2025年中考数学一轮复习：三角形的概念和性质（练习）解析版

第四章三角形

第16讲三角形的概念和性质

口题型14利用三角形三边关系求解

模拟基础练口题型15利用三角形内角和定理求解

口题型16三角形内角和与平行线的综合应用

口题型01三角形的稳定性

口题型17三角形内角和与角平分线的综合应用

口题型02画三角形的五线

口题型18与角度有关的折叠问题

口题型03与三角形高有关的计算

口题型19利用三角形内角和定理解决三角板问题

口题型04等面积法求高

口题型20利用三角形外角和定理求解

口题型05求网格中的三角形面积

口题型21三角形外角性质与平行线的综合应用

口题型06与三角形中线有关的计算

口题型22三角形内角和定理与外角和定理的综合

口题型07与三角形重心有关的计算

口题型08与三角形中位线有关的计算重难创新练

口题型09利用角平分线的性质求解

□题型10角平分线的判定

口题型T1利用垂直平分线的性质求解真题实战练

□题型12垂直平分线线的判定

口题型13根据作图痕迹求解

模拟基础练।

口题型01三角形的稳定性

1.（2024・吉林白城•模拟预测）如图，在生活中，为了保证儿童的安全，通常儿童座椅主体框架成三角形,

这是利用了

-JrrrA

【答案】三角形的稳定性

【分析】本题考查了三角形稳定性的特性，理解三角形的稳定性即可解题.

【详解】解：为了保证儿童的安全，通常儿童座椅主体框架成三角形，是利用了三角形的稳定性,

故答案为：三角形的稳定性.

2.（2024.广西柳州.二模）下列图形中具有稳定性的图形是（）

【答案】A

【分析】此题考查了三角形的稳定性，注意根据三角形的稳定性进行判断.

【详解】解：・，三角形具有稳定性，五边形，四边形，六边形不具有稳定性,

二具有稳定性的是A选项中的图形,

故选：A.

3.（22-23八年级上•江西赣州•期中）如图，四边形木架4BDC.

（1）加上木条BC后，木架不易变形，其中蕴含的数学道理是

⑵如乙4=ND,BC平分求证：AC=DC.

【答案】（1）三角形具有稳定性

（2）证明见解析

【分析】（1）根据三角形的稳定性解答即可;

（2）由BC平分乙4BD,可得4ABe=4DBC,然后证明△三△DBC（AAS）,再根据全等三角形的性质即

可得证.

【详解】（1）解：•.・四边形木架加上木条后,

2

则四边形4BDC由△4"和小。"拼接而成，

「三角形具有稳定性，

此时木架不易变形.

故答案为：三角形具有稳定性.

(2)证明：•••BC平分N4BD,

''Z-ABC-Z.DBC,

在△力BC和ADBC中，

'Z.A=Z.D

AABC=乙DBC

.BC=BC

••△ABC^AZ)SC(AAS),

-,-AC=DC.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的稳定性，角平分线的定义.掌握全等三角形的判定

是解题的关键.

4.(2023•广西钦州•一模)某综合与实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项目式学习活动，如表

是活动的设计方案.请你参与该项目式学习活动，并完成下列问题：

项目主题桥梁模型的承重试验

活动目标经历项目化学习的全过程，引导学生在实际情境中发现问题，并将其转化为合理的数学问题

驱动问题当桥梁模型发生不同程度的形变时，水桶下降的高度

状态一状态二

工具

(空水桶)(水桶内加一定量的水)

MABNM^ACB/N

1桌面桌面1

C

方案设计D'、、、D

o

示意图\J

图1图2

说明：C为AB的中点

(1)该综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理

是.

3

A.三角形具有稳定性

B.两点确定一条直线

C.两点之间线段最短

(2)在水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图2所示的形变，若其他因素忽略不计，CD=20cm,ZCMC=

12°,=45。，请计算此时水桶下降的高度(参考数据：sinl2°«0.2,cosl2°«1.0,tanl2°«0.2).

【答案】(1)A

(2)7.5cm

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，线段熟练掌握锐角三角的性质，三角形的稳定性，函数的定义

是解题的关键.

