2025年中考数学一轮复习：动点在二次函数中的综合（二）含答案

2025年中考数学一轮复习-专题动点在二次函数中的综合（2）

1.如图，抛物线y=-炉+法+（:与x轴交于A、8两点（A在B的左侧），与y轴交于点M过A点的直线

/：y—kx+n与y轴交于点C,与抛物线y=-x^+bx+c的另一个交点为D,已知A（-1,0）,D（5,-6）,

尸点为抛物线y=-x2+bx+c上一动点（不与A、。重合）.

（1）直接写出抛物线和直线/的解析式；

（2）当点尸在直线/上方的抛物线上时，连接PA、PD,

①当APA。的面积最大时，尸点的坐标是；

②当平分/D4P时，求线段P4的长.

（3）设M为直线/上的点，探究是否存在点M,使得以点MC,M、尸为顶点的四边形为平行四边形？

若存在，直接写出点"的坐标；若不存在，请说明理由.

2.如图，抛物线＞=-尤2+bx+c的图象与X轴交于A、2两点（点A在点2的左边），与y轴交于点C,点

。为抛物线的顶点.点A坐标的为（-3,0）,点C的坐标为（0,3）.

（I）求抛物线的解析式；

（II）点〃为线段AB上一点（点M不与点48重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E,

与抛物线交于点P,过点尸作交抛物线于点。，过点。作QNLx轴于点N.若点尸在点。左

边,当矩形PMNQ的周长最大时，求AAEM的面积；

（III）在（II）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接。。，过抛物线上一点尸作y轴的平行线，

与直线AC交于点G（点G在点尸的上方）.若尸G=2加。。求点尸的坐标.

3.已知：二次函数>=尤2--%2+4〃7-2的对称轴为/,抛物线与y轴交于点C,顶点为£).

(1)判断抛物线与x轴的交点情况；

(2)如图1,当根=1时，点尸为第一象限内抛物线上一点，且△尸。是以尸。为腰的等腰三角形，求

点P的坐标；

(3)如图2,直线和抛物线交于点A、8两点，与/交于点且A/0=A/8,点。(xo,yo)

在抛物线上，当机>1时，/i+12g-加婚-6/wyo时，求/?的最大值.

4.已知点P(2,-3)在抛物线L：y=ax1-2ax+a+k(a,%均为常数，且存0)上，L交y轴于点C,连

接CP.

(1)用。表示也并求乙的对称轴及乙与y轴的交点坐标；

(2)当Z,经过(3,3)时，求此时工的表达式及其顶点坐标；

(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.如图，当a<0时，若L在点C,P之间的部分与线段CP所围

成的区域内(不含边界)恰有4个整点，求。的取值范围；

(4)点M(xi,yi),N(xz,>2)是L上的两点，若合尤Ef+1,当尤2当时，均有刀步2,直接写出f的取

值范围.

5.如图①，直线y=-尤-3分别与无轴、y轴交于点B,C,抛物线〉=办2+法+(?经过8,C两点，且与x

轴的另一交点为A(1,0).

Cl)求抛物线的函数解析式；

(2)如图①，点P在第三象限内的抛物线上.

①连接AC,PB,PC,当四边形ABPC的面积最大时，求点尸的坐标；

②在①的条件下，G为x轴上一点，当PG+gAG取得最小值时，求点G的坐标；

(3)如图②，。为无轴下方抛物线上任意一点，。是抛物线的对称轴与无轴的交点，直线A。，8。分别

交抛物线的对称轴于点N.问：OM+OV是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明

理由.

6.如图，抛物线>=°尤2-3ax+4(tz<0)与无轴交于A、8两点，与y轴交于点C,直线>=机，交抛物线于

。、E两点.

