2025年中考数学一轮复习：锐角三角函数（3大模块知识梳理+9个考点+4个重难点+2个易错点）（原卷版）

专题11锐角三角函数

目录

01理•思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。

02盘.基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（3大模块知识梳理）

知识模块一：锐角三角函数

知识模块二：解直角三角形

知识模块三：解直角三角形的应用

03究•考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（9大基础考点）

考点一：理解锐角三角函数的概念

考点二：求角的三角函数值

考点三：由三角函数求边长

考点四：由特殊角的三角函数值求解

考点五：在平面直角坐标系中求锐角三角函数值

考点六：在网格中求锐角三角函数值

考点七：三角函数综合

考点八：解直角三角形的相关计算

考点九：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积

04破，重点难点：突破重难点，冲刺高分。（4大重难点）

重难点一：运用解直角三角形的知识解决视角相关问题

重难点二：运用解直角三角形的知识解决方向角相关问题

重难点三：运用解直角三角形的知识解决坡角、坡度相关问题

重难点四：12345模型

05辨•易混易错：点拨易混易错知识点，夯实基础。（2大易错点）

易错点1：未在直角三角形中求锐角三角函数的值

易错点2：误认为三角函数值与三角形各边的长短有关

锐角A的正弦，余弦，正切，合称zA的锐角三角函数

/.NA的对边»

〃正弦—A4=斜边新

锐角三角函数定义/《NA的邻边b

卜余弦斜边C

\.NA的对边.1

知识梳理4

\IEWti,nA=^a-=b

由Rt-的已知元素求未知元素

解直角三角形双―三融

锐、元素/

—两个锐角

角

三

角同名函数利用单调性比

比较两个函数值的大小

函互余函数利用互余关系化为同名函数

数\兑角,7

30°45°60°

亩数

JLJ2

sina也

学法指导2~22

2

cosa2立

222

皂

tana16

特殊角的三角函数值3

三角函数的定义中，没有注意边与边的对应关系

学习误区特殊角的值记错

正弦、余弦的互换关系记错（没考虑到互余关系）

盒

知识模块一：锐角三角函数

知识点一：正弦，余弦，正切

正弦：在RtZ\ABC中，NC=90。，把锐角A的对边a与斜边c的比叫做

NA的对边a

NA的正弦，记作sinA,

斜边c

余弦：在Rt^ABC中，NC=90。，把锐角A的邻边b与斜边c的比叫做

NA的邻边b

ZA的余弦，记作cosA,即cosA=

斜边c

正切：在Rt^ABC中,NC=90A的对边a

的正切，记作tanA‘贝"tanA=第翳=*

【注意】1）正弦、余弦、正切是在直角三角形中进行定义的，本质是两条线段的比，因此没有单位，只与

角的大小有关，而与直角三角形的边长无关.

2）根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅

助线来构造直角三角形.

3）tad/表示tan/•tan/,可以写成（tan/）2,不能写成tanA2（正弦、余弦相同）.

知识点二：锐角三角函数

锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都是NA的三角函数.（其中：0<NA<90°）

取值范围:在RtZ\ABC中，NC=90°,由于直角边一定比斜边短，故有如下结论：0<sinA<l,0<cosA<1,

tanA>Q.

增减变化：当0°<ZA<90°,sinA,tanA随/A的增大而增大，cosA随NA的增大而减小.

【补充】利用锐角三角函数值的增减变化规律可比较锐角的大小.

知识点三：特殊角的三角函数值

利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，如下表所示：

三角函数值特殊角

30°45°60°

sina£

V3

2~T~T

cosaj_

V3V22

~TT

tana

V3V3

Vi

知识点四：锐角三角函数的关系

在Rt^ABC中，若/C为直角，则/A与/B互余时，有以下两种关系:

1）同角三角函数的关系：

①平方关系：sin2A+cos2A=1；

②商数关系：tanA=^=•

cosA

2）互余两角的三角函数关系：

①互余关系：

sinA=cos（90°-ZA）=cosB,即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值.

sinB=sin（90°-NA）=cosA,即一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.

②倒数关系：tanA•tanB=1

知识模块二：解直角三角形

知识点一：解直角三角形

定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知

元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.

在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：

1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c,角：NA、ZB.

2）三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）.

3）两锐角之间的关系：ZA+ZB=90°.