(1)根据三角形具有稳定性，即可解答；

(2)设4C'=xcm,根据题意可得：DC1AB,然后分另U在Rt△力CC'和Rt△AC'。中，利用锐角三角函数的

定义求出CC'和的长，最后列出关于x的方程，进行计算即可解答.

【详解】(1)解：该综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计

依据的数学原理是三角形具有稳定性，

故答案为：A；

(2)设/C'=xcm,

由题意得：0C_L4B,

在RtZk/CC'中，ZCMC=12°,

•=ACr-tanl2°七0.2%(cm),

在Rt^ZC'O中，Z,CrAD=45°,

­•CD=ACr-tan45°=x(cm),

'-'CD=30cm,

：.C'D-CC=30cm,

•,•%—0.2x=30,

解得：％=37.5,

••CC=0.2%=7.5(cm),

・・.此时水桶下降的高度CC'约为7.5cm.

□题型02画三角形的五线

5.(2024商洛市二模)在△ABC中，NBAC是钝角，下列图中画力B边上的高线正确的是()

4

D

AA

C.DCD.5DC

【答案】B

【分析】本题考查了三角形的高，根据三角形的高的定义可知，4B边上的高线是经过C点向边所作的垂

线段，依此求解即可，解题的关键是正确理解定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点

之间的线段叫做三角形的高.

【详解】由题意可得，在AABC中，NB4C是钝角，画AB边上的高线是CD,

故选：B.

6.(23-24九年级下.吉林白城.阶段练习)如图，在6x6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,4

(2)在图②中，画出北边上的点E,使得芸

EC3

(3)在图③中，画出4B边上的高CF.

【答案】⑴见解析

(2)见解析

(3)见解析

【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，画三角形的高和中线等等:

(1)取BC于格线的交点O,连接4D,线段AD即为所求；

(2)如图所示，取格点G、H,连接GH交4c于E,点E即为所求；

(3)如图所示，取格点D,连接CD交4B于凡线段CF即为所求.

【详解】(1)解：如图所示，线段40即为所求；

5

(2)解：如图所示，取格点G、H,连接GH交2C于E,点E即为所求;

易证明MEGsACEH,贝嘿喑=］；

(3)解：如图所示，取格点/,连接C/交于尸，线段CF即为所求.

7.(2022•湖北武汉•模拟预测)如图是由小正方形组成的9x7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△4BC

的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列要求完成画图，画图过程用虚线表示，画图

结果用实线表示.

图1图2

⑴在图1中按下列步骤完成画图.

①画出△谡。的高CD；

②画△4CD的角平分线4E；

③画点。关于4C的对称点。'；

6

⑵如图2,P是网格线上一点，过点P的线段MN分别交48,BC于点M,N,且PM=PN,画出线段MN.

【答案】（1）①见解析；②见解析；③见解析

（2）见解析

【分析】（1）①取格点T,连接CT交2B于点。，此时CD是△ABC的高；

②取格点“，CD与的交点即为点E,连接4E；

③分别画AB,CT关于"的对称线段49和CV,4夕和C厂的交点。唧为点。关于AC的对称点；

（2）连接BP并延长交网格线于点Q,则BP=PQ,连接4P并延长交网格线于点3贝必P=PL,连接QL交于

点N,延长NP交4B于点M,则线段MN即为所画的线段.

【详解】（1）解：（1）①如图所示,。为所求；

；：：：：；/：：：；

②如图所示AE为所求;

：：：：：C;;;;

（2）如图所示，线段MN为所求.

7

【点睛】此题考查作图一应用与设计作图，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题,属于中

考常考题型.

8.(2023・湖北武汉•模拟预测)如图是由单位长度为1的小正方形组成的7义7网格，每个小正方形的顶点叫

做格点4、8两点在格点，C点在网线上，仅用无刻度直尺在给定的网格中完成画图，画图过程中用虚线表

小，

(1)在图1中，画BC中点。，再过点。画线段EF,使EF=BC；

(2)在图2中，画线段4B的垂直平分线MN,再在直线4B右侧找一点P,连接4P,使NP/1B=N4BC.

