安徽省滁州市部分学校2024-2025学年高一年级下册3月调研考试数学试题（解析版+原卷版）

2024-2025学年（下）安徽高一3月调研考试

数学

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在

答题卡上的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上

无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.下列说法错误的是（）

A.向量C力与向量反长度相等

B.a=ba//b

C.若向量方与方共线，分与E共线，则苕与E共线

D.任一向量平移后都和原向量相等

【答案】C

【解析】

【分析】根据相反向量、相等向量、共线向量、零向量等的概念逐一判断各选项即可.

【详解】对于A,向量函与向量沅互为相反向量，方向相反、长度相等，故A正确；

对于B,若则方向相同、长度也相等，而方向相同的两向量一定是平行向量，故B正确；

对于C,若5=6，对任意两个非零向量商与都有@//5，B/小，故C不正确；

对于D,任一向量在平移过程中保持向量的方向和长度并不改变，故平移后的向量都和原向量相等，故D

正确.

故选：C.

2.设集合A={Rlog2（^-2）＜l},B=|x|y=j4-x卜则（）

A.A=BB.A^B

C.BaAD.AC\B=0

【答案】B

【解析】

【分析】根据对数函数的单调性以及幕函数的定义域，可得集合的元素，即可得答案.

【详解】由4={尤|log2（x-2）<lj=|x|0<%-2<2}=1x|2<x<4},

3={x|y=j4-x}={x|4-x20}={x|xW4},

则AR5.

故选：B.

3.已知万万是单位向量，若（0+B）Z=g,则向量4与5的夹角为（）

2兀5兀„71

A.—B.—C.一

366

【答案】A

【解析】

【分析】先求两个向量的数量积，再利用夹角公式可得答案.

【详解】因为（。+役）出=g,所以。出+62=a-B+l=g,即=—；；

/一r\a-b1

所以cos（a,Q=而同=一5，

\a\]b\2

2TT

因为。,5e[0,兀],所以向量a与B的夹角为三.

故选：A

4.已知平面向量M==则向量a在方上的投影向量为（）

2

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量的投影向量公式可求答案.

【详解】因为&=（1/）石=（—2,1）,所以=—1，W=

a-bb

所以向量方在5上的投影向量为

故选：D

5.如图，在AOCB中，A是边5C的中点，。是边08上靠近点。的三等分点，设砺=万，砺=另，则

DC=（）

r5r5-

A.2。—bB.2aH—b

33

4-4-

C.2a—bD.-2。H—b

33

【答案】C

【解析】

【分析】利用向量的线性运算和三角形法则可以得到.

【详解】A是边5c的中点，.=丽，

:.OC=OA+AC=OA+BA=OA+（OA-OB）=2OA-OB,

•••。是边06上靠近点。的三等分点，:.DO=--OB,

3

:.DC=W+OC=~OB+（2OA-OB）=2OA-^OB,

__,__,_—►一4一

又OA=&QB=b，♦.DC=2a—b.

3

故选：C

6.已知向量落石满足卜_司=6,卜+5卜卜_2同,则向=（）

A.75B.73C.V2D.1

【答案】A

【解析】

【分析】根据卜+可=卜—2可可得户=2%Z，结合,一可=君可求答案.

【详解】因为卜+1=归_2同,所以户=275；

因为卜—4=氐所以/_2£彳+7=5,所以同=技

故选：A

____,1____ks

7.已知。为VA3C所在平面内一点，且莅=—通+—衣，若S表示面积，则《9=(

34S^ABC

5112

A.—B.—C.-D.一

12433

【答案】A

【解析】

—■1--1—.

【分析】利用AO=—AB+—4C作出图形，数形结合，将问题转化为几何问题.

34

【详解】如图，过D悍DMHAC,DNHAB,DG±AB,DH±AC,

因而=’通+!正，则痴=」通，丽=4飞,

3434

设S=SAABC,则SVADB=^x\AB\x\DG\=h,5VADC=|X|AC|X|DH|=|S,

5

S'BCD=SNABC~SVABD-SVACD=5-J

u^BCD5

则

^ABC12•

故选：A.

7TTT4

8.如图，在平面四边形AOBC中，ZAOB=-,AO=4,BO=5,ZBCO=-,cosZACO=-,则

245

tanZBOC=(

BC

112

A.-B.-CD.-

63.I3

【答案】B

【解析】

【分析】在AOBC中，由正弦定理，建立OCN3OC的等量关系；再在AQAC中，由正弦定理，再次建

立OCN3OC的关系，从而解方程组，消去OC,即可求得N50C的正切值.