4）边角之间的关系：sinA=-,sinB=-,cosA=-,cosBtanA=-,tanB=-.

ccccba

【补充】三角函数是连接边与角的桥梁.

5）面积公式5=工次?=」防（h为斜边上的高）.

22

知识点二：解直角三角形的常见类型

已知条件解法步骤图示

斜边和一直角边（如c,a）由sinA=2,求ZA,ZB=90°-ZA,b=4c2-a2A

c

两

边两直角边（如a,b）由tanA=：,求Z_A,NB=90°—NA,c=ylCl2+/72

bb

ZB=90°—NA,a=c*sinA,b=c»cosA

斜边和一锐角（如c,ZA）口

—■CB

边

一直角边和一锐角（如a,ZA）ZB=90°—ZA,b=---,c=---

tanAsinA

角b

另一直角边和一锐角（如b,ZA）ZB=90°—ZA,a-/7*tanA,c=-------

cosA

【注意】已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，因此

其边的大小不确定.

【总结】在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素（至少有一条边），可求出其余的

三个未知元素（知二求三）.

【已知一边一角的记忆口诀】有斜求对用正弦，有斜求邻用余弦，无斜求对（邻）用正切.

知识模块三：解直角三角形的应用

知识点一：仰角、俯角

视角：视线与水平线的夹角叫做视角.

仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角.

俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角.

【注意】仰角和俯角是相对于水平线而言的，在不同的位置观测，仰角和俯角是不同的.

知识点二：坡度、坡角

坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度1的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=1

坡角：坡面与水平面的夹角a叫做坡角.

【注意】坡度与坡角是两个不同的概念，坡角是两个面的夹角，坡度（用字母i表示）是比；两者之压间的

关系是i=与坡角越大，坡度越大.

知识点三：方位角、方向角

方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA,PB,

PC的方位角分别为是40°,135°,245°.

方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90。的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线

0A,OB,0C,OD的方向角分别表示北偏东30°,南偏东45°,南偏西80°,北偏西60°.特别如：东南方

向指的是南偏东45°,东北方向指的是北偏东45°,西南方向指的是南偏西45°,西北方向指的是北偏西

45

知识点四：解直角三角形实际应用的一般步骤

①弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；

②将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；当有些图

形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形.

③选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；

④得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解.

【常见类型】航海、建桥修路、测量楼高、塔高等.

费者逝者法

考点一：理解锐角三角函数的概念

1.（2022・吉林长春・中考真题）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该

起重机的变幅索顶端记为点A,变幅索的底端记为点B,4。垂直地面，垂足为点D,BC1AD,垂足为点C.设

乙ABC=a,卜列关系式止确的是()

A

变愫/

J国QHBL

A-ZBn.BC.AB.AC

A.sincr=——B.sina=——C.sina=——D.sincr=——

BCABACAB

2.（2024•天津红桥•一模）如图，在RtAHBC中，/ABC==90°,。为边力8上一点，过点。作DE14C,垂足

为E,则下列结论中正确的是（）

C

上

ADB

BC.AB

A.sinX=—B.cosA=—C.tanA=—D.tanX=——

ABADADBC

3.（2024广州市模拟预测）在RtZkABC中，匕C=90。,各边都扩大2倍，则锐角A的三角函数值()

A.扩大2倍B.不变C.缩小3D.扩大3

考点二：求角的三角函数值

1.（2022・江苏常州•中考真题）如图，在四边形4BCD中,ZX=/LABC=90°,DB平分A4DC.若2D=1,

CD=3,则sinNABD=_____.

A'----------

2.（2024•四川雅安・中考真题）如图，把矩形纸片A8CD沿对角线8。折叠，使点C落在点E处，BE与AD交

于点R若48=6,BC=8,贝"cos乙48F的值是

3.（2024.江西・中考真题）将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形4BCD,连接2C,则tan"48=

考点三：由三角函数求边长

1.（2023・湖南娄底•中考真题）如图，点E在矩形48CD的边CD上，将△力DE沿2E折叠，点。恰好落在边BC

上的点尸处，若BC=10.sinzXFB=贝！］DE=

2.（2024•山东青岛・中考真题）如图，AABC中，BA=BC,以8c为直径的半圆。分别交AB,AC于点

E,过点E作半圆。的切线，交48于点M,交BC的延长线于点N.若。N=10,cos/ABC=|,则半径0C的

长为.

