2025年中考数学一轮复习：相似三角形 （4大模块知识梳理+12个考点+9个重难点+3个易错点）（原卷版）

专题10相似三角形

目录

01理•思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。

02盘.基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（4大模块知识梳理）

知识模块一：比例线段及其性质

知识模块二：平行线分线段成比例

知识模块三：相似三角形的性质与判定

知识模块四：位似图形

03究•考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（12大基础考点）

考点一：黄金分割

考点二：平行线分线段成比例

考点三：选择合适的方法证明两个三角形相似

考点四：利用相似三角形的性质求解

考点五：相似三角形的性质与判定综合

考点六：利用相似三角形列函数关系式

考点七：利用三点定形法证明比例式或等积式

考点八：利用相似三角形解决实际问题

考点九：利用相似三角形的性质与判定解决多结论问题

考点十：相似三角形与函数综合

考点十一：利用位似图形的性质求解

考点十二：坐标系中画位似图形

04破，重点难点：突破重难点，冲刺高分。（9大重难点）

考点一：利用相似三角形的性质与判定解决折叠问题

考点二：利用相似三角形的性质与判定解决动态函数图象

考点三：相似模型-A型

考点四：相似模型-X型

考点五：相似模型-母子型

考点六：相似模型-手拉手模型

考点七：相似模型-角含半角模型

考点八：相似模型-三角形内接矩形模型

考点九：相似模型-一线三等角模型

考点十一：05辨•易混易错：点拨易混易错知识点，夯实基础。（3大易错点）

易错点1：当三角形对应关系不明确时，未进行分类讨论而漏解

易错点2：未掌握相似比与面积比的关系

易错点3：求位似图形对应坐标时漏解

愿缗。吩'

两条线段被一组对应的线段成比例

基本事实

若将所截出的小线段位置靠上的称为上

匕上上下下

位置靠下的称为下下一下'至=至'至二至

平行^分线段成比例q小由5卜

两条线段合成的线段称为全

截其它两边

me平行于三角形所得对应硼

截两边的延长线

的直线

三个角相等

知识梳理定义两个三角形中

三条边成比例

相似三角形

相便图形

点连线交于一点三要素

相

似对应线段平行或共线

位似

三位似图形相似

角对应边互相平行或者共线

形对应点到位似中心的距离之比=相似比

若有平行线，直接得出三角形相似

在几何图形中

找三角形相似若无平行按判定方法逐个判断

找题目隐含条件，如公共角、对顶角等

学法指导

结合三角形的性质，确定三角形各角度数

在正方形的网格中

确定三角形相似结合勾股定理，确定三角形各边长

运用三角腌似的方法得出结论

基森如说

知识模块一：比例线段及其性质

知识点一：两条线段的比及比例线段

定义：如果选用同一长度单位的两条线段a,b的长分别是m和n,就说两条线段的比是a：b=m：n,或写

成上n=竺rrj，和数的比一样，两条线段的比a:b中a叫做比的前项，b叫做比的后项.（两条线段长度的比叫

bn

做这两条线段的比）

【易错点】

1）“线段的比”与“线段的比值”区别：线段的比是运算，线段的比值是一个结果，是一个数；

2）求两条线段的比时，须统一成相同的单位，最终的比值与单位无关，比值没有单位；

3）线段的比，最终要化成最简整数比.

比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线

段，简称比例线段.四条线段a,b,c,d,如果幺=£，那么a,b,c,d叫做组成比例的项，线段a,d

bd

叫做比例外项，线段b,c叫做比例内项.

qr）

比例中项：如果比例线段的内项是两条相同的线段，即。：沙=沙：C或上=上，那么线段b叫做线段a,c的

bc

比例中项.

知识点二：比例的基本性质

1)基本性质：-=-^ad=bc(bd^O)

bd

智（瓦不为O）

2）推论：冷=j2,〃不为。）

—=—不为0）

3）合比性质:»誓咛叱。）,分比性质：冷。*=小”）

合分比性质:产沙必0）=审=詈（（即（训/0）

八小riULH工中4CeTYL7/71rr\\JJV7/^+^+^+...+7717

4)等比性质：如果———二一二…二—=k(b+d+f+…+0),JPA----------------=k

bdfnb+d+f+...+n

5）黄金分割

RC1AR

定义：如图，点B把线段AC分割成AB和BC两部分（AB>BC）,满足——=——（此时线段AB是线段AC,BC

ABAC

的比例中项），那么称点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值

为J*5L-」1，近似值为0.618.

