°,则小山东西两

侧4,8两点间的距离为.

14.在Rt448C中，已知/C=90°,/8=10,cosB=点M在边N3上，点N在边5c上，且

BN,连接儿W,当△氏为等腰三角形时，AM=

15.如图，A,B,C,。均为网格图中的格点，线段与CD相交于点P,则N/尸。的正切值为

三.解答题（共5小题）

16.如图，在修建某条地铁时，科技人员利用探测仪在地面43两个探测点探测到地下C处有金属回声.已

知/、8两点相距8米，探测线NC,8c与地面的夹角分别是30°和45°,试确定有金属回声的点C的

深度是多少米？

17.广州市民昵称“小蛮腰”的广州塔，是目前中国最高的塔，它主要由塔身主体与天线桅杆两部分组成.广

州某中学数学兴趣小组几位同学，在五一假期，利用测角仪测量“小蛮腰”的“身高”，他们在离塔底/

水平距离450米的地点8,测得塔身主体的顶端C的仰角为45。，天线桅杆的顶端。的仰角为53。9'.

（1）根据题意，画出几何示意图（塔身及天线与地面垂直）；

（2）求天线棉杆的高度.（参考数据：tan53°9'«sin53°9'~

18.在郑州之林公园内有一座如意雕塑（图1）,它挺拔矗立在前端，展现出了郑东新区的美好蓝图

与如意和谐的愿望.综合实践小组想按如图2所示的方案测量如意雕塑的高度昉：①在如意雕塑前的空

地上确定测量点当测量器高度/C为3加时，测得如意雕塑最高点E的仰角/ECD=45°；②保持测

量器位置不变，调整测量器高度N5为4.1%时，测得点£的仰角/E8G=44°.已知点4B,C,D,E,

F,G在同一竖直平面内，请根据该小组的测量数据计算如意雕塑的高度E?（结果精确到1加.参考数据:

sin44°g0.69,cos44°心0.72,tan44°心0.97)

a

图1

19.如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成.如图2,Z8是灯杆，cr＞是灯管支

架，灯管支架CO与灯杆间的夹角/5OC=60°.综合实践小组的同学想知道灯管支架CD的长度，他们

在地面的点E处测得灯管支架底部。的仰角为60。，在点尸处测得灯管支架顶部C的仰角为30。，测得

AE=3m,EF=9m（A,E,尸在同一条直线上）.请解答下列问题:

（1）求灯管支架底部距地面高度的长（结果保留根号）;

（2）求灯管支架CA的长度（结果精确到0.1%,参考数据：百=1.73）.

图1图2

20.如图，观测点C在东西走向的海岸线CN上，观测员发现某船在北偏东12°方向的/点，该船向正东

方向行驶10小时后，到达北偏东57°方向的3点.已知该船的行驶速度为40海里/时，求这艘船与海岸

线CN之间的距离.（结果精确到1海里，参考数据：sin33°仁0.54,cos33°仁0.84,tan33°«0.65）

2025年中考数学一轮复习之锐角三角函数

参考答案与试题解析

选择题（共10小题）

1.如图，在△48C中，ZACB=90°，点B,C分别在地面。尸和墙面O0上，且边/8〃。。，若NC=1,

/ABC=a,则CO的长为（）

cosatana

A.------B.

tanacosa

1

C.cosaXtanaD.

cosaxtana

【考点】解直角三角形的应用.

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】A

AC

【分析】在△/2C中，//磔=90。，4BC=a,法於限，在RtZXBOC中，℃=2C・cos4C。,

即可作答.

【解答】解：在△/8C中，ZACB=90a,ZABC=a,

,RC=4c=AC

•一tan乙ABC-tana9

,:AB〃O。,

：.NBCO=/ABC=oc,

在RtASOC中，AC=\,

4ccosa

OC=BC*cosZBCO=

tanaxcosa=tana9

故选：A.

【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义.

2.如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未受损.已知该金字塔的下底面是一个边长

为200m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为（）

C.100mD.100V3m

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】D

【分析】根据已知易得2。=100小，再根据垂直定义可得//C2=90°,然后在中，利用锐角三

角函数的定义求出/C的长，即可解答.