9

(1)当。=-3■时，求A,3两点的坐标；

5

(2)当机=2,。£=4时，求抛物线的解析式；

(3)当〃=-1时,方程〃N-3QX+4=根在-6勺<4的范围内有实数解,请直接写出机的取值范围：

7.如图1所示，抛物线y4x2+bx+c与无轴交于48两点，与y轴交于点C,已知C点坐标为（0,4）,

O

抛物线的顶点的横坐标为卷，点P是第四象限内抛物线上的动点，四边形。尸4。是平行四边形，设点尸

的横坐标为m.

（1）求抛物线的解析式；

（2）求使AAPC的面积为整数的尸点的个数；

（3）当点尸在抛物线上运动时，四边形。尸4。可能是正方形吗？若可能，请求出点尸的坐标，若不可

能，请说明理由；

（4）在点。随点P运动的过程中，当点0恰好落在直线AC上时，则称点。为“和谐点”，如图（2）所

8.如图，一条抛物线与x轴交于A（-1,0）,B（3,0）两点，与y轴交于点C（0,3）,。为抛物线的

顶点，点尸在x轴上.

（1）求抛物线解析式；

（2）若NPCB=NCBD,求点尸的坐标；

（3）过点尸作直线/〃AC交抛物线于。是否存在以点A,P,Q,C为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，请求出点。的坐标；若不存在，请说明理由；

(4)坐标平面内一点〃到点3的距离为1个单位，求。M+^OM的最小值.

O

9.在四边形。4BC中，AB//OC,轴于C,A(1,-1),8(3,-1),动点P从。点出发，沿x

4.

轴正方向以3个单位/秒的速度运动.过尸作PQLO4于。.设尸点运动的时间为f秒(0«弓)，AOP。

O

与四边形0ABe重叠的面积为S.

(1)求经过。、A、B三点的抛物线的解析式并确定顶点加的坐标；

(2)用含/的代数式表示P、0两点的坐标；

(3)将AOP。绕P点逆时针旋转90。，是否存在f,使得AOP。的顶点。或。落在抛物线上？若存在，

直接写出/的值；若不存在，请说明理由；

(4)求S与/的函数解析式；

10.如图所示，抛物线>=办2+法+4的顶点坐标为(3,—),与y轴交于点A.过点A作AB〃x轴，交

4

抛物线于点以点C是第四象限的抛物线上的一个动点，过点C作y轴的平行线，交直线AB于点D

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若点E在y轴的负半轴上，且AE=AD,直线CE交抛物线y=a无2+桁+4于点尸.

①求点F的坐标；

②过点。作OGLCE于点G,连接。。、ED,当NOOE=/C£)G时，求直线。G的函数表达式.

1.解：（1）将点A、D的坐标代入直线表达式得：卜卜依=0,解得：”=-1,

I5ktn=-6ln=-l

故直线/的表达式为：y=-1-1,

将点4D的坐标代入抛物线表达式，

同理可得抛物线的表达式为：y=-/+3x+4；

（2）当△P4O的面积最大时，尸点到直线AD的距离就最大.

：.P点在与直线AD平行且与抛物线相切的直线上，即P点是这两个图象的唯一的交点,

y=-x+m

设尸点坐标为（羽y）,由题意得，19，

y=-xz+3x+4

Ax2-4x+m-4=0,

•.•直线y=-x+机与抛物线只有一个交点，

/.A=42+4（m-4）=0,

・••加=8,

Ax2-4x+4=0,

•・X1=X2=2,

・・・代入抛物线的解析式得了=-4+6+4=6,

：.P（2,6）；

故答案为：（2,6）.

②过点P作PE_Lx轴于点E,

•・・ZAOC=90°,

：.ZCAB=45°,

・••当AB平分NDAP时，ZBAP=ZDABf则NR4尸=45。,

•••△PE4是等腰直角三角形，

：.PE=EA,

设尸点坐标为（相，几），

由题意得，m+l=-m2+3m+4,

.'.mi=3,m2=-1（舍去），

：.PE=EA=4f

:・PA=4品.

