2025年中考数学压轴题专练：圆的证明题（含解析）

2025年中考数学压轴题专练：圆的证明题

1.如图，VA3c是0。的内接三角形，点。是弧A8的中点，连接AD,BD,CD.

图1图2

(1)如图1,若ZACD=30。，求403的度数；

(2汝口图2,若AB=AC=10,AZ)=—,求BC.

2

2.如图，VA3c内接于。。，AB为。。的直径，C。平分/ACB交。。于点。，交A5于

点F,过点。作0。的切线DE交C4的延长线于点E.

(1)求证：AB//DE；

(2)连接AO,如果帅=10,CD=8,求。尸的长.

3.如图，在中，ZA=90°,延长A0到点C,使OC=Q4,在以。为圆心，AC为

直径的半圆上取一点。，使CD〃03,连接80.

⑴求证：3D是。。的切线；

25

(2)若CD=6,0B=y,则。。的半径长为

4.已知点A,B,C,在0。上，NG4B的平分线交0。于点。.

(D如图1,若BC为。。的直径，BC=6.求NCB。的大小和的长.

(2)如图2,若NC4B=60。，BD=5,求。。的半径.

5.如图，A8为。。的直径，射线AC交0。于点C,AO平分，。LB交。。于点。，过点

。作直线OESAC于点E,交A5的延长线于点连接并延长交AC于点

M

E,

AF

(1)求证：直线DE是。。的切线;

(2)若N尸=30。，ME=6求OW的长.

6.如图，AB为。。的直径，OC_LAB交0。于点C,。为02上一点，延长C。交0。于

点E,延长08至歹，使DF=FE,连接EF.

⑴求证：EE为0。的切线；

(2)若。£)=1且=求0。的半径.

7.如图，AB为。。的直径，C为。。上一点，连接AC、BC,。。的切线50交OC的延

长线于点。.

D

⑴求证：NDBC=ZOCA；

(2)若NBAC=30。，AC=6,求CD的长.

8.在。。中，48为直径，C为。。上一点.

D

图①图②

(1)如图①，过点C作。。的切线，与A3的延长线相交于点P,若NC4B=27。，求NP的大

小;

(2)如图②，。为启上一点，且0D经过AC的中点E,连接。C并延长，与A3的延长线

相交于点尸，若/C4B=10。，求ZP的大小.

9.如图，A3是。。的直径，弦C。与AB相交于点E.过点。作交C4的延长线

于点/，CF=CD,ZF=67.5°.

c

FD

(1)试判断直线OF与。。的位置关系，并说明理由;

(2)^DEDC=2,求。。的半径和AE的长.

10.如图，VABC内接于为。。的直径，/ACB的平分线交。。于点。，连接

AD.BD,过点。作DE〃AB,交CB的延长线于点E.

⑴求证：EZ)是。。的切线；

Q)若AC=3垃,BC=6,求C。的长.

11.如图，点尸为。。外一点，过点P作。。的切线上4和PB,切点分别是点A和点3,连

接AB,直线尸。与。。交于点C和点E,交于点。，连接AE,BE.

A

0\D

(1)求证：AAEB是等腰三角形；

(2)若tanNAEP=g,BE=#,求CD的长.

12.如图，己知Rt^ABC中，44。2=90°,4。平分1衣4。，交BC于点、D,以上某一

点。为圆心作。。，使。。经过点A和点。，交48于点E,连接即并延长交AC的延长

线于点F.

(1)判断直线BC与。。的位置关系，并说明理由;

(2)若AE=12,8E=6,求阴影面积.

13.如图，已知AB是。。的直径，C。与0。相切于C,过点8作3E_LZ)C,交DC延长

线于点E.

E

DAOB

⑴求证：BC是-4BE1的平分线；

(2)若OC=8,0。的半径Q4=6,求CE的长.

14.如图，在Rt^ABC中，N54c=90。，/ABC的平分线交AC于点D,以点。为圆心,

D4长为半径的圆与AC相交于点E.

⑴求证：BC是。。的切线；

(2)若AB=5,3c=13,求CE的长.

15.如图，在Rt^ABC中，/3C4=90。，点。是AC边上一点，。。经过点A交A3于点

交AC于点孔过点。作0。的切线，交BC于点、E.

B

(1)求证：ZBED=2ZA；

⑵若NA=30。，AO=DE=4,求AB的长.

16.如图，已知AB是00的直径，点C,。在。。上，且3C=CD.点E是线段A3延长

线上一点，连接EC并延长交射线AO于点/FEG的平分线E”交射线AC于点

/H=45°.

EG

⑴求证：EF是。。的切线；

(2)若跳;=2,CE=4,求4斤的长.