【答案】(1)见解析；

(2)见解析.

【分析】

(1)利用网格特征作出线段BC的中点D,延长ED后有EF=BC；

(2)取4B的中点/,点K作直线MN即可，延长CB交MN与点7,设力C交直线MN于点R,射线74射线BR交

于点尸，点P即为所求.

【详解】(1)如图1中，点。，线段EF即为所求；

8

(2)

图2

【点睛】

此题考查了作图-应用与设计作图，轴对称变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问

题.

口题型03与三角形高有关的计算

9.（2024.湖北•模拟预测）ANBC的三边AB,AC,BC的长度分别是3,4,5,以顶点A为圆心，2.4为半径

作圆，则该圆与直线BC的位置关系是（）

A.相交B.相离C.相切D.以上都不是

【答案】C

【分析】本题考查了勾股定理逆定理、三角形面积公式、直线与圆的位置关系，先由勾股定理逆定理判断

出△力BC为直角三角形，且NB4C=90。，设斜边BC上的高为％,根据等面积法求出八=2.4,即可得解.

【详解】解：「朋+心=32+42=25=

.•・△4BC为直角三角形，且NB4C=90。，

设斜边上的高为无，贝USUBC=\AB-AC=^BC-h,

ABAC3X4-A

；・h7=------=——=2.4,

BC5

••・以顶点A为圆心，2.4为半径作圆，则该圆与直线BC的位置关系是相切，

9

故选：c.

10.（2024・上海•模拟预测）在梯形2BCD中，ADWBC,对角线4C,BD交于O,若△BCD面积是△4BD面积

的2倍，那么ABOC与ABDC的面积之比为

【答案】2:3

【分析】本题考查了平行线间的距离，相似三角形的判定与性质，梯形，根据题目的已知条件并结合图形

添加适当的辅助线是解题的关键.

过点。作DM1BC,垂足为M,过点B作BN1AD,交D4的延长线于点N,根据已知易得DM=BN,再根据

SABCD=2SMBD，从而可得8。=24D,然后再证明△4。。一△COB,,利用相似三角形的性质可得某=*=；,

DCDUZ

从而可得黑=之最后根据△BOC与4BDC的高相等，即可解答.

BD3

【详解】解：过点。作OM1BC,垂足为M,过点8作BN,40,交。4的延长线于点N,

-AD||BC,

：.BN=DM,

•」S^BCD—2s―⑶。，

・「BC•DM=2X-AD•BN,

22

，BC=2AD,

-AD||BC,

••Z-ADB=Z-DBC,Z.DAC=Z.ACB,

COB,

AD_DO_1

t-=------=—,

BCBO2

BO_=一2,

BD3

BOC与△BDC的高相等，

.S^BOC_££_£

S&BDCBD3

故答案为：2:3.

11.（2024•重庆•三模）如图，AABC中，8。14。于点。，AB，CE于点E,CE与BD相交于点H,已知4。=

10

HD=2,CD=6,则A48C的面积为

【答案】24

【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，根据ASA证明AaDB三△”£»(?,得到BD=CD=6,再根据

△力的面积BD解答即可求解，证明AADB三△凡DC是解题的关键.

【详解】解：••・BD14C,CE1AB,

-.Z.HDC=Z.ADB=/-AEC=90°,

.•.ZX+乙HCD=90°,Z.DHC+Z.HCD=90°,

••Z.A=Z.DHC,

在与△”0。中，

=乙DHC

AD=HD,

/ADB=乙HDC

.*.△ADB=AH£)C(ASA),

••BD=CD=6,

-AC=40+CD=2+6=8,

48C的面积=|AC-BD=1x8x6=24,

故答案为：24.

12.(2024陕西西安・模拟预测)如图，在以/\力山中，484。=90。,4。、45分别是边山上的中线和高,45=2,

S^ABD=V5,贝iJCE=()

A.V5-1B.V3-1C.1D.|

11

【答案】A

【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，求三角形的面积，先根据三角形的面积公式求出BD,再根据

直角三角形斜边中线等于斜边一半得4D=CD,然后根据勾股定理求出DE,进而得出答案.