2

AB

【补充】

1）黄金分割是以线段的比例中项来定义的;

A3（长）_BC®）_乒1

2AC，全）—A3（长j-2~0.618,0.618又被称为黄金分割数;

知识模块二：平行线分线段成比例

知识点一：平行线分线段成比例

定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.

1'7K例."口图，所倚的对应戌段成比彳列的有=瞿或祟=照或能=整或器=黑或黑=白等等•

上上卡上上—下下一下下一上下梃梃

2）对应线段成比例可用语言形象表示:示〕或蒋铲于工或至=至或丁下等等•

推论：平行于三角形一边的直线与其它两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例.

则有笔=AEADAEDBCD

如图，若DE〃BC,

AC

知识模块三：相似三角形的性质与判定

知识点一：相似三角形的定义

相似三角形的定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.如4ABC

和4DEF相似可表示为△ABCs^DEF.

【补充】三角形全等是三角形相似的特殊情况，全等三角形的相似比等于1.

【注意事项】符号“S”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大宇母写在对应的位置上，如

△ABC^ADEF,表示顶点A与D,B与E,C与F分别对应；

【易错点】如果仅说aABC与4DEF相似，没有用“s”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系.

相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比.

【补充】相似比具有顺序性，如△ABCs/\DEF,相似比为k,则4DEF与△ABC的相似比为

k

常见的基本图形:

图①和图②分别为“A型”图和“X型”图，条件是DE〃BC,基本结论是△ABCS^ADE；

图③'图④是图①的变形图，图⑤是图②的变形图；

图⑥是“母子型”图，条件是BD为直角AABC斜边上的高，基本结论是△ABCs^BDCs/\ADB.

知识点二：相似三角形的判定

相似三角形的判定方法：

1）判定三角形相似的常用定理：

①平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.

②三边成比例的两个三角形相似；

③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；

④两角分别相等的两个三角形相似.

2）直角三角形相似的判定方法：

①有一个锐角相等的两个直角三角形相似.

②两组直角边成比例的两个直角三角形相似.

③斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似.

知识点三：相似三角形的性质

相似三角形的性质：

1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.

【补充】己知两三角形相似，写对应角相等，对应边成比例时，原则是“大对大，小对小；长对长，短

对短”.

【小技巧】相似多边形对应边的比相等是求某条线段的长或求两条线段的比的一种常用方法，采用此方

法时一定要注意找准对应关系.

2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.

3）相似三角形周长的比等于相似比.

4）相似三角形面积比等于相似比的平方.

5）传递性：若△ABCS^BDC,AABC^AADB,则△BDCS^ADB.

知识模块四：位似图形

知识点一：位似图形的性质

1）位似图形的所有对应点的连线所在的直线相交与一点.

2）位似图形的对应线段平行（或在同一条直线上）且比相等.

3）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.

4）位似图形是相似图形,具有相似图形的一切性质.

5）一对对应边与位似中心（不在同一直线上）形成的两个三角形相似

知识点二：位似变换的坐标特征

一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原

图形的相似比为k,那么与原图形上的点（x,y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx,ky）或（-kx,-ky）.

【小结】以原点为位似中心的位似图形的坐标符号变化：若两个图形在原点同侧，则对应点的横、纵坐标

符号相同；若两个图形在原点异侧，则对应点的横、纵坐标符号相反.

◎考点著法

考点一：黄金分割

1.（2024•山西・中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”

端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A,8分别在习字格的边MN,PQ上，且力BIINP,“晋”字的笔

画“、”的位置在48的黄金分割点C处，且黑=浮,若NP=2cm,则BC的长为cm（结果保留根号）.

