2025年中考数学一轮复习 二次根式 小测验（含详解）

4二次根式

分值：50分时间30分钟

一、选择题（15分）

1.（2024•云南•中考真题）式子石在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A.x>0B.x>0C.x<0D.x<0

2.（2024•重庆•中考真题）估计至（逝+退）的值应在（）

A.8和9之间B.9和10之间C.10和11之间D.11和12之间

3.（2024•山东济宁•中考真题）下列运算正确的是（）

A.72+73=75B.V2XA/5=710

C.2+&=lD.J（-5）2=-5

4.（2024•四川德阳•中考真题）将一组数点,2,n,20,JQ,2也，，后,,按以下方式进行排

列：

第一行V2

第二行2V6

第三行2VIV102V3

则第八行左起第1个数是（）

A.772B.80C.屈D.40

5.（2024•四川南充•中考真题）如图，已知线段A3,按以下步骤作图：①过点6作

使=连接AC；②以点C为圆心，以BC长为半径画弧，交AC于点"③以点/为圆心,

2

以AD长为半径画弧，交A3于点£.若=则〃的值为（）

C.y/5-lD.75-2

二、填空题（15分）

6.（2024•河北•模拟预测）若a的倒数是。，则正的值为.

O

7.（2024•吉林•模拟预测）比较大小：2百6.（填“>”或“<”）

8.（2024•吉林长春•二模）正与最简二次根式2J2/W+1是同类二次根式,则7的值为

9.（2024•广东•模拟预测）若恒有式子,则实数x的取值范围是.

10.（2024•四川宜宾•中考真题）如图，正方形ABCD的边长为1,M、N是逸BC、CO上的动点.若

AMAN=45°,则MN的最小值为.

三、简单题（20分）

11.（2024•甘肃•中考真题）计算：屈一如X、"

12.⑵24深圳）先化简'再求值：［一亮卜日寻'其中”a+1

13.（2024•广东•模拟预测）【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、

运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论.

【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数0、n,它们的乘积q(q=nm)与较大

数的和一定为较大数的平方.

(1)举例验证：当根=4,〃=5,则^+n=4x5+5=25=52

(2)推理证明：小明同学做了如下的证明：

设机＜〃，勿、〃是连续的正整数，

/.n=m+l；•:q=mn,/.q+n-mn+n-n(jn+\)=TT.

q+w一定是正数n的平方数.

【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方.

请你举例验证及推理证明；

【深入思考】若p=[q+2n+dq-2m(m,〃为两个连续奇数，。＜根＜〃，4=〃的),求证：0一定是

偶数.

14.(2024•河北•中考真题)情境图1是由正方形纸片去掉一个以中心。为顶点的等腰直角

三角形后得到的.该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示.

（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）

操作嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形.

如图3,嘉嘉沿虚线砂，G8裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接.根

据嘉嘉的剪拼过程，解答问题:

图4

（1）直接写出线段族的长;

（2）直接写出图3中所有与线段BE相等的线段，并计算8E的长.

探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形.

请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点户（可以借助刻度尺或圆规），

画出裁剪线（线段尸。）的位置，并直接写出8尸的长.

图5

答案:

一、选择题（15分）

1.（2024•云南•中考真题）式子小在实数范围内有意义，则无的取值范围是（）

A.x>0B.x>0C.x<0D.x<0

【答案】B

【详解】解：•••式子石在实数范围内有意义，

的取值范围是xNO.

2.（2024•重庆•中考真题）估计厄（及+6）的值应在（）

A.8和9之间B.9和10之间C.10和11之间D.n和12之间

【答案】C

【详解】解：•••屈（应+若）=2#+6,

W4<A/24=2A/6<5,

/.10<2A/6+6<11,

3.（2024•山东济宁•中考真题）下列运算正确的是（）

A.A/2+>/3=A/5B.艮辨

C.2-:-5/2=1D.J（-5）2=-5

【答案】B

【详解】A.应与否不能合并，所以A选项错误；

B.所以B选项正确；

C.2+0=j4=2=&，所以C选项错误；

D.J（-5）2=卜5|=5,所以D选项错误.

故选：B.

4.（2024•四川德阳•中考真题）将一组数应,2,痴,2a'，质,2"后,,按以下方式进行排

列：

第一行V2

第二行2V6

第三行2VIV102V3

则第八行左起第1个数是（）

A.7及B.8A/2C.屈D.4A/7

【答案】C

【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数，

归纳类推得：第七行共有1+2+3+4+5+6+7=28个数，

则第八行左起第1个数是反方=屈，

5.（2024•四川南充•中考真题）如图，已知线段按以下步骤作图：①过点6作3CJLAB,

使8C=gAB,连接AC；②以点C为圆心，以2C长为半径画弧，交AC于点"③以点/为圆心,

以AD长为半径画弧，交A8于点反若=则m的值为（）

»A/5—1RA/5—2

C.布-1D.V5-2

22

【答案】A

【详解】解：・.・BC，AB,

JZABC=90°,

*.*BC=—AB,设AB=a

2

BC=-a,

2

由题意得：AD=AE,CD=BC=；a,

AE=AD=AC-CD=~a--a=^::^a

222

AE=mAB,

.A/5—1

••m=----

2

二、填空题（15分）

6.（2024•河北•模拟预测）若a的倒数是:，则面的值为

O

【答案】2夜

【详解】解：的倒数是。,

O

••a=8,

\[a=y/s=2-\/2;

7.（2024•吉林•模拟预测）比较大小：2石6.（填“>”或）

【答案】<

【详解】解：（2有『=12,6?=36,

12<36,

2/<6.