【详解】-.-AE=2,ShABD=V5,

■--BDSE=遥，

2

解得BD=V5.

必。是RtA4BC的中线，

■■.AD=CD=BD=店.

在Rt△4DE中，DE=<AD2-AE2=1,

■■.CE=CD-DE=-1.

故选：A.

[:题型04等面积法求高

13.（2024•陕西西安.二模）如图，在3x3的网格中，每个小正方形的边长均为1,点48、C都在格点上,

若8。是A/IBC的高，贝.

【答案】^/1V10

【分析】本题主要考查了求三角形的高，割补法求三角形面积，勾股定理，先利用割补法求出AABC的面积,

再利用勾股定理求出力C的长，再利用三角形面积公式求出BD即可.

【详解】解：S“BC=3x3-|xlx3-|xlx3-jx2x2=4,

由勾股定理得AC=Vl2+32=V10,

,：BD是A的fWj,

BD

-,-SAABC=l-AC=4,

,,SAABC=5X710BD=4,

12

.二字

故答案为：

14.（2024.陕西商洛.二模）如图，△ABC的顶点A,B,C均在边长为1的正方形网格的格点上，贝UC边上

的高为（）

B.*D.¥

【答案】B

【分析】本题考查网格与勾股定理、网格中求三角形的面积，先利用割补法和勾股定理求得三角形的面积

和4C,再利用三角形的面积公式求解即可.

【详解】解：根据网格特点，S^ABC=3x4-ixlx2-1x2x4-|x2x3=4,

AC=V22+I2=V5,

"C边长的高=至潸=^=|V5,

ACy55

故选：B.

15.（2024贵州省模拟）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，AABC的顶点4,B,C均在格点上.若

4。1BC于点D,则线段4D的长为（）

A.V5B.2V5C.1D.2

【答案】D

【分析】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，利用勾股定理得出BC的长，再利用等面积法得出4。

的长.

22

【详解】解：由图可知：S^ABC=4x4-|x2xl-|x2x4-|x3x4=5,BC=V4+3=5,

13

.•.S—BC=3BC,AD,

•',S^ABC=5x5xAD=5>

解得：AD=2.

故选：D.

□题型05求网格中的三角形面积

1.(2024•河北唐山・二模)如图，在4x4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1,AABC的顶点均在格

点上，将AABC向右平移1个单位长得到△ABC.

(1)△28C的面积为；

(2)阴影部分的面积为.

【答案】51

【分析】本题考查借助网格求面积，平移的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平移的性质，是解

题的关键：

(1)借助网格求面积即可；

(2)设与4c，的交点为E,8C与4。的交点为F,根据平移的性质，推出ABE尸-ABAC,进行求解即可.

【详解】解：(1)AABC的面积为：3x4—(xlx4-|x2x3-]x2x2=5；

故答案为：5；

(2)设4B与4(7的交点为E,BC与AC，的交点为产，

根据格点可得，四边形44CD是矩形，对角线交于点G,AABC,△的顶点均在格点上,

点G和点//是两个相邻格点的中点

14

；.BH=2-0.5=1.5,BG=3-0.5=2.5,

由平移的性质可知，ArCr||AC,

BEFBACf

2生=街=(空)2

S^ABC\BGj\2.57

・J^LABC=5，

二•S〉BEF=g，

即阴影部分的面积为一

故答案为：，

17.(2024琼海市三模)如图，己知4(0,2),8(2,1),1(4,3).

(1)在平面直角坐标系中画出△48C；

⑵在图中画出△ABC关于久轴对称的△ABC(点4、B、C的对称点分别为4,B',广)；

(3)已知P为y轴上一点，若A4。'。的面积为4,请直接写出点P的坐标.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)P(0,0)或P(0,—4)

【分析】本题主要考查了坐标与图形，在平面直角坐标系中画三角形以及画关于x轴的对称的图性，及其根

据三角形面积求点的坐标.