2.（2023・四川达州•中考真题）如图，乐器的一根弦48=80cm,两个端点A,2固定在乐器面板上，支撑

点C是靠近点B的黄金分割点，即AC?=AB-BC,支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则两个支撑点C,

。之间的距离cm.（结果保留根号）

3.（2024.广东.模拟预测）大自然是美的设计师，校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美.如图,

A.0.505B.0.618C.0.707D.0.828

考点二：平行线分线段成比例

1.（2023•江苏・中考真题）小明按照以下步骤画线段的三等分点:

画法图形

A

1.以A为端点画一条射线；

X\

2.用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE,连接BE；

X\\

3.过点C、。分别画BE的平行线，交线段48于点M、N,M、N就是

线段A8的三等分点.

AM、N、B

这一画图过程体现的数学依据是（）

A.两直线平行，同位角相等

B.两条平行线之间的距离处处相等

C.垂直于同一条直线的两条直线平行

D.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例

2.（2023・四川雅安・中考真题）如图，在回48CD中，尸是4。上一点，CF交BD于点E,CF的延长线交B4的

延长线于点G,EF=1,EC=3,贝UGF的长为（）

3.（2024.广东深圳.中考真题）如图，在△ABC中,AB=BC,tan/2=*。为BC上一点，且满足箸=，过

D作DE1AD交2C延长线于点E,则筝=.

A

E

考点三：选择合适的方法证明两个三角形相似

1.（2024・广东广州•中考真题）如图，点E,F分别在正方形4BCD的边BC,CD上，BE=3,EC=6,CF=2.求

证：AABE-^AECF.

2.（2023•贵州•中考真题）如图，已知。。是等边二角形4BC的外接圆，连接CO并延长交4B于点。，交。。

于点E,连接E4EB.

（1）写出图中一个度数为30。的角：,图中与Aac。全等的三角形是；

（2）求证：AAEDs^CEB；

（3）连接。40B,判断四边形。4E8的形状，并说明理由.

3.（2022•江苏盐城•中考真题）如图，在△ABC^L4B'C'中，点D、D'分别在边BC、B'C'上，且△ACD八A'C'D',

若，则请从①黑=黑；②胎=需；③/BAD=NB2D这三个选项中

选择一个作为条件（写序号），并加以证明.

考点四：利用相似三角形的性质求解

1.（2022・云南・中考真题）如图，在AABC中，D、E分别为线段8C、BA的中点，设AABC的面积为51

△E8D的面积为$2,则|j=（）

2.（2024・四川巴中・中考真题）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案.若。4=1,贝UOG=（）

3.（2024・上海杨浦•一模）如图，在A/IBC中，点G是重心，过点G作GDIIBC,交边AC于点。，联结BG,

如果SAABC=36,那么S四边形BGDC=-----

考点五：三角形的性质与判定综合

1.（2024•宁夏•中考真题）如图，在EIABCD中，点M,N在4。边上，AM=DN,连接CM并延长交的延长

线于点E,连接BN并延长交CD的延长线于点R求证：AE=DF.小丽的思考过程如下：

平行四边形

EF

\寿三角形相似

：对应边成比例

；i

；AE=DF

参考小丽的思考过程，完成推理.

2.（2024•山东德州•中考真题）有一张如图所示的四边形纸片，AB=AD=6m,CB=CD=8cm,乙B为

直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为cm.

3.（2024・山东日照•中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，点4（4,0）,C（0,4&）是矩形CMBC的顶点，

点M,N分别为边力B,OC上的点，将矩形04BC沿直线MN折叠，使点8的对应点8,在边04的中点处，点C的

对应点C，在反比例函数y=三@手0）的图象上，则k=

考点六：利用相似三角形列函数关系式

1.（2023・山东青岛・中考真题）如图，在菱形4BCD中，对角线AC,BD相交于点。，AB=10cm,BD=

4V5cm.动点尸从点A出发，沿4B方向匀速运动，速度为lcm/s；同时，动点。从点A出发，沿4。方向匀

速运动，速度为2cm/s.以AP,4Q为邻边的平行四边形4PMQ的边PM与4C交于点E.设运动时间为

t（s）（0<t<5）,解答下列问题：

D

(2)连接BE.设APEB的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式和S的最大值；

(3)是否存在某一时刻右使点B在NPEC的平分线上？若存在，求出f的值；若不存在，请说明理由.