【详解】设N3oc=e,

jrjr3

在AOBC中，ZBCO=-,则NO3C=TI—N30C—N3co=兀----，=—兀一。，又。8=5,

444

OC5

OCOB

故由正弦定理可得:,即.(3八一.兀.

sin—Ti-0sin

sinZOBCsinN3co(4)4

4_3jr

在4c中，cosZACO故sinZACO,ZCOA=--0,故

52

TT

ZCAO=n-ZCOA-ZACO=-+0-ZACO,

2

OC4

OCOA

又A0=4,故由正弦定理可得:,即sinl四n+g—NACO3,

sinZCAOsinZACO

25

OC4

cos(^-ZACO)-3；

5

OC5

.兀3

s心一esin—5x

4cos(0-ZACO)於即

联立,消去OC可得:

OC_4心—e]

cos("NACO)一可2

5

cos0cosZACO+sin0sinZACO_3_

/收'

(cos9+sin4x——

2

—cos0H—sin0czi1612.„,3.1八,,

也即nrl5s3,3sme+3cos8=—cos＜n9+一sm。，整理raz得i=：一sm8n=—cos。，故

-------------=—5555

sinO+cosS4

八1

tan。=一.

3

故选：B.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.己知函数/(x)=logjx+l|(a＞0,且awl)在区间(—1,0)上单调递减，则()

A./(力在(-1,十功上单调递减且无最小值

B./(%)在(-1,+8)上单调递增且无最大值

C./(九)在定义域内既不是奇函数，也不是偶函数

D.“X)的图象关于直线x=—1对称

【答案】ACD

【解析】

【分析】由函数/(X)在区间(-1,0)上单调递减，可得0＜。＜1,再根据复合函数单调性的判断方法即可

对A、B做出判断；求出/(九)的定义域，即可对C做出判断；验证/(-2-x)=/(x)是否成立，即可对D

做出判断.

【详解】对于选项A、B,因为函数y=|x+l|在(―1,十功上单调递增，

又因为函数/("=log〃卜+1|(a＞0,且aw1)在区间(-1,0)上单调递减，

所以0＜。＜1,所以/(九)在(-1,+＜兀)上单调递减且无最小值，故A正确，B错误；

对于选项C,因为/(九)的定义域为(f1)U(—L+8)，关于原点不对称，

所以/(九)在定义域内既不是奇函数，也不是偶函数，故C正确；

对于选项D,因为/(一2-％)=log。卜2-1+1|=log/-(x+l)|=log+=/(X),

所以/(%)的图象关于直线x=—l对称，故D正确.

故选：ACD

10.已知VA3C的外接圆半径为R,内角A8,C所对的边分别是a,4c,。=1，

Z>cos（B+C）=V37?sinB则（）

A.VABC是锐角三角形

B.VABC是钝角三角形

C.R=1

D.VA3C面积的最大值为三8

4

【答案】BCD

【解析】

571

【分析】先由正弦定理与和角公式化简已知式，求出A=—,即可判断ABC项，利用余弦定理和基本不

6

等式求得三角形面积的最大值判断D项即可.

【详解】由Z>cos（3+C）=百HsinB可得-COS431^=R,

由正弦定理，一”=27?,代入化简得：CosA=-—，

sinB2

5兀

因0<4<兀，解得A=——，故B正确，A错误；

6

2R=-^―=—=2,

因a=1,sinA1，解得R=1,故C正确；

2

由余弦定理，a2=b2+c2—2Z?ccos可得/=/?2+c2=1-^3bc>2bc，

解得儿一百，当且仅当6=c=近二走时，等号成立，

2+V32

112—、石

于是，VABC的面积为=

即VA3C面积的最大值为故D正确.

4

故选：BCD.

11.引入平面向量之间的一种新运算“（8）”如下：对任意的向量机=（再,%），〃=（工2，>2），规定

m®n=xix2-yiy2,则对于任意的向量m，b，c,下列说法正确的有（）

A.a®b=b®aB.（^d）®b=X{a®b}

C.a-（b&c）=（a®b）-cD.|a|•|^|>|a0

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据坐标运算计算出每个等式等号左右两边的值，由此判断出AB是否正确；理解C选项中“•”的含义，

由此可判断是否正确；将不等号两边同时平方结合坐标形式下向量的模长公式，采用作差法判断是否正确.