17.如图，为0。的直径，点C是A3上方0。上异于A,8的点，点。是嘉的中点,

过点。，作交CB的延长线于点E,连接AC,AD

(1)求证：£>E是。。的切线：

(2)若AC=8,BC=6,求图中阴影部分的面积.

18.如图，四边形ABC。内接于0。，连接AC,BD交于点、M,延长至点E.

(1)若AB=AC,猜想1AD3和4DE的数量关系，并说明理由.

⑵若/SAC=45。，BC=3.求0。的直径.

19.如图，是。。的直径，弦CD和相交于点P,且4^。=45。,。。_1。。,。是垂足.

c

OP

(1)求证：PC-PD=2OQ.

(2)若。。的半径为5,求尸c2+p£)2的值.

20.如图1,点A、B、C、。在。。上，且AD=BC，E是AB(不是直径)延长线上一

点，且BE=AB,尸是EC的中点.

图1图2

⑴探索所与80之间的数量关系，并说明理由；

(2)如图2,设G是8。的中点，过点8作连接PG、PF,求证：PG=PF.

21.如图，点D,E在以AC为直径的。。上，ZADC的平分线交。。于点8,连接54,EC,

EA,过点E作EHLAC,垂足为X,交AO于点R

⑴求证：AE2=AFAD^

，/s

⑵若sin/ABD=—^―,AB=5,求SABOG.

22.如图，点A,B,C,。在圆。上，四边形Q4CB为平行四边形，点。在NADS的内

部，连接C。，过C作C厂||48,交。8的延长线于点F.

⑴求证：/ADC=/BDC；

⑵求证：C歹为圆。的切线;

⑶当NOBA=45°,=2石+2时，求&的长.

23.如图，已知48、C、。是。。上的四个点，AB=BC,80交AC于点E,连接CD、AD.

⑴求证：平分NADC；

⑵求证：&ABES&DBA

(3)若BE=3,ED=6,求AB的长.

24.如图1,VABC中，ZACB=90°,AC=BC,点、D,E分别在AB,BC边上，且

NCDE=45°.经过点C,D,E的。0分别交AC,AB边于点F,G,连结£>F.

(1)求证：CF=CE.

(2)若A8=60，DF=2DE,求CE的长.

(3)如图2,连结CG,若CG||D£,请直接写出C笠E的值.

《2025年中考数学压轴题专练：圆的证明题》参考答案

1.(1)120°

(2)12

【分析】（1）根据点。是AB的中点，得出=根据同弧或等弧所对的圆周角相等得

出NBCZ）=NACD=3O。，求出NACB=60。，最后根据圆内接四边形的性质求出结果即可；

（2）连接49并延长交BC于点£,连接。B,OD交AB于点F,证明AE垂直平分BC,证

明根据垂径定理得出=B尸=：AB=5,根据勾股定理得出

2

222

DF=y/AD-AF=t-5=-,设AO=r,则。歹=厂一（，根据勾股定理得出

5?+卜-7=产，求出a。后，设EO7,根据勾股定理得出io?一,+字）=］亨：-尤2,

求出x=:,根据勾股定理求出*Jf=6,最后根据等腰三角形性质求出结果

即可.

【详解】（1）解：•・•点。是A3的中点，

••AD=BD，

JZBCD=ZACD=3O0,

：.NAC5=60。，

又ZACB-^-ZADB=180°,

ZADB=180°-60°=120°.

（2）解：连接AO并延长交BC于点E,连接OB,0C,交AB于点忆如图所示：

•：AB=AC,OB=OC,

・•・AE垂直平分BC,

NAEB=90。,

又•・•点。是A3的中点,

・・AD=BD，

・•・ZBOD=ZAOD,

又,：OB=OA,

：.OD±AB,

/.AF=BF^-AB^5,

2

在RSADF中，DF=AD--AF1=

设AO=r,则。/=厂—

2

在Rt~4O尸中，52+

25

解得」二

•••I

设EO=x,

在RtAABE和RtABOE中,

BE2-AB2-AE2=BO2-OE2,

25

A102-XH---

4

7

解得…T

在RR5OE中，BE=6,

BC=2BE=12.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，线

段垂直平分线的性质和判断，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，作出辅助线，数形

结合.

2.⑴见解析

25

(2)DF=—

【分析】此题考查了切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等知识.

(1)连接OD,证明ZAOD=2ZACD=90。，由3E为。。的切线得到NC©E=90。，即可证

明AB〃DE；

(2)连接班),求出4。=5五.证明AAD/SACQA,贝|?£=券，即可求出。尸的长.

C-Z-/

【详解】(1)证明：连接OD,如图.

TAB为。。的直径，

・•・ZAC6=90°,

CO平分2AC5,

・・・ZACD=ZBCD=45°,

：.ZAOD=2ZACD=90°,

:为O。的切线，

・•・/ODE=90。,

：.ZAOD+NODE=180。，

AB//DE；

(2)解：连接BD,

TAB为。。的直径，

・•・ZADB=9Q°,

•；ZBAD=NBCD=45。,AB=10f

AD=5叵.