【解答】解：如图:

•••该金字塔的下底面是一个边长为200〃?的正方形,

1

/.SC=^x200=100(m),

"."ACLBC,

：.ZACB=9Q°,

在RtZX/BC中，ZABC=60°,

：.AC=BC-tan60°=100A/3(m),

，则金字塔原来高度为100m,

故选：D.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

3.如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为a,sina=|,堤坝高3C=15m,则迎水坡面AB的长度为()

B

aZ---------

CA

A.20mB.25mC.30mD.35m

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识.

【答案】B

【分析】根据正弦的定义计算，得到答案.

【解答】解：在中，sina=

BC3

则方=P

,:BC=15m,

:.AB=25m,

故选：B.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.

4.某校数学“综合与实践”小组的同学想要测量校园内文化长廊（如图1）的最高点到地面的高度.如图

2是其测量示意图，五边形48DEC关于直线所对称，EF与AB,分别相交于点凡G.测得N3=3m,

CD=5m,乙4BD=135°,ZBDE=9T,则文化长廊的最高点离地面的高度斯约为（）（结果保留

一位小数，参考数据：sin47°-0.73,cos47°心0.68,tan47°-1.07）

A.4.2mB.4.0mC.3.7mD.3.6m

【考点】解直角三角形的应用；轴对称的性质.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【答案】C

【分析】过点3作于点X,证明四边形GF5H■为矩形，得出G//=B尸=1.5加，ZFBH=90°,求

出/。38=45°,得到38=。*=G尸=1〃?，求出/EZ)G=47°,再解直角三角形得出EG的长，再由环

=EG+GF计算即可得出答案.

【解答】解：如图所示，过点8作于点〃，

由题意，得8F==1.5m,DG=^CD=2.5m,

垂直平分/瓦垂足为RM垂直平分C£>,与CD交于点G,BHLCD,

:./BFG=/FGH=/BHG=90°,

四边形GE8”为矩形，

:.GH=BF=\5m,ZFBH=9Q°,

：.DH=DG-GH=lm,

；/ABD=135°,

?.ZDBH=45°,

:.BH=DH=GF=lm,

VZBDE=92°,

：.NEDG=4T,

在RtZXEDG中，tan/EDG=浅,

：.EG=DGtan41°^2.5X1.07^2.68(m),

；.EP=EG+G尸Q2.68+1仁3.7(m),

故选：C.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握知识点

的应用是解题的关键.

5.如图，△/BC的顶点都在正方形网格的格点上，则tar/的值是()

B

【考点】解直角三角形.

【专题】计算题；解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】C

【分析】如图连接格点AD、CD.在中求出//的正切值.

【解答】解：如图，连接格点瓦入CD.

在RtA4BD中，

故选：C.

【点评】本题考查了解直角三角形，连接2。构造直角三角形是解决本题的关键.

6.如图，滑雪场有一坡角20。的滑雪道，滑雪道/C长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度N8

A.---------B.--------C.200cos20°D.200sin20°

cos20sin20°

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【答案】D

【分析】根据正弦的定义进行解答即可.

【解答】解：：s讥4=槊，

.*.N8=/C・sin/C=200sin20°,

故选：D.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的

定义是解题的关键.

7.如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图，已知扶梯的长度为加米，坡度则大厅两层之间的距

离为（）

5512,12,

A.—m米B.—m米C.—tn米D.—血米

1312135

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题；列代数式.

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】A

【分析】设大厅两层之间的距离为5x米，根据坡度的概念用x表示出扶梯的水平宽度，再根据勾股定理列

出方程，解方程得到答案.

【解答】解：设大厅两层之间的距离为5x米，

:扶梯的坡度1=5：12,

，扶梯的水平宽度为12x米，

由勾股定理得：（5x）2+（12x）2=加2,

解得：x=g（负值舍去），

大厅两层之间的距离为m2米，

故选：A.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度I的比.

