2025年中考数学一轮复习：图形的初步认识（2大模块知识梳理+10个基础考点+3个重难点+5个易错点）（解析版）

专题07图形的初步认识

目录

01理•思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。

02盘.基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（2大模块知识梳理）

知识模块一：几何图形基础

知识模块二：相交线

03究•考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（10大基础考点）

考点一；由几何体展开图计算表面积、体积

考点二：正方体的展开图（高频）

考点三：指出现实问题后的数学依据（高频）

考点四：线段的和与差

考点五：与角平分线有关的计算

考点六：与余角、补角、对顶角、邻补角有关的计算

考点七：利用平行线的判定进行证明

考点八：根据平行线的性质求解

考点九：根据平行线性质与判定求解

考点十：平行线的形状在生活中的应用（高频）

04破•重点难点：突破重难点，冲刺高分。（3大重难点）

重难点一：平行线常见辅助线作法一与“拐点”作平行线

重难点二：等积模型

重难点三：三角板拼接模型

05辨•易混易错：点拨易混易错知识点，夯实基础。（5大易错点）

易错点1：不能把握直线、射线、线段的特征而致错

易错点2：计算线段的长度或角的度数时未分类讨论，导致漏解

易错点3：不注意角的单位未统一而致错

易错点4：三线八角的识别

易错点5：忽略同位角（或内错角）相等、同旁内角互补的前提

思维3励'

两命间，

维二等分中点

〈三等分

注意分两种情况讨论

易错射线B&fn射线AB是不同的射线

直线公理两点确定一条直线

炳卜角

斜交

对顶角

知识梳理两条直线相交

垂线段最短

垂直

点到直线的线段

公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

例/------

----4脚仑alib,bilealie

同位角相等

平行线。判定内错角相等两直线平行

同旁内角互补

同位角相等

几何图形初步

两直线平行内错角相等

同旁内角互补

度，分，秒的运算

钟表问题

对顶角一定相等

对顶角相等

相等的角不一定是对顶角

知识梳理

相交线

同角（等角）的余角相等

同角（等角）的补角相等

直线、射线、线段概念分不清

学习误区/----------------------------

--------＜三线/唬中的三类角不能区分

基瑞如常、

知识模块一：几何图形基础

知识点一：平面图形与立体图形

1.立体图形

立体图形的概念：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，这个图形叫做立体图形.

立体图形的分类:

,圆柱

三棱柱

柱体＜四棱柱

棱柱，

五棱柱

K

常见立体图形球体

「圆锥

三棱锥

锥体四棱锥

棱锥

五棱锥

K

2.平面图形

平面图形的概念：有些几何图形的各个部分在同一平面内的图形，这个图形叫做平面图形.

几何图形的概念：我们把实物中抽象出来的各种图形叫做几何图形，几何图形分为平面图形和立体图形.

【补充】几何图形不研究物体的颜色、质量、质地等性质，只关注物体的形状、大小和位置.

【常见的平面图形的种类】线段、角、三角形、长方形、圆等.

知识点二：直线、射线、线段

1.线段、射线、直线的区别与联系

直线射线线段

定义直线是几何图形基础，是一个直线上一点和它一旁的部分叫做射直线上两点和它们之间的部分

不做定义的原始概念.线.叫做线段.

图形

-------mN

ABbA------------------

表示方法直线AB或直线BA射线OA线段AB、线段BA

直线m射线n线段1

端点个数无1个2个

度量情况不可度量不可度量可以度量

延伸情况可向两方无限延伸只能以一方无限延伸不能延伸

作法叙述作直线AB作射线OA作线段AB作线段m

作直线m连接AB

延伸叙述反向延伸射线0A延长线段AB

反向延伸线段BA

射线和线段都是直线的一部分，线段向一方无限延伸就成为射线，向两方无限延伸就成为了直线，射

联系

线向反方向无限延伸就成为直线.

2、有关直线的基本事实

经过两点有一条直线，并且只有一条直线，简述为两点确定一条直线.

3、线段的性质

两点的距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离.它是线段的长度，是数量（非负）.

线段基本性质：两点的所有连线中，线段最短.简记为：两点之间，线段最短.