(1)先根据4(0,2),8(2,1),C(4,3)描点，然后连接各点即可.

(2)先求出A,B,C三点关于无轴的对称点，然后描点连接即可.

⑶设点P(0,m),根据题意，得P4=|m+2],根据△AC'P的面积为4,即可求出机的值，进一步即可得出

点P的坐标.

【详解】(1)解：根据题意，4(0,2),5(2,1),C(4,3),画图如下:

15

(2)根据4(0,2),B(2,l),C(4,3),得到关于x轴对称的△的三个顶点坐标分别为4(0,-2),

C'(4,一3),画图如下：

(3)设点P(0,m),

根据题意，得Pa'=|m+2|,

•••△AC'P的面积为4,

1X4X|m+2|=4,

解得m=0或m=-4,

故点P的坐标为P(0,0)或P(0,-4).

18.(2024莆田市模拟)如图，每个小正方形的边长为1.

(1)求四边形4BCD的面积;

⑵求N8CD的度数.

16

【答案】⑴17.5

⑵乙BCD=90°

【分析】本题考查勾股定理和逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点.

(1)利用网格割补法求面积进行求解即可；

(2)先用勾股定理求出各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行求解即可.

【详解】(1)四边形ZBCD的面积=5x7-|xlx7-|xlx2-|x3x4-|x2x4-lx3=17.5；

(2)解：连接BD,

根据勾股定理得4B=VF+72=sV2,AD=V32+42=5,

CD=Vl2+22=V5,BC=V22+42=2V5,

BC=2V5,CD=V5,BD=V32+42=5,

••.BC2+CD2=BD2,

:/BCD=90°.

19.(2024金沙县模拟)如图，在平面直角坐标系中，已知点4(-3,-1),5(1,3),C(2*-3),则三角形ABC

【分析】利用割补法求解即可，

【解答】

3_

解：SAABC=5X6-2x3x7-22x2x7=30-6-3-5=16.

17

口题型06与三角形中线有关的计算

20.（2024・上海浦东新•一模）如图，在AABC中，AB=4,AC=6,E为BC中点，AD为△ABC的角平分线,

△ABC的面积记为Si，AADE的面积记为52，贝"2：51=.

【答案】1:10

【分析】此题考查角平分线的性质，关键是根据三角形中线的性质和角平分线的性质得出面积关系解答.根

据三角形中线的性质和角平分线的性质解答即可.

【详解】解：过点。作DM1AB,DN14C,

•・・力。为△ABC的角平分线，

DM=DN,

■■■AB=4,AC=6,E为BC中点,

,■,SAABE=SAAEC—5sA4BC，

1

SHABD=22加=4=2

SMDC^AC-DN63'

设SAAB。-2K,SRADC=3无，贝USAABC=5x,S^ABE—S^AEC=-x,

18

呢$r3X—~X=靠1

故答案为：1:10.

21.（2024・浙江•模拟预测）如图，。是A4BC的边力B上一点，且AO:DB=2:1,过点。作DE||BC,交AC于

点、E,取线段4E的中点R连接DF.若DF=4,则△力BC中4C边上的中线长为（）

【答案】B

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中线的定义，熟练掌握知识点是解决本题的关键.

证明出△ADFsAABH,得到竺=也，即可求解.

BHAB

【详解】解：取/C中点为H,连接8“，则8”为ZC边上的中线，

•••DE||BC,

ADAE「

••・一=—=2,

DBEC

设ZE=4x,EC=2%,则ZC=6%,

-'-AH=3x,

•・・线段4E的中点R

•­AF—2x,

,AF_AD_2

'"AH~AB_3J

VZX=乙4,

ADFABH,

DF_AD

BHAB

.4_2

,,—―f

BH3

；,BH=6,

故选：B.

19

22.（2024・广东广州•二模）如图，已知AABD中，AC1BD,BC=8,CD=4,cos^ABC=1,BE为AD边

上的中线.

⑴求4C的长；

(2)求ABE。的面积.