8.在计算tanl5。的值时，可以借用“数形结合”思想构建几何图形的方法解决，如图，在中,

ZC=90°，ZABC=30°，延长。5到。使5。=4瓦连接4。，得NQ=15°，设4C=e则

RC中tm®=册熹=苍*有=2-回

=2Q,BC=y[3a,CD=(2+V3)a,类比这

种方法,可以得到tan22.5°的值为(

1

C.V2D.

2

【考点】锐角三角函数的定义.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【答案】B

【分析】如图，在等腰直角△48C中，/C=90°,延长C8至点。，使得48=AD,则/B4D=ND.设

AC=\,求出CD,可得结论.

【解答】解：如图，在等腰直角△A8C中，ZC=90°,延长C8至点。，使得/2=AD,则/A4D=ND,

VZABC=45°=ZBAD+ZD=2ZD,

二/。=22.5°,

设/C=l,则3C=1,AB=V2AC=V2,

CD=CB+BD=CB+AB=1+a,

..”<。-.AC1V2-1后1

..tan22.5—tanZn>==------产=---产—产----=V2-1.

CD1+72(1+V2)(V2-1)

故选：B.

【点评】本题考查锐角三角函数的定义，解直角三角形，分母有理化，特殊直角三角形的性质，解题的关

键是学会利用特殊直角三角形解决问题.

9.如图，图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知游步机手柄与地面DE平行，

端板CD长为1.5加，CD与地面的夹角NCD£=a,支架NC长为1加，ZCAB=120°,则距步机手柄

N2所在直线与地面。E之间的距离为()

图①

V3

A.—+l.Ssina

2

V31

C.—+X.ScosaD.一+l.Scosa

22

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】A

【分析】过点C作CGU5,交B4的延长线于点G,交DE的延长线于〃，根据正弦的定义分别求出CG、

CH,计算即可.

【解答】解：如图，过点C作CGLAB,交A4的延长线于点G,交。£的延长线于

,/手柄AB与地面DE平行,

，CHLDE,

在RtZXCAH中，ZCDH=a,CD=\.5m,

:sin/CDH=需,

：.CH=CD'smZCDH=1.5sina,

'：ZCAB=nO0,

.♦./C4G=60°,

：.CG=AC-sm60a=字，

距步机手柄N3所在直线与地面DE之间的距离为：（1.5sina+半）米,

故选：A.

D

图②

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.

10.如图，在正方体中,ZBDiBi的正切值为（）

V3

B.—C.1D.V2

2

【考点】锐角三角函数的定义.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【答案】A

【分析】由题意得班1=/向=4。1，/8囱。1=90°,设ABI=/I2I=/LDI=X,则当/=企乂，再由正

切的定义计算即可得解.

【解答】解：由题意得：BBi=AiBi=AiDi,ZBBiDi=90a,

设32|=43I=/LD1=X,则:

22

BiDi-+ArDl=V%+x-yflx,

；.tan/BBiDi==义=辛,

iB1D172x2

故选：A.

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，解答本题的关键要熟练掌握锐角力的对边。与邻边6的比叫做

ZA的正切，记作tanA.即tanA=ZA的对边除以//的邻边=条

二.填空题（共5小题）

11.某地为拓宽河道和提高拦水坝，进行了现有拦水坝改造.如图所示，改造前的斜坡4B=80g米，

坡度为1：4；将斜坡A8的高度/£提高20米（即NC=20米）后，斜坡48改造成斜坡CD,其坡度为1：

1.5.则改造后斜坡C£＞的长为50V13米.

C、

.............

EDB

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】50旧米.

【分析】根据直角三角形的性质求出/£，进而求出CE,根据坡度的概念求出根据勾股定理计算，

得到答案.

4E1

【解答】解：在中，/2=200米，一=一，

BE4

.•.设N£=x米，8E=4x米，

：.AB=7AE2+BE?=V17x=80V17,

；.x=80,

；./£=80米，

：.CE=AE+AC=WO（米），

:斜坡CD的坡度为1：1.5,

，。£=150米，

由勾股定理得：CD=7CE2+DE2=50VH（米）,

答：斜坡CD的长为50m米.