VZBCD=ZDCA=ZBAD,ZADF=ZCDA

:.^ADF^^CDA,

.DFAD

**AD-CDy

VAD=5y/2，CD=8,

.DF_5>/2

/.DF=—.

3.(1)见解析

(2)5

【分析】(1)连接，则O£>=OC=,证明△BOD^ABOA,可得ZODB=ZOAB=90°,

从而可得答案；

AC

(2)连接A。，证明△CDAS^OAB,可得，=_L,进一步可得答案.

AOOB

【详解】(1)证明：连接OD,则OD=OC=OA,

:./ODC=/C,

•.-CD//OB,

ZODC=/BOD,ZC=/BOA,

:.ZBOD=ZBOA,

OD=OA

在"OD和△BOA中，</BOD=ZBOA,

OB=OB

:./\BOD^/\BOA,

:.ZODB=ZOAB=90°f

TO。是。。的半径，且BD_LOD,

30是。。的切线.

(2)解：连接AO,

•.•AC是。。的直径

:.ZCDA=90°,

ZCDA=ZOAB=90°,

又：ZAOB=ZC,

:./\CDA^/\OAB,

62A0

DCAC

4。砺,即Bn：*25,

3

解得：AO=5.即圆的半径为5.

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角定理的应用，相似三

角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.

4.(l)ZCBD=45°,BD=3A/2

（2）5

【分析】本题考查角平分线定义，圆周角定理，30。直角三角形性质，掌握圆的性质综合,

角平分线定义，30。直角三角形性质是解题关键.

（1）根据为直径，可得圆周角NC4B=90。，根据角平分线的定义，可求

ACAD-ABAD=\ZCAB=45°,根据同弧所对圆周角性质可得NCBZ）；连接C。，根据

为。。的直径，得/CD3=90。，然后利用勾股定理即可解答；

（2）连接20,并延长交。。于E,连结。E,根据AD平分NC4B,可得

NDAB=ZCAD=JNC42=30。，利用同弧所对圆周角性质可得/BED=ABAD=30。，由EB

为直径，可得/EDB=90。,根据30。直角三角形的性质可求£B=23D=2x5=10即可.

【详解】（1）解：为。。的直径，

ZCAB^90°,

,/AZ)平分，。18,

/.ZCAD=/BAD=-ZCAB=45°,

2

/CBD=/C4D=45°,

NCDB=90。，

ZCBD=45°,

..•△8DC是等腰直角三角形，

:.BD=CD.

在RtABDC中，BC=6,

根据勾股定理，BC2=CD2+BD2,

即2BD2=62,

解得：8。=30或-30（舍去）.

（2）解：连接30,并延长交。。于E,连结。E,

VZGW=60°,AD平分工CAB,

NDAB=ACAD=-ZCAB=30°,

2

/BED=/BAD=30。,

为直径，

ZEDB=90°,

：.EB=2BD=2x5=10,

：.OB=-EB=5,

2

二。。半径为5.

5.(1)见解析

(2)273

【分析】（1）连接OD,根据等腰三角形的性质得到=根据角平分线的定义

得到？Q4D1DAC,证明OD〃AC,根据平行线的性质得到。E人OD,根据切线的判定

定理即可得证；

（2）根据题意求出/MDE=30。，根据含30。角的直角三角形的性质计算，得到答案.

【详解】（1）证明：连接OD,

M

E,

'：OD=OA,

：.ZODA=ZOADf

•・•AD平分2C4B,

：.?OAD1DAC,

ZODA=ZDAC9

：.OD//AC,

•:DE±AC,

:.DE人OD,

・・・。。是。。的半径，

・•・直线。石是O。的切线;

(2)解：9：DEJ.AC,

：.ZDEM=90°f

•・•直线。石是。。的切线,

'ZODF=9Q°,

VZF=30°,ME=C，

：.ZFOD=90°-ZF=90°-30°=60°,

•：OB=OD,

是等边三角形，

・•・ZODB=60°,

：.ZMDE=ZBDF=ZODF-ZODB=90°-60°=30°,

DM=2ME=2行.

【点睛】本题考查切线的判定和性质，角平分线的定义，平行线的判定和性质，等边三角形

的判定和性质，30。角的直角三角形的性质等知识点，掌握经过半径的外端且垂直于这条半

径的直线是圆的切线是解题的关键.

6.⑴见解析

⑵3

【分析】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟记切线的判定定

理是解题的关键.

（1）连接OE,根据等边对等角结合对顶角相等即可推出结论；

（2）设。。的半径£0=30=厂，则==1,FE=2BD=2r—2,在Rt△五EO中，

由勾股定理得得出方程求解即可.