2.(2023•黑龙江绥化•中考真题)已知：四边形48CD为矩形，AB=4,AD=3,点尸是8C延长线上的一

个动点(点F不与点C重合).连接4F交CD于点G.

(1)如图一，当点G为CD的中点时，求证：4ADGW4FCG.

(2)如图二，过点C作CE14F,垂足为E.连接BE,设=x,CE=y.求y关于x的函数关系式.

(3)如图三，在(2)的条件下，过点B作BM1BE,交F4的延长线于点M.当CF=1时，求线段BM的长.

3.(2022•四川资阳・中考真题)如图，平行四边形48CD中，AB=5,8C=10,BC边上的高AM=4,点、E

为BC边上的动点(不与B、C重合，过点E作直线4B的垂线，垂足为R连接DE、DF.

⑴求证：AABM~AEBF；

(2)当点E为BC的中点时，求DE的长；

(3)设BE=久,ADEF的面积为y,求y与尤之间的函数关系式，并求当x为何值时，y有最大值，最大值是多

少？

考点七：利用三点定形法证明比例式或等积式

1.(2023•浙江杭州•中考真题)如图，在。。中，直径力B垂直弦CD于点E,连接4C,4D,BC,作CF14D于

点F，交线段。B于点G(不与点0,8重合)，连接0F.

(1)若BE=1,求GE的长.

(2)求证：BC2=BG-BO.

(3)若FO=FG,猜想NC4D的度数，并证明你的结论.

2.(2024•黑龙江大庆•中考真题)如图，AABC为。。的内接三角形，4B为。。的直径，将△力BC沿直线4B

翻折到AABD,点。在。。上.连接CD,交力B于点E,延长BD,CA,两线相交于点P,过点4作。。的切线

交BP于点G.

⑴求证：AG||CD；

(2)求证：PA2=PG-PB-,

(3)若sinNAPD=PG=6.求tan/AGB的值.

3.(2024・广东•中考真题)【知识技能】

(1)如图1,在A/IBC中，DE是AABC的中位线.连接CD,将△ADC绕点O按逆时针方向旋转，得到△

A'DC.当点E的对应点E'与点A重合时，求证：AB=BC.

【数学理解】

(2)如图2,在AABC中(4B<8C),DE是AABC的中位线.连接CD,将△ADC绕点£>按逆时针方向旋转,

得到AADC',连接AB,C'C,作AA/D的中线OF.求证：2DF-CD=BD-CC.

【拓展探索】

（3）如图3,在△力8c中,tanB=%点。在AB上,4。=着.过点D作DE1BC,垂足为E,BE=3,CE=率在

四边形2DEC内是否存在点G,使得N4GD+NCGE=180。？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由.

考点八：利用相似三角形解决实际问题

1.（2024・四川自贡・中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法.

图1（利用影子）图3（利用标杆）

（1）如图1,小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE.此时，小组同学测得旗杆

AB的影长BC为11.3m,据此可得旗杆高度为m；

（2）如图2,小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C,并通过镜面观测到旗杆顶部A.小组同学测得小

李的眼睛距地面高度DE=1.5m,小李到镜面距离EC=2m,镜面到旗杆的距离CB=16m.求旗杆高度；

（3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大.在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显

提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度.方法如下：

图4（找水平线）图5（定标高线）图6（测雕塑高）

如图4,在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M,N两点始终处于同一水平

线上.

如图5,在支架上端P处，用细线系小重物。，标高线PQ始终垂直于水平地面.

如图6,在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的。，G两点，并标

记观测视线DA与标高线交点C,测得标高CG=1.8m,DG=1.5m.将观测点。后移24m到》处，采用同样

方法，测得C'G，=1.2m,D'G'-2m.求雕塑高度（结果精确到lm）.