【详解】A.因为a⑤3=石/一%%石应。=%2%一%%，所以％㊁后=故正确；

B.因为（力4）（8）3=（4七）%2_（%%）%=彳（玉工2③石），故正确；

C.C（BGC）=（%2演2y丽）此时a•仅区c）=（a0孙c不恒成立，故错

误；

D.因为=（jx；+y；.Jx；+£）=F2月+才£+工；£+君才,

\a®b^=x^xf+y；江一2玉WX%,

所以（|a|•|B|）-1a（8）BF=+x；y；+2x1x2yly2-（占%+%%）~0，

所以（Q|•内丁―|£区汗20,且e0,区区向20,所以|）|.|3以£应坂|,故正确，

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是理解新运算的运算方法，将其与坐标形式下向量的数量积公式区

分开来，通过坐标运算达到判断的目的.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

/(log2(2x-l))

12.若函数“X）的定义域是［0,3］,则函数y=的定义域是

Jx2-2x-3

【答案】［3,|

【解析】

【分析】根据/（尤）的定义域、对数函数的真数>0、偶次根式被开方式20,以及分式函数分母不为零,

列出不等式组求解集可得定义域.

0<log2（2x-l）<3

【详解】要使函数有意义，贝卜2x-l>0,

%2—2x—3>0

9

l<x<-

2

1取交集得xe13,|

%>一

2

%>3或1<-1

故答案为：^3,—.

13.高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，&E,尸为山的两侧共

线的三点，且与山脚。处于同一水平线上，在山顶A处测得5E,尸三点的俯角分别为30。,60。,45。，

计划沿直线酬开通穿山遂道，现已测得3。,。旦£厂三条线段的长度分别为4,2,3,则隧道的长度为

【答案】673

【解析】

【分析】过A作40，斯于设=则有“£>=x—5=走》—2,从而可得》=%0且,

32

MD=30T,在RsABM中，可得3M=96+9,从而解得。知=9—+1,再由

222

CD=QW+VD求解即可.

【详解】解：过A作于"，如图所示：

设

由题意可知设NABM=30°,ZAFM=45°,ZAEM=60°,

则有9=X=5+MD,EM^—X=MD+2,

3

所以MD=x—5=^x-2，

3

解得x=9+36,

2

所以MD=x—5=之叵匚，

2

在R3ABM中，BM=瓜=9&9，

2

所以CM-4=96+1,

2

所以CD=CM+MD=9^+1+3^-1=6g.

22

故答案为：6A/3

5兀

14.给定两个长度为1的平面向量砺和砺，它们的夹角为二，如图，点C在以。为圆心的圆弧A3上

6

运动，若反=aC5+b赤，其中a,Z?eR,则的取值范围是.

【答案】[0,2+6]

【解析】

【分析】由题意可得向量的模长，根据数量积的运算律，结合基本不等式，可得答案.

【详解】由题意可得瓯|=1,则（a砺+6网2=1,4网）2疝万.砺+/画2=1,

由网=网=1,NAOB='则/+2aCcos*/=l,^3ab+l=a2+b2,

可得6ab+lN2ab，解得aZ?42+JL当且仅当。=》时，等号成立，

由图易知a〉0,Z?20,所以abe[o,2+6]

故答案为：[0,2+^].

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.已知向量句=（2,—1）石=（3,2）.

（1）当府+23与的夹角为钝角时，求实数人的取值范围；

（2）^AB=2a+b,BC=a-mb,且三点共线，求实数加的值.

【答案】（1）（y,-2）u（-2,18）

（2）m=--

2

【解析】

【分析】（1）由向量线性运算的坐标表示，根据数量积的定义以及坐标表示，结合题意，建立不等式组，可

得答案；

（2）根据共线向量的坐标表示，建立方程，可得答案.

【小问1详解】

因为2=（2,—1）,3=（3,2）,

所以而+23=（2左+6,—左+4）,万一5=（—1,—3）.

因为屈+26与1夹角为钝角,

-3（2左+6）+（-%+4）/0

所以《得大＜18且左w—2,

-（2左+6）-3x（-左+4）＜0,

故人的取值范围为（f,-2）u（-2,18）.

【小问2详解】

AB=2a+b=（7,0）,BC=a—mb=（2-3m,-l-2m）.

因为AB,C三点共线，

所以7x（-l-2，n）—0x（2-3〃z）=0,得加=一；.

16.已知向量扇B满足同=2,同=/，且4与B的夹角为4.

116

（1）若（乙+石），（万+25）,求实数x的值；

（2）求日与2万的夹角的余弦直

7

【答案】(1)X=—

6

(2)

14

【解析】

【分析】(1)根据垂直得出数量积为零，结合夹角和模长可求答案；

(2)先求数量积和模长，代入夹角公式可得答案.

【小问1详解】

因为(汗+丸5),所以=

即,『|2+(1+2)万4=0,即卜|2+4忸|2+(1+2)|^|•|^|cos-^-=0,

7

所以4+3X+3(l+；l)=0,解得;1=——.

6

【小问2详解】

因为小(24一行)=242一无石二2|万F-|(j|-|^|cos-^=5,

'一司=yj(2a-b)2=《4a2+5、-4万•5=5,

一一a-(2a-b\5J7

所以cos<2〃­b>=-_-；----zq-=----，

同忸—414

即)与2商的夹角的余弦值为处.