【详解】（1）证明：如图，连接OE,

:OE=OC,

：.AOEC=AOCE,

•/DF=FE,

/.NFED=NFDE,

COLAB,

：.NCOD=90。，

ZCDO+ZC>CD=90°,

?FDE?CDO,

：.NFED+NOEC=9Q。,

即/庄0=90°,

：.OELFE,

是半径，

，所为。。的切线；

(2)解：由(1)得NOEF=90。,

设。。的半径EO=3O=r,则=3-=八一1,

FE=DF=2BD=2r—2,OF=DF+OD=2r-2+l=2r-l,

在中，由勾股定理得，FE-+OE2=OF2,

(2r-2)2+r=(2r-l)2,

解得r=3,或r=l(舍去),

，。。的半径为3.

7.⑴见解析

(2)273

【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定理,

勾股定理，含30度的直角三角形.

(I)根据切线的性质得到NOBD=NOBC+Nr®C=90。，再根据圆周角定理得到

ZACB=ZOCA+ZOCB=90°,力口上NO3C=NOCB,于是利用等量代换得到结论；

(2)利用含30度的直角三角形性质及勾股定理得到C2=26,然后证明=得到

CB=CD即可.

【详解】(1)证明：:OB是。。的切线，

二BDJ.AB,

：.AOBD=NOBC+ZDBC=90°,

1/AB是0。的直径，

ZACB=ZOCA+ZOCB=90°,

OC=OB,

：.NOBC=NOCB,

：.ZDBC=ZOCA；

(2)解：在Rt^ACB中，/A=30°,

AB=2BC,

VAC=6,AC2+BC2=AB2,

62+BC2=ABC2,

/.CB=2百，

VZA=30°,OA=OC,

：.ZOCA=ZA=30°,

：.ZCOB=2ZA=60°,

：.ZD=90°-/COB=30°,

由(1)可知，ZDBC=ZOCA=30°,

：.ZD=ZDBC,

：.CB=CD,

：.CD=26.

8.(1)36°

(2)30°

【分析】(1)如图所示，连接OC,由切线的性质得NOCP=90。，根据圆周角定理得

NCOB=54。,在RhCOP中，由直角三角形两锐角互余即可求解；

(2)如图所示，连接8。，则OB=OD,根据垂径定理可得即/OE4=90。，由直角三角形

两锐角互余得到/。瓦＞=40。，由三角形外角的性质得到/。比》=/龙＞尸+/尸，则

NP=NOBD-NBDP,根据同弧或等弧所对圆周角相等得到NC4B=/CDS=10。，由此即

可求解.

1/过点C作。O的切线，与AB的延长线相交于点P,

：.OCLCP,即/OCP=90°,

1•,启所对的圆周角为/C4B=27。，所对的圆心角为/COB,

Z.COB=2ZCAB=2x27。=54°,

在Rt^COP中，ZP=90°-ZCOB=90°-54°=36°；

(2)解：如图所示，连接8D,则OB=OD,

ZODB=ZOBD,

・・・0D经过AC的中点E,

：.OE±ACf即NQE4=90。，

在R^AO石中，ZAOE=90°-ZCAB°=80°,

・•・ZAOD=ZODB+ZOBD=80°,

・•・NC®D=40。，

■:/OBD=/BDP+/P,

：.ZP=ZOBD-ZBDPf

..♦♦

,BC=BC'

：.ZCAB=ZCDB=10°,

：.NP=ZOBD—ZCDB=40。-10。=30°.

【点睛】本题主要考查切线的性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形两锐角互余，等边

对等角，三角形外角的性质等知识的综合，掌握切线的性质，圆周角定理，垂径定理的知识

是解题的关键.

9.(1)直线。口与0。相切，理由见解析

⑵1，2-72

【分析】(1)连接OD,根据三角形内角和定理角定理和等腰三角形的性质求得N4CD=45。，

由圆周角定理求出NAC©=90。，由平行线的性质求得NOD尸=90。，根据切线的判定定理

即可证得结论；

(2)证明根据相似三角形的性质，代入数据即可求解.

【详解】(1)解：如为。。的切线，理由如下：

如图，连接OD,

B

•:CF=CD,

ZCDF=ZF=61.5°,

ZDCF=180°—67.5°-67.5°=45°,

ADAD>

ZAOD=2ZDCF=90°,

\DF//AB,

,\ZODF=90°,

:.ODVDF,

・・・0D是。。的半径，

.•.也＞为。。的切线；

(2)解：vAO=OD,ZAOD=90°,

:.ZEAD=45°,

・・・ZACD=45°,

/.ZACD=/EAD,

又・；ZADE=/CDA,

AZME^APCA,

.DEDA

'~DA~~DC'

BPZM2=DEDC=2,

:.DA=y/2,

：.OA=OD=—AD=\,

2

即O。的半径为1,

/.AB=2,

过E作于H,

则/\AEH是等腰直角三角形,

也

AH=EH=—AE,

2

过C作CG_LAE于G,

♦;CF=CD,

:.ZCFD=ZCDFf

AEIIDF,

:.NCAE=NCEA,

CA=CE,

/./ECG=-ZACE」x45。=22.5°,

22

“CEG=ZDEO,ZCGE=ZDOE,

/.ZODE=ZECG=22.5°,

NODE=ZADE=22.5°,

...OCE”=E…H=—也AAET,

2

•.•AE+OE=1,

:.AE+—AE=\,

2

:.AE=2-yf2.