【答案】(i)ac=6

(2)18

【分析】本题考查了解直角三角形及勾股定理，熟知余弦的定义及三角形中线的性质是解题的关键.

(1)先根据乙4BC的余弦求出4B的长，再利用勾股定理即可解决问题.

(2)根据BE为4。边上的中线可知，ABED的面积是AaBD面积的一半，据此可解决问题.

【详解】(1)AC1BD,

.­.4ACB=Z.ACD=90°.

在Rt△力BC中，

Pf

cos^ABC=—,

AB

AB=A=10,

AC=V102—82=6.

(2),・・BE为ND边上的中线，

，•S&BED=2$△力80♦

-1-1

又：S0BD=；•BD•AC=；X12x6=36，

S.BED=5x36=18.

23.(2024•山西太原.三模)如图示，BE是△ABC的中线，点。是4B边靠近顶点8的一个三等分点，连接CD,

交BE于点尸，则笑等于()

CF

20

【答案】B

【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，三角形中线的性质，作EHIIAB,交CD于点H,证明ACEH-

ACAD,结合三角形中线的性质，得到=CH=D”=1CD,根据题意得到BD进而得到

BD=EH,证明AEHFBDF,利用相似三角形性质得到OF=HF=-DH="D,CF=HF+CH=-CD,

244

即可解题.

【详解】解：作EHII/IB,交CD于点H,

BC.-.ACEHCAD,

■.BE是A2BC的中线，

—--=-=i,即£7/=340,CH=DH^-CL

CDACAD222

•・,点。是边靠近顶点B的一个三等分点，

1

・•・BD=-AD

2f

BD=EH,

•・•EHWAB,

EHFBDF,

DFEHY

•*•——1,

HFBD

11a

即DF=HF=-DH=-CD,CF=HF+CH=-CD

244f

.DF_1

••=一,

CF3

故选:B.

口题型07与三角形重心有关的计算

24.（2024•甘肃兰州•模拟预测）如图①，是某教材七年级下册某一页的插图，这幅插图告诉我们可以用铅

笔支起一张均匀的三角形卡片.请用尺规作图法，在图②的△48C中找到这个支点尸（保留作图痕迹，不写

作法）.

21

A

【答案】见解析

【分析】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质.作力C和BC的垂直平

分线得到三角形的两条中线，它们的交点为P.

【详解】解：如图，点尸即为所求.

②

25.（2024,江苏徐州.模拟预测）如图，在RtAABC中，乙4cB=90。,BC=3,AC=4,D、E分别为48、BC

的中点，AE与CD交于点。，贝!JOD的长为（）

【答案】B

【分析】本题考查了勾股定理定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半，三角形中线交点的性质，根据勾

股定理可求出AB=5,根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得CD==I，再根据三角形中线交点

（重心）的性质“三角形的三条中线交于一点，该点叫三角形的重心，重心到顶点的距离是它到对边中点距

离的2倍”即可求解，掌握勾股定理定理，直角三角形斜边中线的性质，重心的性质是解题的关键.

【详解】解：•.24CB=90。，BC=3,AC=4,

­•AB=VBC2+AC2=V32+42=5,

22

,:点D,E是力B,BC中点,

-.CD==I，且点。是三角形△ABC的重心，

'-OC=20D,

：.0D=-CD=ix-=

3326

故选：B.

26.(2024山东聊城•二模)综合与实践

教材重现：取一块质地均匀的三角形木板，用一枚铁钉顶在这个三角形的重心上，木板会保持平衡(如图),

莹莹提前准备了一个等腰三角形纸片ABC,如图，AB=AC=5,BC=6.为了找到重心，以便像教材上那

样稳稳用笔尖顶起，她先把点8与点C重叠对折，得折痕2E,展开后，她把点B与点4重叠对折，得折痕。尸，

再展开后连接CD,交折痕力E于点。，则点。就是△4BC的重心.