知识点三：角

1、角的定义

角的定义（静态）：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线

是角的两条边.

角的定义（动态）：由一条射线绕着它的端点旋转一定角度而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是

角的内部.

2、角的度量单位和换算

角的度量单位：度、分、秒是常用的角的度量单位，

1）把一个周角平均分成360等份，每一份就是1度的角，记为1°；

2）把1°的角60等分，每一份就是1分的角，记为1〃；

3）把1’的角60等分，每一份就是1秒的角，记为1’.

角的换算：1周角=360°,1平角=180°,1°=6（T,J=60",

1周角=2平角=4直角=360°,1平角=2直角=180°

角的换算方法：

1）由度化为分、秒的形式（即由高位向低位化）：1°=60',J=60"；

2）由分、秒化为度的形式（即由低位向高位化）：r=|—

160Jl6oj

3、角平分线

角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.

4、方向角

方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的小于90。的角叫做方向角.

方位角：从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，叫做方位角，取值范围为0°到360。，比如正东方

向就是方位角为90°，正西方向就是方位角为270°.

5、余角和补角的性质

余角的性质：同角（等角）的余角相等；

补角的性质：同角（等角）的补角相等；

知识模块二：相交线

知识点一：相交线

直线的位置关系：在同一平面内不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行.

垂线的定义：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直

线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.

垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

垂线段的定义：如图，点P为直线外一点,P0J_m,垂足为0,称P0为点P到直线m的垂线段.

垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短.如图，点P

与直线m上的各点连线中，线段P0最短.

点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.

【注意】

1）垂线段是一个几何图形，而点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，容易出现概念混淆的错误；

2）过直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条是垂线段，且垂线段是最短的.

知识点二：相交线中的角

1.对顶角与邻补角

种类图形顶点边的关系大小关系

对顶角有公共一个角的两边分别是另一角的Z1=Z2,Z3=Z4

顶点两边的反向延长线

邻补角一有公共两个角有一条公共边，且它们Zl+Z3=180°,Z2+Z3=180°

顶点

的另一边互为反向延长线.Zl+Z4=180°,Z2+Z4=180°

2.同位角、内错角、同旁内角

角的名称位置特征基本图形图形结构特征

同位角在截线的同侧，在被截两形如字母“F”

条直线同侧

内错角在截线的两侧，且夹在两形如字母“Z”

条被截直线之间

同旁内角在截线的同侧，在被截两形如字母“U”

条直线之间4

【补充】

1）如图，两条直线a、b被第三条直线c所截，构成8个角，简称为“三线八角”，其中共有4对同位角,

2对内错角，2对同旁内角.

2）同位角、内错角、同旁内角指的是两个角之间的位置关系，不是大小关系，它们之间的大小关系是不确

定的.

3）同位角、内错角、同旁内角是指具有特殊位置关系的两个角，是成对出现的，对它们的识别要结合图形.

4）同位角、内错角、同旁内角这三类角都没有公共顶点.

知识点三：平行线

平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“〃”表示.如图，直线AB与

CD平行，记作;AB〃CD,读作：AB平行于CD.

A«-----------------------------・B

C®-----------------------------»D

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行.

【拓展】

1）平行线具有传递性：若多条直线都与同一条直线平行，则这多条直线也相互平行.

2）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行，即在同一平面内，若a，b,b±c,则2〃仁

平行线的判定与性质的区别

条件结论作用

同位角相等两直线平行

判定内错角相等两直线平行由角的数量关系确定直线的位置关系

同旁内角互补两直线平行

两直线平行同位角相等

性质两直线平行内错角相等由直线位置关系得到角的数量关系

两直线平行同旁内角互补

【总结】从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性

质.

【注意】在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论.这是平行线特有的

性质不要一提同位角或内错角就认为它们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，这

些是不成立的.

平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距

离.

性质：1）夹在两条平行线间的平行线段处处相等;

2）平行线间的距离处处相等.

考点君法

考点一：由几何体展开图计算表面积、体积

1.（2023•江苏无锡・中考真题）若直三棱柱的上下底面为正三角形，侧面展开图是边长为6的正方形，则该

直三棱柱的表面积为.