故答案为：5（）vn米.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用一坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义

是解题的关键.

12.如图，与斜坡CE垂直的太阳光线照射立柱（与水平地面39垂直）形成的影子，一部分落在地面

上，另一部分落在斜坡上.若2C=3米，8=8.48米，斜坡的坡角NECF=32°,则立柱48的高为20.8

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题；平行投影.

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】20.8.

【分析】延长交2尸于点”，根据余弦的定义求出XC,进而求出的，再根据正切的定义计算即可.

【解答】解：如图，延长/。交8厂于点”，

在RtZXDS中，CZ>=8.48米，/DCH=32°,

nr

■:cas/DCH=需,

,ur―DC〜8.48_［八/uz\

••HC—cos/ZT-oDr'CllH~n0O./8IO48-10（），

：・BH=HC+BC=13（米），

VZDCH+ZAHB=90°,ZA+ZAHB=90°,

AZA=ZDCH=32°,

在RtAAHB中，taiU=器，

•AnBH130八Q/\|z\

..AB=-——r«=20.8（不），

tanA0n.625

故答案为:20.8.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，正确作出辅助线、掌握锐角三角函数的定义

是解题的关键.

13.如图，社小山的东侧炼/处有一个热气球，由于受西风的影响，以30加/加〃的速度沿与地面成75°角

的方向飞行，20加〃后到达点C处，此时热气球上的人测得小山西侧点2处的俯角为30°,则小山东西两

侧3两点间的距离为600夜.

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】600V2.

【分析】作8c于。，根据速度和时间先求得/C的长，在中，求得//CD的度数，再求

得4D的长度，然后根据NB=30°求出的长.

【解答】解：如图，过点N作垂足为D,

在RtZUCD中，N/CD=75。-30°=45°,

^C=30X20=600（米），

，4D=/C・sin45°=300/（米）.

在Rt"BD中，

：/2=30°,

：.AB=2AD=6Q0y/2（米）.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形并解直角三

角形，难度适中.

14.在RtA43C中，己知/C=90°,48=10,cosB=点M在边48上，点N在边BC上，且W=

BN,连接儿W,当为等腰三角形时，AM=5或/或黑.

【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质；勾股定理.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

、60、50

【答案】5或77或

1111

【分析】分三种情况结合等腰三角形的性质和解直角三角形讨论求解即可.

【解答】解：当9=5N时，如图1,

图1

,:AM=BN,

1

：.AM=^AB=5；

当时，如图2,作ME_L2C,则有BE=*BN=

图2

IR

*.*BM=10-AM,且cosB=引

・BE33

即.

'•嬴W'W-AM5,

解得：AM=~

11

当A«=JW时，如图3,作NF_L/2,则有BF=.BM=.(10—AM),

,:AM=BN,且COSB="l，

BF3；(10-ZM)3

一二1即.

BN5

解得：AM=招;

_6050

综上所述，答案为：5或五或行

【点评】本题考查等腰三角形的性质和解直角三角形，掌握解直角三角形是解题的关键.

15.如图，4,B,C,。均为网格图中的格点，线段45与CZ）相交于点尸，则N4P。的正切值为二

【考点】解直角三角形.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【答案】3.

【分析】连接CM,DN,根据题意可得CM〃/5,从而可得N4PD=NNCD,然后利用勾股定理的逆定理

证明△CM）是直角三角形，最后根据锐角三角函数的定义，进行计算即可解答.

【解答】解：连接C",DN,

A,D

M

N

B

由题意得：

CM//AB,

：./APD=ZNCD,

由题意得：

CN2=12+12=2,

r）;V2=32+32=18,

CD2=22+42=20,

:.CN2+DN2=CD2,

...△CW是直角三角形，

・・tan2-NCD=~7^=3,

CNV2

的正切值为：3,

故答案为：3.