(1)初步观察：连接力F,判断4F与BF的数量关系并说明理由；

(2)猜想验证：莹莹通过测量发现。4与。E,OC与。。有同样的数量关系，写出它们的关系并说明理由；

(3)尝试运用：利用(2)的结论计算△4OC的面积；

(4)拓展探究：莹莹把△力FC剪下后得发现可以与AABF拼成四边形，且拼的过程中点A不与点4重

合，直接写出拼成四边形时。4的长.

【答案】(1)4F=BF,见解析

(2)0A=20E,OC=2OD,见解析

(3)4

(4)04的长为噂或写

36

【分析】(1)利用折叠的性质即可得到答案;

23

(2)连接DE,易得DE为△4BC的中位线，贝!]DE||4C,DE=^AC,于是△ODE”△。乙4,利用相似三角形

的性质即可求解；

(3)由折叠可知，BE=CE=^BC=3,^AEC=90°,利用勾股定理求得4E=4,结合(2)的结论，根

据三角形面积公式可求解；

(4)连接OB,由(2)知。4=|,贝UOE=£利用勾股定理求得。B=?,由折叠可知乙4DF=NBDF=

90°,AF=BF,AD=BD=易证AFBD”AABE,由相似三角形的性质可求得BF=至，则EF=4分

266

两种情况讨论：当4与点B重合时，此时。4=。8；当点A与点尸重合时，利用勾股定理求出。F即可.

【详解】(1)解：•••点2与点A重叠对折，得折痕DF,

.-.AADF^ABDF(折叠的性质),

：.AF=BF；

故答案为：AF=BF；

(2)解：猜想：04=20E,0C=20D

理由如下：连接。£

为△4BC的中位线，

■■.DEWAC,DE=^AC,

.ZODE=A.OCA,Z-OED=Z-OAC,

•••△ODE〜匕OCA,

OE_DE_OD_i

"OA-AC~OC_29

^OA=20E,OC=20D；

(3)解：由折叠可得，BE=CE=^BC=3,AAEC=90°,

■.■AC=5,

■.AE='AC?一"2=4,

24

由(2)知，0A=20E,

,-0A+0E=/E=4,

'-0A=-AE=

33

-11p

•••^0C=|0^-CE=|x^x3=4；

(4)解：如图，连接。B,

由(2)知,0A=~,

3

：.0E=4--=-,

33

在Rt△OBE中，OB=VOE2+BE2=J(Q2+32=

由折叠可知，/-ADF=/.BDF=90°,AF=BF,AD=BD=^AB=|,

:.乙BDF=ZBEA=90°,

,・ZFBD=Z.ABE,

•••△FBDs△ABE,

=些，即1=里，

BEBA35

257

：.EF=BF-BE=--3=-

66f

当A与点2重合时，如图①②，连接OB,

图①

25

此时。4=OB=詈;

•••Z4FF+/.AFC=180°,LAFC=^A'F'C,

：.^AFB+^A'F'C=180°,

此时拼成的图形为三角形，不符合题意；

当点4与点尸重合时,如图③④，

c

B,-----------------F

一F⑷

图③

A

1

/

⑺%-----------------

一

C图④

在Rt/XOEF中，OF=

.：OA'=OF=^.

26

综上所述，04的长为孚或号..

36

【点睛】本题主要考查折叠的性质、中线的定义、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的

判定与性质、相似三角形的判定与性质，解题关键是读懂题意，熟知折叠的性质，学会利用数形结合和分

类讨论思想解决问题.

□题型08与三角形中位线有关的计算

27.（2024・重庆•模拟预测）如图，在RtadBC中，^ACB=90°,D、E、尸分别是AB、BC、C4的中点，若

CD=3cm,贝!=cm.

【答案】3

【分析】本题考查了三角形的中位线以及为直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识点，由题意得:

CD=\AB,再结合EF是RtA4BC的中位线即可求解；

【详解】解：由题意得：CD^\AB,

-'-AB=6cm,

；E、尸分别是BC、C力的中点，

是Rt△ABC的中位线，

1

••EF=-AB=3cm,

2

故答案为：3

28.（2024•青海西宁.二模）在探索平面图形的性质时，往往需通过剪拼的方式帮助我们寻找解题思路.