【答案】36+2V3/2V3+36

【分析】根据题意得出正三角形的边长为2,进而根据表面积等于两个底面积加上侧面正方形的面积即可求

解.

【详解】解：•••侧面展开图是边长为6的正方形，

二底面周长为6,

,••底面为正三角形，

.••正三角形的边长为2

作CDLAB,

是等边三角形，AB=BC=AC=2,

•••AD=1,

・•・在直角AZOC中，

CD=y/AC2-AD2=V3,

SAABC=5x2xV3=V3；

•・•该直三棱柱的表面积为6x6+2,=36+2V3,

故答案为：36+2V3.

【点睛】本题考查了三棱柱的侧面展开图的面积，等边三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握以上知识

是解题的关键.

2.（2024•河北邯郸•模拟预测）用相同尺寸的长方形纸板制作一个无盖的长方体纸盒.先在纸板上画出其

表面展开图（需剪掉阴影部分），两种裁剪方案如图1和图2所示，图中A,B,C均为正方形：

A.方案1中的a=4B.方案2中的6=6

C.方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案2所得的长方体纸盒的容积D.方案1所得的长方体纸盒

的底面积与方案2所得的长方体纸盒的底面积相同

【答案】C

【分析】本题考查图形的展开与折叠，考查学生的运算能力、推理能力、空间观念.分别求出。和b的值,

方案1和方案2的容积即可得到答案.

【详解】解：方案1：a=12+4=3,故A选项错误，

所折成的无盖长方体的底面积为3x3=9.

容积为5义9=45.

方案2：。=工会=4,故B选项错误，

所折成的无盖长方体的底面积为4X2=8.

容积为6x8=48.

方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案2所得的长方体纸盒的容积，

故选：C.

3.（2024•河北邯郸•一模）一透明的敞口正方体容器2BCD-49内装有一些有色液体，棱始终在

水平桌面上，容器底部的倾斜角为a.（注：图①中NCBE=a,图②中BQ=3dm）

探究：如图①，液面刚好过棱CD,并与棱BB，交于点Q,此时液体的三视图及尺寸如图②所示，那么图①

中，液体形状为（填几何体的名称）；

利用图②中数据，计算出图①中液体的体积为多少？（提示：V=底面积x高）

拓展：在图①的基础上，以棱4B为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出.若从正面看，液面与棱

CC'或C8交于点P,点。始终在棱BB，上，设PC=;cdm,则BQ的长度为(用含尤的代数式表示).

②

备用图

【答案】探究：三棱柱，24；拓展：三dm或(-x+3)dm

【分析】本题考查利用几何体三视图识别原图形，三棱柱体积公式,一元一次方程，代数式表示线段，勾

股定理等.根据题意观察几何体可知图形为三棱柱，再利用三棱柱体积公式可求出体积，后列出关于BQ的

一元一次方程即可得到.

【详解】解:探究：通过观察图形可知，几何体为三棱柱,

'-'BQ=3dm,CQ=5dm,正方体容器4BC万一容B'C'D',

••.CB=4dm,

=X2

:'ACBQ24x3=6dm,

二图①中液体的体积：6x4=24dm3；

拓展：若容器向左旋转，主视图如图①

图①

•.•液体体积不变,

(%+BQ)x4x4=24,

­-BQ=(-%+3)dm,

若容器向右旋转，主视图如图②,

c'

同理可知1X(4-x)•BQX4=24,

12

•'-BQP=—A一vdm.

考点二：正方体的展开图

1.（2024•江西・中考真题）如图是4x3的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展

开图的方法有（）

A.1种B.2种C.3种D.4种

【答案】B

【分析】此题主要考查了几何体的展开图，关键是掌握正方体展开图的特点.依据正方体的展开图的结构

故选：B.

2.（2024・江苏宿迁•中考真题）全国两会，习近平总书记在参加江苏代表团审议时指出，我们能不能如期

全面建成社会主义现代化强国，关键看科技自立自强.将“科技、自立、自强”六个字分别写在某正方体的表

面上，如图是它的一种表面展开图，在原正方体中，与“强”字所在面相对面上的汉字是（）

B.立C.科D.技

【答案】C

【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，还原正方体是正确解答的关键.