3.（2023・山东•中考真题）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D,E在边BC上，若=30。,

考点四：由特殊角的三角函数值求解

1.（2024•山东青岛・中考真题）计算：V18+（I）-1-2sin45°=.

2.（2023・山东•中考真题）计算：|百一2|+2$访60。一2023。=.

3.（2022•黑龙江绥化•中考真题）定义一种运算；sin（a+/?）=sincrcos/?+coscrsin/?,sin（cr—，）=sincrcos/?—

cosasin/?.例如：当a=45。，£=30。时，sin（45°+30°）=yXy+yx|=遗产，则sinl5。的值为.

考点五：在平面直角坐标系中求锐角三角函数值

1.（2024・江苏宿迁・中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线y=[x上，且点A的横坐标为4,

直角三角板的直角顶点C落在无轴上，一条直角边经过点A,另一条直角边与直线04交于点8,当点C在x

轴上移动时，线段2B的最小值为.

2.（2024・吉林长春.中考真题）在平面直角坐标系中，点。是坐标原点，抛物线y=/+2x+c（c是常数）

经过点（-2,-2）.点A、8是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为m、-血，点C的横坐标为-5?n,点C的

纵坐标与点人的纵坐标相同，连结48、AC.

y

(1)求该抛物线对应的函数表达式；

(2)求证：当?n取不为零的任意实数时，tanNCAB的值始终为2；

(3)作4C的垂直平分线交直线2B于点D,以4。为边、AC为对角线作菱形4DCE,连结

①当DE与此抛物线的对称轴重合时，求菱形4DCE的面积；

②当此抛物线在菱形4DCE内部的点的纵坐标y随X的增大而增大时，直接写出小的取值范围.

3.(2024・西藏・中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3(a力0)与x轴交于2(—1,0)，B(3,0)

两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线/.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图(甲)，设点C关于直线/的对称点为点。，在直线/上是否存在一点P,使P4-PD有最大值？若

存在，求出PA-PD的最大值；若不存在，请说明理由；

(3)如图(乙)，设点M为抛物线上一点，连接MC,过点M作MN1CM交直线/于点N.若tan/MCN=|,

求点M的坐标.

考点六：在网格中求锐角三角函数值

1.(2024•内蒙古包头.模拟预测)如图，在边长为1的正方形网格中，点4、B、C、D、E都在小正方形格点

的位置上，连接AB,CD相交于点P,根据图中提示所添加的辅助线，可以求得tan/BPC的值是()

A.-B.—C.2D.V5

25

2.(2024・湖北武汉.模拟预测)如图，是由小正方形组成的7x6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，4ABC

的三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.

⑴在图1中，将线段4B绕点A逆时针旋转90。得到线段力M；在4c上画点N,使tan乙4BN=；；

(2)在图2中，。是BC上任意一点，先画AD的中点E,再在上找到一点尸，使得4AFB=MFE.

3.(2024・湖北武汉•模拟预测)如图是由边长为1的小正方形构成的网格，点A、。、E、F在格点上，点B、

C是直线E尸与网格线的交点.请用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图

结果用实线表示.

(1)如图1,将线段EF绕着点E逆时针旋转90。得到线段EM,在线段4。上取点P,使得tan/PFE=|,并画

出点E关于PF的对称点。；

(2)如图2,在线段4D上画一个点N,使得AABNSADNC.

考点七：三角函数综合

1.(2022•浙江宁波・中考真题)如图1,。。为锐角三角形4BC的外接圆，点。在此上，力。交BC于点E,

点尸在4E上，满足Z71FB-乙BFD=/.ACB,FG||4C交BC于点G,BE=FG,连结BD,DG.设N2C8=a.

⑴用含a的代数式表示NBFD.

(2)求证：4BDE三AFDG.

(3)如图2,40为。。的直径.

①当脑的长为2时，求起的长.

②当。尸:0E=4:11时，求cosa的值.

2.(2022•甘肃武威・中考真题)已知正方形力BCD,E为对角线AC上一点.

图1图2图3

(1)【建立模型】如图1,DE.求证：BE=DE；

⑵【模型应用】如图2,F是DE延长线上一点，FBIBE,EF交4B于点G.