【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，相似三角

形的性质与判定等知识，正确作出辅助线是解题关键.

10.⑴证明见解析;

（2）CD=4.

【分析】（1）连接OD,利用角平分线的定义，圆周角定理和圆的切线的判定定理解答即可；

（2）根据圆周角定理得到NACB=90。，/ADB=90。，根据勾股定理得到AB的值，根据

角平分线的定义得到NACD=/BCD求得40=80=可，过点B作于点根据

等腰直角三角形的性质得到3"=C"=1,根据勾股定理得到斯=3,于是得到

CD=CH+DH=4.

【详解】（1）证明：连接OD,

：C£）是NACB的平分线，

ZACD=ZBCD,

：.ZAOD=/BOD,

：A8为。。的直径，

/.ZAOD=ZBOD=lxl80°=90°,

2

：.ODVAB,

'：DE//AB,

：.OD1DE,

为。。的半径，

•••瓦>是。。的切线；

(2)解：,..AB为。。的直径,

ZACB=90°,ZADB=90°,

VAC=3A/2>BC=y/2,

AB=y/AC2+BC2=2若，

,/NACB的平分线CO交。。于点O,

ZACD=/BCD,

••AD=BD，

***AD=BD=AB=\/To,

过点5作于点H,

*??BCD-?ACB45?,

2

・V2

・・BH=CH=—BC=l,

2

・•・DH=1BD2-BH2=3,

：.CD=CH+DH=1+3=4.

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，角平分线的定义，直角三角形的性质，

勾股定理，掌握知识点的应用，正确添加的辅助线是解题的关键.

11.⑴见解析

(2)cr>=1

【分析】(1)根据切线长的性质可证△P4E丝△P3E,得到=由等腰三角形的定义

即可求解；

(2)连接BC,可得NE3c=90。，由全等三角形的性质可得N4£P=N3EP,则

tanZAEP=tan/BEP笔=3,可得8C="，根据同弧所对圆周角相等可得

BE22

CD1

ZAEP=ZABC则有tanNAEP=tanNABC=——=—,设CD=尤，则&)=2%,根据勾股定

fBD2

理C£>2+3£>2=5。2,即可求解.

【详解】(1)证明：•.・,依是。。的切线，

:.PA=PB,PA±OA,PB±OB,

J尸。平分-4P5,

:.ZAPE=ZBPE.

在场和△尸防中，

PA=PB

<NAPE=NBPE,

PE=PE

:.^PAE2公PBE(SAS),

/.AE=BE,

「.△AEB是等腰三角形.

•：/\PAE^/\PBE,

,\ZAEP=ZBEP.

tanZAEP=tanZBEP

BE2

又・；BEM，

/.BC=­

2f

•：PA=PB,PO平分NAPB,

:.PO±AB,

...ZCDB=90°

ZAEP^ZABC,

CD1

tanZAEP=tanZABC=—=—,

BD2

设CD=x,则8Z）=2x,有CD?+BD?=BC?,

即x2+（2x）2=[q],

11

解得：x=5（负根舍去），即C£>=5.

【点睛】本题主要考查切线的性质，切线长的性质，直径对的圆周角是直角，等腰三角形的

判定和性质，三角函数的计算，勾股定理等知识的综合运用，掌握切线及切线长的性质，三

角函数的计算方法是解题的关键.

12.（1）相切，见解析

⑵186一6兀

【分析】（1）连接OD,根据角平分线的定义及等腰三角形的性质证明/2=/3,进而推出

OD//AC,可得出NOD3=NACB=90。，可证直线BC与。。相切；

（2）先证AOED为等边三角形，推出ZEOD=60°,再根据S阴影=S^BOD-S^EOD计算可得答

案.