根据正方体表面展开图的特征进行判断即可.

【详解】解：将“自”作为底面，则折起来“强”在前面，“立”在右面，“科”在后面,

・•.与“强”字所在面相对面上的汉字是“科”,

故选：C.

3.（2023•山东青岛・中考真题）一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6,其展开

图如图①所示.在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体

C.33D.34

【答案】B

【分析】根据正方体展开图的特征,得出相对面上的数字，再结合正方体摆放方式，得出使该几何体能看

得到的面上数字之和最小，则看不见的面数字之和要最大，即可解答.

【详解】解：由图①可知：1的相对面是3,2的相对面是4,5的相对面是6,

由图2可知:

要使该几何体能看得到的面上数字之和最小，则看不见的面数字之和要最大,

上面的正方体有一个面被遮住，则这个面数字为6,

能看见的面数字之和为：1+2+3+4+5=15；

左下的正方体有3个面被遮住，其中两个为相对面，则这三个面数字分别为4,5,6,

能看见的面数字之和为：1+2+3=6；

右下的正方体有2个面被遮住，这两个面不是相对面，则这两个面数字为4,6,

能看见的面数字之和为：1+2+3+5=11；

・••能看得到的面上数字之和最小为：15+6+11=32,

故选：B.

【点睛】本题主要考查了正方体的相对面，掌握正方体展开图中“相间一行是相对面“，是解题的关键.

4.（2022.江苏徐州•中考真题）如图，己知骰子相对两面的点数之和为7,下列图形为该骰子表面展开图的

【答案】D

【分析】根据骰子表面展开后，其相对面的点数之和是7,逐项判断即可作答.

【详解】A项，2的对面是4,点数之和不为7,故A项错误；

B项，2的对面是6,点数之和不为7,故B项错误；

C项，2的对面是6,点数之和不为7,故C项错误；

D项，1的对面是6,2的对面是5,3的对面是4,相对面的点数之和都为7,故D项正确；

故选：D.

【点睛】本题主要考查了立体图形的侧面展开图的知识，解答时，找准相对面是解答本题的关键.没有共

同边的两个面即为相对的面.

考点三：指出现实问题后的数学依据

1.（2024.江苏常州•中考真题）如图，推动水桶，以点。为支点，使其向右倾斜.若在点A处分别施加推

力&、F2,则&的力臂。4大于&的力臂08.这一判断过程体现的数学依据是（）

A.垂线段最短

B.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

C.两点确定一条直线

D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

【答案】A

【分析】本题考查了力臂，平行公理，垂直的性质，直线特点，垂线段最短，根据图形分析得到过点。有。81

AB,进而利用垂线段最短得到。A>。8即可解题.

【详解】解：•••过点。有。

0A>0B,

即得到鼻的力臂。力大于6的力臂。B，

其体现的数学依据是垂线段最短，

故选：A.

2.（2024・吉林・中考真题）如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴

含的数学道理是.

站

*吉站

O丹东!8小区

杭州18。

欧亚蛤市舄再含e适中心站

四平路

西广场

天津路小，

地江路天新饭店

o

ter®.¥

团，痛

【答案】两点之间，线段最短

【分析】本题考查了两点之间线段最短，熟记相关结论即可.

【详解】从长春站去往胜利公园，走人民大街路程最近，

其蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短

故答案为：两点之间，线段最短.

3.（2022•河北•二模）下列能用“垂线段最短”来解释的现象是（）

B

A,两钉子固定木条B.木板上弹墨线C,测量跳远成绩D,弯曲河道改直

【答案】C

【分析】本题考查了两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间，线段最短等知识.熟练掌握两点确定一

条直线，垂线段最短，两点之间，线段最短是解题.

【详解】解：由题意知，A中能用两点确定一条直线进行解释，不符合题意；

B中能用两点确定一条直线进行解释，不符合题意；

C中能用垂线段最短进行解释，符合题意；

D中能用两点之间，线段最短进行解释，不符合题意；

故选：C.