ADAD

BCBC

图②

（1）【知识回顾】

在证明三角形中位线定理时，就采用了如图①的剪拼方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决,

请写出已知，求证，并证明三角形中位线定理.

（2）【数学发现】

27

如图②，在梯形ABCD中，ADWBC,尸是腰。。的中点，请你沿着4尸将上图的梯形剪开，并重新拼成一个完

整的三角形.

如图③，在梯形4BCD中，ADWBC,E、F分别是两腰AB、DC的中点，我们把EF叫做梯形4BCD的中位线.请

类比三角形的中位线的性质，猜想EF和A。、BC有怎样的位置和数量关系？

【证明猜想】

(3)证明(2)的结论，并在"4。=5,BC=7"的条件下，求EF的长.

【答案】(1)见解析；(2)画图见解析，猜想：EFWADWBC,EF=1(XD+SC)；(3)证明见解析，6；

【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定：

(1)根据三角形中位线定理的内容写出对应的已知，求证和证明过程即可；

(2)延长4F交BC延长线于证明△4DF三AMCF(AAS)可得到所要的三角形；根据梯形性质和三角形的

中位线进行猜想即可得出结论；

(3)如图③，连接4F并延长，交BC延长线于点M,证明△4DF三AMCFSAS)得到4。=MC,AF=MF,

在AABM中，利用三角形的中位线可证得EF||BM,EF=：BM,进而可证得结论；再根据结论求出EF的长

即可.

【详解】解：(1)已知：在AABC中，D、E分别是48、4c的中点，

求证：DE=\BC,DEIIBC：

证明：如图所示，过点C作CF||4B交DE延长线与F,

•••£),E分另!］是4C的中点，

••AD=BD,AE=CE,

•••CF||AB,

•-Z-EAD=Z.ECF,Z.EDA=Z.EFC,

ADE=△CFE(AAS),

•.DE=FE,AD=CF,

•.CF=BD,

.•・四边形BCFD是平行四边形，

：.BC=DF=2DE,BC||DF,

■■■DE^BC,DE||BC；

(2)如图所示，延长4F交BC延长线于M,则把△力DF延4F剪开后放置到AMCF的位置，AABM即为所求；

28

图②

猜想：EFWADWBC,EF=[(4D+BC)；

(3)连接4F并延长，交BC延长线于点M,

图③m||BC,

・•.ZM=Z-DAF.

・・.F是0C的中点，

・•.DF=CF.

Z.AFD=乙MFC,

ADF=△MCF(AAS).

・•.AD=MC,AF=MF.

点F是AM的中点，又点E是4B的中点，

•••EF是△ABM的中位线，

EF||BM,EF=-BM.

2

...EF=|(MC+BC)=2(AD+BC).

vADWBC,EFWBC,

・•・EF||AD.

・•・EFWADWBC,EF=\{AD+BC).

-：AD=5,BC=7,

■.EF=；GW+BC)=：x(5+7)=6。

29.(2024•山西•模拟预测)阅读下列材料，并完成相应任务：

下面是小华同学，课后学习过程中遇到的一个问题：

如图①，在AABC中，D,E分别是边AB,AC的中点，CD,BE相交于点P.求证：鬟=笑=3

BECD3

29

小华认真思考后，写出下面的证明过程：连结

D,E分别是边4B,4C的中点,

DE||BC,DE=|BC,（依据）

PE_PD_1

BE~CD~3

图①图②

任务：

(1)填空：材料中的依据是指：

(2)将材料中的证明过程补充完整.

(3)如图②，在AABC中，AB=AC,4。为边BC的中线.点、E,尸分别为边48,AC的中点，EF与力。交于点

。，B尸与4D父于点P.则SAPOF：S四边形PDCF=

【答案】(1)三角形中位线定理(三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半)

(2)见解析

SxPOF_工

1/sa

,四边形POF0

【分析】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解答本题的关键

是明确题意，找出所求问题需要的条件.

(1)利用三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”解答即可;

(2)证明APOE-APCB,即可解答;

⑶如图中，连接DF.设APOF的面积为a.证明EFIIB