【详解】（1）解：直线8c与。。相切,

理由如下：如图，连接OD,

AD平分/BAC

.-.Z1=Z2,

'：OA=OD,

.•.N2=N3,

:.OD//AC,

・・・ZACB=90°,

:.ZODB=90°,

:.OD1BC,

.•IC是。。的切线；

(2)解：AE=12,BE=6,

0D=0E=-AE=6,

2

--OE=BE,OB=OE+BE=12,

又*:OD±BC,

ED=^0B=6,BD=y/OB2-OD2=A/122-62=6^>

.•.△O即为等边三角形，

:.ZEOD=60°,

•*,S^BOD=Tx6x6石=18石，s扇形池=旦鉴8=6兀，

S阴影=S&BOD—S扇形E(»=186一6兀•

【点睛】本题考查切线的判定，扇形面积公式，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边

中线的性质，勾股定理等，难度一般，能够综合应用上述知识点是解题的关键.

13.(1)见解析

(2)CE=4.8

【分析】本题考查了平行线的性质和判定，切线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判

定，角平分线的判定和性质，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键.

(1)根据切线的性质得出OC_LOE,求出3E〃OC,求出AEBC=ZOCB,ZOCB=ZOBC,

求出N£BC=NO3C,根据角平分线的定义得出即可；

(2)过C作于根据勾股定理求出OD,根据三角形的面积求出CM,根据角

平分线的性质得出CE=CM,再求出答案即可.

【详解】(1)证明：与。。相切于C,

OCA.DC,

,：BE1DC,

：.BE//OC,

：.NEBC=NOCB,

"：OC=OB,

：.ZOCB=ZOBC,

:.NEBC=NOBC,

即BC是NABE的平分线；

(2)解：过。作于M,如下图,

是的平分线，BELCE,

：.CE=CM,

■:OCLDC,

：.NOCD=90。,

VDC=8.OC=OA=6f

・•・OD=y/DC2+OC2=A/82+62=10

*.*ZXSLA/Clnzrn2=—xCDxOC2=—xODxCM,

・・・8x6=10xCM,

解得：CM=4.8,

即CE=CM=4.8.

14.(1)证明见解析；

(2)CE的长为

【分析】(1)过点。作止±5c于点尸，根据角平分线的性质得到4£>=。?，根据切线

的判定定理即可得到结论；

(2)根据切线的性质得到=在RtADPC中，设DF=DE=r,根据和勾股定理列

方程即可得到结论；

本题考查了切线的判定，切线长定理，角平分线的性质定理，勾股定理，理解题意，综合运

用这些知识点是解题的关键.

【详解】(1)证明：过点。作。尸±BC于点F,

•?ZBAD=90°，

•••ADLBA,

•/8£＞平分—ABC,

/.AD=DF,

：AD是0。的半径，DFLBC,

2C是。。的切线;

⑵解：VABAC=90°,

，AB与。。相切,

1/BC是。。的切线,

AB=FB,

VAB=5,3C=13,

ACF=13-5=8,AC=[BC-6=芯一52=骁,

在Rt2\DFC中，设DF=DE=r,

则DF-+CF2^CD2,即/+8?=(12-厂》,

解得：r=g

16

CE=AC-AE=n~—

33

，CE的长为号.

15.(1)见解析

⑵4石+4

【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定理和

含30度角的直角三角形三边的关系.

(1)连接OD,如图，先根据切线的性质得到NEDO=90。，再利用四边形的内角和

ZZ)EC+ZDOC=180°,则根据同角的补角相等得到4£D=/DOC,然后根据圆周角定理

得到4>OC=2NA,从而得到结论；

(2)连接OF,如图，先利用圆周角定理得到？AZW90?,再根据含30度角的直角三角

形三边的关系得到DF=4,AD=4超,接着证明VBDE为等边三角形得到%>=%=4,然

后计算AD+3D即可.

【详解】(1)证明：连接OD,如图，

•/DE与。。相切，

EDtOD,

：.ZEDO=90°,

•・・ZBCA=90°,

：.ZBCA+ZEDO=18Q°,

•:ZBCA+ZEDO+ZDEC+ZDOC=360°,

AZDEC+ZDOC=180°,

VZZ)EC+ZBE»=180°,

；・/BED=/DOC,

・・・ZDOC=2ZA,

：.ZBED=2ZA；

(2)解：连接。尸，如图，

•・•AF为。。的直径，

・•・?ADF90?,

在尸中，44=30。,

DF=-AF=OA=4,

2

AD=CDF=443,

•/ZB=90°-ZA=60°,ZBED=2ZA=60°,

，VBDE为等边三角形，

BD=DE=4,

；•AB=AD+8O=46+4.

16.⑴见解析

24

⑵彳

【分析】(1)连接OC,根据圆周角定理得到ZDAC=ZCAB=|ZDAB,即可得到OC//AD,

然后根据角平分线的定义得到=2NH=2x45°=90°,然后得到ZOCE=NF=90°即可证

明切线；

(2)设。。的半径为「，根据OP+c石2=。石2,可以求出厂，然后根据△ECOs△防4,即

可得到结果.