①判断△FBG的形状并说明理由；

②若G为4B的中点，且4B=4,求4F的长.

(3)【模型迁移】如图3,F是DE延长线上一点，1BE,EF交4B于点G,BE=BF.求证：GE=(鱼—1)DE.

3.(2024・四川成都・中考真题)数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个

顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片4BC和4DE中，4B=

AD=3,BC=DE=4,AABC=^ADE=90°.

【初步感知】

（1）如图1,连接BO,CE,在纸片力DE绕点4旋转过程中，试探究胃的值.

CE

【深入探究】

（2）如图2,在纸片力DE绕点4旋转过程中，当点。恰好落在AABC的中线的延长线上时，延长ED交AC

于点尸，求CF的长.

【拓展延伸】

（3）在纸片4DE绕点4旋转过程中，试探究C,D,E三点能否构成直角三角形.若能，直接写出所有直角

三角形CDE的面积；若不能，请说明理由.

图1图2图3

考点八：解直角三角形的相关计算

1.（2024•山西・中考真题）如图，在团4BCD中，AC为对角线，4E1BC于点E,点尸是4E延长线上一点,

且N4CF=NC4F,线段的延长线交于点G.若48=西，AD=4,tanN4BC=2,贝!]BG的长为.

2.（2024•宁夏•中考真题）如图，。。是△ABC的外接圆，4B为直径，点。是A/IBC的内心，连接AD并延

长交。。于点E,过点E作。。的切线交4B的延长线于点F.

⑴求证：BC||EF；

（2）连接CE,若。。的半径为2,sinzXFC=求阴影部分的面积（结果用含it的式子表示）.

3.（2023•四川绵阳•中考真题）如图，在。。中，点A,B,C,。为圆周的四等分点，4E为切线，连接E。，并

延长交。。于点F,连接BF交4C于点G.

（1）求证：4D平分NC4E；

⑵求证：AADE=AABG；

（3）若4E=3,AG=3GC,求cos/CBF的值.

4.（2023・浙江绍兴•中考真题）（1）一副直角三角尺如图1所示，中间各有一个直径为4cm的圆洞，现将三

角尺a的30。角的那一头插入三角尺6圆洞内，如图2所示.则三角尺a通过三角尺b圆洞的那一部分的最大面

积为—cm2.（不计三角尺的厚度）

⑵如图3,矩形48CD中，点E是边4B中点，点P是边4。上一动点，沿直线PE将△APE翻折，点4落在点F处.已

知48=6,4。=4,连结CF,CE.

①当AP=4时，CF=；

②当ACEF为直角三角形时，AP=.

考点九：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积

1.（2024•广东广州•一模）已知在四边形4BCD中，乙BAD=75°,LABC=^ADC=90°,AB=BC=4近.

B

C

/

/

A1^—----------------0£)

(1)CD的长是；

(2)若E是CD边上一个动点，连接4E,过点D作。F1AE,垂足为点F,在4尸上截取FP=尸。，当△PBC的

面积最小时，点P至!JBC的距离是.

2.(2023・安徽・二模)如图，已知：4B是O。的直径，点C在圆上，AB=10,AC=6,点C、E分别在AB两

侧，且E为半圆AB的中点.

(1)求A/IBC的面积;

⑵求CE的长.

3.(2022•浙江宁波•模拟预测)如图，在RtA4BC中，CD是斜边力B上的高，将得到的两个△4CD和△BCD按

图①、图②、图③三种方式放置，设三个图中阴影部分的面积分别为S「S2,S3,若S1=S2,则S］与S3之

间的关系是()

4.(2021•江苏连云港•中考真题)我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地.小明的爸爸周末去前三岛钓鱼,

将鱼竿2B摆成如图1所示.已知4B=4.8m,鱼竿尾端A离岸边0.4m,即4。=0.4m.海面与地面4。平行

且相距1.2m,即=1.2m.

(1)如图1,在无鱼上钩时，海面上方的鱼线BC与海面HC的夹角NBCH=37。，海面下方的鱼线CO与海面

HC垂直，鱼竿AB与地面4。的夹角482。=22。.求点。到岸边。H的距离；

(2)如图2,在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角NB4D=53。，此时鱼线被拉直，鱼线B。=5.46m,点。

恰好位于海面.求点。到岸边0H的距离.(参考数据:sin37。=cos53°~cos37°=sin53°~-,tan37°~

554

■31q2、

sin22°«cos22°«一，tan22°x-)

8165

重难点一：运用解直角三角形的知识解决视角相关问题

1.(2024•山西•中考真题)研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动.同学们来到

毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据.