（3）NC=5,

①当NC是平行四边形的一条边时，

设点尸坐标为（羽-N+3x+4）、则点M（x,-X-1）,

由题意得：\yM-yp|—5,即：|-N+3%+4+x+l|=5,

解得：％=2土J逋或0或4（舍去0）,

则点M坐标为-3-或（2-*7y4,-3+VT^）或（4，-5）;

②当NC是平行四边形的对角线时，

则NC的中点坐标为（0,半），

设点尸坐标为（m,-m2+3m+4）、则点-n-1）,

N、C,M、P为顶点的四边形为平行四边形，则NC的中点即为PM中点，

2

即：加+〃=0,2=-m+3m+4-n-l,

2

解得：m=0(舍去)或加=4,

故点M(-4,3)；

故点M的坐标为：(2+//，-3-J五)或(2-JN，-3+J宜)或(4,-5)或(-4,3).

0法刀/Tx比日而上(-(一3)2+bX(-3)+c=0,

2.解：(I)依题思<

,c=3.

解得『=-2,

[c=3.

.•.抛物线的解析式y=-x2-2尤+3；

(II)Vy=-X2-2x+3=-(x+1)2+4,

抛物线的对称轴是直线了=-1,

设M(无，O),P(x,-尤2-2x+3),其中-3<x<-1,

；P、。关于直线x=-1对称，

设。的横坐标为a,

贝!|a-(-1)=-1-x,

•*ci^~一2一x,

Q(-2-xf-N-2x+3),

:・MP=-x2-2x+3,PQ=-2-x-x=-2--2x,

I.周长d=2(-2-2x-x2-2x+3)=-2N-8x+2=-2(x+2)2+10,

当x=-2时，d取最大值，

止匕时，M(-2,0),

：.AM=-2-(-3)=1,

设直线AC的解析式为y=kx+b,

J-3k+b=0

则

lb=3

k=l

解得

b=3'

•*.设直线AC的解析式为y=x+3,

将x=-2代入y=x+3,得y=l,

：.E(-2,1),

S△杷卷XIX—

（Ill）由（II）知，当矩形PMNQ的周长最大时，尤=-2,

此时点。（0,3）,与点C重合，

02=3,

Vj=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,

：.D(-1,4),

如图，过。作DKLy轴于K,

则。K=l,OK=4,

：.QK=OK-OQ=4-3=1,

.\ADKQ是等腰直角三角形，

・・.。。=物K=血，

•**FG=2A/^DQ=4,

设尸(m,-m2-2m+3),则G(m,m+3),

FG=m+3-(-m2-2m+3)=m2+3m,

/.m2+3m=4,

解得m\=-4,侬=1,

当m=-4时，-*-2M+3=-5,

当根=1时,-m2-2m+3=0,

・・・点厂(-4,-5)或(1,0).

3.解：(1)针对于二次函数y=N-2尔-加2+4根-2,

令y—0,贝!jx2-2mx--2=0,

/.△=(-2m)2-4xlx(-m2+4m-2)=4m2+4m2-16m+8=8(m-1)2>0,

J抛物线与无轴必有交点，

即当m=1时，有一个交点，当机时，有两个交点;