【点评】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

三.解答题（共5小题）

16.如图，在修建某条地铁时，科技人员利用探测仪在地面43两个探测点探测到地下C处有金属回声.己

知/、8两点相距8米，探测线NC,8c与地面的夹角分别是30°和45°,试确定有金属回声的点C的

深度是多少米？

C

【考点】解直角三角形的应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】过C点作48的垂线交直线48于点。，构建等腰Rt^BCD,在RtZkLUC中利用锐角三角函数的

定义即可求出AC^ICD.然后在RtAD^C中利用勾股定理来求CD的长度.

【解答】解：如图，作于点D.

AZADC=90°.

...探测线与地面的夹角分别是30。和45。，

AZDBC=45°,ND4C=30°.

:在Rt^DBC中，ZDCB=45°,

：.DB=DC.

:在RtAD/C中，/ZX4C=30°,

：.AC=2CD.

:在RtZkLMC中，ZADC=9Q°,AB=8,

，由勾股定理，得4D2+C/)2=/C2.

(8+CD)2+CD2=(2CD)2.

ACD=4±4V3.

：CD=4-4百不合题意，舍去.

：.CD=(4+4V3)米.

，有金属回声的点C的深度是(4+4次)米.

C

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.

17.广州市民昵称“小蛮腰”的广州塔，是目前中国最高的塔，它主要由塔身主体与天线桅杆两部分组成.广

州某中学数学兴趣小组几位同学，在五一假期，利用测角仪测量“小蛮腰”的“身高”，他们在离塔底/

水平距离450米的地点8,测得塔身主体的顶端。的仰角为45。，天线桅杆的顶端。的仰角为53。9'.

（1）根据题意，画出几何示意图（塔身及天线与地面垂直）；

（2）求天线棉杆的高度.（参考数据：tan53°9'«sin53°9,«-|）

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】计算题；解直角三角形及其应用；运算能力.

【答案】（1）详见解答；（2）150米.

【分析】（1）根据题意画出示意图；

（2）在Rt448C中，先求出NC,再在中，利用直角三角形的边角间关系求出/£>,最后利用线

段的和差关系得结论.

【解答】解：（1）几何示意图如图所示：

（2）在RtZ\/8C中，

：/48C=45°,

：.ZACB=ZABC=45°.

.,.AC—AB=450米.

在RtzX/BD中，

An

・.・tanN/BO=第，

：.AD=tanZABD*AB

=tan53°9'*450

4

x可x450

=600（米）.

：.CD=AD-AC

=600-450

=150（米）.

答：天线棉杆的高度为150米.

【点评】本题考查了解直角三角形，掌握等腰直角三角形的性质与判定、直角三角形的边角间关系是解决

本题的关键.

18.在郑州之林公园内有一座如意雕塑（图1）,它挺拔矗立在CM前端，展现出了郑东新区的美好蓝图

与如意和谐的愿望.综合实践小组想按如图2所示的方案测量如意雕塑的高度M：①在如意雕塑前的空

地上确定测量点当测量器高度/C为3加时，测得如意雕塑最高点£的仰角/ECD=45°；②保持测

量器位置不变，调整测量器高度48为4.1根时，测得点£的仰角/£BG=44°.已知点N,B,C,D,E,

F,G在同一竖直平面内，请根据该小组的测量数据计算如意雕塑的高度ER（结果精确到1m.参考数据:

sin44°g0.69,cos44°心0.72,tan44°仁0.97)

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】如意雕塑的高度斯约为40米.

【分析】延长CD交昉于延长BG交EF于N,根据矩形的性质得到Ql/=/C=3米，FN=AB=4A

米，CM=BN,MN=BC=L1米，解直角三角形即可得到结论.

【解答】解：延长CD交£产于延长BG交EF于N,

则FW=/C=3米，7W=48=4.1米，CM=BN,

：.MN=BC=\.\米，

设CM=BN=x米,

在中，NEBG=44°,

：.EN=BN・tan44°20.97x米，

在RtZXEC"中，ZECD=45°,

EM=CA/,tan45°=x米,

'：MN=EM-EN=x-0.97x=lA米，

.,.x~36.7,

:.EM=CM=36.7（米），

EF=EM+FM=,36.1+3>«40（米），

答：如意雕塑的高度即约为40米.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，正确地作出辅助线构造直角三角形是解题的关

键.