14

17.在2025年春晚的舞台设计中，有一个“灵蛇”造型的灯光图案，其形状可以近似看作由函数

/(x)=Asin(a)x+0+c的图象组成，其中4>00>0,0<0<兀.下面是该函数的部分图象.

(1)求/(力的解析式；

(2)将/(x)=Asin(cM+0)+c的图象向右平移£个单位长度，再将所得图象上所在点的横坐标伸长为

7C

原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象，若g(x)=a-1在xe0,-时有两个不同的实数解,

求实数。的取值范围.

【答案】(1)/(x)=2sin12x+^~1+l

(2)12+6',4)

【解析】

【分析】(1)根据图象中函数的最值、对称性，可得函数解析式；

(2)由函数图象变换可得新函数解析式，根据函数与方程的关系，利用数形结合的思想，可得答案.

小问1详解】

设/(力的最小正周期为T，根据题图，由三角函数图象的对称性，

A+c=3A=2

可得《解得

—A+Ic=1，

由=得『=兀,又丁=生,所以6y=2.

21212y2co

故f(x)=2sin(2x++1.

由里]二一1，得2x2+°=2E+羽，左wZ,所以0=2E+生，左£Z.

U2J1223

又因为0<0<兀，所以"=与，所以/(x)=2sin[2x+g]+l.

【小问2详解】

将函数/(x)=2sin[2x+B1+l的图象向右平移m个单位长度，

得到函数"(x)=2sin2〔x—/+1=2sin[2x+g1+l的图象，

再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)

得到函数8(%)=25垣,+1]+1的图象.

要使g(x)=aT在xe。看时有两个不同的实数解，

需+=在xe0,^时有两个不同的实数解，

即需函数〉=sin［x+m］的图象与直线y=\2在xe0,|-时有两个不同的交点,

画出函数〉=sin［x+m)的部分图象与直线y=旦'2,如图，

由图可知，^<—<1，解得2+百<。<4,

22

故实数a的取值范围是［2+73,4).

18.已知函数/(x)=l+log3X，g(x)=3*.

(1)设函数*x)=/(g(x))-g(/(x)),求＞(x)在区间(0,2)上的值域;

(2)设证明：H(x)的图象是中心对称图形;

(3)若函数G(x)="(x)—lf+(4—左)/(%),且G(x)在区间［1,9］上有零点，求实数上的取值范围.

【答案】⑴(0,18)

(2)证明见解析(3)4,y

【分析】⑴化简函数网光)的解析式，利用二次函数的基本性质求得/(九)在(0,2)上的值域；

⑵利用H(x)+H(1—”求解为定值，求解对称中心；

⑶设"log3%,当xe［1,9］时，小［0,2］,等价于函数M0=r+(4—左"+4—左在区间［0,2］上有

零点，利用对勾函数进行求解参数屋

【小问1详解】

F(x)=/(g(x))-g(/(x))=(l+log33,”2

=(1+x)x3x3"的*=3x(1+%)=3x2+3x=+一；

当xe(0,2)时，/(%)单调递增，

又/(2)=18，/(0)=0,

故厂（％）在区间（0,2）上的值域为（0,18）.

【小问2详解】

因为〃（力=m1=』，

g（x）+括3,+6

3X3l-x

所以H（x）+H（l—力=y+y/3+3l-x+^3

=-----1------=-----1-----=],

3,+63+指33*+指指+3，

故H(x)的图象关于点对称.

【小问3详解】

由题意得G(x)=(log3X『+(4-^)log3x+4-^.

设。=log3X,当xe[l,9]时，te[0,2].

则G（x）在区间［1,9］上有零点，等价于函数,。）=r+（4—左）f+4—左在区间［0,2］上有零点,

即0（。=产+（4—左"+4—左=0在『6［0,2］时有实数解,

即/+4+4—左（1+/）=0在/且0,2］时有实数解，

即左=『+*+4="+iy+2"+l)+l=/+1+，+2在/e[o,2]时有实数解.

1+tt+1t+1

设加=1+1,则加，左=加+一+2,

m

易知％=m+1■+2在加£[1,3]时单调递增，

m

且当加=1时，左=1+1+2=4,

当根=3时，k=3+—+2=—,

33

所以4K左V—,

3

故实数％的取值范围是4,与.

19.在VAfiC中，内角ABC的对边分别为名4c,已知2加inAsin3+cos23=2限csinA—3c2=1.

(1)求a；

(2)求VABC的面积；

(3)以5为坐标原点，以就方向为x轴正方向，垂直于5c的直线为〉轴(使点A在x轴上方)建立

平面直角坐标系，在VA3C所在的平面内有一动点。(羽y),满足方•皮=1,求Ji