2.（2022•江苏连云港•中考真题）我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔一阿育王塔，是苏北地区

现存最高和最古老的宝塔.小明与小亮要测量阿育王塔的高度，如图所示，小明在点a处测得阿育王塔最高

点C的仰角NC4E=45°,再沿正对阿育王塔方向前进至B处测得最高点C的仰角NCBE=53。，AB=10m；

小亮在点G处竖立标杆FG,小亮的所在位置点0、标杆顶尸、最高点C在一条直线上,FG=1.5m,GO=2m.（注:

结果精确到。01m,参考数据：sin53°«0.799,cos53°~0.602,tan53°«1.327）

c

（1）求阿育王塔的高度CE;

（2）求小亮与阿育王塔之间的距离ED.

3.（2024福建漳州•模拟预测）为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为5m的视力表，

但两面墙的距离只有3m.在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”

的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙.

方如图①是测试距离为5m的大视力表，可以用硬纸板使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题.如

案制作一个测试距离为3m的小视力表②.通过测量大图，在相距3m的两面墙上分别悬挂视力表（4B）

视力表中的高度（8C的长），即可求出小视力与平面镜（MN）,由平面镜成像原理，作出了

表中相应的“E”的高度（。尸的长）光路图,通过调整人的位置,使得视力表4B的上、

下边沿4,8发出的光线经平面镜MN的上下边沿

反射后射入人眼C处，通过测量视力表的全长

（X5）就可以计算出镜长MN

（1）甲生的方案中如果大视力表中“E”的高是3.5cm,那么小视力表中相应“E”的高是多少？

（2）乙生的方案中如果视力表的全长为0.8m,请计算出镜长至少为多少米.

考点九：利用相似三角形的性质与判定解决多结论问题

1.（2023•山东泰安・中考真题）如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC,乙4=36。.以点8为圆心，任意长

为半径作弧，交A8于点孔交BC于点G,分别以点P和点G为圆心，大于^FG的长为半径作弧，两弧相

交于点H作射线88交AC于点分别以点B和点。为圆心，大于18。的长为半径作弧，两孤相交于M、

N两点，作直线交于点E,连接。E.下列四个结论：①"ED=〃BC；@BC=AE；③ED=|SC；

④当4C=2时，AD=>/5-l.其中正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

2.（2022.黑龙江牡丹江.中考真题）如图，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形AOE中，ABAC=/.DAE=

90°,点。在BC边上，OE与AC相交于点F,AH1DE,垂足是G,交BC于点H.下列结论中：①AC=CD；

@V2AD2=BC-AF；③若AD=3逐，DH=5,贝UBD=3；@AH2=DH-AC,正确的是.

A

3.（2022•江苏扬州•中考真题）如图，在2L4BC中，AB<AC,将△ABC以点4为中心逆时针旋转得到△ADE,

点D在BC边上，DE交2C于点F.下歹!J结论：①AAFE〜ADFC；②平分NBDE；③NCDF=NB力D,其

中所有正确结论的序号是（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

考点十：相似三角形与函数综合

1.（2024•山东东营.中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=/+b久+c与x轴交于4（一1,0）,

B（2,0）两点，与y轴交于点C,点。是抛物线上的一个动点.

（1）求抛物线的表达式；

（2）当点。在直线BC下方的抛物线上时，过点。作y轴的平行线交BC于点E,设点。的横坐标为t,DE的长为I,

请写出2关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围；

（3）连接4D,交BC于点F,求受空的最大值.

SAAEF

2.（2024•江西・中考真题）综合与实践

如图，在RtZkABC中，点。是斜边4B上的动点(点。与点A不重合)，连接CD,以CD为直角边在CD的右

侧构造RtACDE,KDCE=90°,连接BE,—=—=m.

图1图2图3

特例感知

(1)如图1,当机=1时，BE与2D之间的位置关系是,数量关系是；

类比迁移

(2)如图2,当小大1时，猜想BE与2。之间的位置关系和数量关系，并证明猜想.

拓展应用

(3)在(1)的条件下，点厂与点C关于DE对称，连接。尸，EF,BF,如图3.已知4C=6,设4。=%,

四边形CDFE的面积为y.

①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；

②当BF=2时，请直接写出4。的长度.