（2）当根=1时，抛物线的解析式为y=N-2x+l=（x-1）2①,

：.C(0,1)，D(1,0)，

・・・△PC。是以尸。为腰的等腰三角形，如图1,

①当尸C=P。时，点尸是的垂直平分线上,

VC(0,1),D(1,0),

・・・OC=OZ)=1,

・・・CD的垂直平分线的解析式为y=@,

_3的3-Vs

x=2

联立①②解得，L或，

•・.点P的坐标为（苧’苧）或（苧，声,

2

②当尸D=C。时，点。是C尸的垂直平分线上,

・••点尸的纵坐标为1,贝!J/-2x+l=l,

/.x=0或x=2,

：.P(2,1),

即满足条件的点尸的坐标为（更近■,更匹）或（三返，主返）或（2,

2222

（3）.・,二次函数y=x1-2mx-源+4m-2的对称轴为I,

・••抛物线的对称轴/为工m,

点M的横坐标为m,

•点M在直线y=~mx上,

4

.\M(m,—m2),

4

♦：MO=MB,

工点、B（2m,12、

2

代入二次函数y=x2-2mx-m2+4m-2得，-^-m2=4m2-

将点5(2m,-m2+4m-2,

4

/.m=1或相

Vm>l,

抛物线的解析式为尸/-冬+警=(X-4)2-*

3939

•・•点。(xo,yo)在抛物线上,

（X0-4）2Y，

；・yo=

39

444944

/.-myo2_6myo=-m（yo2+6yo）=-（yo+3）2-9]=-争Go-£）2-《+3]2+12=-•Go-仔）

OOOyoo

2+—]2+12,

9

V/z+12<-myo2_6myo,

（迎-J）2+m2,

ooy

4.解：解:(1)..•点尸(2,-3)在抛物线L：y=ax2-2ax+a+k(〃，女均为常数且〃加)上,

；・-3=4〃-4。+。+鼠

:・k=-3-a；

抛物线L的对称轴为直线x=-孚=1,即x=l；

2a

(2),・Y经过点(3,3)，

9a-6〃+〃+%=3,

■:k=-3-4，

.*.61=2,k=-5

：.L的表达式为y=2x2-4x-3；

•；y=2（x-1）2-5,

，顶点坐标为(I,-5)；

(3)顶点坐标(1,-A-3),

•••在点C,尸之间的部分与线段C尸所围成的区域内(不含边界)恰有5个整点,

2<-a-3<3,

/.--5；

(4)当”>0时，仑3或/+1W-1,

.•.仑3或匹-2；

观察图象，此时有不符合条件的点使心步2,

故此情况舍去；

当a<0时，叶上3且仑-1,

/.-1<1<2；

综上所述，-1WW2；

5.解：(1)在y=-x-3中，令x=0,得y=-3；令y=0,得x=-3.

：.B(-3,0),C(0,-3).

设抛物线的函数解析式为y=a(无+3)(X-1).

将点C(0,-3)代入，得a=l.

.♦.抛物线的函数解析式为y=x2+2x-3；

(2)①如图1,过点尸作尸£，无轴于点E,交BC于点尸.

图1

设点尸的坐标为(/,A+2/-3),则点尸的坐标为(叁7-3).

:,PF=-t-3-(fi+2t-3)=-fl-3九

:・S四边形A8PC=SABPC+S\ABC=\尸尸-t2-30+6=-(t+~)+个.

222228

2

2

•*•当t=时，S四边形ABPC取得最大值.

此时点尸的坐标为-：‘)；

②如图2,在y轴上取一点。(0,告)，作直线A。，过点G作G7UA。于T,连接PG

图2__________

在RtAAOQ中，^2=VOA2-K)Q2=JF+g)2=g，

,si逢音

Z.GT=AG・逅，

5

PG+-^-AG=PG+GT,

5

根据垂线段最短，可知当尸，G,T共线，且P7UA。时，PG+Y14G的值最小,

5

直线AQ的解析式为y=-

又：尸TU。，

直线PT的解析式为J=2X-4，

4

2

G(W,0).

(3)£>M+£W是定值.

如图3,过点。作。轴于点H.

；N£)_L尤轴，

：.QH//ND.

：./\BND,^AMD^△A。”.

.HQ_BHDM_AD

"DN"BD'HQ'AH'

设点。的坐标为(k,k2+2k-3),

则HQ=-产-2k+3,BH=3+k,AH=1-k.

是抛物线的对称轴与x轴的交点，

：.AD=BD=2.

--k2-2k+3_3+k

DN~~2~,-k2-2k+31-k-

：.DN=2-2k,DM=2k+6.

：.DM+DN=2k+6+2-2k=8.

.••OM+DN是定值，该定值为8.