数据采集：如图，点4是纪念碑顶部一点，力B的长表示点4到水平地面的距离.航模从纪念碑前水平地面的

点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点4的仰角N4CD=18.4。；然后沿CN方向继续飞

行，飞行方向与水平线的夹角NNC。=37。，当到达点4正上方的点E处时，测得AE=9米；…

数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E,A,B三点在同一直线上.请根据上述数据，计算纪念

碑顶部点4到地面的距离A8的长(结果精确到1米.参考数据:sin37。~0.60,cos37°~0.80,tan37°~0.75,

sinl8.4°~0.32,cosl8.4°~0.95,tanl8.4°-0.33).

%"

，＜：：4

MB

2.（2024・西藏・中考真题）在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”

的探究作业.如图，次仁在A处测得山顶C的仰角为30。；格桑在8处测得山顶C的仰角为45。.已知两人

所处位置的水平距离MN=210米，A处距地面的垂直高度力M=30米，2处距地面的垂直高度BN=20米,

点F,N在同一条直线上，求小山CF的高度.（结果保留根号）

3.（2024.山东潍坊.中考真题）在光伏发电系统运行时，太阳能板（如图1）与水平地面的夹角会对太阳辐

射的接收产生直接影响.某地区工作人员对日平均太阳辐射量y（单位：kW-h-10-1-m-2.d-D和太阳能

板与水平地面的夹角工。（0<%<90）进行统计，绘制了如图2所示的散点图，已知该散点图可用二次函数刻

2(30,49)

50•(40,48)

45-.(10,45)

40-(0,40)

35-

30

25

20

15

10

5

102030405060708090x/(°)

图2

（1）求y关于％的函数表达式；

⑵该地区太阳能板与水平地面的夹角为多少度时，日平均太阳辐射量最大？

（3）图3是该地区太阳能板安装后的示意图（此时，太阳能板与水平地面的夹角使得日平均太阳辐射量最大），

乙4Go为太阳能板48与水平地面的夹角，CD为支撑杆.已知48=2m,C是48的中点，CD1GD.在GD

延长线上选取一点M,在。,M两点间选取一点以测得EM=4m,在M,E两点处分别用测角仪测得太阳能板

顶端人的仰角为30。,45°,该测角仪支架的高为1m.求支撑杆CD的长.（精确到0.1m,参考数据:V2«1.414,

V3x1,732）

重难点二：运用解直角三角形的知识解决方向角相关问题

1.（2024•海南・中考真题）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南

岛东北部最重要的航标.某天，一艘渔船自西向东（沿4C方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行,

如图所示.

航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔尸北偏西60。方向上的A处.

记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔尸北偏西45。方向上的8处.

记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内,

会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东15。方向.

请你根据以上信息解决下列问题：

（1）填空："AB=°,Z.APC=°,AB=海里；

⑵若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明.

（参考数据：V2-1.41,V3«1.73,遥=2.45）

2.（2024・四川资阳•中考真题）如图，某海域有两灯塔4B,其中灯塔3在灯塔A的南偏东30。方向，且A,

8相距等海里.一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东30。方向、灯塔B的正北方向.

⑴求C两处的距离；

（2）该渔船从C处沿北偏东65。方向航行一段时间后，突发故障滞留于。处，并发出求救信号.此时，在灯

塔8处的渔政船测得。处在北偏东27。方向，便立即以18海里/小时的速度沿BD方向航行至。处救援，求

渔政船的航行时间.

（注：点A,B,C,。在同一水平面内；参考数据：tan65°-2.1,tan27°«0.5）

3.（2024•江苏连云港.中考真题）图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究.数

学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2,正八边形游乐城力〃2444&464748的边长为日km,南门。设

立在4①边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路BM,久必在上（门宽及门与道路间距离忽略

不计），东侧有一条南北走向的道路BC,C处有一座雕塑.在4处测得雕塑在北偏东45。方向上，在42处测

得雕塑在北偏东59。方向上.

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