3.(2023•山东滨州•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，菱形04BC的一边OC在x轴正半轴上，顶点4的

坐标为(2,2次)，点。是边OC上的动点，过点。作DE1OB交边。4于点E,作DF||OB交边8c于点F,连接

EF.设。D=%,△DEF的面积为S.

(1)求S关于x的函数解析式；

(2)当支取何值时，S的值最大？请求出最大值.

考点十一：利用位似图形的性质求解

1.(2024•黑龙江绥化•中考真题)如图，矩形6MBe各顶点的坐标分别为。(0,0),4(3,0),C(0,2),

以原点。为位似中心，将这个矩形按相似比：缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐标是()

A.(9,4)B.(4,9)C.(1,|)D.(1,|)

2.(2024・四川凉山•中考真题)如图，一块面积为60cm2的三角形硬纸板(记为AaBC)平行于投影面时,

在点光源。的照射下形成的投影是△若。B:BB】=2:3,贝必A/16的面积是()

3.(2023・辽宁・中考真题)如图，在平面直角坐标系中，四边形O4BC的顶点坐标分别是

0(0,0),4(1,0),B(2,3),c(-l,2),若四边形。49C，与四边形。ABC关于原点。位似，且四边形

。48(，的面积是四边形。48。面积的4倍，则第一象限内点夕的坐标为.

考点十二：在坐标系中画位似图形

1.(2022・广西河池•中考真题)如图、在平面直角坐标系中，AA8C的三个顶点的坐标分别为A(1,2),

B(2,3)，C(4,1).

⑴画出与"BC关于y轴对称的AA向G；

⑵以原点。为位似中心，在第二象限内画一个△4282C2,使它与AABC的相似比为2:1,并写出点治的坐标.

2.(2020•辽宁丹东•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度

的正方形，点4,B,C的坐标分别为4(1,2),5(3,1),C(2,3),先以原点。为位似中心在第三象限内画一个

AA.B.C.,使它与ZL4BC位似，且相似比为2：1,然后再把/4BC绕原点。逆时针旋转90。得到2c2.

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(1)画出44/16，并直接写出点4的坐标；

(2)画出d4B2c2,直接写出在旋转过程中，点力到点&所经过的路径长・

@■31点醴点

重难点一：利用相似三角形的性质与判定解决折叠问题

1.(2024・湖北・中考真题)在矩形力BCD中，点E,尸分别在边AD,BC上，将矩形4BCD沿EF折叠，使点A

的对应点尸落在边CD上，点8的对应点为点G,PG交BC于点H.

图1图2图3

⑴如图1,求证：4DEP“4CPH；

(2)如图2,当尸为CD的中点，AB=2,力。=3时，求GH的长；

(3)如图3,连接BG,当尸，X分别为CD,BC的中点时，探究8G与4B的数量关系，并说明理由.

2.(2023・湖北武汉•中考真题)如图，DE平分等边△注吕。的面积，折叠ABDE得到△?£)£1,2C分别与

相交于G,"两点.若DG==71,用含m,?i的式子表示G”的长是.

重难点二：利用相似三角形的性质与判定解决动态函数图象

1.(2022•辽宁营口・中考真题)如图1,在四边形力BCD中，BC||AD,^D=90°,Z71=45°,动点P,。同时

从点A出发,点P以&cm/s的速度沿力B向点8运动(运动到B点即停止)，点。以2cm/s的速度沿折线4D-

DC向终点C运动，设点。的运动时间为x(s),AAPQ的面积为y(cm2),若y与x之间的函数关系的图像如

图2所示，当x=1(s)时，贝！jy=cm2.

图1图2

2«(2023•辽宁锦州•中考真题)如图，在RtA4BC中，乙4cB=90°,AC=3,BC=4,在△DEF中，DE=DF=5,

EF=8,BC与EF在同一条直线上，点C与点E重合.△4BC以每秒1个单位长度的速度沿线段EF所在直

线向右匀速运动，当点2运动到点尸时，△ABC停止运动.设运动时间为t秒，△力8C与ADEF重叠部分的

面积为S,则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是()

3.(2021・湖北・中考真题)如图1,已知NRPQ=45。，△ABC中乙4cB=90。，动点尸从点A出发，以2遍cm/s

的速度在线段4C上向点C运动，PQ,PR分别与射线4B交于E,尸两点，且PE14B,当点P与点C重合时

停止运动，如图2,设点尸的运动时间为xs,NRPQ与△ABC的重叠部分面积为ycm2,y与尤的函数关系由

G(0<x<5)和金(5<x<n)两段不同的图象组成.

yCcrn2)

图1图2

(1)填空：①当x=5s时，EF—cm；

②sinA=；

(2)求y与尤的函数关系式，并写出尤的取值范围；

(3)当y236cm2时，请京揆写出x的取值范围.