考点四：线段的和与差

1.（2023咛夏•中考真题）如图，点4,B,C在数轴上，点力表示的数是-1,点B是2C的中点，线段AB=VL

则点C表示的数是.

ABC

।Il1A

-10

【答案】2V2-1

【分析】根据两点间的距离公式和中点平分线段进行计算即可.

【详解】解：•.•点B是4c的中点，线段43=四，

•■AC=2A/2,

.•.点C表示的数是：2&-1；

故答案为：2夜-1.

【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，以及线段的中点.熟练掌握线段中点的定义，以及数轴上两点间

的距离公式，是解题的关键.

2.（2023•河北沧州・三模）如图，用圆规比较两条线段的长短，则正确的结果是（）

A.AB>ACB.AB=ACC.AB<ACD.不能确定

【答案】C

【分析】本题考查了线段的大小比较，熟练掌握线段大小的比较方法是解决问题的关键.根据比较线段的

长短的方法即可解答.

【详解】解：由图可知，AB<AC.

故选C.

3.(2024•河北沧州・模拟预测)A,B,C,。四个车站的位置如图所示.求:

ABCL

a+b2a-b

L5<_A>l

3a+2b

(1)A,。两站的距离；

(2)C,。两站的距离；

(3)若a=3,。为的中点，求匕的值.

【答案】(l)4a+3b

(2)a+3b

(3)b=2

【分析】此题考查了整式的加减，线段和差关系；

(1)根据题意列出关系式，合并即可得到结果；

(2)根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果;

(3)根据中点的定义列出方程计算即可求解.

【详解】(1)a+b+3a+2b=4a+3b

.1.A,两站的距离是4a+36；

(2)3d+2b-(2a—b')—3a+2b—2a+b=a+3b

・・.C,。两站的距离为a+3b；

(3)由(2)得：C,。两站的距离为a+3b,

,-AfC两站的距禺为a+b+2a—b=3a,

•・・C为40的中点，

••・a+3b=3a,

•,••b=2-a,

3

,•CL—3,

••・b=2.

考点五：与角平分线有关的计算

1.(2024.四川・中考真题)如图，ABWCD,2/平分的C,41=30°,则N2=()

A.15°B.30°C.45°D.60°

【答案】B

【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，根据平行线的性质求角，根据/BAD=N1、42=4B2D即可

求解.

【详解】解：••,4BIICD,41=30。，

：.^BAD=Z1=30°

•••4。平分NB4C,

.•22=^BAD=30°

故选：B

2.（2023•辽宁鞍山•中考真题）如图，AABC中，在CA,CB上分别截取CD,CE,使CD=CE,分别以

E为圆心，以大于［DE的长为半径作弧,两弧在N4C8内交于点尸,作射线CF,交4B于点M,过点M作MN1BC,

垂足为点N,若BN=CN,AM=4,BM=5,贝必。的长为

A

【分析】由线段垂直平分线的性质定理得到MB=MC,因此48=乙BCM,由角平分线定义推出乙4cM=4B,

又=推出△ACM—△ABC,得到小=小，代入有关数据，即可求出4C的长.

ABAC

【详解】由题中作图可知：CM平分乙4CB,

=乙BCM,

••,MN上BC,BN=CN,

'.MB=MC,

:/B=乙BCM,

•­Z-ACM=乙B,

-Z.CAM=/.CAB,

ACMs〉ABC,

AC_AM

"AB-AC9

-AM=4,BM=5,

.-.AB=/M+BM=4+5=9,

—AC=—4,

9AC

••AC=6,

故答案为：6.

【点睛】此题考查了尺规作图，角平分线定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形

的判定和性质，解题的关键是证明△4CMSA48C,得到与=翌，从而求出4C的长，

ABAC

3.（2023・湖北武汉•中考真题）如图，在四边形A8CD中，AD||BC,^B=ZD,点E在84的延长线上，连接

CE.

E

(1)求证：乙E=LECD；

(2)若NE=60。,。石平分NBCD,直接写出△BCE的形状.