999,

6.解：(1)当a=-三时，令＞=--X2-3x(--)x+4=0,解得：x=5或-2,

555

故点A、3的坐标分别为(5,0)、(-2,0)；

(2)函数的对称轴为元号,

7

VDE=4,m=2,故点。(y,2),

将点D的坐标代入y=ax2-3ax+4并解得：a=-y,

故抛物线的表达式为：尸-尹+鄂+4；

(3)当。=-1时，y=-x2+3x+4,

令y=0,则尤=-6或4,

当x=-6时，y=-尤2+3X+4=-50,

函数的对称轴为则顶点坐标为(?，尊)，

224

当-64<4时，-50<y<-^-,

4

故他的取值范围为：-50<m<^,

4

OR

故答案为：-503在=-.

4

'C=4r

.14

7.解：(1)抛物线与y轴交于点C,顶点的横坐标为《，则(一二二工，解得飞~,

2x1-2c=4

o

故抛物线的抛物线为：尸白一昌*4；

Oo

914.

(2)对于丁=万/一x+4,令>=0,则1=1或6,故点3、A的坐标分别为(1,0)、(6,0)；

oO

如图，过点P作尸”〃y轴交AC于点H,

由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y=-■|x+4①，

O

914.9

设点P(龙，万——x+4),则点H(x,-三元+4),

ooO

119914.

2

△APC的面积S=S^PHA'^'S^PHC=_XPHXOA—-X6X(-—x+4-—X2H——x-4)=-2x+12(1VxV6),

//ooo

当x=l时，S=10,当x=6时，S=0,

故使AAPC的面积为整数的P点的个数为9个；

(3)当四边形0尸4。是正方形时，点尸只能在x轴的下方，

此时。4P为等腰直角三角形，设点P(x,y),则x+y=0,

即尸今2-鲁4+4=-X，解得：■或4,

QQ

故点P的坐标为(/■,~)或(4,-4)；

914

(4)设点尸(m,-=-m2-^-m+4),为点A(6,0),

oo

设直线AP的表达式为：y=kx+t,

9

同理可得，直线AP的表达式为：尸卷(m-1)(x-6),

O

•：AP//OQf则AP和。。表达式中的女值相同，

9

故直线0。的表达式为：>=万(m-1)尢②，

O

联立①②并解得：%=-,则点。(2，4-A),

mmin

・・・四边形OPhQ是平行四边形，则A0的中点即为尸。的中点,

则加+2=6,解得：m=3

m

则2=3±\]"29

m

故。的横坐标的值为3±行.

8.解：(1),・,抛物线与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，

・••设此抛物线的解析式为(x+1)(x-3),

将点C(0,3)代入，得〃=-1,

>\y=-(x+1)(x-3)=-N+2x+3；

(2)•.}=-N+2x+3=-(x-1)2+4,

・•・顶点。(1,4),

设直线DB解析式为y=kx+b,

将O(1,4),B(3,0)代入得(k+b-4,解得：Jk--2,

l3k+b=0Ib=6

直线DB解析式为y=-2x+6,

①如图1,当点尸在点8左侧时,

D

图1

u：ZPCB=ZCBD,

J.CP//BD,

设直线CP解析式为y=-2x+m,

将。(0,3)代入，得根=3,

直线CP解析式y=-2x+3,

当y=0时，

3

：.P(p0)；

②如图2,当点尸在点3右侧时，

作点尸关于直线3。的对称点N,延长CN交x轴于点P,止匕时NPCB=NCB。,

VC(0,3),B(3,0),

・•・OC=OB,

・・・AOBC为等腰直角三角形,

：.ZCPB=45°,

：.NNBC=45。,

・・・APBN为等腰直角三角形,

：.NB=PB=3--,

22

3

：.N(3,微)；

设直线CN的解析式为：y=nx+t,

(t=3(二二

将C(0,3),N(3,g)代入直线CN解析式y=nx+f得,3，解得，”一方,

2l3n+t=2lt=3

直线CN解析式为＞=-*x+3,

当y=0时，x=6,

：.P'(6,0),

2

综上所述，点尸坐标为(半0)或(6,0).