【详解】(1)证明：如图，连接OC,

A

'：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

•・•BC=CD,

BC=CD，

：.ZDAC=ZBAC,

：.ZOCA=ZDAC,

・•・OC//AF,

：・NOCE=NF,

EH平分NFEG,

:,NFEH=NGEH,

•：NGEH=NH+NBAC,NFEH=NF+NBAF,

：.2NH+2ZBAC=NT+NBAF,

：.ZBAF=2ZBAC,

・・・NT=2N7/=90。，

：.ZOCE=ZF=9G0,

即OC_LEF,

OC是半径，

JEF是。。的切线；

(2)解：设圆。半径为r，则OE=Q3+3E=r+2,

OC2+CE2=OE2,

：.r2+42=(r+2)2,

解得r=3,

；・EA=AB+BE=8,OE=5,

'：AD//OC,

：.^ECO^^EFA,

:•且=2即江”

EOCO53

24

FA=—

5

【点睛】本题考查切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，根据角

平分线的定义得到/尸=90。是解题的关键.

17.(1)见解析

2525万

⑵一+---

24

【分析】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理、三角形的面积公式、扇形的

面积公式等.

(1)连接OD,由AD=RD，得ZAOD=NBOD,而4400+/30。=180。得到

ZAOD=ZBOD=90°,由平行线的性质可得NODE=ZBOD=90°,从而即可得证;

(2)由圆周角定理可得NACB=90。，由勾股定理可得AB=10,从而得到

OD=OA=OB=^AB=5,再由S阴影=SAAOD+S扇形血＞进行计算即可.

【详解】(1)证明：连接O。,

点。是A3的中点,

••AD=BD，

,\ZAOD=ZBOD,

•・•ZAOD+ZBOD=180。，

:.2ZAOD=180°,

ZAOD=ZBOD=90°,

\-DE//AB,

ZODE=ZBOD=90°,

•.♦QD是O。的半径，且。£八。。，

二。石是的切线；

(2)解：为。。的直径，

:.ZACB=90°,

・.・AC=8,BC=6,

:.AB=^AC1+BC1=782+62=10,

：.OD=OA=OB=-AB=5,

2

由(1)得NAQD=NBQD=90。，

._1vs90XKX52_2525K

+

••3阴影一)AA。。+3扇形BOD--XdX^+—~~2~4~

,图中阴影部分的面积是M+字•

24

18.(1)ZADB=ZADE,理由见解析

⑵30

【分析】(1)根据圆内接四边形性质推出NA3C=NADE,结合等腰三角形性质得到

NABC=ZACB,结合同弧或等弧所对的圆周角相等得到/AD3=/ACS,再进行等量代换,

即可解题；

（2）连接8。并延长，交。。于点连接CE.利用半圆（直径）所对的圆周角是直角

得到ZBCE'=90°,利用等腰三角形性质得到CE'=BC,最后利用勾股定理求解，即可解题.

【详解】（1）解：ZADB=ZADE.理由如下.

V四边形ABCD内接于。。，

.-.ZABC+ZADC=180°,

•••ZADE+ZADC=180°,

:.ZABC^ZADE.

•••AB=AC,

:.ZABC^ZACB.

■：ZADB=ZACB,

:.ZADB=ZADE.

（2）解:如答图，连接20并延长，交。。于点£,连接CE'.

____A

•.,BE'是直径,

:.ZBCE'=90°.

•/ZBAC=45°,

:.ZBE'C=45°,

NCBE=180。一90°-45°=45°.

NBE'C=NCBE',

:.CE'=BC=3.

在Rt^BCE'中，由勾股定理得BE'=732+32=3叵-

二。。的直径为3VL

【点睛】本题考查圆内接四边形性质，等腰三角形性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，半

圆（直径）所对的圆周角是直角，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理.

19.（1）见解析

(2)50

【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用；

(1)先证明CQ=QD,△OP。是等腰直角三角形，可得。。=力2,再进一步利用线段的

和差关系可得结论；

(2)由2。2=(。。+尸。)2,即2=(。。一尸。)2,再结合勾股定理可得答案;

【详解】(1)证明：・•・OQ，C2Q是垂足，

：.CQ=QD(垂径定理).

又ZAPC=45°,

•••△OPQ是等腰直角三角形，

OQ=PQ,

：.PC-PD=(CQ+PQ)-PQ)=2PQ=2OQ；

(2)解：由(1)知，PC2=(CQ+PQ)2,PD2=(QD-PQ^,

PC2+PD2=CQ2+2CQ-PQ+PQ2+QD2-2QD-PQ+PQ2

=2CQ2+2PQ2=2(9+PQ2).

连接CO,

则由CO2=CQ2+OQ：=CQ；+PQ2=52=25,

PC2+PD2=50.

20.⑴BF=；BD,理由见解析；

(2)见解析.