重难点三：相似模型-A型

1.（2023・四川甘孜•中考真题）如图，在矩形4BCD中，=4,B2=6,点尸，。分别在4B和4c上,PQ||BC,

M为PQ上一点，且满足PM=2MQ.连接2M、DM,若M2=MD,贝MP的长为.

2.（2023•辽宁鞍山•中考真题）如图，在A4BC中，BA=BC,顶点C,8分别在尤轴的正、负半轴上，点

A在第一象限,经过点A的反比例函数y=^（x>0）的图象交AC于点E,过点E作EF1x轴，垂足为点F.若

点E为AC的中点，BD=2AD,BF-CF=3,则上的值为.

3.（2023•河南・中考真题）如图,P2与。。相切于点A,PO交O。于点8,点C在上，且CB=CA.^OA=5,

PA=12,则CH的长为

重难点四：相似模型-X型

1.（2024・四川乐山•中考真题）如图，在梯形2BCD中，AD||BC,对角线4C和BD交于点O,若等皿=工,

S&BCD3

则号”。。

S^BOC

AD

2.（2024・江苏常州・中考真题）如图，在矩形A8CD中，对角线BD的垂直平分线分别交边4B、CD于点、E、

F.若力D=8,BE=10,贝!!tanZTlBD=.

3.（2024・四川宜宾•中考真题）如图，在平行四边形4BCD中，AB=2,AD=4,E、/分别是边CD、AD上

的动点，且CE=DF.当4E+CF的值最小时，贝|CE=.

重难点五：相似模型-母子型

1.（2024.山东泰安.中考真题）如图，4B是。。的直径，4H是。。的切线，点C为。。上任意一点，点。为

然的中点，连接BD交2C于点E,延长BD与4”相交于点尸，若DF=1,tanB=贝UAE的长为

2.（2023・湖北武汉•模拟预测）探索发现；（1）如图1,在△ABC中，乙8=Z.C4F；求证：AC2=CF-BC；

初步应用：（2）如图2,在△力中，AB=AC,BDLAB,BELAD,连接CE、CA*Dn；求—P*证'T：一BE=—CE

BDCD

迁移拓展：（3）如图3,在△ABC中，NB=NC4F,H为AC上一点使CH=CF,过/作HG||BC交AB于G,

AG=AF,求竺的值;

CF

图1

重难点六：相似模型-手拉手模型

1.（2022•安徽合肥•三模）如图，A4BC中,ABAC=30°,Z.ACB=90°,且△ABC“AABC,连接CC1

将CC，沿C0方向平移至EBI连接BE,若CC'=V6,贝的长为（）

A.1B.V2C.V3D.2

2.（2023・湖南常德・中考真题）如图1,在RtAABC中，AABC=90°,AB=8,BC=6,。是4B上一点，

且4。=2,过点。作DEIIBC交4C于£,将42DE绕A点顺时针旋转到图2的位置.则图2中差的值为

重难点七：相似模型-角含半角模型

1.（2022・广东深圳•二模）【教材呈现】（1）如图1,在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形力BC和

4FG摆放在一起，点A为公共顶点，Z.BAC=ZG=90°,若AdBC固定不动，将AAFG绕点A旋转，边AF,

4G与边BC分别交于点Z）,£（点。不与点2重合，点E不与点C重合），则结论BE•CD=45是否成立_（填

“成立”或，不成立”）；

【类比引申】（2）如图2,在正方形ABCD中，NE4F为NBAD内的一个动角，两边分别与BO,BC交于点E,

F,且满足NE4F=N4DB,求证：AADE-AAXCF；