8.（2024•吉林长春•二模）A/7与最简二次根式2J2m+1是同类二次根式,则m的值为.

【答案】3

【详解】与最简二次根式20/1是同类二次根式，

2m+1=7,

解得m=3,

9.（2024•广东•模拟预测）若恒有式子J（尤-1）?=尤-1,则实数尤的取值范围是.

【答案】x>l

【详解】解：=x-l,

x—120,

解得：X>1,

故答案为：X>1.

10.（2024•四川宜宾•中考真题）如图，正方形ABCD的边长为1,M、N是边BC、CD上的动点.若

ZMAN^45°,则MN的最小值为.

【详解】解：：正方形ABCD的边长为1,

AD=AB=BC^CD=\,ZBAD=ZABC=ZC=ZD=90°,

N

DC

/

--------\B

'、、I

、、I

、、I

7P

将△AON顺时针旋转90。得到贝UADNWABP,

：.ZDAN=ZBAP,"=ZABP=90°,AN=AP,DN=BP,

:.点、P、B、M、C共线，

ZMAN=45°,

：.ZMAP=ZMAB+BAP=ZMAB+DAN=90°-ZMAN=45°=/MAN,

VAP=AN,NMAP=NMAN,AM=AM,

：..MAP^^MAN（SAS）,

：.MP=MN,

：.MN^MP=BM+BP=BM+DN,

设CN=a,CM=b,则ZW=l—a,BM=l-b,

:.MN=BM+DN=2—a—b,

:ZC=90°,

CN-+CM2=MN1,HPa2+b2=（2-a-b）2,

整理得：（2-a）（2-b）=2,

:.MN=2—a—b

=-2+（2-a）+（2-Z?）

=-2+

=-2+^2-a^-2yl2-a-y/2-b+（yf2^b^+2y/2-a-yl2^b

=-2+（j2-a-j2-6『+2^/（2-a）（2-Z?）

>-2+2^（2-«）（2-&）

=-2+20,

当且仅当J2-a=J2-6,即2—a=2—匕=应，也即a=6=2—0时，M2V取最小值一2+2&,

故答案为：-2+20.

三、简单题（20分）

11.（2024•甘肃•中考真题）计算：V18-V12x^|.

【答案】0

【详解】7T8-Vi2x^|=VT8-^12X|=718-A/18=0.

12.（2024深圳）先化简，再求值：fl一一\］二-2：+1,其中。=亚+1

Ia+1）<7+1'—」

【答案】工，巫

〃—12

【详解】解：fl--二］十八2：+1

I6Z+1y〃+1

/__2］：ST）?

（〃+16Z+1y〃+1

。-16Z+1

Q+1（4-1）2

1

CL—1

当a=^2+］时，原式=—j=------=—j==——•

V2+1-1V22

13.（2024•广东•模拟预测）【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、

运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论.

【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数®n,它们的乘积q（q=mn）与较大

数的和一定为较大数的平方.

（1）举例验证：当机=4,〃=5,贝!］q+〃=4*5+5=25=52

（2）推理证明：小明同学做了如下的证明：

设机<〃，0、A是连续的正整数，

/.n=m+l；•:q=mn,/.q+n-mn+n-n（jn+\）=TT.

：.q+w一定是正数n的平方数.

【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方.

请你举例验证及推理证明；

【深入思考】若p=Jq+2n+dq_2m（m,〃为两个连续奇数，0<m<〃,"=〃?〃）,求证：0一定是

偶数.

【详解】解：类比猜想：（1）举例验证：当m=4,九=5,则机=4x5-4=16=4?

（2）推理证明：小明同学做了如下的证明：

设机以、〃是连续的正整数，

n=m+l；

,/q=mn,

q—m=mn—m=m{ri—\^=m.

.・・4一根一定是正数加的平方数.

深入思考：:以，力为两个连续奇数，0cm〈建,

n=m+2,

q=mn=m2+2m,

p=Qm2+2m+2(〃?+2)+[m2+2m-2m=J(m+2)2+厢"=m+2+m-2^m+l)，

•••P一定是偶数.

14.（2024•河北•中考真题）情境图1是由正方形纸片去掉一个以中心。为顶点的等腰直角

三角形后得到的.

该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示.

（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）

图1图2

操作嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形.

如图3,嘉嘉沿虚线EF,GH裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接.根

据嘉嘉的剪拼过程，解答问题:

(2)直接写出图3中所有与线段防相等的线段，并计算BE的长.

探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形.

请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的2C边上找一点户(可以借助刻度尺或圆规)，