【分析】(1)连接AC,由中点定义可得8歹=；47,又AO=BC，则BO=AC，故有3D=AC,

从而得出8尸

(2)由G是30的中点，则==根据中位线定理可得8/〃AC,由圆周角定理得

2

Z1=Z2,则N2=/3,故有ZPBG=/PBF,证明APBG丝APBP(AAS),根据全等三角形

的性质即可得出PG=小；

本题考查了圆周角定理，弦、弧、圆心角的关系，中位线定理，全等三角形的判定与性质,

掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】（1）解：BF=^BD,理由:

连接AC,

VBE=AB,尸是EC的中点,

BF=-AC,

2

AD=2C，

BD=AC，

BD=AC,

：.BF=-BD；

2

(2)证明：如图，由(1)知，BF=-BD,

2

又是8。的中点，

BG=-BD,

2

：.BG=BF,

VBE=AB,尸是EC的中点,

BF//AC,

：.Zl=Z3,

'•*AD=BC>

AZ1=Z2,

：.N2=N3,

BPVAE,

:・/PBA=/PBE=90。,

：.ZPBG+Z2=ZPBF+Z3=90°,

：・/PBG=/PBF,

又•：PB=PB,

：.APBG%PBF(AAS),

:.PG=PF.

21.⑴见解析

⑵”

12

【分析】（1）连接即，根据直角三角形中两锐角互余得出㈤H+ZA£H=90。，根据直径所

对的圆周角是直角得出/AEC=90。，根据直角三角形中两锐角互余得出

/E4H+NACE=90。，根据等角的余角相等得出NACE=NA£H,根据同弧所对的圆周角相

等得出/4DE=NA£"，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形得出

△上4广6口£■，根据相似三角形的对应边之比相等即可证明AE2=AFAD;

（2）连接08,过点G作GKLAD,垂足为K,过点G作GMJ_CD,垂足为根据直

径所对的圆周角是直角得出NADC=90。，根据角平分线的定义和同弧所对的圆周角是圆心

角的一半得出NAO3=2NAT>3=90。，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出

GK=GM,根据等腰直角三角形的性质和特殊角的三角函数值求出OA=。8=OC=逑，

2

AC=5夜，根据锐角三角函数的定义和同弧所对的圆周角相等求出AD=2jT6,CD=M,

根据三角形的面积求出GC=』AC=逑，OG=述，即可求出S^B”.

336

【详解】（1）证明：连接即，

■.■EHA.AC,

B

ZEAH-hZAEH=90°f

­/AC是直径，

:.ZAEC=90°,

.•.ZE4H+ZACE=90。,

:.ZACE=ZAEH,

.\ZADE=ZAEH,

又・.・NEAF=NDAE,

.•一AE4"sAH4以

AEAF

~AD~~AE，

AE2=AFAD;

(2)解：如图，连接05,过点G作GKLAD,垂足为K,过点6作6加，8,垂足为

",

/.ZADC=90°,

又Qa）平分/ADC,AB=AB^

z.ZAOB=2ZADB=90°,GK=GM,

在等腰直角VAQB中,AB=5,

SJ9

-,OA=OB=OC=—!—

2

/.AC=2OA=5后，

2J5

•/sinZABD=—^~,ZABD=ZACD,

5

」.sinZAO=任=与=述

AC5y/25

:.AD=2^i5,则CD=W，

,-S4A.rdnJ=2-AGCD-sinZACD,△£/SCCnrr2=-CG-CD-sinZACD

.SAAG。_AG

S^BCGGC

-ADGKAGADAG

2——，即Rn——=——

LCDGMGCCDGC

2

二.GC二

33

OC-GC=述-述=逑

OG=

236

5725屈25

•Q

••OBOG=-OGOB=-x------X

A226----212

【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，直径所

对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，角平分线的性

质等，正确做出辅助线，通过三角形的面积求出CG是解题的关键.

22.(1)详见解析

(2)详见解析

4

(3)CB的长=§兀.

【分析】(1)通过平行四边形的性质得到△O8C和ACMC是等边三角形，再利用圆周角定理

即可推出角的关系;

(2)先证四边形。4cB是菱形，得出OCLAB,然后利用平行线的性质可得出OCLCF,

从而即可证明W为圆0的切线;

(3)如图，过点2作BGLFC于点G,先证出NOC8=60。，BC=OB=OC,再证出

FC=CG+FG=y/3BG+BG,进而得出圆的半径，最后根据弧长公式即可求出弧长.

【详解】(1)证明：如图，连OC,OD,

•.•四边形OACB为平行四边形,

AOA=BC,OB=AC,

・・,点A,B,C,。在圆。上，

OA=OB=OC=OD,

：.OA=OB=BC=AC=OC,

：.△05。和△Q4C是等边三角形，

ZBOC=60°,ZAOC=60°,

・•・根据圆周角定理得，ZBDC=-ZBO