19.如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成.如图2,43是灯杆，CD是灯管支

架，灯管支架CD与灯杆间的夹角N3£>C=60°.综合实践小组的同学想知道灯管支架CD的长度，他们

在地面的点£处测得灯管支架底部。的仰角为60°,在点/处测得灯管支架顶部C的仰角为30°,测得

AE—3m,EF=9m（A,E,尸在同一条直线上）.请解答下列问题：

（1）求灯管支架底部距地面高度的长（结果保留根号）；

（2）求灯管支架CA的长度（结果精确到0.1%,参考数据：百~1.73）.

图1图2

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】解直角三角形及其应用；推理能力.

【答案】（1）3V3m；

（2）1.7m.

【分析】（1）在中，根据特殊三角函数值的计算方法即可求解；

（2）如图所示，延长bC交N3于点G,可得△DGC是等边三角形，再计算出N尸的长度，在RtzXN尸G

中，根据特殊三角函数值的计算方法即可求解.

【解答】解：（1）在RtAEUE中，/AED=60：AE=3m,

.'.AD=AE-tan60°=3V3（m）,

灯管支架底部距地面高度ND的长为3用

（2）如图所示，延长歹C交于点G,

VZDAE=90°,ZAFC=30°,

/.ZZ)GC=90°-ZAFC=60°,

VZGDC=60°,

ZZ)CG=180°-/GDC-NDGC=60°,

：.ADGC是等边三角形，

：.DC=DG,

,;EF=9m,AE=3m,

：.AF=AE+EF=nm,

在Rt△/尸G中，

AG^AF-tan3O0=12x整=4V3m,

：.DC=DG=AG-4。=4V3-3百=阴*1.7m,

...灯管支架CD的长度约为1.7W.

【点评】本题主要考查解直角三角形的实际运用、等边三角形的判定与性质，掌握仰角俯角求直角三角形,

特殊三角函数值求边长是解题的关键.

20.如图，观测点C在东西走向的海岸线CN上，观测员发现某船在北偏东12°方向的4点，该船向正东

方向行驶10小时后，到达北偏东57°方向的8点.已知该船的行驶速度为40海里/时，求这艘船与海岸

线CN之间的距离.（结果精确到1海里，参考数据：sin33°-0.54,cos33°^0.84,tan33°-0.65）

CN

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】这艘船与海岸线CN之间的距离约为298海里.

【分析】作于点。，BHLCN于点、H,解直角三角形即可得到结论.

【解答】解：如图，作于点。，BHLCN于点、H,

:/MCD=51°,ZMCA=12°,AB//CH,

：.ZACB=45°,/BCH=/ABC=33°,

AD=CD=sinZABC*AB=400Xsin33°,BD=AB'cos330=400Xcos33°,

.*.8C=CD+3D=400X（sin330+cos33°）七522（海里），

则BH=BC・sin33°-298（海里），

答：这艘船与海岸线CN之间的距离约为298海里.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确地作出辅助线是解题的关键.

考点卡片

1.列代数式

(1)定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式.

(2)列代数式五点注意：①仔细辨别词义.列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义.如

“除”与“除以”，“平方的差(或平方差)”与“差的平方”的词义区分.②分清数量关系.要正确列

代数式，只有分清数量之间的关系.③注意运算顺序.列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，

先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起

来.④规范书写格式.列代数时要按要求规范地书写.像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，

数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称

什么时不加括号，什么时要加括号.注意代数式括号的适当运用.⑤正确进行代换.列代数式时，有时

需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换.

【规律方法】列代数式应该注意的四个问题

1.在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量.

2.要注意书写的规范性.用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“X”简写作“•”或

者省略不写.

3.在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数.

4.含有字母的除法，一般不用“七”(除号)，而是写成分数的形式.

2.等腰三角形的性质

(1)等腰三角形的概念

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.

(2)等腰三