【答案】(1)见解析

(2)等边二角形

【分析】(1)由平行线的性质得到NE4D=4B,已知NB=ND,贝IUE4D=乙D,可判定BE||CD,即可得到

乙E=乙ECD；

(2)由4E=60。，/E=4ECD得至IJNECD=NE=60。，由CE平分/BCD,得到/BCE=/EC。=60。，进

一步可得NBCE=NE=乙BEC,即可证明△BCE是等边三角形.

【详解】(1)证明：•••一(IIBC,

■■Z-EAD=Z.B,

Z.B=Z.D,

Z.EAD—乙D,

■.BE||CD,

Z.E=Z.ECD.

(2)---ZE=60°,NE=乙ECD,

:/ECD=NE=60°,

,.£E平分N8CD,

:.乙BCE=乙ECD=60°,

：./-BCE=NE=60°,

；/B=180°-乙BCE一4E=60°,

••Z-BCE=乙E=Z.B,

8CE是等边三角形

【点睛】此题考查了平行线的判定和性质、等边三角形的判定、三角形内角和定理、角平分线的定义等知

识，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键.

4.（2023郑州市模拟）【阅读理解】

射线OC是乙4OB内部的一条射线，若404=1NBOC,则我们称射线0C是射线。4的伴随线.例如，如图1,

乙AOB=60°,ZXOC=ZCOD=乙BOD=20°,则N40C=|zBOC,称射线0C是射线。4的伴随线；同时,

由于NBOD=^AOD,称射线。。是射线。8的伴随线.

图1

⑴【知识运用】射线。M是射线04的伴随线，贝吐力。M=.°,若NAOB的度

数是a,射线。N是射线0B的伴随线，射线。C是N40B的平分线，贝吐NOC的度数是.（用含a的代

数式表示）

（2）如图3若乙40B=180°,射线。C与射线。力重合，并绕点。以每秒3。的速度逆时针转动，射线0D与射线0B

重合，并绕点。以每秒5。的速度顺时针转动，当射线0。与射线02重合时，运动停止.

①是否存在某个时刻t（秒）使得NC。。的度数是20。？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

②当t的值为多少时，射线。C,0D,。4中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线？

【答案】⑴40。/

6

（2）①当t=20秒或25秒时，NCOD的度数是20。.②当t=，，鬻,30时，OC、0D、。2中恰好有一条射

线是其余两条射线的伴随线.

【分析】本题主要考查了角平分线的顶用、角的计算、一元一次方程的应用等知识点，灵活利用分类讨论

思想解决问题是解题的关键.

（1）根据伴随线定义求解即可；

（2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后两种情况分别列式计算即可；②利用分类讨论思想，分相遇

之前和之后，分别画出四个图形进行计算即可.

【详解】（1）解：如图，・•・射线是射线的伴随线，

•••Z40C=-zFOC,

2

11

・•.Z.AOC=-2LA0B=-x120°=40°,

33

B

C

OA

图2

.•.同理，若乙40B的度数是a,射线。N是射线OB的伴随线,

•••/.BON=-/-AOB=-a,

33

•.•射线0C是乙40B的平分线，

11

•••Z-BOC=-Z.AOB=-a,

22

111

(NOC=/-BOC-Z-BON=-a--a=-a.

236

故答案为：40。,£

⑵解：射线。。与04重合时，y詈=36（秒）

①当NC。。的度数是20。时，有两种可能：

若在相遇之前，贝iJ180—5t—3t=20,解得：t=20；

若在相遇之后，则5t+31-180=20,解得：t=25.

综上所述，当t=20秒或25秒时，NC0D的度数是20。.

②相遇之前：

a.如图1,

当。C是04的伴随线时，则N40C=1NC0D,BP3t=|(180-5t3t）,解得：”三；

b.如图2,

D

当OC是00的伴随线时，则NCOD=*OC,即180—5t—3t=1x33解得：t=詈;

相遇之后：

c.如图3,

当。。是0C的伴随线时，贝IJZ.C。。=［乙4。。即5t+3t-180=*180-5。，解得：t=~

d.如图4,

1

当。。是。4的伴随线时，则SP180-5t=j(3t+5t-180),解得：t=30.

综上所述，当£=三,等,等,30时，OC、0D、。4中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线.