(3)①如图3,当四边形APQC为平行四边形时，

ACQ//AP,CQ=AP,

;”=3,

・力0=3，

令-N+2x+3=3,

解得：a=0,及=2,

：.Q(2,3),

②如图4,当四边形AQPC为平行四边形时,

AC//PQ,AC=PQ,

••yc-yA=yp-y0=3,

丁丁尸=0,

・・・M2=-3,

令-x2+2x+3=-3,

解得，尤1=1+B,X2~1-"

Qi(1+^7)-3),。2(1_~3),

综上所述，点Q的坐标为Q(2,3)或(1+，^,-3)或(1-A/7,-3).

(4)V点M到点B的距离为1个单位，

...点M在以点3为圆心，半径为1的圆上运动，如图5,

Q

在x轴上作点E(亭0),连接EM、DE,

O

图5

QI

：.BE=OB-OE=3--=—

33

BE_31BM>

而丁3而

'：ZMBE=ZOBM,

：.AMBEs/\OBM,

.ME_MB_1

：.ME=^OM,

：.DM+—OM=DM+ME,

3

...当点。、M、E在同一直线上时，0M■+1。〃=。加+旌=。£最短,

o

VD(1,4),

•**DM+^OM的最小值为.

oo

9.解：(1)：抛物线过点A(1,-1),B(3,-1),

抛物线的对称轴为直线x=2,

.,.抛物线与x轴的另一个交点坐标为(4,0),

设抛物线的解析式为y="(x-4),

把A(1,-1)代入得a*l*(-3)=-1,解得。=春

O

•••抛物线的解析式为■尤(x-4),即＞=£炉七

ooO

G-2)2_g,

33

一4.

・・・顶点M的坐标为(2,-£)；

O

(2)作QNJ_x轴于N,轴于〃，如图1,

：.OH=AH=1,

△AOH为等腰直角三角形，

：.^ONQ为等腰直角三角形，

13+

：.QN=ON=NP=-^OP=^~,

/.P(3/,0),Q(―/,-■—?)；

22

(3)存在.

△。尸。绕尸点逆时针旋转90。得到△07。，如图2,作轴于K,

NQPQ'=90。，尸O'_Lx轴，尸O'=尸。=33PQ,=PQ=^-^t,则。'(33-30；

,/NKPQ'=90。-ZOPQ=45°,

•••△PQ'K为等腰三角形，

3

.\PK=Qrk=-t,

q-却3，

当O(33-30落在抛物线上时，-3/=’・9.一告・3r,解得力=0,[=]■；

OOO

当。(小，-杀)落在抛物线上时，-宗=[■•争2-等劣，解得『0,/2=争

//4ssJ/o

综上所述，当/为得或£时，使得△。尸。的顶点。或。落在抛物线上；

OO

912q

（4）当0V"w时，如图1,S=—93f—t=—t2；

o//s

912122

当年〈收1时,如图3,PQ交AB于E点,S=S△尸O0-S»EQ=亭*・3/-今（*T）*2（导-1）=3t

△尸。。为等腰直角三角形，

：.ZCPF=45°,

・・・APCF为等腰直角三角形，

:・PC=CF=3t-3,

：.BF=\-(3L3)=4-33

1q

:♦SABEF=5(4-302——f2-12/+8,

1qq11

.•・S=S梯形OABC-(2+3)•1-(—Z2-12Z+8,)=--Z2+12z——.

一9S

10.解：(1)•.•抛物线>="2+陵+4的顶点坐标为(3,—),

4

'.y=a(x-3)2+2-=〃%2,6依+9〃+•至，

44

9R

.9.9a+—=4

4f

・,・〃_——1-，

4

•••抛物线解析式为尸-力+奈+4;

42

12

(2)如图1,设C(m，--m2+—m+4)；

42

图1

9：AD=AE,AD〃x轴