考点六：与余角、补角、对顶角、邻补角有关的计算

1.（2024・江苏宿迁•中考真题）如图，直线4B||CD,直线MN分别与直线AB、CD交于点E、F,且41=40°,

则N2等于（）

■BD

XiFZ

/V

A.120°B.130°C.140°D.150°

【答案】C

【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；

两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.先根据平行线的性质得出ADFN=N1=40。，再

根据邻补角求出结果即可.

【详解】解:"AB||CD,41=40°,

,亿DFN=N1=40°,

••.Z.2=180°-4DFN=140°.

故选：C.

2.（2024・山东日照•中考真题）如图，直线48,CD相交于点O.若41=40。,N2=120。，贝吐COM的度数为

（）

A.70°B.80°C.90°D.100°

【答案】B

【分析】本题考查对顶角的定义，几何中角度的计算，由对顶角相等得到42=Z.BOC=ZCOM+Z1,即可

解答.

【详解】解：•••Z2=4BOC=MOM+zl,

.­.乙COM=42-Z.1=120°-40°=80°.

故选：B.

3.（2024•安徽六安•模拟预测）如图，一副三角尺按如图方式摆放.若直线a||6,乙1=50。，则N2的度数

为（）

2

a

A.20°B.15°C.10°D.5°

【答案】C

【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键.

先根据平行线的性质可得44=41+/3。，从而可得44=80。，再根据余角关系求出，然后根据平行线的性

质即可得.

••・44=Z14-Z3

•・z3=30°,zl=50°

・・・44=50°+30°=80°,

vz4+乙2=90°

・2=90°-Z.4=10°,

故选：C.

4.（2021・山东烟台•一模）如图，已知NEOC是平角，。。平分在平面上画射线。4使乙4OC和“。D

互余，若乙8。。=56。，贝1J乙4。8的度数为（）

E

A.118°B.34°

C.90°或34。D.118°或6°

【答案】D

【分析】本题考查了角的和差，角平分线的定义，互余的定义，根据角平分线的定义求出NCOC、ZBOD的

度数，分两种情况：射线。4在直线CE的左上方和射线。4在直线CE的右下方一一加以计算即可，掌握知识

点的应用及分类讨论思想是解题的关键.

【详解】解：:OD平分ZBOC,

■■/.COD=-Z.BOC=28°,

2

①当射线。4在直线CE的左上方时，如图所示，

和NCOD互余，

：.AO1OD,即4400=90。,

；ZAOB=Z.A0D+乙B0D=900+28°=118°,

②射线。4在直线CE的右下方，如图所示，

•"0C和NC00互余，

■■.Z.C0D+Z.A0C=90°,

•••Z40C=62°,

■.Z.A0B=Z.B0C-/-A0C=62°-56°=6°,

故选：D.

考点七：利用平行线的判定进行证明

1.（2023•山东临沂・中考真题）在同一平面内，过直线矽卜一点P作，的垂线m,再过P作m的垂线九，则直线，与

九的位置关系是（）

A.相交B.相交且垂直C.平行D.不能确定

【答案】C

【分析】根据“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行”即可作出判断.

【详解】解：•••在同一平面内，过直线矽卜一点P作I的垂线小，BPZlm,

又,过P作m的垂线九，即n1m,

・・.直线］与n的位置关系是平行，

故选：C.

【点睛】本题考查平行线的判定.掌握平行线判定的方法是解题的关键.

2.（2022・湖南郴州•中考真题）如图，直线a||6,且直线a,6被直线c,d所截，则下列条件不熊判定直

线cIId的是（）

A.N3=N4B.41+45=180。C.Zl=Z2D.Z1=Z4

【答案】C

［分析】利用平行线的判定条件进行分析即可得出结果.

【详解】解：A、当乙3=/4时，c||d；故A不符合题意；

B、当41+45=180。时，c||d；故B不符合题意；

C、当41=42时，a||b；故C符合题意；

D、---a||b,贝吐1=Z2,

•••zl=z.4,贝此2=Z4,

■'c||d；故D不符合题意；

故选：C

【点睛】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定条件并灵活运